高考概率分布类型题归纳
经典高考概率分布类型题归纳 高考真题
一、超几何分布类型 二、二项分布类型
三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法
五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年
22、（本小题满分10分）（相互独立事件）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=×=， P （X=5）=×=， P （X=2）=×=， P （X=-3）=×=。 由此得X 的分布列为：
（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14
5
n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。
所求概率为3
344
0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为。
（2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型）
设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．
【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力.
【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，
∴共有23
8C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =4
11
.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1
的共有6
对，故
(P ξ==
2
126C =111
, (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-==4111111-
-=611
. ∴随机变量ξ的分布列是
∴6161111111
E ξ=?
=. （2014江苏）（古典概型）
盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）． （2017年）23．（本小题满分
10分）
已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部
相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L ．
1
2 3
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；
（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的
数学期望，证明：()()(1)n
E X m n n <+-．
试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m
n n m n n p m n
-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为
X … … P
…
…
随机变量X 的期望为1
1
C 111(1)!
()C C (1)!()!n m n
m n
k n n
k n k n
m n
m n k E X k k n k n -++-==++-=?=?--∑∑． 所以1(2)!1
(2)!
()C (1)!()!(1)C (2)!()!
m n
m n
n n k n k n m n
m n
k k E X n k n n n k n ++==++--<
=-----∑∑ 1
1
C (1)C ()(1)n m n n m n
n n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)
n
E X m n n <
+-．
【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示
的意义；
（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
一、超几何分布
1.袋中有
4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取
到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 的分布列．
【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.
P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 2
3
C 47＝1835，
P(X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03
C 47＝135
.
故所求的分布列为
肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克
/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2013年全年每天的监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据．记X 表示抽到监测数据超标的天数，求X 的分布列．
【解析】（1）记“从10天的日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27
C 310＝2140
.
（2）依据条件，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.
P (X ＝k )＝C k 3·C 3－k
7
C 310
(k ＝0,1,2,3)，
所以P (X ＝0)＝C 03C 3
7
C 310＝724，
P (X ＝1)＝C 13C 27
C 310＝2140，
P (X ＝2)＝C 23C 17
C 310＝740，
P (X ＝3)＝C 33C 07
C 310＝1120
，
因此X 的分布列为
点评： n 连续取n 件”. 如果是有放回地抽取，就变成了 n 重伯努利试验，这时概率分布就是
二项分布. 所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样. 若产品总数N很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.
3.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．
(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．
【解】(1)P＝1－C3
7
C3
9
＝
7
12
.
(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑
色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C1
2
C2
3
C3
9
＋
C2
2
C1
4
C3
9
＝
5
42
.
(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，
且P(ξ＝k)＝C k
3
C3－k
6
C3
9
，k＝0,1,2,3.
故P(ξ＝0)＝C3
6
C3
9
＝
5
21
，
P(ξ＝1)＝C1
3
C2
6
C3
9
＝
15
28
，
P(ξ＝2)＝C2
3
C1
6
C3
9
＝
3
14
，
P(ξ＝3)＝C3
3
C3
9
＝
1
84
，
ξ的分布列为
ξ0 1 2 3
P
二、二项分布
1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的.
（1）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（3）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．
2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是2
3，出
现绿灯的概率都是1
3.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时：
(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的数学期望．
解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是2
3
，
故X ＝2时的概率P ＝C 24? ????232? ????132
＝827
.
(2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知
P(X ＝k)＝C k 4? ????23k ? ??
??134－k
(k ＝0,1,2,3,4)．
∴X 的概率分布列为
X 0
1
2
3
4
P
∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝8
3
.
3.羽毛球A 队与B 队进行对抗比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是P (01)P ≤≤. （1）若比赛6局，且P =
2
3
, 求A 队至多获胜4局的概率是多少
（2）若比赛6局，求A 队恰好获胜 3局的概率的最大值是多少
(3) 若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望. 解析：（1）设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A
则[]66()1(5)(6)P A P P =-+=5
5
6
6
662
221()(1)()333C C ---=256473
1729729
-
=[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]
∴ A 队至多获胜4局的概率是
473
729
(2)设“若比赛6局，A 队恰好获胜3局”为事件B ,则333
6()(1)P B C p p =-
当P=0或P=1时，显然有P(B)=0
当0 6()(1)P B C p p =-=()3 201p p -????≤203 212p p ??+-???? ??????? =206 15216??= ??? 当且仅当11,2p p p =-=即时取等号.故A 队恰好获胜3局的概率的最大值是5 16 （3）若采用“五局三胜”制，A 队获胜时的比赛局数ξ=3，4，5 3(3)P p ξ==；)1(3)1()4(3323p p p p C P -=-==ξ；232324(5)(1)6(1)P C p p p p ξ==-=- 所以ξ的分布列为： 3 4 5 （二项分布）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X=2）＝ 变式辨析： 1. （超几何分布）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝ 2. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝ 3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝ 4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次取k （6,5,4=k ）件，恰好取到3件次品时停止，概率P （X ）＝ 三、古典概型算法 1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个. （1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算： ①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少 ②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 （2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X ，求X 的概率分布和数学期望. 2.某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去,,A B C 三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员． （1）求甲、乙同时去A 班听课的概率； （2）设随机变量ξ为这五名评估员去C 班听课的人数，求ξ的分布列和数学期望． （分配问题，典型例题，选与排） 解：（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两 个班级各两个、另一个班级一个．故总共的听课可能性有3322 53533150C A C C +=种，其中甲乙同时 去A 班听课的可能性有121 2132223=+C C A C 种……………………2分 所以所求概率为122 15025 p = = ……………………4分 （2）ξ可取值为1，2，3， ()15 6 150221 325=??==C C P ξ， ()15 2 15031235===C C P ξ……………………8分 从而ξ分布列为： ∴ 7625 1231515153 E ξ=? +?+?= ……………………10分 3.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为21,x x ，记2 22 1)2()2(-+-=x x X . （1）分别求出X 取得最大值和最小值的概率； （2）求X 的概率分布及方差. 解：ξ的取值为0，1，2，4，5，8， P （ξ=0）=， P （ξ=1）=4××=， P （ξ=2）=4××=， P （ξ=4）=2××=， P （ξ=5）=4××=， P （ξ=8）=， ∴ξ的分布列为？ 1 2 3 P ∴ξ的数学期望E ξ=0×+1×+2×+4×+5×+8×=3。 4.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率； （2）申请的房源所在片区的个数X 的概率分布与期望. 5.设S 是不等式x 2 －x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S. (1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n)”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2 ，求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ)． 解 (1)由x 2 －x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x|－2≤x ≤3}． 由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2 的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P(ξ＝0)＝1 6， P(ξ＝1)＝26＝1 3， P(ξ＝4)＝26＝1 3， P(ξ＝9)＝1 6 . 故ξ的概率分布表为 ξ 0 1 4 9 P 所以E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×3＋9×6＝6 . 6.在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况 . (1)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率； (2)设X 为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求X 的分布列和数学期望． （主要是选） 解 (1)设“从第一小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件A ，“从第二小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B. 由于事件A 、B 相互独立， 所以P(A)＝C 25C 26＝23，P(B)＝C 2 4C 26＝2 5 ， 所以选出的4人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为P(A ·B)＝P(A)·P(B)＝23×2 5＝ 415 . (2)X 可能的取值为0,1,2,3，则 P(X ＝0)＝415，P(X ＝1)＝C 2 5C 26·C 1 2·C 1 4C 26＋C 1 5C 26·C 2 4C 26＝22 45， P(X ＝3)＝C 1 5C 26·1C 26＝1 45 . P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝2 9. 故X 的分布列为 所以X 的数学期望E(X)＝0×15＋1×45＋2×9＋3×45 ＝1 (人)． 7.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球． （I ）求取出的4个球均为黑色球的概率； （II ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （III ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 8.袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为n X ． （1）求随机变量2X 的概率分布及数学期望()2E X ； （2）求随机变量n X 的数学期望)(n x E 关于n 的表达式． 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 1.开锁次数的数学期望和方差有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差． 分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般． 解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ． n k n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 1 11212312111)211()211()111()11()(=+-?+-+---?--?-=+-?+----?--?-==ΛΛξ；所 以ξ的分布列为： 1 2 … k … n … … 2 131211= ?++?+?+?=n n n n n E Λξ； 2. 射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击 一次的命中率为，求在这一组练习中耗用子弹数ξ 的分布列，并求出ξ 的期望ξ E 与方差ξ D （保留两位小数）． 分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解． 解： 该组练习耗用的子弹数ξ 为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5． ξ ＝1，表示一发即中，故概率为 ξ ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故 ξ ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故 ξ ＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故 ξ ＝5，表示第五发命中，故 因此，ξ 的分布列为 1 2 3 4 5 P 3.（三项分布） 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率q 1为，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 （1）求q 2的值； （2）求随机变量ξ的数学期望E ξ； （3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小． 解:（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )=， ()0.75P A =，P (B )= q 2，2()1P B q =-． 根据分布列知：ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=，所以210.2q -=，q 2=． （2）当ξ=2时，P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+ )()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==2(21q -)×2=2(21q -)=． 当ξ=3时，P 2 =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-=， 当ξ=4时，P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===， 当ξ=5时，P 4=()()()P ABB AB P ABB P AB +=+ 222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=． 所以随机变量ξ的分布列为： 随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=?+?+?+?+?=． （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++ ()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=； 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为+=． 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大． 4. 5.（三项分布） 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与 没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）记“函数2 ()31f x x x ξ=-+在区间[2,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需322 ξ≤即可． 解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件 123,,A A A ． 由已知123,,A A A 相互独立，123()0.4,()0.5,()0.6P A P A P A ===.客人游览的景 点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3． 所以ξ的分布列为 （Ⅱ）解法一：因为2239 ()()1,24 f x x ξξ=- +-所以函数 23 ()31[,)2 f x x x ξξ=-++∞在区间上单调递 增 ， 要使()[2,) f x +∞在上 单 调 递 增 ， 当 且 仅 当 342,.23 ξξ≤≤即从 而 4 ()()(1)0.76.3 P A P P ξξ=≤=== 解法二：ξ的可能取值为1，3. 当1ξ=时，函数2 ()31[2,)f x x x =-++∞在区间上单调递增， 当3ξ=时，函数2 ()91[2,)f x x x =-++∞在区间上不单调递增. 所以()(1)0.76.P A P ξ=== 6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为2 3 . (1)求乙至多击中目标2次的概率； (2)记甲击中目标的次数为Z ，求Z 的分布列、数学期望和标准差． 解 (1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－C 33? ?? ??233 ＝ 1927 . (2)P(Z ＝0)＝C 03? ????123 ＝18； P(Z ＝1)＝C 13? ????123 ＝38； P(Z ＝2)＝C 23? ????123 ＝38； P(Z ＝3)＝C 33? ????123 ＝18. Z 的分布列如下表： Z 1 2 3 1 3 P E(Z)＝0×18＋1×38＋2×8＋3×8＝2 ， D(Z)＝? ????0－322×18＋? ????1－322×38＋? ????2－322×38＋? ????3－322×18＝3 4 ，∴DZ ＝32. 7.（三项分布）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制， 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为,,. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望与方差． 解 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3. (1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 P(E)＝P(A 1A 2 A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A 1 A 2A 3) ＝××＋××＋××＝. (2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝，所以ξ～B(3,． 故E(ξ)＝np ＝3×＝， V(ξ)＝np(1－p)＝3××＝. 8.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为，，，，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率. 解：ξ的取值分别为1，2，3，4. 1=ξ，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （1=ξ）=. 2=ξ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故 ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故 ∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P ∴ξ的期望E ξ=1×+2×+3×+4×=. 李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－(1－(1－=. 9.某先生居住在城镇的A 处,准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．( 例如：Ａ→Ｃ→Ｄ算作两个路段：路段ＡC 发生堵车事件的概率为 101，路段CD 发生堵车事件的概率为15 1 )． （１） 请你为其选择一条由Ａ到Ｂ的路线，使得 途中发生堵车事件的概率最小； （２） 若记ξ路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ中遇到堵车 次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Ｅξ． 解：(1)记路段MN 发生堵车事件为MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线Ａ→Ｃ→D →Ｂ中遇到堵车的概率P 1为 1－Ｐ(AC ?CD ?DB )=1－Ｐ(AC )?Ｐ(CD )?Ｐ (DB ) ＝１－［１－Ｐ(AC)］［１－Ｐ(CD)］［１－P(DB)］＝１－?109151465?＝10 3； 同理：路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ中遇到堵车的概率P ２为 1－Ｐ(AC ?CF ?FB )=800239（小于103）； 路线Ａ→Ｅ→Ｆ→Ｂ中遇到堵车的概率P ３为 1－Ｐ(AE ?EF ?FB )= 30091（大于10 3） 显然要使得由Ａ到Ｂ的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择 ． 因此选择路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ,可使得途中发生堵车事件的概率最小. (2) 路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3． Ｐ(ξ＝０)＝Ｐ(AC ?CF ?FB )＝800 561， Ｐ(ξ＝1)＝Ｐ(AC ?CF ?FB )＋Ｐ(AC ?ＣＦ?FB )＋Ｐ(AC ?CF ?ＦＢ) ＝ 10120171211＋1092031211＋1092017121＝2400 637 ， Ｐ(ξ＝２)＝Ｐ(AC ?ＣＦ?FB )＋Ｐ(ＡＣ? CF ?ＦＢ)＋Ｐ(AC ?ＣＦ?ＦＢ) ＝ 1012031211＋1012017121＋109203121＝2400 77 ， Ｐ(ξ＝3)＝Ｐ(AC ?CF ?FB )＝101203121＝2400 3 ． ∴Ｅξ＝０×800561＋１×2400637＋２×240077＋３×24003＝3 1 。 答:路线Ａ→Ｃ→Ｆ→Ｂ中遇到堵车次数的数学期望为3 1 10.分类题型中的难题 11（2017四市联考）甲乙丙分别从A,B,C,D 四道题中独立地选择两道，其中甲必选B 题 （1）求甲选做D 题，且乙丙不选做D 题的概率； （2）设随机变量X 表示D 题被甲、乙、丙选做次数，求X 的概率分布与数学期望。 （1）设“甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题”为事件E ． 甲选做D 题的概率为11 13C 1C 3=，乙，丙不选做D 题的概率都是2324C 1C 2 =． 则1111 ()32212 P E =?? =． 答：甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率为1 12 ． …………………3分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3． …………………………………………4分 1112 (0)(1)32212P X ==-??=， 212 111115 (1)()(1)C (1)()3232212P X ==?+-?-?=， 12 222111114(2)C (1)()(1)C (1)3223212P X ==?-?+-?-= ， 222111 (3)C (1)3212 P X ==?-= ． ……………………………………………8分 X 的数学期望4 ()01236123123 E X =?+?+?+?=． …………………10分 12.箱子中有 4个形状、大小完全相同的小球，其中红色小球2个、黑色和白色小 球各1个， 现从中有放回的连续摸4次，每次摸出1个球． （1）求4次中恰好有1次红球和1次黑球的概率； （2）求4次摸出球的颜色种数ξ的分布列与数学期望． 解：（1）记事件A “摸出1个球，是红色小球”，事件B “摸出1个球，是黑色 小球”，事件C “摸出1个球，是白色小球”，则A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝14，P (C )＝1 4 ． 记事件D “有放回的连续摸4次，恰好有1次红球和1次黑球”， 则P (D )＝A 24 ×12×14×(14)2＝332 ． 答：恰好有有1次红球和1次黑球的概率是 3 32 ． （2）随机变量ξ的可能值为1，2，3．记A i “摸出i 个红色小球”，B i “摸出 i 个黑色小球”，C i “摸出i 个白色小球”． P (ξ＝1)＝P (A 4＋B 4＋C 4) ＝P (A 4)＋P (B 4)＋P (C 4) ＝(12)4＋(14)4＋(14)4＝9 128； P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＝C 14 (12) (14)3＋C 2 4(12)2 (14)2＋C 34(12)3 (14)＝132＋332＋18 ＝ 14 ， P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＝C 14 (12) (14)3＋C 24(12)2 (14)2＋C 3 4(12)3 (14)＝132＋332＋18 ＝ 14 ， P (B 1·C 3＋B 2·C 2＋B 3·C 1)＝C 14 (14) (14)3＋C 24(14)2 (14)2＋C 3 4(14)3 (14)＝164＋3128＋ 164 ＝ 7 128 ， P (ξ＝2)＝P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＋P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＋P (B 1·C 3＋ B 2· C 2＋B 3·C 1)＝14＋14＋7128＝71 128 ； P (ξ＝3)＝P (A 2·B 1·C 1＋A 1·B 2·C 1＋A 1·B 1·C 2)＝A 24(1 2)2(14)2＋A 2 4(14)2 (14)(12 ) ＋A 24 (14)2 (14)(12)＝316＋332＋332＝38 ． 故随机变量ξ的分布列为： 所以数学期望E (ξ)＝1×9128＋2×71128＋3×38＝295 128 ． . 六．拓展 1.某车站每天8∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，8∶00~9∶00到站的客车A 可能在8∶10，8∶30，8∶50到站，其概率依次为111 ,,623 ;9∶00~10∶00到站的客车B 可能在9∶10，9∶30,9∶50到站，其概率依次为111 ,, 326 . (1) 旅客甲8∶00到站，设他的候车时间为ξ，求ξ的分布列和E ξ； (2) 旅客乙8∶20到站，设他的候车时间为η,求η的分布列和E η. （1）旅客8∶00到站，他的候车时间ξ的分布列为： 111100 1030506233 E ξ∴=?+?+?= (分钟) （2）旅客乙8∶20到站，他的候车时间η的分布列为： 11111 103050709023181236 E η∴=?+?+?+?+? 2359 =(分钟) 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为 (1)在A ，B 12B 所获得的利润，求方差V(Y 1)、V(Y 2)； (2)将x(0≤x ≤100)万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值． 解 (1)由题设可知Y 1和Y 2 的分布列分别为 E(Y 1)＝5×＋10×＝6V(Y 1)＝(5－6)2 ×＋(10－6)2 ×＝4； E(Y 2)＝2×＋8×＋12×＝8， V(Y 2)＝(2－8)2×＋(8－8)2×＋(12－8)2 ×＝12. (2)f(x)＝V ? ????x 100Y 1＋V ? ?? ??100－x 100Y 2 ＝? ????x 1002V(Y 1)＋? ?? ??100－x 1002V(Y 2 ) ＝4100 2[x 2＋3(100－x)2 ] ＝ 4100 2(4x 2－600x ＋3×1002 )， 当x ＝6002×4 ＝75时，f(x)＝3为最小值. 3.据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为，有大洪水的概率为。设工地上有台大型设备，为保护设备有以下三种方案。 方案1：运走设备，此时需花费3800元。 方案2：建一保护围墙，需花费2000元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。 试比较哪一种方案好。 解：比较三者费用的期望值即可 A 方案：费用为3800 B 方案：设B ξ为费用，则列出分布列如下： 所以112062050001.010621.0200074.004 ==+=??+?+?=B E ξ C 方案：设C ξ为费用，则列出分布列如下： 所以310001.010625.01074.004 4=??+?+?=c E ξ 故: 方案A 的费用 >方案C 的费用>方案B 的费用 所以采用方案B 。 六、综合算法 年期末考试题 长时间用手机上网严重影响学生的健康，如果学生平均每周手机上网的时长超过5小时，则称为“过度用网”，某校为了解A,B 两班学生手机上网的情况，分别从这两个班中随机抽取6名学生样本进行 调查，由样本数据统计得到A,B 两班学生“过度用网”的概率分别为21 ,31 （1）从A 班的样本数据中抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率 常用的概率分布类型及其特征 3．1 二点分布和均匀分布 1、两点分布 许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。它服从的分布称两点分布。 其概率分布为： 其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率： 0≤P≤1。 X的期望 E（X）=P X的方差 D（X）=P（1—P） 2、均匀分布 如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一 个常数，则X服从的分布为均匀分布。 其概率分布为： X的期望 E（X）=（a+b）/2 X的方差 D（X）=（b-a）2/12 3．2 抽样检验中应用的分布 3．2．1 超几何分布 假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。 X的分布概率为： X=0，1，…… X的期望 E（X）=nd/N X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布 超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。 假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的概率分布为： 0 1 1 第十一章 高考概率与统计考点解析 概率与统计试题是高考的必考内容。当求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率，解此类题目常应用以下知识： (1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复。 (2) 互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1。 (3) 相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(。其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项。 (4) 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???????等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种。 第二步，判断事件的运算???和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件。 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?=???+=+???=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复。 考点1 考查等可能事件概率计算 在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A 包含的结果有m 个，那么P （A ）= n m 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。 例1、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。 (I) 求所选3人都是男生的概率； (II)求所选3人中恰有1名女生的概率； (III)求所选3人中至少有1名女生的概率。 解：(I) 所选3人都是男生的概率为 34361.5 C C = 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 几种常见的具有可加性的分布 (1) 1.1 二项分布 (2) 1.2 泊松分布（Possion分布） (3) 1.3 正态分布 (4) 1.4 伽玛分布 (6) 1.5 柯西分布 (7) 1.6 卡方分布 (7) 2 具有可加性的概率分布间的关系 (8) 2.1 二项分布的泊松近似 (8) 2.2 二项分布的正态近似 (9) 2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3 小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13) 概率论中几种具有可加性的分布及其关系 概率论中几种具有可加性的分布及其关系 摘要 概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词 概率分布 可加性 相互独立 特征函数 Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship with Additive Abstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of https://www.360docs.net/doc/698858921.html,bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on, has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function 引言 概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1 几种常见的具有可加性的分布 在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式 设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示 高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? 经典高考概率分布类型题归纳 高考真题 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年 22、（本小题满分10分）（相互独立事件） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 P（X=10）=×=， P（X=5）=×=， P（X=2）=×=， P（X=-3）=×=。 由此得X的分布列为： （2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14 5 n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。 所求概率为3 344 0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为。 （2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型） 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=； （2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ． 【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力. 【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱， ∴共有23 8C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =4 11 . (2)若两条棱平行，则它们的距离为1 的共有6 对，故 (P ξ== 2126C =111 , (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-==4111111- -=6 11 . ∴随机变量ξ的分布列是 目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................ 1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2 概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值 经典高考概率分布类型 题归纳 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 经典高考概率分布类型题归纳 高考真题 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年 22、（本小题满分10分）（相互独立事件） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布 列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为： （2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14 5 n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。 所求概率为3 344 0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。 考试练习题常用概率 分布 第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。 A ．n > 50 B ．π=0.5 C ．n π=1 D ．π=1 E ．n π> 5 2．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。 A ．n π和n （1－π）均大于等于5 B ．n π或n （1－π）大于等于5 C ．n π足够大 D ．n > 50 E ．π足够大 3. 的均数等于方差。 A ．正态分布 B ．二项分布 C ．对称分布 D ．Poisson 分布 E ．以上均不对 4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。 A ．－∞到+1.96 B ．－1.96到+1.96 C ．－∞到+2.58 D ．－2.58到+2.58 E ．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。 A ．n （1－π） B ．（n －1）π C ．n π（1－π） D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。 A . B . （1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以 为方差的Poisson 分布。 A . B .λ2λ12+2λ 2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。 A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则 X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布 D．Poisson分布 E．t 分布 12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ 2），X与Y独立，则X－Y服从。 2 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22） B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22） D．N（0，σ12+σ22） E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 高考概率分布类型题归 纳 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 经典高考概率分布类型题归纳 高考真题 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年 22、（本小题满分10分）（相互独立事件） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=×=， P （X=5）=×=， P （X=2）=×=， P （X=-3）=×=。 由此得X 的分布列为： （2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14 5 n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。 所求概率为3 344 0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为。 （2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型） 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时， 0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． 目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布） Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的 经典高考概率分布类型题归纳 高考真题 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年 22、（本小题满分10分）（相互独立事件） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=×=， P （X=5）=×=， P （X=2）=×=， P （X=-3）=×=。 由此得X 的分布列为： （2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14 5 n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。 所求概率为3 344 0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为。 （2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型） 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=； 八、概率 一、选择题 1.（浙江理9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 A ．15 B ．25 C ．3 5 D 45 【答案】B 2.（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 【答案】B 【解析】从31.5到43.5共有22，所以 221663P = = 。 3.（陕西理10）甲乙两人一起去游“2020西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A ．1 36 B ．19 C ．5 36 D ．16 【答案】D 4.（全国新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ） 13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34 【答案】A 5.（辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= （A ）18 （B ）14 （C ）25 （D ）12 【答案】B 6.（湖北理5）已知随机变量ξ服从正态分布()2 2N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ ＜2）＝ Ａ．0．6 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．2 【答案】C 7.（湖北理7）如图，用K 、 1 A 、 2 A 三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且 1 A 、 各种分布 泊松分布 Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布。 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积、单位体积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为 特征函数为： 泊松分布与二项分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的。 泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说，若 ,其中n很大，p很小，因而不太大时，X的分布接近于泊松分布。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，某放射性物质发射出的粒子，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 卡方分布 卡方分布( 分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。n 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为n 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。 若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution），即分布（chi-square distribution），其中参数n称为自由度。正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。记为或者。 卡方分布与正态分布 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度n很大时，分布近似为正态分布。对于任意正整数x，自由度为 k的卡方分布是一个随机变量X 的机率分布。 期望和方差 经典高考概率类型题总结 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 一、超几何分布 1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个. （1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算： ①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？ ②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ （2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X ，求X 的概率分布和数学期望. 二、二项分布 1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的. （1）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率； （3）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红 灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ， 当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的数学期望． 解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红 灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23， 故X ＝2时的概率P ＝C 24? ????232? ????132＝827 . (2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知 P(X ＝k )＝C k 4? ????23k ? ?? ??134－k (k ＝0,1,2,3,4)． ∴X 的概率分布列为 ∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝83. 三、超几何分布与二项分布的对比 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X ）＝ . 辨析： 1.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝ 2. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝ 3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝ 四、古典概型算法 一、引言 Bayes统计起源于英国学者托马斯.贝叶斯（Thomas Bayes,1702～1761）死后发表的一篇论文“论有关机遇问题的求解”。在此论文中他提出了著名的贝叶斯公式和一些归纳推理方法，随后拉普拉斯（Laplace,P.C.1749～1827）不仅重新发现了贝叶斯定理，阐述的远比贝叶斯更为清晰，而且还用它来解决天体力学、医学统计以及法学问题。之后虽有一些研究和应用但由于其理论尚不完整，应用中出现一些问题，致使贝叶斯方法长期未被接受。直到二战后，瓦尔德(Wald,A.1902～1950)提出统计决策函数论后又引起很多人对贝叶斯研究方法的兴趣。因为在这个理论中，贝叶斯解被认为是一种最优决策函数。在Savage,L.J.(1954)、Jeffreys,H.(1961)、Good,I.J(1950)、Lindley,D.V(1961)、Box,G.E.P.&Tiao,G.C.(1973)、Berger,J.O.(1985)等贝叶斯学者的努力下，对贝叶斯方法在观点、方法和理论上不断的完善。另外在这段时期贝叶斯方法在工业、经济、管理等领域内获得一批无可非议的成功应用。贝叶斯统计的研究论文与著作愈来愈多，贝叶斯统计的国际会议经常举行。如今贝叶斯统计已趋成熟，贝叶斯学派已发展成为一个有影响的学派，开始打破了经典统计学一统天下的局面。 贝叶斯统计是在与经典统计的争论中发展起来的,现已成为统计学中不可缺少的一部分.贝叶斯统计与经典统计的主要区别就是是否利用先验信息。贝叶斯统计重视已出现的样本观测值，对尚未发生的样本观测值不予考虑。近几年来对贝叶斯统计的广泛应用，使得贝叶斯统计在可靠性问题中起到越来越重要的作用。尤其是对产品的失效率以及产品寿命的检验中，更是离不开贝叶斯统计。本文主要是探索串联系统和并联系统的可靠性，以及可靠性增长模型的Bayes估计，这些都表现出了Bayes统计在可靠性中的广泛应用。 二、绪论 （一）统计学及其发展历程 人类的统计活动源远流长，自从有了数的概念，有了计数活动，就有了统计。但作为一门学科的统计学，它的出现却晚得多。英国学者配第（W.Petty）《政治算术》一书的问世，标志着统计学的开端。 概率论是统计学的重要起源之一。14世纪时，在工商业比较繁荣的意大利以及地中海岸其他地区，由于赌博游戏盛行和保险活动的萌起。人们 常用的概率分布类型及其特征3. 1二点分布和均匀分布 1、两点分布 许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格; 可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取服从的分布称两点分布。 其概率分布为： 其中Pk=P(X=Xk,表示X取Xk值的概率: 0< P< 1。 X的期望E (X) =P X 的方差 D (X) =P (1 —P) 2、均匀分布产品或者 0和1。它 如果连续随机变量X的概率密度函数f (x)在有限的区间［a , b］上等于个常数，则X服从的分布为均匀分布。 其概率分布为: X的期望 E (X) = (a+b) 12 X的方差 D (X) = (b-a) 2/12 3.2抽样检验中应用的分布 3. 2. 1超几何分布 假设有一批产品，总数为N,其中不合格数为d,从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。 X的分布概率为： X=0, 1,…… X 的期望 E (X)二nd/N X 的方差 D (X) = ( (nd/N) ( (N-d) /N ) ( (N-n) /N ) ) (1/2 ) 3. 2. 2二项分布 超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算 起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。 假设有一批产品，不合格品率为P,从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的概率分布为： P(X=x) =厂门1川0 高考复习概率随机变量 及其分布列 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 第十九讲概率、随机变量及其分布列 概率、随 机变量及 其分布列 概率几何概型古典概型相互独立事件同时发生的概率 独立重复试验中事件A恰 好发生k次的概率 条件概率 随机变 量及分 布列 离散型随机变量及 分布列的概念 离散型随机变量的均值、方差 1．(古典概型)(2013·课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) 【解析】从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为 4 12 ＝ 1 3 . 【答案】B 2．(数学期望)(2013·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为 X123 P 3 5 3 10 1 10 则X的数学期望E(X) B．2 D．3 【解析】E(X)＝1× 3 5 ＋2× 3 10 ＋3× 1 10 ＝ 3 2 ，选A. 【答案】A 3．(几何概型)(2013·陕西高考) 如图6－2－1，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基战，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域 内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( ) 图6－2－1 A ．1－π4 －1 C ．2－π2 【解析】 取面积为测度，则所求概率为P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－π×12 ×14×22×1＝2－ π22＝1 －π 4 . 【答案】 A 4．(正态分布)已知随机变量ξ～N (u ，σ2 )，且P (ξ<1)＝12 ，P (ξ>2)＝p ，则 P (0<ξ<1)＝________. 【解析】 由P (ξ<1)＝1 2可知，此正态分布密度曲线关于直线x ＝1对称，故P (ξ≤0) ＝P (ξ≥2)＝P (ξ>2)＝p ，易得P (0<ξ<1)＝P (ξ<1)－P (ξ≤0)＝1 2 －p . 【答案】 1 2 －p 5．(随机变量的方差)(2013·上海高考)设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19 的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差Dξ＝________. 【解析】 由等差数列的性质，x ＝S 1919 ＝ x 1＋x 19 2 ＝x 10. ∴Dξ＝119 [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 19－x )2 ] 随机变量及其分布列.几类典型的随机分布 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示： X X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． 两点分布又称01-以这种分布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件 ()n N ≤， 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参 数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立 重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列 由式 00111 0()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ． 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则 ()E X np =，()D x npq =(1)q p =-． ⑷正态分布 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从 正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22 ()2()x f x μσ--= ，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>， μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．常用的概率分布类型其特征
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