北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测

高三年级数学试卷（理工类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合，，则

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用并集定义直接求解．

【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，

B＝{2，3，4，5}，

∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．

故选：D．

【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.设复数满足，则=

A. B. C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．

【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，

∴|z|．

故选：B．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值

【详解】模拟程序的运行，可得

S＝12，n＝1

执行循环体，S＝10，n＝2

不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3

不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4

不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5

满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．

故选：A．

【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程

序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.

【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，

又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），

则有，

解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，

即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，

令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，

即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），

则圆被x轴截得的弦长为4；

故选：A．

【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．

5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，

可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），

图象过点，

∴sin（2φ），

即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，

即φ或，k∈Z，

∵φ＞0，

∴φ的最小值为．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题．

6.设为实数，则是“”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

由“x＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x＜0”，从而得出“x＜0”是

“”的充分必要条件．

【详解】若x＜0，﹣x＞0，则：；

∴“x＜0“是““的充分条件；

若，则；

解得x＜0；

∴“x＜0“是““的必要条件；

综上得，“x＜0”是“”的充分必要条件．

故选：C．

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“?”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用?与非?非，?与非?非，?与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若?，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．

【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，

∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，

又e x+3＞3，

∴1＜a≤3，

故选：B

【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．

8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.

【详解】

正方体C

1各面中心为顶点的凸多面体C

2

为正八面体，

它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，

该正方形对角线长等于正方体的棱长，

所以它的棱长a

2

；

以C

2各个面的中心为顶点的正方体为图形C

3

是正方体，

正方体C

3面对角线长等于C

2

棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），

因此对角线为，所以a

3

，

故选：

【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】

运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．

【详解】根据题意得，2＝6，

∴＝3 又＝7，

∴2d＝7﹣3＝4，

∴d＝2，＝1，

∴S

5

＝55+20＝25，

故答案为：25．

【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．

10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】

以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．

【详解】如图，以A为坐标原点，

以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），

∴，，

∴7×1+0×4＝7．

故答案为：7．

【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题

的关键，是基础的计算题．

11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为

_______________．

【答案】

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，

侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．

【详解】由三视图还原原几何体如图，

该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，

侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．

侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．

则该三棱锥的体积为V＝．

故答案为：．

【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．

12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若

，则__________________.

【答案】

【解析】

【分析】

设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．

【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，

则，

由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．

故答案为：5．

【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．

13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？

图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.

若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A 处所标的数应为____.

【答案】(1). 能(2).

【解析】

【分析】

根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．

【详解】如图所示：

如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，

如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，

依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，

故A处应该为8，

故答案为：能，8

【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.

【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，

阴影面积为：

,

当时，阴影面积的最大值为

故答案为：

【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.在中，已知，

（1）求的长；

（2）求边上的中线的长.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；

（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长.

【详解】解：（1）由，，所以.

由正弦定理得，，即.

（2）在中，.

由余弦定理得，,

所以.

所以.

【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.

16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：

（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；

（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.

【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B

【解析】

【分析】

(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；

（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．

【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.

C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，

故的可能取值为0，1，2.

，，.

所以分布列为

所以数学期望.

（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B

【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.

17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且

分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）当侧面是正方形，且时，

（ⅰ）求二面角的大小；

（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有

【解析】

【分析】

（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；

（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；

（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.

利用垂直关系，建立的方程，解之即可.

【详解】证明：（1）取中点，连，连.

在△中，因为分别是中点，

所以，且.

在平行四边形中，因为是的中点，

所以，且.

所以，且.

所以四边形是平行四边形.

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为侧面是正方形，所以.

又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.

又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.

设，则，

.

（ⅰ）设平面的一个法向量为.

由得即令，所以.

又因为平面，所以是平面的一个法向量. 所以.

由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为. （ⅱ）假设在线段上存在点，使得.

设，则.

因为

，

又，

所以.

所以.

故点在点处时，有

【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．

18.已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）当时，讨论的单调性；

（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；

（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.

【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，

又因为当，，函数为减函数；

当，，函数为增函数.

所以，的极小值为.

（Ⅱ）.当时，由，得或.

(ⅰ)若，则.故在上单调递增；

（ⅱ）若，则.故当时，；

当时，.

所以在，单调递增，在单调递减.

(ⅲ)若，则.故当时，；

当时，.

所以在，单调递增，在单调递减.

（Ⅲ）（1）当时，，令，得.

因为当时，，当时，，

所以此时在区间上有且只有一个零点.

（2）当时：

（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区

间上有且只有一个零点.

（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，

只需讨论的符号：

当时，，在区间上有且只有一个零点；

当时，，函数在区间上无零点.

(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.

综上所述，.

【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于

两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.

（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；

（Ⅱ）求证：.

【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；

（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.

【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由

可求.

（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.

当不与轴垂直时，

设，，的方程为（）.

由消去，整理得.

则，.

由已知，，

则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得

.

由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把

代入得.

把，代入到中，

=.

即，即..

【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.

（1）若，，写出满足条件的所有的值；

（2）求证：当时，；

（3）求所有可能取值中的最大值.

【答案】（1）（2）见解析（3）85

【解析】

【分析】

（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；

（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即

成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可

得所有可能取值中的最大值.

【详解】（1）的值可取.

（2）由，对于任意的，有.

当时，，即，即.

则成立.

因为是的倍数，所以当时，有成立.

若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.

则,成立，因为是的倍数，故.

由,得.

因此当

时，

. （3）由上问知，因为

且是的倍数，

所以

满足下面的不等式：

，.

则

,

, ,

,

,

,

,

,

,,当

时，这个数列符合条件.

故所求的最大值为85.

【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.