幂函数与指数函数
汇贤公学TM·精品讲义
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幂函数
教学目标
1.掌握幂函数的概念;
2.掌握幂函数的性质和图像;
3.通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像;
4.熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想.
导入
函数的生活实例:
问题1:如果张红购买了每千克1元的苹果w 千克,那么她需要付的钱数p w =元,这里p 是w 的函数 问题2:如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积是2
S a =,这里S 是a 的函数; 问题3:如果立方体的边长为a ,那么立方体的体积是3
V a =,这里V 是a 的函数; 问题4:如果正方形场地的面积为S ,那么正方形的边长12
a S =,这里a 是S 的函数;
问题5:如果某人t 秒内骑车行进了1千米,那么他骑车的平均速度1
/v t km s -=,这里v 是t 的函数.
若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是:
(1)y x =;(2)2
y x =;(3)3
y x =;(4)1
2
y x =;(5)1
y x -=.
这些关系式的共同特征是:都是以自变量x 为底数,指数为常数,自变量x 前的系数为1,只有一项。 由此,引入幂函数的定义.
知识梳理
1.幂函数的定义:一般地,形如k
y x =的函数称为幂函数,其中x 是自变量,k 是常数; 2.幂函数的定义域:
若(
)*
N
n n k ∈=,其定义域是一切实数;例如:3
x
y =、2
x y =.
若(
)
互质、、n m m N m n m
n k ,2,*≥∈=,则m n
m n
x x =,其定义域满足:奇次方根被开方数为实数,偶次方根被开方数为非负数;例如:3
2
3
2x x y =
=、434
3x x y ==.
若(
)*
N
n n k ∈-=,则n n
x
x
1=
-;例如:5-=x y 、6
-=x y 若()
互质、、n m m N m n m n
k ,2,*≥∈-=,则m n m n x x 1=-;例如:3232
1x
x y ==-、
4
3
4
31
x
x y =
=-.
后两种情况只需注意分母不为0,其他与前两种情形类似 3.幂函数的性质:
所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都过点(1,1).
k >0时,图像过(0,0)和(1,1);且在第一象限随x 的增大而上升, 函数在区间[)+∞,0上是单调
增函数。
k <0时,图像过(1,1);且在第一象限随x 的增大而下降,函数在区间),0(+∞上是单调减函数,向
右无限接近x 轴,向上无限接近y 轴.(以提问为主,让学生回答.)
典例精讲
例1、函数2
221
(1)m
m y m m x --=--是幂函数,则该幂函数的解析式是.
解:2
11,1m m m --==-或2,
1m =-时,2y x =; 2m =时,1y x -=.
(掌握幂函数的概念)
巩固练习:已知幂函数2
23
()()m
m f x x m Z --=∈为偶函数,且在(0,)+∞上是减函数,求()f x 的解析式.
解:由题设知2
230m m --<得13m -<<.因为m Z ∈,所以0,1,2;m =又因为()f x 为偶函数,所以
21.234m m m =--=-,所以4()f x x -=.
(掌握幂函数的概念、单调性、奇偶性) 例2、研究函数12
y x -=的奇偶性、单调性,并作出函数的图像.
解:函数12
y x
-=的定义域为(0,)+∞,值域为(0,)+∞.
(1)奇偶性
因为函数的定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶的函数. (2)单调性
对任意12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <.
可得0<
<
0>>.即12y y >. 所以函数12
y x -=在(0,)+∞上为减函数.
由以上几点分析函数的图像的性质:
由0,0x y >>,可知函数的图像只在第一象限; 由函数非奇非偶,可知图像不对称;
描点作图:
例3、指出23
y x =的定义域、值域、奇偶性、单调性,并作出它的图像.
解:23
y x ==
R ,值域为[0,)+∞.
(1)奇偶性
对任意x R ∈,满足x R -∈,
使得()()f x f x -=
==
所以该函数是偶函数。 (2)单调性
对任意12,[0,)x x ∈+∞,且12x x <.
所以22120x x <<,故有0<
<, 即12y y <.
所以23
y x =在[0,)+∞上为增函数. 同理可得23
y x =在(,0]-∞上为增减数. 描点作图:
在作函数
2
3
y x
=的图像时,可以先描点作出该函数在第一象限内的图像,再由其奇偶性作出对称的另
外一部分图像.
幂函数会具有什么性质?通过回忆函数的性质,函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像从这几个方面入手.
巩固练习:指出函数
7
3
y x
=的定义域、值域、奇偶性、单调性,并作出它的大致图像.
解:定义域:R;
值域:R;
奇偶性:奇;
单调性:增函数
回顾总结
思考:幂函数
q
p
y x
=有哪些性质?(分析幂函数在第一象限内图像的特点)
小结:幂函数图像在第一象限的特点: (1)图像必过(1,1)点; (2)
1q
p
>时,过(0,0)点,且随x 的增大,函数图像向y 轴方向延伸。在第一象限是增函数; (3)
1q
p
=时,图像是直线y=x 。在第一象限内是增函数(在整个定义域内都是增函数); (4)10q
p
>
>时,随x 的增大,函数图像向x 轴方向延伸。在第一象限是增函数; (5)
0q
p
<时,随x 的增大,函数图像与x 轴、y 轴无限接近,但永不相交。在第一象限是减函数.
指数函数
教学目标
1、 理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力。
2、 通过观察图象,分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。
3、 领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现、分析、解决问题的能力。
导入
(一)创设情景
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞分裂的个数y 与x 之间,构成一个函数关系,能写出x 与y 之间的函数关系式吗?
学生回答:y 与x 之间的关系式,可以表示为2x
y =。
问题2:一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。
学生回答:y 与x 之间的关系式,可以表示为0.84x y = (二)导入新课
引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。
设计意图:充实实例,突出底数a 的取值范围,让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数y =2x 、 y =0.84x 分别以01的数为底,加深对定义的感性认识,为顺利引出指数函数定义作铺垫。
知识梳理
1.指数函数
一般地,函数(01)x
y a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量。
注意(1)规定定义域是R 的理由,因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在底数0a >的前提下,x 可以是任意实数。
(2)规定底数01a a >≠且的理由:(以提问为主,让学生回答。)
(3)判断一个函数是否为指数函数的依据:是否是形如(01)x
y a a a =>≠且的函数,其中系数为1;底数
a 为常数且满足01a a >≠且;自变量为x ,而不是x 的函数;定义域为R 。
2、指数函数的图像和性质
1) x y a =(0a >且1a ≠)的定义域为R ,值域为()0,+∞ 2)
x y a =(0a >且1a ≠) 的单调性:
1>a 时,x y a =在R 上为增函数。0,10,1;0,0 1.x x x x a x a x a >>==<<<时;时时
01a <<时,x y a =在R 上是减函数。0,01;0,1;0, 1.x x x x a x a x a ><<==<>时时时
3)
x y a =与x a y -=的图象关于y 轴对称
典例精讲
例1、已知函数2
(2)x
y m m =+-是指数函数,求m 的取值范围。 解析:运用指数函数的定义. (01)x
y a a a =>≠且.
解答:依题得22
2021m m m m +->+-≠且,可得21,m m m m <->≠≠
或 21m m ∴<->或,故m 取值范围是(,2)(1,)-∞-?+∞。
例2、对于任意实数a 的值,函数3
3x y a
-=+的图像恒过定点。
解: 函数3
x y a
-=的图像过定点(3,1),∴函数3
3x y a
-=+的图像过定点(3,4)
,故填(3,4)。 例3、若函数1(0)x
y a m a =+->的图像在第一、三、四象限内,则()。
A 、1a >
B 、10a m ><且
C 、01a <<且0m >
D 、01a <<
解:根据题意可知,只有当1a >时,图像向下移动才可能经过第一、三、四象限,故1a >,又0,0x y =<时,故0
10a m +-<,故0m <,∴选B 例4、如果函数221(0,1)x
x y a
a a a =+->≠且在[1,1]-上的最大值是14,求a 的值。
解:原函数化为2(1)2x y a =+-,当1a >时,因[1,1]x ∈-,得1[,]x a a a -∈,从而2
(1)214,3a a +-==,
同理, 当01a <<时,13a =.所以所求的a 值为133
或.
巩固练习:
1、当0x >时,函数2()(1)x
f x a =-的值总大于1,则实数a 的取值范围是().
A 、1||2a <<
B 、||1a <
C 、||a >、||a <
解:20()(1)x
x f x a >=- 时,的值总大于1,2
11a ∴->,22,||a a ∴>∴>故选C 。
2、函数()(0,1)x
f x a a a =>≠在[1,2]上的最大值比最小值大
2
a
,则a 的值为 解:当1a >时,()x
f x a =在R 上为增函数.
当12x ≤≤时,22
max min (),(),,2x x a a a a a a a ==-=
解得3.2
a = 当01a <<时,()x
f x a =在R 上为减函数.当12x ≤≤时,2
2
max min (),(),2
x
x
a
a a a a a a ==-=
,解得1.2
a =
综上所述,31.22
a =
或 例5、求下列函数的单调区间及值域:
(1)(1)
2
()()
3x x f x +=; (2)求函数()2f x =
解:(1)由2
1
1()(1)()2
4t x x x x =+=+-
得1[,)2x ∈-+∞时()t x 单调递增,而2()()3
t g t =是单调减函数,所以原函数的递减区间是1[,)2x ∈-+∞,递增区间是1(,]2-∞-; 值域是1
43(0,()]2
.
(2)设()t x ==的定义域是(,2][1,)-∞-?-+∞,当(,2]x ∈-
∞-时,()t x 单调递增,又2t
y = 是单调增函数,所以原函数的递增区间是(,2x ∈-∞-.
巩固练习:
1、(★★★)求函数124
x
x y -=的单调区间及值域:
解:211111[()]42224x x x y =
-=--,所以值域是1
[,)4
-+∞;单调减区间是(1]-∞,,单调增区间[1,)+∞. 回顾总结
小结:
1、了解指数函数的概念及函数的图像与性质。(并回顾相关的知识点)
2、会求和指数函数相关的函数的单调区间、定义域与值域。
(让学生在小结中明确本节课的学习内容,强化本节课的学习重点,并为后续学习打下基础。)
(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc
.. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围:基本不等式;考试时间:100 分钟;命题人:聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷(选择题) 评卷人得分 一、选择题 1.化简的结果为() A. 5B.C.﹣D.﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 .函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 , 2] 上的最大值比最小值大3 ,则a的值为 () A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析:结合指数函数的性质,当0 a 1 ,函数为减函数.则当 x 0 时, o 1 ,当 x 2 时,函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ,则1 a , 4 解得 a 2 (负舍) . 2 考点:指数函数的性质. 3.指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数,则 a 的取值范围是() A.a 1 B. a 2 C. 0 a 1 D. 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析:对于指数函数 x 1 时,函数在R上是增函数,当 0 a 1时,y a ,当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知:a 1 1 即, a 2 . 考点:指数函数的性质 . 4.若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数,则m的值为()A.1 B.0 C.1 D.2 【答案】 A Word 完美格式
【解析】 试题分析:由题意,得 2m 3 1 m 1 ,解得 . 考点:幂函数的解析式. 5.若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点,则( ) A . 1 m 2 B . m 1 m 2 或 C . m 2 D . m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析: y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数,则必有 m 2 3m 3 1,得 m 1 1, m 2 2 , 又函数图象不过原点,可知其指数 m 2 0 , m 1 1, m 2 2 均满足满足,故正确选项 为 B. 考点:幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数,说明幂的系数必须为 1,即 可得含有 m 的方程;其次幂函数的图象不过原点,说明指数为负数或者零,即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意, 00 是不存在的, 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6.设 2, 1, 1 ,1,2,3 ,则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 【答案】 C 【解析】 试题分析:因为 a y x 是奇函数,所以 a 应该为奇数,又在 (0, ) 是单调递增的,所 以 a 0 则只能 1,3 .考点:幂函数的性质 . 7.已知函数 ,若 ,则实数 ( ) A . B . C . 2 D . 9 【答案】 C 【解析】因为 , 所以 .
幂函数、指数函数及其性质
第8课 幂函数、指数函数及其性质 【考点导读】 1.了解幂函数的概念,结合函数y x =,2y x =,3 y x =,1 y x =,1 2y x =的图像了解它们 的变化情况; 2.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性; 3.在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 【基础练习】 1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数,则实数a 的取值范围是(1,2). 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左,沿y 轴方向向下平移2个单位,得到()2x f x =的图像,则()f x =222x -+. 3.函数2 20.3 x x y --=的定义域为___R __;单调递增区间1 (,]2 -∞-;值域1 4(0,0.3]. 4.已知函数1()41x f x a =+ +是奇函数,则实数a 的取值1 2 -. 5.要使1 1 () 2 x y m -=+的图像不经过第一象限,则实数m 的取值范围2m ≤-. 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点,则此定点坐标为1(,0)2 . 【范例解析】 例1.比较各组值的大小: (1)0.2 0.4 ,0.20.2 ,0.2 2 , 1.6 2; (2)b a -,b a ,a a ,其中01a b <<<; (3)131()2,1 21 ()3 . 分析:同指不同底利用幂函数的单调性,同底不同指利用指数函数的单调性. 解:(1) 0.20.200.20.40.41<<=,而0.2 1.6122<<, 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<. (2)01a <<且b a b -<<,b a b a a a -∴>>. (3)111 32 2111()()()223 >>. 点评:比较同指不同底可利用幂函数的单调性,同底不同指可利用指数函数的单调性;另注 意通过0,1等数进行间接分类. 例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值;
指数函数对数函数和幂函数知识点归纳
一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况). 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质:
a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+. log log log a a a M M N N =-.
幂函数与指数函数的区别
幂函数与指数函数得区别 1、指数函数:自变量x在指数得位置上,y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0; 当0<a<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量x在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值,图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、y=8^(-0、7)就就是一个具体数值,并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=8),当x=-0、7时,y得值;或者将其瞧成:幂函数y=x^(-0、7)(a=-0、7),当x=8时,y得值。
? 幂函数得性质: 根据图象,幂函数性质归纳如下: (1)所有得幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)当a>0时,幂函数得图象通过原点,并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸;当0<a<1时,幂函数得图象上凸;(3)当a<0时,幂函数得图象在区间(0,+∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。 指出:此时y=x0=1;定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时,函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于x轴得两条射线,但点(0,1)要除外。 思考讨论: (1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? (2)在幂函数y=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时,函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。
指数函数对数函数幂函数练习题大全(答案)
一、选择题(每小题4分,共计40分) 1.下列各式中成立的一项是 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B . 33 39= C .4 343 3 )(y x y x +=+ D .31243)3(-=- 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 9- B .a - C .a 6 D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确... 的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质.doc
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1 .根式 ( 1 )根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 ( 2 ).两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ; | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a (注意 a 必须使 n a 有意义)。 2 .有理数指数幂 ( 1 )幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注: 分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 ( 2 )有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.
幂函数与指数函数及其性质
(一)指数函数的定义 一般地,函数y =a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R 。 将a 如数轴所示分为:a <0,a =0,01五部分进行讨论: (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ,这时 对于等,在实数范围内函数值不 存在; (2)如果a =0,、 (3)(3)如果a =1,y =1x =1,是个常值函数,没有研究的必要; (4)4)如果01即a >0且a ≠1,x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2: 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数
注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 (2)几种常见对数 2(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1log 0a =,②l o g 1a a =,③l o g N a a N =,④l o g N a a N =。 (2)对数的重要公式:
高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)
高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一:幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数,(m∈N),且在(0,+∞)上是减函数,又,则m= A.0B.1C.2D.3 解析:函数在(0,+∞)上是减函数,则有,又,故为偶函数,故m为1.
例3、已知幂函数为偶函数,且在区间上是减函数.(1)求函数的解析式;(2)讨论的奇偶性. ∵幂函数在区间上是减函数,∴,解得,∵,∴.又是偶数,∴,∴. (2),. 当且时,是非奇非偶函数;当且时,是奇函数; 当且时,是偶函数;当且时,奇又是偶函数. 例4、下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系 (1)(A),(2)(F),(3)(E),(4)(C),(5)(D),(6)(B). 变式训练: 1、下列函数是幂函数的是() A.y=2x B.y=2x-1C.y=(x+1)2D.y=
2、下列说法正确的是() A.y=x4是幂函数,也是偶函数B.y=-x3是幂函数,也是减函数 C.是增函数,也是偶函数D.y=x0不是偶函数 3、下列函数中,定义域为R的是() A.y=B.y=C.y=D.y=x-1 4、函数的图象是() A.B.C.D. 5、下列函数中,不是偶函数的是() A.y=-3x2B.y=3x2C.D.y=x2+x-1 6、若f(x)在[-5,5]上是奇函数,且f(3)<f(1),则() A.f(-1)<f(-3)B.f(0)>f(1) C.f(-1)<f(1)D.f(-3)>f(-5) 7、若y=f(x) 是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是()A.(a,-f(a))B.(-a,-f(a)) C.(-a,-f(-a))D.(a,f(-a )) 8、已知,则下列正确的是() A.奇函数,在R上为增函数B.偶函数,在R上为增函数
指数函数对数函数幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数
图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0
幂函数与指数函数
汇贤公学TM·精品讲义 姓名: 年级: 科目: 教师: 日期:
幂函数 教学目标 1.掌握幂函数的概念; 2.掌握幂函数的性质和图像; 3.通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像; 4.熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想. 导入 函数的生活实例: 问题1:如果张红购买了每千克1元的苹果w 千克,那么她需要付的钱数p w =元,这里p 是w 的函数 问题2:如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积是2 S a =,这里S 是a 的函数; 问题3:如果立方体的边长为a ,那么立方体的体积是3 V a =,这里V 是a 的函数; 问题4:如果正方形场地的面积为S ,那么正方形的边长12 a S =,这里a 是S 的函数; 问题5:如果某人t 秒内骑车行进了1千米,那么他骑车的平均速度1 /v t km s -=,这里v 是t 的函数. 若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是: (1)y x =;(2)2 y x =;(3)3 y x =;(4)1 2 y x =;(5)1 y x -=. 这些关系式的共同特征是:都是以自变量x 为底数,指数为常数,自变量x 前的系数为1,只有一项。 由此,引入幂函数的定义. 知识梳理 1.幂函数的定义:一般地,形如k y x =的函数称为幂函数,其中x 是自变量,k 是常数; 2.幂函数的定义域: 若( )* N n n k ∈=,其定义域是一切实数;例如:3 x y =、2 x y =. 若( ) 互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈=,则m n m n x x =,其定义域满足:奇次方根被开方数为实数,偶次方根被开方数为非负数;例如:3 2 3 2x x y = =、434 3x x y ==. 若( )* N n n k ∈-=,则n n x x 1= -;例如:5-=x y 、6 -=x y 若() 互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈-=,则m n m n x x 1=-;例如:3232 1x x y ==-、
第一节 指数与指数函数、幂函数(知识梳理)
第一节指数与指数函数、幂函数 复习目标 学法指导 1.指数函数 (1)指数与指数幂的运算 ①根式的意义. ②分数指数幂的意义. ③无理数指数幂的意义. ④有理数指数幂的运算性质. (2)指数函数及其性质 ①指数函数的概念. ②指数函数的图象. ③指数函数的性质. 了解函数图象的平移与对称变换,体会数学的逼近、数形结合等思想. 2.幂函数(y=x,y=x2,y=x3,y=12x,y=x-1) (1)幂函数的概念. (2)幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 1.明确根式与分数指数幂的意义,能互相转化. 2.有理数指数幂的运算以同底为基本条件. 3.指数函数与幂函数的概念及形式概念,要从解析式的系数、底数、指数、常数等方面去理解与把握其要求. 4.运用指数函数的图象与性质能解决幂值的大小比较、指数不等式的求解、参数的取值范围的确定等问题.
一、根式与指数幂 1.根式 n 次 方 根 如果x n =a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,n ∈N * 当n 是奇数时,a 的n 次方根x= n a 当n 是偶数时,正数a 的n 次方根x=± n a (a>0);负数的偶次方 根没有意义 0的任何次方根都是0,记作0n =0 式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数 当n 为任意正整数时,(n a )n =a 当n 为奇数时,n n a =a 当n 为偶数时, n n a =|a|=(0) (0) a a a a ≥?? - 2.有理数指数幂 正分数指数幂:m n a =n m a a>0,m,n ∈N *,且 n>1 负分数指数幂:m n a -= 1m n a = 1n m a 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义 a r ·a s =a r+s a>0,b>0, r,s ∈Q (a r )s =a rs (ab)r =a r b r 3.无理数指数幂
高中数学 幂函数指数函数与对数函数(经典练习题)
高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习 题) 高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一:幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数,(m∈N),且在(0,+∞)上是减函数,又,则m= A.0 B.1 C.2 D.3 解析:函数在(0,+∞)上是减函数,则有 又,故为偶函数,故m为1., 例3、已知幂函数为偶函数,且在区间上是减函数. (1)求函数的解析式; (2)讨论的奇偶性.∵幂函数在区间
∴.又上是减函数,∴是偶数,∴,∴,解得.,∵, (2),. 当且时,是非奇非偶函数;当且时,是奇函数;当且时,是偶函数;当且时,奇又是偶函数. 例4、 下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系 (1) 变式训练: (A),(2)(F),(3)(E),(4)(C),(5)(D),(6)(B). 1、下列函数是幂函数的是() A.y=2x B.y=2x-1 C.y=(x+1)2 D.y= 2、下列说法正确的是() A.y=x4是幂函数,也是偶函数 B.y=-x3是幂函数,也是减函数 是增函数,也是偶函数 D.y=x0不是偶函数 C. 3、下列函数中,定义域为R的是() A.y= B.y= C.y= D.y=x1 - 4、函数的图象是() A.B.C.D.
5、下列函数中,不是偶函数的是() A.y=-3x2 B.y=3x2 C. 6、若f(x)在[-5,5]上是奇函数,且f(3)<f(1),则() D.y=x2+x-1 A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1) C.f(-1)<f(1) D.f(-3)> f(-5) 7、若 y=f(x) 是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是 () A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a)) C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a )) 8、已知,则下列正确的是() A.奇函数,在R上为增函数 B.偶函数,在R上为增函数 C.奇函数,在R上为减函数 D.偶函数,在R上为减函数 9、若函数f(x)=x2+ax是偶函数,则实数a=() A.-2 B.-1 C.0 D.1 10、已知f(x)为奇函数,定义域为,又f(x)在区间上为增函数,且 f(-1)=0,则满足f(x)>0的的取值范围是() A. B.(0,1) C. D. 11、若幂函数的图象过点,则_____________. 12、函数的定义域是_____________. 13、若,则实数a的取值范围是_____________.
幂函数与指数函数的区别
幂函数与指数函数的区别 1.指数函数:自变量x在指数的位置上,y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数是递增函数,且y>0; 当00. 2.幂函数:自变量x在底数的位置上,y=x^a(a不等于1). a不等于1,但可正可负,取不同的值,图像及性质是不一样的。 高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时,函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。
3.y=8^(-0.7)是一个具体数值,并不是函数,如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成:指数函数y=8^x(a=8),当x=-0.7时,y 的值;或者将其看成:幂函数y=x^(-0.7)(a=-0.7),当x=8时,y的值。 幂函数的性质: 根据图象,幂函数性质归纳如下: (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)当a>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+ ∞)上是增函数.特别地,当a>1时,幂函数的图象下凸;当0 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。 指出:此时y=x0=1;定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时,函数的值均为1,图像是从点(0,1)出发,平行于x 轴的两条射线,但点(0,1)要除外。 思考讨论: (1)在幂函数y=xa中,当a是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质?(2)在幂函数y=xa中,当a是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a是正偶数时,函数都是偶函数,在第一象限内是增函数。 对数函数的性质 (1)当a>1时, ①x >0,即0和负数无对数; ②当x=1时,y=0; ③当x >1时,y>0;当0<x <1时,y <0; ④在(0,+∞)上是增函数. (2)当0<a<1时, ①x >0,即0和负数没有对数; ②当x=1时,y=0; ③当x >1时,y <0;当0<x <1时,y >0; ④在(0,+∞)上是减函数. (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 指数、对数、幂函数知识归纳 知识要点梳理 知识点一:指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中 当为奇数时,正数的次方根为正数,负数的次方根是负数,表示为;当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0. 式子叫做根式,叫做根指数,叫做被开方数. 2.n次方根的性质: (1)当为奇数时,;当为偶数时, (2) 3.分数指数幂的意义: ; 注意:0的正分数指数幂等与0,负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质: (1) (2) (3) 知识点二:指数函数及其性质 1.指数函数概念:一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为. 2. 函数 图象过定点,即当时, 变化对图象的影在第一象限内,从逆时针方向看图象, 看图象, 知识点三:对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若,则叫做以为底的对数,记作,叫做底数,叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化:. 2.几个重要的对数恒等式:,,. 3.常用对数与自然对数:常用对数:,即;自然对数:,即(其中…). 4.对数的运算性质 如果,那么①加法: ②减法:③数乘:④ ⑤⑥换底公式: 知识点四:对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域. 2. 且 图象过定点,即当时, 上是增函数上是减函数 变化对图在第一象限内,从顺时针方向看图象, 看图象, 1.反函数的概念 设函数的定义域为,值域为,从式子中解出,得式子.如果对于在中的任何一个值,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子表示是的函数, 函数叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成. 2.反函数的性质 (1)原函数与反函数的图象关于直线对称. (2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. (3)若在原函数的图象上,则在反函数的图象上. (4)一般地,函数要有反函数则它必须为单调函数. 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数 的情况).3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 第一讲指数函数 一、创设情境,形成概念 细胞分裂次数:1次2次3次……x次 所得细胞的个数:2个4个=22个8个=23个……y=2x个 形如y=a x(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数,其中x为自变量,定义域为R 例1、下列函数中,哪些是指数函数? (1) y=4x(2) y=x4(3) y=-4x(4) y=4x+1 二、实践操作,探求新知 动手画一画下列函数的图像: (1) y=2x(2) y=(1/2)x(3) y=3x(4) (1/3)x 图像分布在一、二象限,与轴相交,落在x轴的上方。 三、深入探究,加深理解 引导学生观察图像,发现图像与底的关系 四、当堂训练,共同提高 第二讲幂函数 一、创设情境,形成概念 我们先来看看几个具体的问题: (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付__________ (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积_____ (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积_________ (4)如果某人t s内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度____________ 以上问题中的函数有什么共同特征? (1)都是函数;(2)均是以自变量为底的幂; (3)指数为常数;(4)自变量前的系数为1; (5)幂前的系数也为1。 上述问题中涉及的函数,都是形如y=x a的函数。 1、幂函数的定义:形如y = x a 的函数叫做幂函数,其中a 是常数且a ∈R 。 2、幂函数的定义域:使x a有意义的实数的集合。 二、实践操作,探求新知 动手画一画下列函数的图像: (1)y=x (2) y=x2(3) y=x3(4) y= =x1/2(5) y=x-1 幂函数与指数函数的区别 1、指数函数:自变量x在指数的位置上,y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就是递增函数,且y>0; 当00、 2、幂函数:自变量x在底数的位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同的值,图像及性质就是不一样的。 高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时,函数就是过原点的二次函数。其她a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。 3、y=8^(-0、7)就是一个具体数值,并不就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就是可以的。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=8),当x=-0、7时,y的值;或者将其瞧成:幂函数y=x^(-0、7)(a=-0、7),当x=8时,y的值。 幂函数的性质: 根据图象,幂函数性质归纳如下: (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点 (1,1); (2)当a>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+ ∞)上就是增函数. 特别地,当a>1时,幂函数的图象下凸;当0指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点总结
高一数学指数函数对数函数幂函数知识归纳
指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
指数函数幂函数(精华版)
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