专题三第3讲课时训练提能

专题三 第3讲 推理与证明

课时训练提能

[限时45分钟，满分75分]

一、选择题(每小题4分，共24分)

1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，

c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是

A ．假设a 、b 、c 都是偶数

B ．假设a 、b 、c 都不是偶数

C ．假设a 、b 、c 至多有一个是偶数

D ．假设a 、b 、c 至多有两个是偶数

解析 至少有一个的否定是一个也没有，即a ，b ，c 都不是偶数． 答案 B

2．(2012·济南模拟)在实数的原有运算法则(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2.则当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于

A ．－1

B ．1

C ．6

D ．12

解析 易知f (x )＝???

x －2， －2≤x ≤1，

x 3

－2， 1＜x ≤2，∴当x ＝2时，f (x )的最大值为23－2＝6.

答案 C

3．(2012·厦门模拟)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根

据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5＝

A．2 018×2 012 B．2 018×2 011 C．1 009×2 012 D．1 009×2 011解析观察可知a2 012＝2＋3＋4＋…＋2 014

＝1

2

×2 013×(2＋2 014)＝2 013×1 008，

∴a2 012－5＝2 013×1 008－5＝1 009×2 011.

答案D

4．(2012·枣庄模拟)22 012个位上的数字为

A．2 B．4

C．6 D．8

解析由21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，

观察可知，24k的个位数为6,24k＋1的个位数为2,24k＋2的个位数为4,24k＋3的个数为8，k∈N，∴22 012＝24×503的个位数为6.

答案C

5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①由“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；

②由“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；

③由“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；

④由“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”．

以上结论正确的是

A．①③B．①②

C．②③D．②④

解析因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|，所以④错误．故选B.

答案B

6．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一

个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a2

4

.类比到空间，有两个棱长均

为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为

A.a3

16

B.

a3

8

C.a3

4

D.

a3

2

解析由平面类比到空间，将面积和体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒

为a3

8

，所以选B.

答案B

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．(2012·烟台一模)若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.若x2－1比1

远离0，则x的取值范围是________．

解析据题意知|x2－1－0|＞|1－0|，即|x2－1|＞1，∴x2－1＞1或x2－1＜－1，

解得x＜－2或x＞ 2.

答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)

8．(2012·苏州模拟)观察下列等式：

1＝1

1＋2＝3

1＋2＋3＝6

1＋2＋3＋4＝10

1＋2＋3＋4＋5＝15

…

13

＝1 13＋23＝9 13＋23＋33＝36 13＋23＋33＋43＝100 13＋23＋33＋43＋53＝225 …

可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N ＋，用含有n 的代数式表示)． 解析 由数表知13

＋23

＋33

＋…＋n 3

＝(1＋2＋…＋n )3

＝?

?

??

??n

n ＋12

2＝n 2n ＋12

4

.

答案

n 2n ＋1

2

4

9．(2012·昆明模拟)设f (x )＝ax ＋b ，其中a ，b 为实数，f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，

n ＝1,2,3，…，若f 7(x )＝128x ＋381，则a ＋b ＝________.

解析 由递推式可得f 2(x )＝a 2x ＋ab ＋b ，

f 3(x )＝a 3x ＋a 2b ＋ab ＋b ， f 4(x )＝a 4x ＋a 3b ＋a 2b ＋ab ＋b ，… f 7(x )＝a 7x ＋a 6b ＋…＋ab ＋b ＝128x ＋38， ∴a 7＝128，∴a ＝2，

(a 6b ＋a 5b ＋…＋ab ＋b )＝b (1＋a ＋…＋a 6)

＝b ×1－27

1－2＝127 b ＝381，

∴b ＝3. 故a ＋b ＝5. 答案 5

三、解答题(每小题12分，共36分)

10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋? ????

1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a 、b 、c 为何值时，

等号成立．

证明 因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得

a 2＋

b 2≥2ab ，b 2＋

c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 所以a 2

＋b 2

＋c 2

≥ab ＋bc ＋ac ，①

同理1

a 2＋1

b 2＋1

c 2≥

1

ab ＋1

bc ＋1

ac

，②

故a 2

＋b 2

＋c 2

＋?

??

??1a ＋1b ＋1c 2

≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立．

当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立；

当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．

即当且仅当a ＝b ＝c ＝1

4

3时，原式等号成立．

11．已知函数f (x )＝a x ＋

x －2

x ＋1

(a ＞1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明f (x )＝0没有负根．

证明 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1＜x 2， 则x 2－x 1＞0，21

>1 x x a -，且1x a ＞0.

所以21

>1 x x a

-＝1x a (21x x a -－1)＞0.

又因为x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，

所以

x 2－2x 2＋1－x 1－2

x 1＋1 ＝x 2－2

x 1＋1－x 1－2x 2＋1

x 2＋1x 1＋1

＝

3x 2－x 1

x 2＋1x 1＋1

＞0，

于是f (x 2)－f (x 1)＝2

1x x a

a -＋

x 2－2x 2＋1－x 1－2

x 1＋1

＞0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)假设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－

x 0－2

x 0＋1

， 又0＜0

x a ＜1，所以0＜－x 0－2

x 0＋1

＜1，

即1

2

＜x0＜2，

与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾，

故f(x0)＝0没有负根．

12．某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.

(1)写出这个数列的前五项；

(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．

解析(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，

∴a2＝22，a1·a2·a3＝32，∴a3＝32 22；

同理，可得a4＝42

32

，a5＝

52

42

.

因此这个数列的前五项为1,22，32

22

，

42

32

，

52

42

.

(2)观察这个数列的前五项，猜测这个数列的通项公式应为

a n ＝

?

?

?1，n＝1，

n2

n－12

，n≥2.

下面用数学归纳法加以证明当n≥2时，a n＝

n2

n－12

.

①当n＝2时，a2＝

22

2－12

＝22，等式成立．

②假设当n ＝k ，k ≥2时，结论成立．

即a k ＝

k 2k －1

2

.

因为a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，

a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，

所以a k ＋1＝

k ＋1

2

a 1·a 2·…·a k －1

·a k ＝k ＋12

k －1

2·

k －1

2

k 2

＝

k ＋12

k 2

＝

k ＋12

[

k ＋1－1]2

.

这就是说n ＝k ＋1时，结论也成立．

根据①、②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝

n 2n －1

2

，

所以a n

＝???

1，

n ＝1，

n

2

n －1

2

， n ≥2.