2018年广州市一模理科数学真题(word版+答案)

2018届广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）（2018-3）

本试卷共5页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，

并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()2

1i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =

A ．2-

B ．2

C ．2i -

D ．2i

2．设集合301x A x

x ?+?

=

，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥

A ．

B A

B ．B A

C ．()()B C A C R R

D ．()()B C A C R R

3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位 同学不相邻的概率为

A ．

45

B ．

35

C ．

25

D ．

15

4．执行如图所示的程序框图，则输出的S =

A ．

920

B ．

49

C ．

29 D ．940

5．已知3sin 45x π??-

= ??

?，则cos 4x π?

?+= ??

? A ．

45

B ．

35

C ．45-

D ．35

-

6．已知二项式212n

x x ?

?- ??

?的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数

是 A ．84-

B ．14-

C ．14

D ．84

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A

．4+

B

．14+C

．10+

D ．4

8．若x ，y 满足约束条件20,

210,10,x y y x -+??-??-?

≥≥≤ 则22

2z x x y =++的最小值为

A ．

12

B ．

14

C ．12

-

D ．34

-

9．已知函数()sin 6f x x ωπ??=+

???()0ω>在区间43π2π??

-????

，上单调递增，则ω的取值范围为 A ．80,3

?

? ??

?

B ．10,2

?? ??

?

C ．18,23

??????

D ．3,28

??????

10．已知函数()3

2

2

f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为

A ．()3,3-

B ．()11,4-

C ．()4,11-

D ．()3,3-或()4,11-

11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，52

=

，双曲线

过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为

A

B ．

C ．3

D

12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()2

2f x f x x +-=，

当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．1

2

-

B ．1-

C ．32

-

D ．2-

D

C A

B

E

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = ． 14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，

1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为 ．

15．△ABC 的内角A ，B ，

C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=， 则cos θ的值为 ．

系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考

题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ??

????

是首项为1，公差为2的等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足()121215452n

n n a a

a

n b b b ??

++

+=-+ ???

，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 图②

图①

某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：

对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；

（2）某同学认为，2

y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回

归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为

145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？

附：回归方程x b a y

???+=中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()

()

∑∑==---=n

i i

n

i i i

x x

y y x x

b 1

2

1

?，

x b y a

??-=.

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，?=∠120BCD ，

2CB CD CS ===，?=∠90BSD ．

（1）求证：AC ⊥平面SBD ；

（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．

D

C

B

A S

已知圆(2

216x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，

点)

N

，点G

在线段MP 上，且满足()()

GP GN GP GN -⊥+． （1）求点G 的轨迹C 的方程；

（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()x f 零点的个数；

（2）对任意的0>x ，()2e x

f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知过点(),0P m 的直线l

的参数方程是,21,2x m y t ?=+????=??（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．

（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ?=，求实数m 的值．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()f x =23x a x b ++-．

（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；

（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．

数学（理科）参考答案