高等代数与解析几何复习题
高等代数与解析几何复习题
第一章 矩阵
一、 填空题
1.矩阵
A 与
B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。
2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ??==又()ij m n AB c ?=，问ij c = 。
3.设
A 与
B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,
()()A B A B +-= 。
4.设矩阵1234A ??
=
???
,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）
5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)T
Y =-,201013122A -??
?= ? ?-??
,计算XAY = 。
6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T α
β==，则αβ= ，βα= 。 7.设矩阵2003A ??=
???
，则100
A = 。
8.设矩阵200012035A ?? ?= ? ???
，则1
A -= 。
9.设准对角矩阵1
200A A A ??
=
???
,()f x 是多项式，则()f A = 。 10.设矩阵123456789A ?? ?
= ? ???
，则A 的秩()R A = 。
11.设*
A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。
12.设*
A 是矩阵
A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A ==
13.矩阵123235471A ?? ?=- ? ???
的秩为__________，A 的伴随矩阵*
A = 。
14.设
A 是3阶可逆方阵，
B 是34?矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
15.设102040203A ?? ?
= ? ???
，B 是34?矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
16.试写出n 阶方阵
A 可逆的几个充分必要条件（越多越好）
。
17.设矩阵123235471A ??
?
=- ? ???
，
试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式 ，A 中第三行
元素的代数余子式之和= 。
18.设B 是34?矩阵且()2R B =，则B 的等价标准形为 。 19.设()m n R A n ?=，则
A 的等价标准形为 。
20.设1211A ??=
???
，2
()2f x x =+，则()f A = 。 21.设120120135225A -?? ?
= ? ???，则A 的等价标准形为 。
22.设12003
40000340
05
7A ?? ?
?= ? ???
，则1
A -= 。 23.
000000
000000
a b c d = 。 24.已知矩阵
A 满足2230A A E +-=，则1A -= 。 25.设n 阶矩阵
A 可逆，则*A = 。
26.试写出矩阵秩的定义 。 27.试写出n 阶行列式按第一列展开的定义 。 28.已知四阶行列式
D
中第三列元素依次为
1,2,0,1-，它们的代数余子式依次分别为
5,3,7,4---，则D =_______。
29.已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1
,则=-C A C m 1 (m 是整数)。
30.设D C B A ,,,均为n 阶方阵，且E ABCD =，则________________)()(=T T DA BC 。
31.设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则______________)(=T T CA B 。
32.若
A ，
B 都是n 阶方阵，1=A ，3-=B ，则_____________31*=-B A 。
33.设矩阵123200749A -??
?=- ? ???
, 则 A -=1
______________。
34.设
12130114
23412130
A =
--,则31323334A A A A +++= ,
31323334M M M M +++= , 3132333423A A A A +++= 。
35. 10n
λλ??= ??? , cos sin sin cos n
ααα
α-??
=
???
。
36.设3阶方阵
A 的第一行和第三行交换后得矩阵
B ,B 的第一行的2倍加到第二行得矩阵
C ,于是存在
矩阵P 使得PA C =,则P = 。
37.以3阶方阵为例，写出三类初等矩阵及其逆矩阵
。
38.已知准对角矩阵12A O A O A ??=
???
可逆，则1
A -= 。 39.已知矩阵,A
B 的秩分别为2,1，则分块矩阵A O O B ??
???
的秩= 。
二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）
1.设矩阵,A B 满足
AB O =，则A O =或B O =。
2. 矩阵乘法适合交换律。
3.设,A B 是n 阶方阵，则2
2222()2,()()A B A AB B A B A B A B +=++-=+-。
4.设
,,A B C 是同阶方阵，若AB AC =，则B C =。(若A 可逆，该结论如何？)
5.设12,αα是方程组
AX β=的解，则12αα+是AX β=的解，12αα-是0AX =的解。
6.设12,αα是线性方程组0AX =的解，则12αα+是0AX =的解。
7.设12,αα是线性方程组
AX β=的解，则12(1)k k αα+-是AX β=的解，k 是任意常数。
8.矩阵010100001?? ? ? ???可逆，且其逆为其本身。类似有100030001?? ? ? ???，102010001?? ?
? ???
同样问题。
9.设
A 是n 阶矩阵，则kA k A =。
10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零） 11.若方阵
A 可逆，则其伴随矩阵*A 也可逆。 12.n 阶方阵A 满足220A A E --=，则E A -可逆。
13.若2
0A
=，则必有0A =。 14.设A 是n 阶方阵， 且0A a =≠， 则 *11
A A a
=
=。 15.方阵A 满足A A =2，则E A =或0=A 。
16.设
A ,
B 都是n 阶方阵,若A ,B 都可逆,则B A +可逆。
17.若矩阵A 的秩为r ，则A 中必有某一个1r -阶子式不等于零。
18.若n 阶方阵
A 的秩()1R A n <-，则其伴随阵*0A =。19.设A 是n 阶方阵，则1
*n A A
-=。
20.方阵的初等变换不改变矩阵的秩，也不改变行列式的值。 21. 设A ,B 都是n 阶方阵,若A ,B 都可逆,则AB 可逆，且其逆为11A B --。
22.设
A ,
B 都是n 阶方阵,则A B A B
+=+。
三、解答题
1.求
325110*********
4
A =
---，
1213011423412130--，
01
111
23023411241-，
21111
21111211112
。
2.求a
b a b D
b a b
a a b
a
b
+=++。
3.已知矩阵???? ??-=311412A ，?
???
? ??--=131210131B ，计算AB ,T
AB AB -。
4.设3阶方阵
A 的伴随矩阵为*A ，且2
1=
A ，求*
--A A 2)4(1。
5.已知10102
12000101
11
1A ?? ?
?= ? ???
，求逆阵1
A -。
6.设1213
10102A -?? ?
= ? ?--??
,试用矩阵初等行变换法求A 的逆矩阵. 7. 设11101111101111,0020001000
2001A B --???? ? ?-- ?
?== ? ?- ? ? ? ?-?
???
。试用矩阵分块方法求,T B AB 。 8.用两种方法求下列矩阵的逆
012211234,001479100A B ????
? ?== ? ? ? ?????
.
9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积
11121321
22
2331
32
33100100111001020010010001001a a a a a a a a a ???????? ??????? ??????? ???????????????
10.写出下列矩阵的等价标准形
21111121,46223743--?? ?-
? ?-- ? ?--??1
3
21311011111021
31
20??
?-- ? ? ? ?-??
，111111112k k k ?? ?
? ?
??（对k 讨论）
11.设矩阵1112312536A λμ-??
?
=- ? ???
的秩为2，求λ，μ。
12.求解线性方程组（1）12312312
323231249
x x x x x x x x x +-=-??+-=-??--=-?；（2）12341234
1234123422
2225
234237517
x x x x x x x x x x x x x x x x -++=-??+--=??-++=-??+-+=?。
13.设100111A ??=
?-??，124142B -??= ?
-??
，求T B A 。
14.设
A 是n 阶方阵,且2=A ,求*
--A A 231,其中*
A 是A 的伴随矩阵。
15.设矩阵1(1,1,1),21A B ??
?=-= ? ???
.多项式42()1f x x x x =-++，求,()n
AB BA 及()f BA 。
16.设A 是m n ?矩阵，将A 按列分块计算,T T AA A A 。
17.设n 阶方阵A 满足234A A E O ++=,证明A E +可逆，并求其逆。
18.设4阶矩阵
1231(,,,)A αααβ=,1223(,,,)
B ααβα=，且
2,6A B ==,求行列式
321112,,,C ααααββ=++。
19.求矩阵方程AX B =,其中21323113,1321493A B --????
? ?
=-=- ? ? ? ?---????
。 20.求n 级行列式a
b b b b
a b b D b
b
a
b
b b b a
=
的值.
21.设A=1222
22222222322222122222n n ?? ? ? ?
? ? ?
- ? ??
?
，求A 的行列式.
22.求行列式21231210001000
01
n n n n
n n h hx
h hx hx h D hx hx hx h hx hx hx hx h
-------=
-
的值.
23.计算行列式
11
12
121
2221
2n
n n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------
.
四、课程讲义习题一中如下题目：
2,14,17(2),21,23,27,28,29,30,31,32,33,34,35,37,38,39,41,42,43,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,6,66,69.
第二章 线性方程组
一、 填空题
1.试写出线性方程组AX β
=有解的一个充分必要条件 。
2.设
A 是n 阶方阵，且秩()A r n =<，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含 个解向量。
3.方程组1234123423320
7230
x x x x x x x x -+-=??
-++=?的基础解系中含 个解向量。
4.设12,αα是(3)n n ≥元齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则秩(A )= 。
5.矩阵n m A ?的秩为r ，则
0=AX 的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。
6.若方程组1231001110020x x x λλ-????????????--=??????
??????-??????
有非零解，则 0 λλ==或。
7.设
A 是n 阶方阵,若线性方程组0=AX 有非零解,则必有=A 。
8.设
A 是n 阶方阵,()2-=n A R ,则线性方程组0=AX 的基础解系所含向量的个数是 。
9.1(1,3,5)α=, 2(1,1,3)α=, 3(1,,6)a α=线性相关 ,则a 的值为__________。
10.若向量 (2,3,1,0,1)-与 (4,6,2,,2)a ---线性相关，则a 的取值为 。 11.设向量组1
(1,2,3)α=，2(2,1,3)α=，
3(1,1,0)α=-,则向量组123,,ααα的秩是 。 12.设向量组I ：αα1,, r 的秩为p ， 向量组II ：ββ1,, s 秩为q ， 且向量组I 能由向量组II 线
性表出，则
p 与q 的大小关系是_________________。
13.设向量组 I:αα1,, s 线性无关，而ββ12, 都能由I 线性表出，则秩(ααββ112,,,, s )= 。
14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 。
15.一个向量线性相关的充分必要条件为 。 16.两个非零向量线性相关的充分必要条件为 。 17. 设n 阶方阵A 满足2A A =,则()()R A R A E +-= 。 18. 设n 阶方阵
A 满足2A E =,则()()R A E R A E ++-= 。
二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）
1.n 元线性方程组(0)Ax b b =≠当()R A n <时有无穷多解。
2.设A 是n 阶方阵,若方程组b AX =满足),()(b A R A R =,则b AX =有唯一解。
3.对于线性方程组Ax b = (这里A 为n 阶方阵)，如果该方程组有解，则必有 ()R A n =。
4.3维向量组1234,,,αααα必线性相关。进一步，若m n <，则m 维向量组1,,n αα 必线性相关。
5.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。
6.如果向量组12,,,s ααα 线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。
7.包含零向量的向量组是线性相关的。
8.n 维向量组s ααα,,,21 与n 维向量组s βββ,,,21 秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。 9.若两个非零向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。 10.设向量组12(0,1,3),(1,2,3)T T αα==,向量组12(1,3,6),(1,1,1)T T ββ==，
则这两个向量组等价。
11.线性方程组0AX
=必有基础解系。
三、解答题
1.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系。
(1) ????
???
-
=+--=+--=-+-21
2201
432143214321x x x x x x x x x x x x ；(2) ?????=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ；(3) 12412341232613x x x x x x x x x x +-=-??-+-=??---=?
2.求齐次线性方程组???
??=+--=-+-=+--0
32030
4321
43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解。
3.已知线性方程组12341234
123412341
35335351112x x x x x x x x x x x x x x x x k
+++=??+++=??--+=??--+=?，求k ，使得上述方程组有解，并求出所有的解。
4.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。
(1) ???
??-=++-=++-=++2
23
321
321321x x x x x x x x x λλλλ；(2)
12312313210
x x x u
x x x x vx ++=??
+-=??+=?；(3) 1312313
1
1ux x x ux x x x v +=??
++=??+=? 5.判别方程组123412341
2344750248602430
x x x x x x x x x x x x +-+=??
--+=??-++-=? 是否有非零解,如果存在非零解，请写出方程组的通解.
6.讨论方程组1231231
234324
ax x x x bx x x bx x ++=??
++=??++=?当,a b 取何值时: (1)方程组无解？(2)方程组有唯一解？ (3)方程组
有无穷多解？并在有解时求出全部解.
7.讨论方程组123123212
31,
,,
kx x x x kx x k x x kx k ++=??
++=??++=?当k 取何值时: (1)无解？(2)有唯一解？(3)有无穷多解？
8.设线性方程组为???
??=+-+=+-+=++-λ
4321
43214321x 11x 4x 7x 2x 4x x 2x 1
x x x x 2， （1）λ为何值时，方程组有解；
（2）在有解时求方程组的一个特解及导出组的基础解系； （3）用特解及基础解系表示方程组的一般解.
9.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示： (1)
()()()
0,1,1,1,1,2,1,0,1T T T
--；
(2) ()()()()3,3,1,2,0,1,1,2,3,2,0,0,1,1,1,1T
T
T
T
；
(3) ()11,1,2,1T
α=-，()21,2,1,5T
α=--，()31,1,0,3T
α=--，()43,1,2,5T
α=---。
(4) ()
1
1,0,1,2T
α=，()
2
2,4,0,3T
α=，()
3
3,4,3,5T
α=-- ， ()
4
1,2,2,1T
α=---，
()52,10,1,0T
α=-
10.判断下列向量组的等价性： (1)
()()()1231,0,1,0,1,0,1,1,1T T T ααα===与()()121,1,1,1,0,0T T
ββ=-=。
11.设矩阵2111
21121
4462243697
9A --??
?-
?
= ?--
?-??
，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并将不属于最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示。
12.设)0,1,(),2,2,(),3,1,6(321
a a a =-=+=ααα，求a 为何值时，
（1）321,,ααα线性相关？（2）321,,ααα线性无关？
四、课程讲义习题二中如下题目：2,3,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,18,25,26,27.
第三章 空间、直线与平面
一、 填空题
1.在y 轴上与点()A
1,-3,7和()B 5,7,-5等距离的点是 ．
2.在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是为 ．
3.平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角θ= ．
4.设点A 位于第I
卦限，向径OA
与
x 轴，y
轴的夹角依次为π3和π
4
，且OA 6= ，则点
A 的坐标
为 ．
5.设{}=-122,,，{}=-114,,，则夹角(,)a b ∠
=_______. 6.设}3,1,1{},2,1,0{--==b a
，则同时垂直于a 和b 的单位向量为
.
7.设向量a 与}2,1,2{-=b 平行，18-=?b a
，则a ＝ .
8.直线
1
1
39412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 . 9.设向量}{
k ,1- , 1=a
与向量 }{ 2 ,4 , 2=b 垂直，则k =_____________． 10.过点)3,1,2(-且垂直于直线
1
1
211-+==-z y x 的平面方程为 ． 11.已知线段AB 的一个端点A(2,0,2)和中点M(5,-2,0),则另一个端点B 的坐标为__________； 12.已知线段AB 被点C(2,0,2)和(5,2,0)D -三等分，则
A 的坐标为 ，
B 的坐标
为 ； 13.通过点
(2,3,5)
M --且与平面
6220
x y z +++=平行的平面的方程为
________________________；
14.设点(3,0,1)A -与(2,5,1)B -，则过点A 且与AB 垂直的平面方程为________________________； 15.通过点(3,0,1)A -与(2,5,1)B -的直线的方程为________________________； 16.通过点
(2,3,
M --且与平面
6352x y z --+=垂
直的直线的方程为
________________________；
二、解答题
1.求过点
()2,0,3-且与直线x -2y 4z -7=0
3x 5y -2z 1=0+??
++?
垂直的平面方程．
2.求过点)0,4,2(0M 且与直线 ??
?=--=-+0
230
17:1
x y z x l 平行的直线方程． 3.一平面过点()1,0,1-且平行于向量()a 2,1,1=
和()b 1,1,0=- ，试求此平面方程．
4.求通过点P （1，2，3）且垂直于两平面012, 02=++-=-+z y x z y x 的平面方程。
5.求过点
()3,1,2-且与直线
53521
x y z
-+==重合的平面方程． 6.求过点)2,0,1(0-M 且与平面0643:=+-+z y x π平行，又与直线1
4213:
1z
y x L =+=-垂
直的直线l 的方程．
7.求平行于x 轴，且过点)2,1,3(-M 及)0,1,0(N 的平面方程．
8.求过点)2,0,1(0-M 且与平面06
43=+-+z y x 平行，又与直线1
4213:
z y x L =+=- 垂直的直线方程．
9.求过点)3,1,0(-且与平面0122:=--+z y x π垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.
10.验证两直线12z 25y 1x :
L 1
-=-=与1
2
z 14y 32x :L 2-=-=-相交，并求出它们所在的平面方程．
11．求过点
()2,1,3且与直线
11321
x y z
+-==-垂直相交的直线的方程． 12.求过点A(1,1-1),B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程． 13.证明：l x y z y z 1
010:++=++=???与l x z x y 21010:++=++=???
垂直． 14. 已知线段AB 被点C(2,0,2), D(4,3,0)三等分, 求端点A ，B 的坐标.． 15. 已知2a =，4b =，(,)3
a b π
∠=
，
3p a b =-，12q a b λ=+，问λ取何值时p 与q 正
交.
16. 用向量方法证明： (1) 三角形余弦定理: 2
222cos a
b c bc A =+-.
(2) 平行四边行为菱行的充要条件是对角线垂直.
17. 已知平行四边行以a(2,1,0), b(1,1,3)为两边，求它的各边长、各内角， 求它的两对角线长与夹角.
18. 已知点A(5,1,1), B(0,2,1), C(1,0,-1)， 求(1)三角形ABC 各边长，(2) 各内角，(3) 面积， (4) 各边上高的长，(5) 角平分线的长.
19. 求以a(2,3,1), b(5,6,4)为边的平行四边形面积.
20. 判定以下向量是否共面？ 若不共面，求出以它们为邻边的平行六面体的体积及表面积. (1) a(3,4,5), b(1,2,2), c(0,2,0).
(2) a(1,1,3), b(-3,-1, 2), c(-7, -1, 12).
21. 已知A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17), 求四面体ABCD 的体积.
22. 设下列平面的平面方程、法向量、及与三轴交点坐标. (1) 过点M(2,1,1), N(0,1,2)，F(0,0,3); (2) 过点M(2,1,1), N(0,1,2)，且平行于x-轴; (3) 与平面2x+y+z+1=0垂直，且x-轴在该平面上; (4) 点P(1,1,1)在该平面上的垂足为Q(3,-1,2); (5) 过点M(1,1,0), N(3,0,4)且垂直于平面x-2y+3z=0; (6) 过点M(1,1,0)及直线112
213
x y z --+==-.
23. 求下列直线方程.
(1) 过点P(0,2,4)且与两平面x+2z-1=0及y-3z-2=0都平行; (2) 过点P(1,2,1)且与下面两直线都都相交
x 2y z 10x y z 10+-+=??-+-=?及, 2x y z 0x 2y z 0-+=??
-+=?
; (3) 过点P(3,-1,2)且与直线2x y z 0
x y z 0
-+=??
-+=?平行.
(4) 直线x 4y 240
3y z 170+-=??+-=?
在平面2x+2y+z-11=0上的投影直线.
24. 设两直线
1112:
213x y z l --+==-，213
:223
x y z l --==. (1) 判定12,l l 的位置关系. (2) 求12,l l 夹角.
(3) 求过点P(1,1,1)且与12,l l 都有交点的直线方程. (4) 求12,l l 的距离.
(5) 求12,l l 的公垂线方程
25．设三角形顶点为(0,7,0),(2,1,1),(2,2,2)A B C --,求平行于ABC ?所在平面与它相距为2个单位的平面方程.
26．求过点(1,5,1)M -和(3,2,2)N -且垂直于坐标平面xOy 的平面的方程. 27．与平面5230x y z +
-+=垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面的方程.
28．求通过点(4,0,1)P -且与两直线1
22
x y z x y z ++=??--=? 与 3244x y z x y z --=??+-=? 都相交的直线的方程.
29．求过点(1,0,2)P -而与平面3210x y z -+-=平行,且与直线
13421x y z
--==-相交的直线方程.
30．给定两异面直线31210x y z --==与12101
x y z
+-==,求它们的公垂线的方程.
第四章 线性空间与线性变换
一、 填空题
1.3阶方阵A 的特征值为3,1,2-，则A =_______。
2.若3λ
=是可逆方阵A 的一个特征值，则1A -必有一个特征值为 。
3.设12,αα是分别属于方阵A 的不同特征值12,λλ的特征向量，则12,αα必线性 。
4.实对称矩阵0223A ??
=
???
的两个特征值为__________。
5.设实数λ是实矩阵A 的某个特征值，则可知矩阵 322B A A E =-+的某个特征值_____μ=。
6.若已知n 阶方阵
A 的行列式2A =，2λ=是矩阵A 的一个特征值，则其伴随矩阵*A 必有一个特征
值为__________。 7.若n 阶方阵A 与B 相似，且2A =，则BA = 。
8.设向量(1,5,,1)T k α=- 与向量(2,3,2,)T k k β=- 正交， 则k = 。
9.向量(1,2,3)T α
=与(1,2,)T b β
=-正交，则b =_______________。
10.已知3阶矩阵
A 的特征值为1,1,2-，则矩阵322
B A A =-的特征值为_______________。
11.设对称矩阵111A ?
? ?
= ? ???
，则与A 对应的二次型为________________________。 12.设12,,,n λλλ 是n 阶矩阵
A 的n 个特征值， 则_________A =。
13.若23y x ??
???与???
? ??4321相似，则=x ，=y 。 14.已知)1,0,2,1(),1,0,1,1(--=-=βα
。则内积=+-),3(βαβα 。
15.与n 阶单位矩阵E 相似的矩阵是 。 16.设()()1,2,,4,4,,2,1--==b a βα
,若α与β
正交,则b a ,应满足的关系为 。
17.设A 是幂零矩阵,即存在正整数k ，使得k A O =，则A 的特征值为 。 18.设
A 为n 阶方阵，且O E A A =+-652，则A 的特征值只能是______
__________。
19.设向量????? ??=0111α和???
?
? ??=1012α都是矩阵A 对应特征值2=λ的特征向量，且向量212ααβ-=，
则向量
=βA 。20.设A 为n 阶正交阵，则A 必可逆，且_____________1=-A 。
21.已知2是
A 的一个特征值，则_______________|6|2=-+E A A 。
22.
已知矩阵0
a A a
b ????
=-???????
?
为正交矩阵，则矩阵元素,a b 分别为 __________ 。 23.设n 阶矩阵
A 与
B 相似，则A
B ,()R A ()R B 。
24.设向量βα,分别为实对称阵A 的两个不同特征值21,λλ所对应的特征向量，则),(βα=________。
25.设
A 是n 阶正交矩阵，则A 的实特征值只可能是 。
二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）
1.相似矩阵的行列式相等。
2.可逆矩阵的特征值一定不为零。
3.若λ是n 阶矩阵A 的特征值，则2λ是2A 的特征值。
4.设A 为正交阵，则矩阵A 的实特征值λ
满足等式：2
1λ
=。
5.设
A 为n 阶方阵，则A 与T A 有相同的特征值。
6. 设矩阵A 相似于矩阵B , 则2A 与2B 也必相似。
7.设
A ,
B 都是n 阶方阵,若A 与B 相似,则A 与B 有相同的特征值。 8.设A ,B 都是n 阶方阵,若A ,B 有相同的特征值,则A 与B 相似。
9.若
A 是正交方阵,则1T A A -=也是正交阵，且1=A 或1-。 10.设
A ,
B 都是n 阶正交方阵,则AB
也是n 阶正交方阵。
11.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,21,ξξ是对应的特征向量,则21ξξ+也是A 的特征向量。
13.设
A ,
B ,
C 都是n 阶方阵,若A 与B 相似, B 与C 相似,则A 与C 相似。 15.方阵A 满足A A =2，则E A =或0=A 。
16.设
A ,
B 是n 阶方阵,若A ,B 可逆,则B A +可逆。
17.正交矩阵的乘积仍是正交矩阵。
18.设A 为n 阶方阵，则A 与T A 有相同的特征多项式。19.矩阵1112
311122
11132
A ??-
?
?
?=-
? ? ?- ??
?
是正交矩阵。 19.设λ是n 阶可逆矩阵
A 的一个特征值，则0λ≠，且1λ-是1A -的特征值。
三、解答题
1.设矩阵200121101A ?? ?
=- ? ???
，
（1）求A 的特征值和特征向量； （2）试求一可逆矩阵P ，使得1
P
AP -为对角阵。
2.设301040103A ?? ?
= ? ???
（1）A 是否能对角化？说明理由。
（2）若能，试求可逆矩阵P ，使1
P AP -为对角阵。
3.求下列矩阵的特征值、特征向量：
211020413-?? ? ? ?-??；310410482?? ?-- ? ?--??；311353002-?? ?-
? ???；?
???
?
??001010100。
4.三阶方阵A 的特征值为101,,-， 对应特征向量分别为1231001,1,0111ααα??????
? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????
, 求88
A 。
5.已知3阶方阵
A 的特征值为3,2,1-,试求E
A A 23++*。
6.设200032023A ??
?
= ? ???
(1) 求A 的特征值和特征向量；
(2)
A 是否可对角化？若可对角化，试求矩阵P ，使得AP P 1-成为对角形。
7.已知????? ??-=111ξ是矩阵???
?
? ??---=2135
212b a A 的一个特征向量，试确定参数b a ,及特征向量ξ所对应的特征值。
8.设()()()1
231,2,1,1,3,1,4,1,0T T T
ααα=-=-=-,将该向量组标准正交化。
9.将向量()
11,1,0T
a =-，()
2
1,0,1T
a = ，()
3
1,1,1T
a =-化成规范正交基。
10.求一正交矩阵P 使T
P AP 成对角形,其中222254245A -?? ?=- ? ?--??
.
四、课程讲义习题四中如下题目：
3,14,16,17,20,21,22,26,27,28,29,30,31,32,34,35,36,39,40,41,42.
第五章 二次型
一、 填空题
1.二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--的秩为 ______________。
2.二次型
222
123123121323(,,)3223f x x x x x x x x x x x x =+-++-的矩阵_____________。
3.设对称矩阵111A ?
? ?
= ? ???
，则与A 对应的二次型为________________________。 4.设二次型222123123(,,)f x x x x x x =--,它的符号差= . 5.设二次型
2221212(,,,)n r f x x x x x x =++ ，则_________r =时，f
正定．
6.设二次型
2
22123112132
3(,,)2242f x x x x t x x x x x x =
+
+++正定，则t 的取值范围
为 ；
7.设二次型3231212
32221321x x 6x x 4x x 2x x 2x )x ,x ,x (f +++++=λ正定，则λ的取值范围
为 ； 8.设二次型 222
1231213235224f x x x tx x x x x x =+++-+正定，则t 的取值范围是___________.
二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）
1.实二次型正定的充要条件是正惯性指数与秩相等.
三、解答题
1.已知实二次型
123122313(,,)f x x x x x x x x x =++。
（1）写出该二次型的矩阵； （2）试求非退化线性替换化
f
为标准形。
2.把二次型
32312
321321222),,(x x x x x x x x x f +++=化为标准形。
3.用正交线性替换化下列二次型为标准型：22212312232344x x x x x x x ++--.
4.用正交线性替换化下列二次型为标准型：2
221
2312132322448x x x x x x x x x ---++
四、课程讲义习题五中如下题目： 1,2,3,4,5.
一、高等代数与解析几何之间的关系
利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
高等代数与解析几何之间的联系
高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体
高考解析几何压轴题精选(含答案)
专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分）
4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1
空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是___66 ___________. 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__ 3 147 ___________. 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_________________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影 点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r
高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，
。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。
解析几何试题及答案
解析几何试题及答案https://www.360docs.net/doc/751411145.html,work Information Technology Company.2020YEAR
解析几何 1.（21）（本小题满分13分） 设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足 BQ QA λ=，经 过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足 QM MP λ=,求点P 的轨迹方程。 （21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量 的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知 识，考查灵 活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学 素养. 解：由MP QM λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直 线上，故可设 .)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ① 再设),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由 解得???-+=-+=.)1(, )1(011λλλλy y x x ②，将①式代入②式，消去0y ，得 ???-+-+=-+=. )1()1(,)1(2 211λλλλλλy x y x x ③，又点B 在抛物线2 x y =上，所以211x y =， 再将③式代入211x y =，得222(1)(1)((1)),x y x λλλλλλ+-+-=+- 22222(1)(1)(1)2(1),x y x x λλλλλλλλ+-+-=+-++ 2(1)(1)(1)0.x y λλλλλλ+-+-+= 0,(1),210x y λλλ>+--=因同除以得 故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y 2.（17）（本小题满分13分） 设直线11221212:x+1:y=k x 1k k k k +20l y k l =-?=，，其中实数满足，
高等代数与解析几何教学大纲
附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号： 课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质：学科基础课 课程类别：必修课 先修课程：高中数学 学分：4+4 总学时数：72+72 周学时数：4+4 适用专业：统计学 适用学生类别：内招生 开课单位：信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 （略。由课任教师自行掌握） 三、主要实践性教学环节及要求
精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。 参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社， 2000年； 2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式：闭卷考试。 成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%， 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周：（8课时） 第一章：向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义： (1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、 参数式、向量式）; (2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非 参数式、参数式、向量式）。 第三周—第五周：（12课时）
高等代数与解析几何同济答案
高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o
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高等代数与解析几何
高等代数与解析几何（上） 一、选择题（每题3分，共5题，共15分。） 1、) ()b -a ()b a (=?+ 。 0、A )(2b a B ?、 22b a C -、 )(2a b D ?、 2、），（，，2,14)32,1(B A -点P 为线段BA 成定比32：-，则点P 的坐标为（ ）。 )0,7,10(P A 、 )0,6,12(P B 、 )0,7,10(-P C 、 )0,7,10(--P D 、 3、已知b 3a +与b 5a 7 -垂直，b 4-a 与b 2a 7 -垂直，则a 与b 的夹角为（ ）。 6π、A 4π、B 3π、C 2 π 、D 4、当a 为何值时，四点）（，，），，（，，6,1,0)7,100(a 2,13)54,a (D C B A ---共面。（ ） 2=a A 、 1113= a B 、 21113==a a C 或、 211 12 ==a a D 或、 5、设A 为3阶矩阵，8=A ，则)(2=-A 。 16-A 64-B 48C 32D 二、填空题（每题3分，共7题，共21分。） 1、已知1b a == ， 2、几何空间中4个或 3、若向量(0,3,2),c (1,-1,-2),b ), 3,2,4 (a === 则由这三个向量张成的平行六面体的体 积为——————。 4、已知(1,-2,-1), b ), (-4,5,-2a == 则→a 在→b 的单位向量→0b 上的射影为—————。 5、已知排列n x x x 21的逆序数为a ，则排列121-n x x x x n 的逆序数为—————。 6、使1725836j i 成偶排列，则 =i —————，=j ————。 7、n 阶方阵n n ij a A ?=)(，D A =，则 当j k ≠时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。 当j k =时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。
平面解析几何测试题及答案
平面解析几何测试题 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分） 1.直线3x+4y-24=0在x 轴，y 轴上的截距为 （ ） A.6,8 B.-6,8 C.8,6 D.-8,6 2.x=29y -表示的曲线是 （ ） A.一条直线 B.两条直线 C.半个圆 D.一个圆 3.已知直线x-ay+8=0与直线2x-y-2=0垂直，则a 的值是 （ ） A.-1 B.2 C.1 D.-2 4.已知圆x 2+y 2+ax+by=0的圆心为（-4，3），则a,b 的值分别是 （ ） A.8,6 B.8,-6 C.-8,-6 D.-8,6 5.已知A （3，-6），B （-5，2），C （6，y ）三点共线，则点C 的纵坐标是 （ ） A.-13 B.9 C.-9 D.13 6.已知过点P （2，2）的直线与圆（x-1）2 +y 2 =5相切，且与直线ax-y+1=0 垂直，则a 的值为（ ） A.2 B.1 C.-21 D.2 1 7. 直线2x-y=0与圆x 2+y 2-2x-4y-1=0的位置关系为 （ ） A. 相交但不过圆心 B.相离 C.相切 D.相交过圆心 8.已知双曲线22a x -22b y =1的渐近线的斜率k=±3 4，则离心率等于 （ ）
A.53 B.45 C.34 D.3 5 9.若椭圆22a x +22 b y =1（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆 上一点，若▲AF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为 ） A. 22 B.21 C.4 1 D.3-1 10.已知双曲线22x -22 b y =1（b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，其中一条 渐近线方程为y=x ，点P （3，y 0）在双曲线上，则1?2PF 等于 （ ） A.-12 B.-2 C.0 D.4 11.已知椭圆焦点在x 轴上，长轴长为18，且焦点将长轴三等分，则椭圆的方程为（ ） A.812x +722y =1 B.812x +92 y =1 C.812x +452y =1 D.812x +16 2y 12.设点F 为抛物线y 2=3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|等于 （ ） A. 3 30 B.6 C.12 D.37 13.已知圆x 2+y 2-4x-4y=0与x 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为（ ） A.6 π B.3 π C.2 π D. 3 π2 14.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴是短轴的3倍，且过点（-3，1），则椭圆的方程为 （ ）
上海高考解析几何试题
近四年上海高考解析几何试题 一．填空题: 1、双曲线116922=-y x 的焦距是 . 2、直角坐标平面xoy 中，定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=?OA OP ，则点P 轨迹方程 ___。 3、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。 4、将参数方程?? ?=+=θ θ sin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。 5、已知圆)0()5(:2 22>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共 点，则r 的取值范围是 . 6、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 7、已知圆2x －4x －4＋2 y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ； 8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ； 10、曲线2 y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条是 ． 11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x . 12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数=m . 13、若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 14 、以双曲线1542 2=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 16 、已知P 是双曲线22 219x y a - =右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = 17、已知(1,2),(3,4A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是 i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 二．选择题:
《高等代数与解析几何》
《高等代数与解析几何》教学大纲 学时数：192 学分：12 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程说明 高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课．作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景．而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题．因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系，它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景．”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识．它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用． 二、与其它课程的关系 本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础． 三、大纲部分 以下按各章具体写出 第一章预备知识（6学时） 本章的内容为介绍性质的，主要是为本课程的学习所做的预备工作，因而其中的内容基本相对独立． 教学目的与要求理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即有理数域、实数域 和复数域，理解整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、满射、单射和双射．数学重点数域的定义，映射的定义和性质． 教学难点对映射定义的理解；对满射的理解和应用． 新知识点数域性质的应用；整数整除性质的推广. 教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容. 教学内容 1.数环和数域 １
解析几何综合运用练习题-含答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知直线1:210l ax y ++=与直线2:(3)0l a x y a --+=，若12//l l ，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．1或2 2．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x －1)2＋y 2 ＝1 C ．(x ＋1)2＋y 2＝4 D ．(x －2)2＋y 2 ＝4 3．设抛物线C ：y 2 ＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2 ＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2 ＝16x 4．双曲线x 2 1( ) A ． B. m≥1 C ．m>1 D. m>2 二、填空题（题型注释） 5．经过圆x 2＋2x ＋y 2 ＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________． 6．已知抛物线y 2 ＝4x 的焦点F 1(a>0，b>0)的右顶点，且双 曲线的渐近线方程为y ，则双曲线方程为________． 三、解答题（题型注释） 7．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程． 8．如图，在直角坐标系中，已知△PAB 的周长为8，且点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)． (1)试求顶点P 的轨迹C 1的方程；
高等代数与解析几何教材特色与比较
1、《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》简介：数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的 三大基础课程，南开大学数学系孟道骥 出版社:科学出版社; 第2版 (2011年1月5日) 丛书名:普通高等教育"十一五"国家级规划教材 平装: 480页https://www.360docs.net/doc/751411145.html,/jpkc/gdds/ 第二版在以下几个方面作了修改。 为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，我们把第一章里有关线性流形和子空间的内容删去，让这些概念到第三章才出现。第二章的行列式定义还是使用通常的乘积交叉和的形式，把第一版使用的有向体积（即多重线性函数）定义作为几何意义放在评注里。还把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。考虑到以后计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关求空间区域到坐标平面投影的求法，给出一个例题和一些习题。此外对习题的顺序和配备做了整理，增加了一些入门级的基本题，较难的题排在后面，还打上星号，这样虽然每一节后面有不少习题，但教师可以根据不同的要求选取习题，从最易到很难，有很大选择余地。根据华东师范大学几年来的经验，第一学年每周6学时（其中2学时习题课）可以把不打星号的内容教完。第3学期开设每周2学时的选修课，讲授第十四章以及其他一些打星号的内容，这样可以使兴趣不同的学生各得其所。 在帮助学生熟悉数学软件方面，第二版增加了与Mapie平行的：Mathematica的内容，使用者可以从中选择一种。由肖刚教授开发的网上互动式多功能服务站（WIMS）有了汉化的光盘版KNOWIMS，这是一个开放软件，可以免费使用。即使在上网不易的偏远地区，只要有一台电脑，就能拥有一个w：IMS系统，而且教师还可以在这个系统里自行开发各种练习。我们在附录中介绍了WIMS的用法，许多章节后面会介绍相应的练习。希望广大师生能喜欢它，发展它。当然这些有关计算机的内容都是选学的，有兴趣的读者可向高等教育出版社数学分社索取相关软件光盘。 第一章向量代数 本章的主要内容是向量及其代数运算。我们在力学和物理中已经遇到过既有大小义有方向的量，如力、速度等。现在我们面临的问题是从数学的观点研究向量的特性以及它的各种运算。利用向量往往能使某些几何问题更简捷地得到解决。向量方法也是力学、物理学和工程技术中常用的有力工具。向量无疑是一个几何概念，但是在空间中建立了坐标系后，向量与它的坐标问有了一个一一对应的关系。这样就使得许多涉及向量的几何问题转换成了它的坐标（数组）间的代数问题，为应用代数方法解决几何问题提供了桥梁。本章的有些例题与习题就是展示向量代数方法在立体几何中的应用。反之，取定了原点和坐标系后，一个二元或三元的数组又能被看成以原点为始点的向量。例如复数就可被看成平面向量。这样又使得许多抽象的代数概念获得了具体的几何背景。数（或公式）与图形的结合及转化始终是数学发展的有力手段。于是几个数的数组被看成了虚构的高维空间中的向量。现实空间中向量的各种运算被推广到了高维数组构成的“空间”，抽象的数组被赋予了直观的形象。我们这门课程把高等代数与解析几何揉合在一起，既是为了给几何问题提供代数工具，也是为了给抽象的代数概念提供几何的背景。希望同学们在学习时对于形数结合给予更多的重视。并把本章学习的重点放在对各种向量运算以及向量的线性相关性的直观理解上，为以后的代数化作准备。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》分上、下册，第1章讨论多项式理论；第2章介绍行列式，包括用行列式解线性方程组的Craner法则；第3章矩阵，主要介绍矩阵的计算、初等变换及矩阵与线性方程组的关系；第4章介绍线性空间；第5章介绍线性变换；第6章多项式矩阵是为了讨论复线性变换而设的；第7章介绍Euclid空间；第8章介绍双线性函数与二次型；第9章讨论二次曲面；第10章介绍仿射几何与影射几何。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》附有相当丰富的习题。 个人认为这套教材总体还算不错（虽然系里大多数人都认为很烂），内容、观点还是比较新颖的，不同于一般的教材。不足之处(应该也是同学们“讨厌”的地方）在于有些比较重要的定理写的过于简略，进展太过
解析几何测试题及答案解析
2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知圆x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＝0的圆心在直线x ＋y ＝1上，则D 与E 的关系是( ) A ．D ＋E ＝2 B ．D ＋E ＝1 C ． D ＋ E ＝－1 D ．D ＋ E ＝－2X k b 1 . c o m 解析 D 依题意得，圆心? ???? －D 2，－E 2在直线x ＋y ＝1上，因此有－D 2－E 2＝1，即D ＋E ＝－2. 2．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2 ＋(y ＋1)2 ＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2 ＝2 C ．(x ＋1)2 ＋(y ＋1)2 ＝8 D ．(x －1)2 ＋(y －1)2 ＝8 解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x －1)2 ＋(y －1)2 ＝2. 3．已知F 1、F 2是椭圆x 2 4＋y 2 ＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最 大值的点P 为( ) A ．(－2,0) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(0,1)和(0，－1) 解析 D 由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 1|·|PF 2|≤? ?? ??|PF 1|＋|PF 2|22＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|，即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”． 4．已知椭圆x 216＋y 2 25＝1的焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1、F 2、P 三点 恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) B ．3 C.16 3 解析 A 椭圆x 216＋y 2 25＝1的焦点分别为F 1(0，－3)、F 2(0,3)，易得∠F 1PF 2<π 2，∴ ∠PF 1F 2＝π2或∠PF 2F 1＝π2，点P 到y 轴的距离d ＝|x p |，又|y p |＝3，x 2 p 16＋y 2 p 25＝1，解得|x P | ＝16 5 ，故选A.
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题7.4 习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ? ? ? ??=n B λλλ 21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而 E a a a a B nn 112211=???? ? ? ? ??= ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。证明：
（1）s V V V +++ 21是直和； （2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。 证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有 021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。 现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得 ?????? ?=+++=+++=+++---0 00 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλααα 。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(111),,,(11221 1121 =? ? ?? ??? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21 是互不相同的，所以矩阵? ??? ??? ? ?=---11221 11111s s s s s B λλλλλλ 的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121 ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21 =s ααα。 这说明s V V V +++ 21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++ 21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1 =都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕? 21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕ 21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈ 21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕? 21成立，故有
高考解析几何压轴题精选(含答案)
１. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为＿______＿___＿＿。(３分) 2 ．已知m ＞１,直线2:02 m l x my --=,椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点． （Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程;(Ⅱ）设 直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F ,12BF F 的重心分别为 ,G H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范 围．（6分) 3已知以原点O 为中心，)5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题(２０）图,已知过点 ()11,M x y 的 直线111:44 l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直线 222:44l x x y y +=的交点Ｅ在双 曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分 别交与Ｇ、H 两点,求OGH ?的面 积。（8分）
4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;(Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =;（Ⅲ)是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值;若不存在,请说明理由.（7分）
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明： （1）s V V V +++Λ21是直和；
（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21， 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，