初中数学四边形技巧及练习题(1)

初中数学四边形技巧及练习题(1)

一、选择题

1．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）

A ．2

B ．169

C ．32

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，

∵四边形EFGH 为正方形，

∴EG FH =，

∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，

∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，

∵ABE △≌CDG V ，

∴CDG V 为等腰三角形，

∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，

∵四边形ABCD 为正方形，

∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，

∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，

则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，

∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，

∴4MN =，

设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，

∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22

x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，

∴1x =，则S 正方形EFGH 14122

==??=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，

∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，

∵正方形ABCD 的面积4416=?=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=

V AEH S S 正方形ABCD ? S 正方形EFGH 134)(16242)42-=?--?=V ABE S ， 故选：C ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．

2．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．

A ．180°

B ．360°

C ．540°

D ．720°

【答案】C

【解析】

【分析】 根据多边形内角和公式2180()n -??即可求出结果．

【详解】

解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-??=?，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．

3．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】D

【解析】

【分析】 根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．

【详解】

∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点， 32184EF ∴==>．

∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：

①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；

②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，

186,

∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；

③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，

∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．

综上所述，满足题意的点P 的个数是6．

故选D ．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．

4．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接CF ，DG ，则DG CF

=（ ）

A．

2

3

B．

2

2

C．

3

3

D．

3

2

【答案】B 【解析】【分析】

连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得DG

CF

的值．

【详解】

连接AC和AF，

则

2

2 AD AG

AC AF

==，

∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．

∴△DAG∽△CAF．

∴

2

2 DG AD

CF AC

==．

故答案为：B.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝1

3

S矩形ABCD，则点P到A、

B两点距离之和PA+PB的最小值为（）

A29B34C．2D41【答案】D

【解析】

解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB ?h =13AB ?AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．

在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE =

22AB AE + =2254+=41，即PA +PB 的

最小值为41．故选D ．

6．如图，在矩形ABCD 中，AB m =，6BC =，点E 在边CD 上，且23CE m =．连接BE ，将BCE V 沿BE 折叠，点C 的对应点C '恰好落在边AD 上，则m =（ ）

A ．33

B ．3

C 3

D ．4

【答案】A

【解析】

【分析】

设AC′=x ，在直角三角形ABC′和直角三角形DEC′中分别利用勾股定理列出关于x 和m 的关系式，再进行求解，即可得出m 的值.

【详解】

解：设AC′=x ，

∵AB=m ，BC=6，23CE m =

， 根据折叠的性质可得：

BC′=6，EC′=23

CE m =， ∴C ′D=6-x ，DE=13

m ，

在△ABC ′中，

AB 2+AC′2=BC′2，

即2226x m +=，

在△DEC ′中，

C′D 2+DE 2=C′E 2，

即()222

12633x m m ????-+= ? ?????， 化简得：()2

236x m -=，代入2226x m +=中，

得：()222366x x -=-，

解得：x=3或x=6，代入2226x m +=，

可得：当x=3时，m=-

当x=6时，m=0（舍），

故m 的值为

故选A.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是根据折叠的性质运用勾股定理求解.

7．一个多边形的每个内角均为108o，则这个多边形是（ ）

A ．七边形

B ．六边形

C ．五边形

D ．四边形

【答案】C

【解析】

试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360

÷72=5（边）.

考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.

8．在四边形ABCD 中，两对角线交于点O ，若OA =OB =OC =OD ，则这个四边形( ) A ．可能不是平行四边形

B ．一定是菱形

C ．一定是正方形

D ．一定是矩形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据OA=OC, OB=OD ，判断四边形ABCD 是平行四边形．然后根据AC=BD ，判定四边形ABCD 是矩形．

【详解】

解：这个四边形是矩形，理由如下：

∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵OA=OC=OD=OB，

∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形．

故选D．

【点睛】

本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．

9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG ≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝1

2

BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得

BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝1

2

BD，AO＝CO，AB∥CD

∵BD＝2AD

∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点∴BE⊥AC，

∴①正确

∵E、F、分别是OC、OD中点

∴EF ∥DC ，CD ＝2EF

∵G 是AB 中点，BE ⊥AC

∴AB ＝2BG ＝2GE ，且CD ＝AB ，CD ∥AB

∴BG ＝EF ＝GE ，EF ∥CD ∥AB

∴四边形BGFE 是平行四边形，

∴②④正确，

∵四边形BGFE 是平行四边形，

∴BG ＝EF ，GF ＝BE ，且GE ＝GE

∴△BGE ≌△FEG （SSS ）

∴③正确

故选D ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．

10．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（ ）

A ．60

B ．48

C ．24

D ．96

【答案】D

【解析】

【分析】 由菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，由勾股定理可求AO 的长，即可求解．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，

∴AO 22100368AB OB -=-=，

∴AC ＝16，BD ＝12， ∴菱形面积＝

12162?＝96， 故选：D ．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．

11．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中

点，连接DE ，则DE 的长为（ ）

A ．2

B ．2.5

C ．3

D ．5

【答案】B 【解析】

【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．

【详解】

解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，

∴AE ⊥BC ，

又∵点D 为AB 的中点，

∴1 2.52

DE AB =

=， 故选：B ．

【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．

12．如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案不能铺满地面的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】

【分析】

分别计算各正多边形每个内角的度数，看是否能整除360°，即可判断．

【详解】

解：A ．正六边形每个内角为120°，能够整除360°，不合题意；

B ．正三角形每个内角为60°，能够整除360°，不合题意；

C ．正方形每个内角为90°，能够整除360°，不合题意；

D ．正五边形每个内角为108°，不能整除360°，符合题意．

故选：D ．

【点睛】

能够铺满地面的图形是看拼在同一顶点的几个角是否构成周角．

13．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )

A ．6

B ．12

C ．24

D ．48

【答案】C

【解析】

【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．

【详解】

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132

OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，

∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，

∴ABCD Y 是菱形，

∴ABCD Y 的面积11862422

AC BD =

?=??=； 故选C ．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．

14．如图，在ABC V 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )

A ．A

B A

C =

B ．A

C BC = C ．C

D AB ⊥ D ．AC BC ⊥

【答案】D

【解析】

【分析】 根据AE ＝CE ，EF ＝DE 可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥BC 结合AC ⊥BC 可证得AC ⊥DF ，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．

【详解】

解：∵点E 是AC 中点，

∴AE ＝CE ，

∵AE ＝CE ，EF ＝DE ，

∴四边形ADCF 为平行四边形，

∵点D 、E 是AB 、AC 中点，

∴DE 是△ABC 的中位线，

∴DE ∥BC ，

∴∠AED ＝∠ACB ，

∵AC ⊥BC ，

∴∠ACB ＝90°，

∴∠AED ＝90°，

∴AC ⊥DF ，

∴平行四边形ADCF 为菱形

故选：D ．

【点睛】

本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．

15．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（ ）

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．

【详解】

解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．

16．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下

列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝1

2

∠

CGE．其中正确的结论是( )

A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．

【详解】

①∵EG∥BC，

∴∠CEG=∠ACB，

又∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；

②∵∠A=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠ADC+∠BCD=90°．

∵EG∥BC，且CG⊥EG，

∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，

∴∠ADC=∠GCD，故正确；

③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；

④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，

∴∠AEB+∠ADC=90°+1

2

（∠ABC+∠ACB）=135°，

∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，

∴∠DFB=45°=1

2

∠CGE，，正确．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．

17．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A．对边相等B．对角相等

C．对角线相等D．对角线互相平分

【答案】C

【解析】

【分析】

根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.

【详解】

矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．

矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．

故选C．

【点睛】

本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．

18．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为()

4,1, 点D的坐标为()

0,1，则菱形ABCD的周长等于（）

A ．5

B ．43

C ．45

D ．20

【答案】C

【解析】

【分析】 如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.

【详解】

如下图，连接AC 、BD ，交于点E

∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB

又∵B ()4,1，D ()0,1

∴E(2，1)

∴A(2，0)

∴AD=()()2220015-+-=

∴菱形ABCD 的周长为：45

故选：C

【点睛】

本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.

19．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，将边长为4的菱形OBCD 的边OB 固定在x 轴上，开始时30DOB ∠=?，现把菱形向左推，使点D 落在y 轴正半轴上的点D ￠处，则下列说法中错误的是（ ）

A ．点C '的坐标为()4,4

B ．60CB

C '∠=? C ．点

D 移动的路径长度为4个单位长度 D ．CD 垂直平分BC '

【答案】C

【解析】

【分析】

先证明四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，即可判断A ；由平行线的性质得∠OBC 的度数，进而得到60CBC '∠=?，即可判断B ；根据弧长公式，求出点D 移动的路径长度，即可判断C ；证明CD ⊥BC ′，BC′=BC=2BE ，即可判断D ．

【详解】

∵四边形OBCD 是菱形，

∴OB=BC=CD=OD ，

∴OB=BC ′=C ′D ′=OD ′，

∵∠BOD′=90°，

∴四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，

∴点C '的坐标为()4,4，故A 不符合题意．

∵30DOB ∠=?，OD ∥BC ，

∴∠OBC=180°-30°=150°，

∵∠OBC ′=90°，

∴60CBC '∠=?，故B 不符合题意．

∵点D 移动的路径是以OD 长为半径，圆心角为∠DOD ′=90°-30°=60°的弧长，

∴点D 移动的路径长度=604180π?=43

π，故C 符合题意. 设CD 与BC′交于点E ，

∵在菱形OBCD 中，∠C=30DOB ∠=?，

∵60CBC '∠=?，

∴∠BEC=180°-60°-30°=90°，即CD ⊥BC ′，

∴BC′=BC=2BE ，

∴CD 垂直平分BC '，故D 不符合题意．

故先C ．

【点睛】

本题主要考查菱形的性质，正方形的判定和性质以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质和正方形性质，含30°角的直角三角形的性质，是解题的关键．

20．如图，在?ABCD 中，E 为边AD 上的一点，将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处，若∠B ＝

48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）

A．33°B．34°C．35°D．36°

【答案】B

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，

由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，

∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，

∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．