穿根法与分式不等式
不等式的解法---穿根法
一．方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.
例1:解不等式
(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0
(2) x 2
-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解:
(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0
根据穿根法如图
不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x
(2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 原不等式等价于(21)(1)(31)(2)0
(31)(2)0
x x x x x x ----≥??--≠?
根据穿根法如图
不等式解集为
{x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或
分式不等式的解法
（1）()()
()()00f x f x g x g x >??> （2）
()()()()()000f x g x f x g x g x ?≥??≥??≠??
一、解不等式：
1、
3
2
x
x
-
≥
-
2、
21
1
3
x
x
-
>
+
3、
2
2
32
23
x x
x x
-+
≤
--
4、
221
2
x x
x
--
<
-
5、
()
2
3
9
x x
x
-
≤
-
6、
1
01
x
x
<-<
二、填空题。
1. 不等式
2
2
331
372
x x
x x
++
>
-+
的解集是 2. 不等式
31
1
3
x
x
+
>-
-
的解集是
7. 不等式
2
1
21
x x
x
+
≤
+
的解集是 8. 不等式
21
1
2
x
x
-
>
-+
的解集是
解不等式(知识点、题型详解)
不等式的解法 1、一元一次不等式ax b > 方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b x a > ；若0a <,则b x a < ；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈?。 【例1-1】（1）21 33 ax -> 解：此时，因为a 的符号不知道，所以要分：a =0，a >0, a <0这三种情况来讨论. 由原不等式得a x >1, ①当a =0时，? 0>1.所以，此时不等式无解. ② 当a >0时，? x > a 1, ③当a <0时，?x -+-a b x b a 。 解：R a ∈，012>+-a a ∴ 01)1(32 2<+-++-a a x a a 的解为3 1-
高考数学 高次分式不等式解法
课 题：分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等 式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 穿根法解高次不等式 一.方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。 ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0 (2) 错误!≤1 解: (1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0 (2) 根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为 x(２ｘ＋５)(x-3)〉0 顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分. (2)原不等式等价于 (x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、 【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．． (5．．－．２．)． .． 二. 数轴标根法”又称“数轴穿根法” 第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注意:一定要保证x 前得系数为 正数) 例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０ 第二步:将不等号换成等号解出所有根。 例如:(x —２)(x-1)(x+1)=0得根为:x １＝2,x ２＝1,x ３=—1 第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。 例如:—1 1 ２ 第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”得右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根、 第五步:观察不等号,如果不等号为“〉",则取数轴上方,穿根线以内得范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内得范围。ｘ得次数若为偶数则不穿过,即奇过偶不过。 例如: 穿根法解高次不等式 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点, 等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿 透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使 “<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或 (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．． ．． 分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 2.解下列不等式 （1）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>- 1．不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4．不等式1x x -≥2的解集为（ ） .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5．解下列不等式 （1）2x ＋11－x <0 （2）x ＋12x －3≤1 四．作业 解不等式：（1） 0324≤+-x x （2）321≥-+x x “数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 是高次不等式的简单解法 当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。 步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1 高次不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4 (2) 变形为 (2x-1)(x-1) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x x<1 3 或 1 2 ≤x≤1或x>2}. 【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝． 【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系 ．． 数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2) ．．．的解法转化为不含重根 ．．．．．．．．．． 的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿” ．．．．．．．．其法如 ．．．．图．(5．．－．2)．．．． 专题：数轴穿根法 “数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x 前的系数为正数） 例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2=1，x 3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。 因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 元高次不等式的解法 The manuscript was revised on the evening of 2021 一元高次不等式的解法 步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解 穿根法（零点分段法）（高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿）解题方法：数轴标根法。 解题步骤： （1）首项系数化为“正” （2）移项通分，不等号右侧化为“0” （3）因式分解，化为几个一次因式积的形式 （4）数轴标根。 求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 解法：①将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->形式，并将各因式中的x 系数化“+”(为了统一方便) ②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点。（即从右向左、从上往下：看x 的次数：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过）。注意：奇穿偶不穿。 ④若不等式（x 系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间： 注意：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。 例1： 求不等式223680x x x --+>的解集。 解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +--> 由方程：(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-==，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图 由图可看出不等式223680x x x --+>的解集为：{}|21,4x x x -<<>或 （1）()()()()00,f x f x g x g x >??> ()() ()()(2)00;f x f x g x g x 不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( （一）分式不等式： 型如： 0)()(>x x f ?或0) () ( 练一练：解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式： 23 2 ≥+-x x 解： 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即， 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一：322 ++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式：1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ 穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例 摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。 关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用 穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。 一、原理 穿根法解不等式时，一般先将其化为形如： f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0） 的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。 （一）一次不等式 标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0） 我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是 大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边 的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。 所以可以如图标注，图中+、- 用以表示 f(x)=x-x1的符号。 我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。 （二）二次不等式 标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0） (1) x1≠x2时，不妨设x1 穿根法解不等式 穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。 一、原理 穿根法解不等式时，一般先将其化为形如： f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0） 的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。 （一）一次不等式 标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0） 我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边 的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。 所以可以如图标注，图中+、- 用以表示 f(x)=x-x1的符号。 我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。 （二）二次不等式 标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0） (1) x1≠x2时，不妨设x1 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ，甲的速度为v ，自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ，乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意，得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值，因此上式可化为022v v v +<，即02v v >.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式： 1 232 x x +>-. 解：（化分式不等式为一元一次不等式组） 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12 3x x >?? ??或 10 320 x x ->?? -?>，00a ab b -?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x --（0<）?()()0f x g x >（0<） ； （2） ()()0f x g x ≥（0≤）?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??. 一元高次不等式的解法 这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”. 一、解题步骤 求不等式32638x x x -+<-+的解集 1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式. 将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>?+--> 2. 求根：将不等式换成等式解出所有根. (2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x = 3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根. -2 1 4 4. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根. 5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并. 不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或 二、易错提示 求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式. 2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数. 3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”. 4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心. 三、分式不等式解法 专题：数轴穿根法 “数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2 =1，x 3 =-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。 因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1 1、解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。 2）因式)12(+x 、)1(-x 、)3(-x 的根分别是 1-、1、3。在数轴 3）从最大根3的右上方开始，向左依次 穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数 图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。 4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值区间，为 0)3)(1)(12(<--+x x x 的解集。 ∴不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集为),3()1,2 1(+∞- 。 在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的x 的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应x 的集合是小于零不等式的解集。 2、解不等式0)3()12 1)(2(32<--+x x x 解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。 2）因式)2(+x 、2)121(-x 、3)3(-x 的根分别为2-、2、3，在数轴上把它们标出（如图2）。 不等式知识点及其解题技巧 1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或 （4）若，，则；若，，则。如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②； ③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）；（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是A 、的最小值是2 B 、的最小值是 2 C 、的最大值是 D 、的最小值是（答：C ）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）； ,a b c d >>a c b d +>+,a b c d >-0,0a b c d >>>>ac bd >0,0a b c d >><0a b >>n n a b >0ab >a b >11a b <0ab 11a b >c b a ,,22,bc ac b a >>则若b a bc ac >>则若,2222,0b ab a b a >><<则若b a b a 11,0<<<则若b a a b b a ><<则若, 0b a b a ><<则若,0b c b a c a b a c ->->>>则若,011,a b a b > >若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤- ≤3x y -137x y ≤-≤c b a >>,0=++c b a a c 12,2??-- ?? ?0,10>≠>t a a 且21log log 21+t t a a 和1a >11log log 22 a a t t +≤1t =01a <<11log log 22a a t t +≥1t =2a >12 p a a =+-2422-+-=a a q q p ,p q >3log x )10(2log 2≠>x x x 且01x <<43x > 3log x 2log 2x 413x <<3log x 2log 2x 43 x =3log x 2log 2x 1y x x =+ 2y =423(0)y x x x =-->2-423(0)y x x x =-->2-21x y +=24x y +,x y 21x y +=y x 11+3+分式不等式的解法
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式
分式不等式的解法基础测试题回顾.doc
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
高次不等式的解法
专题8-数轴穿根法
高中数学不等式的分类、解法(教资材料)
元高次不等式的解法
不等式解法15种典型例题
专题二、分式不等式的解法
穿根法解不等式的原理
穿根法解不等式及习题
分式不等式教案
用穿根法解不等式(经典归纳)
专题数轴穿根法
不等式知识点及其解题技巧