不等式穿针引线法
穿针引线法
释义:“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
准确的说,应该叫做“序轴标根法”。序轴:省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
当高次不等式ｆ（x）>0(或<0）的左边整式、分式不等式φ（x)/h（x)＞0(或＜0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1)(x－a2）…(x －aｎ）的形式,可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间,最右端的区间ｆ(x)、φ(x）/h(x）的值必为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法“。使用步骤:
第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为０。（注意：一定要保证ｘ前的系数为正数)
例如：将x^3-2ｘ^2－ｘ+2>０化为(x－2)(x-1）(ｘ+1)>0
第二步:换号。将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)＝0的根为：x１=２,x２=1,x３=－1
第三步:标根。在数轴上从左到右依次标出各根。
例如:-1 1 2
第四步：画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：若求（x－2)（ｘ-１)(x+１)＞0的根。
在数轴上标根得：-１ 1 ２
画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方,穿根线以内的范围。即:-１ 注意：一、重根时，奇穿偶不穿 出现重根时,机械地“穿针引线” 例2 解不等式(x+1)(x－1)^2（x－4)^3＜0 解将三个根-1、1、4标在数轴上， 原不等式的解集为{x|x<-１或１＜x＜4｝。 这种解法也是错误的,错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴，仍在数轴的同侧折回,只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下： 解将三个根－１、1、4标在数轴上,画出浪线图来穿过各根对应点，遇到ｘ=1的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;遇到ｘ=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集 {x｜-1＜x<4且x≠1} 奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照几个数字穿。如（x-1)2=0 两个解都是1 ，那么穿的时候不要透过1，同样的，如果是三个1，则应该穿透1. 可以简单记为，秘籍口诀：或“自上而下，从右到左,奇穿偶不穿”（也可以这样记忆:“自上而下,自右而左,奇穿偶回” 或“奇穿偶连”）。 二、x系数必须为正 出现形如(a-x)的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。 例1 解不等式x（3-x)（x+1)(x－2）>０。 解 x（3－x）(ｘ＋1）(x-２)＞0,将各根-1、0、２、3依次标在数轴上,由图１可得原不等式的解集为{x|x<-1或０ 事实上,只有将因式(a-ｘ）变为(ｘ－ａ）的形式后才能用序轴标根法,正确的解法是： 解原不等式变形为x（x-3）（x+1）（x-２）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上,由图1，原不等式的解集为{x｜-1 三、特殊情况分析后再穿根 出现不能再分解的二次因式时,不能简单地放弃“穿针引线” 例3 解不等式x（x+1）（x－2)（x^3-１)>0 解原不等式变形为ｘ（ｘ+1)(ｘ－2)（x－1)（x^2＋x＋1)>０，有些同学同解变形到这里时,认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积,事实上，根据这个二次因式的符号将其消去,再运用序轴标根法即可。 解原不等式等价于 x(x+1)（x－2)（x－1)（ｘ^2+x+１）＞0, ∵ x^2＋x+1>0对一切ｘ恒成立, ∴ ｘ(x－1)（ｘ+1）（x－2）>0，由图４可得原不等式的解集为{x|x<-1或０<ｘ<１或x>２｝ 《一元二次不等式的应用（1）》教学设计 高二数学备课组 何 泽 2009/11/1 课题：一元二次不等式的应用（ 1） 教学目标： （1）知识与技能：能够把分式不等式转化为一元二次不等式求解，掌握“穿针引线法”求解分式不等式和简单的高次不等式。 （2）过程与方法：通过尝试与归纳得出基本方法，并熟练应用。（3） 态度、情感、价值观：体会数学知识的联系，感受划归思想。 教学重点：求解分式不等式和简单的高次不等式教学难点：在不等式转化过程中如何保证等价性教学过程：一、引入课题1、小练习：解不等式①（x+1）(2x-1)<0②（x-2）(1-x)<0 ③（2x+1）(x+2) 0④（1-2x ）(1+x)0 （学生练习完成，老师点评。师生共同复习“三个一元二次”的关系）2、思考：解不等式 ①x+1<02x-1 ②x-2<01-x ③2x+10 x+2 ④ 1-2x 0 1+x 二、新课1、对于练习题 2中这样的分式不等式，我们可以考虑等价变形去掉分母， 思路（1）： 对分母分正负情况讨论，去分母，注意不等式是否改变方向；（略） 思路（2）： 可以利用不等式的性质给不等式左右同时乘以分母的完全平方。①可化为（x+1）(2x-1)<0②可化为（x-2）(1-x)<0 ③可化为（2x+1）(x+2) 0且2x ④可化为（1-2x ）(1+x)0且1 x 试着与练习1中的不等式比较，解略 概括：原来将这些不等式去掉分母，我们就相当熟悉了！尤其是第二种方法更简单，不过不等式含等号的时候要特别注意等价性啊！2、上面练习题中的 2组不等式，有个共同特点那就是不等式的右边为 0，左边可以 分解因式。下面的不等式也具有这样的特点，又该如何解决？例题1 解不等式：(1)(2)(3) x x x 穿针引线法解高次不等式 设123()()()()()n F x k x a x a x a x a =---- (0)k > 解不等式()0F x >（或()0F x <）时，将方程()0F x =的根123,,,,n a a a a 从小到大依次 标到数轴上，作为针眼.用一根线，从数轴的右上方开始穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼.数轴上方的部分为正，即为；数轴下方的部分为负，即为不等式()0F x <的解. 注意：⑴要求x 的最高次项系数为正；（即：每一个x 的系数为正，且0k >，若0k <， 则不等式两边同时乘以1-，并改变不等号的方向） ⑵二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次；（奇过偶不过） ⑶()0()()0()f x f x g x g x >?>，()0()()0() f x f x g x g x 的解，数轴下方的部分为不等式 ()0F x <的解； ⑺不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0； ⑻穿针引线法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等. Eg1.解关于x 的不等式： ⑴(1)(2)(3)(4)0x x x x ----< ⑵(1)(2)(3)(4)0x x x x ----≤ 分析：设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =---- ★032 细 说 穿 针 引 线 法 江西省乐安县第一中学 黄绍荣 344300 “穿针引线法”，又称“数轴标根法”，准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。适用于分析可分解的多项式函数、可分解的分式函数的符号情况，进而用于解相应高次不等式，研究相应函数的单调性。 如果一个n 次多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=?+?++?+ 可分解为: ()()()()1212()i k r r r r n i k f x a x x x x x x x x =?-?-?-?- 其中1212, ,()0i k k i x x x r r r n x f x r <<<+++== 叫作的重根，n a 是最高次数项系 数，可正也可负，以后每个因子内x 的系数均化为“1”——这一点很重要。 做好如上工作后，那么，我们可以用“穿针引线法”来分析其符号情况。 第1步，标根：在数轴上从左到右依次标出12k x x x ，，， （在标的时候注意区别“空心”与“实心”） 第2步，确定入口：最高次数项系数0n a >时，从数轴的右上． 方入， 0n a <时，从数轴的右下． 方入； 第3步，确定出口：接第2步，用自由曲线自右向左依次连向各根所在点，注意“奇重根穿 过去，偶重根弹出来”。 第4步：读图：数轴上方线条所覆盖的x 范围表示()0f x >，数轴下方线条所覆盖的x 范围表示()0f x <，每个根处()0f x = 实例1:求下列不等式的解集 2(1)3(3)(1)(2)0x x x +--≥ 解:见右图1,得解集为(,3]{1}[2,)-∞-??+∞ 注意：这时所有零点是“实心”的 2(2)(3)(1)(2)0x x x -+--≥ 解: 见右图2，得解集为[3,2]- 注意：这时所有零点是“实心”的. 2(3)(3)(1)(2)0x x x +--< 解: 见右图3，得解集为(3,1)(1,2)-? 注意：这时所有零点是“空心”的. 2 (3)(1) (4) 0(2)x x x +-≥- 解: 见右图4，得解集为(,3][1,2)(2,)-∞-??+∞ 这一点很重要，尤其是在分析 导函数符号情况时用得上。 “数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 是高次不等式的简单解法 当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。 步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1 1“数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：保证X最高次项系数为正）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根“上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1 穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例 摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。 关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用 穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。 一、原理 穿根法解不等式时，一般先将其化为形如： f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0） 的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。 （一）一次不等式 标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0） 我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是 大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边 的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。 所以可以如图标注，图中+、- 用以表示 f(x)=x-x1的符号。 我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。 （二）二次不等式 标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0） (1) x1≠x2时，不妨设x1 一元高次不等式的解法 这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”. 一、解题步骤 求不等式32638x x x -+<-+的解集 1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式. 将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>?+--> 2. 求根：将不等式换成等式解出所有根. (2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x = 3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根. -2 1 4 4. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根. 5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并. 不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或 二、易错提示 求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式. 2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数. 3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”. 4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心. 三、分式不等式解法 穿根法 “数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例 摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。 关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用 穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。 然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。 一、原理 穿根法解不等式时，一般先将其化为形如： f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0） 的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。 在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。 （一）一次不等式 标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0） 我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1 左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的 解。所以可以如图标注，图中+、- 用以表 示f(x)=x-x1的符号。 我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变 穿针引线法 释义：“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。 准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。 当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。使用步骤： 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：换号。将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：标根。在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1 穿线法 编辑 “数轴穿根法”又称“数轴标根法” .简单记为“奇穿过，偶弹回”或“自上而下，从右到左，奇次跟一穿而过，偶次跟一穿不过”. 步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。 示例： 求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：x∈(-1,1)∪(2,+∞) 注意：穿根前应注意，每项X系数均为正，否则应先则提取负号，改变相应不等号方向，再穿根。例如(2-x)(x-1)(x+1)<0，要先化为(x-2)(x-1)(x+1)>0，再穿根。 穿根法的奇过偶不过定律： 当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0 点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。 还有一种情况，例如：（X-1)^2 当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。 总结出来可以简单记为“奇穿过，偶弹回”或“自上而下，从右到左，奇次根一穿而过，偶次根一穿不过” 关于分号的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。继续用穿根法，但是注意，分母不能为零。 穿针引线法 释义:“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。 准确的说,应该叫做“序轴标根法”。序轴:省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。 当高次不等式ｆ（x）>0(或<0）的左边整式、分式不等式φ（x)/h（x)＞0(或＜0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1)(x－a2）…(x －aｎ）的形式,可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间,最右端的区间ｆ(x)、φ(x）/h(x）的值必为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法“。使用步骤: 第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为０。（注意：一定要保证ｘ前的系数为正数) 例如：将x^3-2ｘ^2－ｘ+2>０化为(x－2)(x-1）(ｘ+1)>0 第二步:换号。将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)＝0的根为：x１=２,x２=1,x３=－1 第三步:标根。在数轴上从左到右依次标出各根。 例如:-1 1 2 第四步：画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如：若求（x－2)（ｘ-１)(x+１)＞0的根。 在数轴上标根得：-１ 1 ２ 画穿根线:由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方,穿根线以内的范围。即:-１ 穿针引线法 第一步 在此处键入公式。通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证最高次数项的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 穿针引线法第二步 将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 穿针引线法第三步 在数轴上从左到右按照大小依次标出各根。 例如：-1 1 2 奇穿偶不穿 穿针引线法第四步 画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 穿针引线法第五步 观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1 穿针引线法问题一 出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。 例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。 解x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或0 细说穿针引线法 The manuscript was revised on the evening of 2021 ★032 细 说 穿 针 引 线 法 江西省乐安县第一中学 黄绍荣 344300 “穿针引线法”，又称“数轴标根法”，准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。适用于分析可分解的多项式函数、可分解的分式函数的符号情况，进而用于解相应高次不等式，研究相应函数的单调性。 如果一个n 次多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=?+?+ +?+可分解为: ()()()()12 12()i k r r r r n i k f x a x x x x x x x x =?-?-?-?- 其中1212, ,()0i k k i x x x r r r n x f x r << <++ +==叫作的重根，n a 是最高次数项 系数，可正也可负，以后每个因子内x 的系数均化为“1”——这一点很重要。 做好如上工作后，那么，我们可以用“穿针引线法”来分析其符号情况。 第1步，标根：在数轴上从左到右依次标出12k x x x ，，， （在标的时候注意区别“空心”与“实 心”） 第2步，确定入口：最高次数项系数0n a >时，从数轴的右上． 方入， 0n a <时，从数轴的右下．方入； 第3步，确定出口：接第2步，用自由曲线自右向左依次连向各根所在点，注意“奇重根穿 过去，偶重根弹出来”。 第4步：读图：数轴上方线条所覆盖的x 范围表示()0f x >，数轴下方线条所覆盖的x 范围表示()0f x <，每个根处()0f x = 实例1:求下列不等式的解集 2(1)3(3)(1)(2)0x x x +--≥ 解:见右图1,得解集为(,3]{1}[2,)-∞-??+∞ 注意：这时所有零点是“实心”的 2(2)(3)(1)(2)0x x x -+--≥ 解: 见右图2，得解集为[3,2]- 注意：这时所有零点是“实心”的. 2 (3)(3)(1)(2)0x x x +--< 解: 见右图3，得解集为(3,1)(1,2)-? 注意：这时所有零点是“空心”的. 2 (3)(1) (4) 0(2) x x x +-≥- 解: 见右图4，得解集为(,3][1,2)(2,)-∞-??+∞ 这一点很重要，尤其是在 【专题十四】根轴法（穿针引线法） —解分式不等式法宝 简单分式不等式是一种常见题型，学生往往无法下手，若采取根轴法，分步进行，过程一目了然，简洁便于操作，具体步骤如下： 【步骤一】移项整理（所有项移左边，右边为零） 【步骤二】通分（不能约分，或两边同乘一个公因式） 【步骤三】对分子分母因式分解（保证未知数的系数为正） 【步骤四】求变号零点，划分区间（令各因式为零，求根，并按从小到大顺序标在数轴上，特别注意点的虚实）。 【步骤五】标出正负号，得到解集（确定因式个数，按同号得正，异号得负原则）。 【步骤六】检验（各区间取并集，注意区间端点的开闭）。 【针对训练】： 1.已知01t <<，则不等式()10x t x t ??--< ?? ?的解集为____________ 2.不等式2113x x ->+的解集为_______，0) 1()10)(3(2≥---x x x x 的解集为______。 3.解关于x 的不等式：①222306 x x x x +-<-++ ②2(2)(3)01x x x --<+ ③ 20()x a a R x a -<∈- 4.函数11(0)2()1(0)x x f x x x ?-≥??=?? ②2(1)10ax a x +--> ③2(3)10x a x -++> ④2220()x ax a a R --<∈ 7.于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02 ax b x +≤-的解集为____________。 初中数学精品讲堂系列 中小学课外辅导专家 地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面） 电话：68437068 88422360 更多中小学教育资源请访问https://www.360docs.net/doc/c510035254.html, “穿根法”在初中不等式中的重要应用 最近在给初中的孩子们上课时经常遇到些二次不等式或分式不等式，大部分学生的解法也都是依据初中的知识做的中规中举。就是利用乘法法则，对定义域进行的一个限定。不过我觉得方法是没错，但过程过于麻烦，特别是遇到高次不等式时这种过程的烦琐更为突出。由此我想到了我在读高中时老师教的一种方法----“数轴串根法”。所谓的“数轴穿根法”又称“数轴标根法” 。具体步骤如下： 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。并对左侧的式子进行因式分解（注意：一定要保证x 前的系数为正数） 例如：将32 22x x x ->- 化为(2)(1)(1)0x x x --+> 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(2)(1)(1)0x x x --+=的根为：1232,1,1x x x === 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 ，1 ，2 如图： 这时候记住用不找把原点标出来的，如果标出来了反而容易错。 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 ，1 ，2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1《穿针引线法》的教学设计
精品穿针引线法
细说“穿针引线法”
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
数轴穿根法
穿根法解不等式的原理
用穿根法解不等式(经典归纳)
数学方法穿根法
穿根法解不等式的原理
不等式穿针引线法
穿线法
不等式穿针引线法
穿针引线法
细说穿针引线法
【专题十四】根轴法(穿针引线法)
穿根法