初中数学不等式的性质教案
§7.3不等式的性质
[目标设计]
1、了解不等式的意义,掌握不等式的基本性质,并能正确运用它们将不等式变形;
2、提高学生观察、比较、归纳的能力,渗透类比的思维方法; 重点:掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形。 难点:掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形。 [情境设计] 复习:
1. 解方程 3x -4=5x -5
解:3x -5x =-5+4
-2x =-1
x =2
1化1
2.
[活动设计] 1.
①去分母;②移项;③合并同类项;④化未知数的系数为1
2.试验:
① 有甲、乙两同学,甲的钱多于乙的钱,然后再给甲、乙两人相同的钱,则甲、
(甲的钱肯定还
是多于乙的钱) ②
a>b a+c>b+c 从左侧看:从天平中可以看出 a>b
从右侧看:天平两边加上等量的砝码c
不等式性质1:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c
不等式两边都加上(或减去)
3.操作:将不等式5﹥3的两边分别乘以同一个数,用不等号填空:
5×1()3×1,
5×2()3×2,
5×3()3×3,
5×4()3×4,
…
5×(-1)()3×(-1),
5×(-2)()3×(-2),
5×(-3)()3×(-3),
5×(-4)()3×(-4),
…
不等式性质2:如果a>b,并且c>0,那么ac>bc
不等式性质3:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc
不等式的两边都乘以(或除以)
不等式的两边都乘以(或除以)
练习1-3
4.练习:课本P
14
5.思考:
①不等式的两边都乘以0,会出现什么样的结果?
②不等式的性质与等式的性质有什么相同点、不同点?
6.小结:
1.
2.
3.要注意应用不等式性质2
[例题设计]
补充例题:将下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式: (1)x -5>-1; (2)-2x >3; (3)3x <-9.
[生](1)根据不等式的基本性质1,两边都加上5,得
x >-1+5 即x >4;
(2)根据不等式的基本性质3,两边都除以-2,得 x <-
2
3
; (3)根据不等式的基本性质2,两边都除以3,得 x <-3.
说明:在不等式两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时,要注意数的正、负,从而决定不等号方向的改变与否. [练习设计] 课内作业
1.已知x <y ,用“<”或“>”号填空。 (1)22
++y x ;
(2)y x 3
13
1; (3)y x --; (4)m y m x --;
2.将下列不等式改写成“x >a ”或“x <a ”的形式: (1)3-x >0; (2)x 2-<4。
3. 利用不等式的基本性质,填“>”或“<”: (1)若a >b ,则2a+1 2b+1;
(2)若y 4
5
-
<10,则y -8; (3)若a <b ,且c >0,则ac+c bc+c ; (4)若a >0,b <0, c <0,(a-b )c 0。 4.(1)用“>”号或“<”号填空,并简说理由。
① 6+2 -3+2; ② 6×(-2) -3×(-2); ③ 6÷2 -3÷2; ④ 6÷(-2) -3÷(-2) (2)如果a >b ,则
① b a + c b + ② b a - c b - ③ ac c bc (>0) ④ c a c
b
(c <0) 课后作业
1.根据不等式的性质,把下列不等式化为x >a 或x <a 的形式(a 为常数):
(1)x 31>231--x ; (2))6(2
1
21x x -≤;
(3)x 3->2; (4)23+-x <32+x 2.比较下列各题两式的大小:
(1)333a a 与-; (2)b a b a -+与; (3)3
1
2222222+-+-b a b a 与
3.思考题:
a 是任意有理数,试比较5a 与3a 的大小。 课堂作业
课本P 14习题7.3-1、2 [设计说明]
本课内容重点是推导不等式的性质,为不等式的变形作准备,在推导不等式的性质的过程中,发展学生的观察、比较、归纳的能力,渗透类比的数学思想。在活动设计上,着力通过观察、比较、操作、类比、思考等环节,着重让学生参
与到这个过程中来,体现了主体性的原则。本课教材没有安排例题,考虑到学生的基础较差,补充了变形的例题。
7.3、不等式的性质
海州实验中学吴春玲
教学目标
1.掌握不等式的性质。
2.能熟练运用不等式的性质进行不等式的变形。
3.通过不等式基本性质的推导,培养学生观察、归纳的能力。
教学重点、难点
重点:不等式的基本性质。
难点:不等式的变号问题。
设计思路
本节课是在前一节课的基础上,利用学生所熟悉的生活中的事例,通过观察、类比、试验、猜想等教学活动,让学生经历发现不等式基本性质的过程,培养学生掌握由试验发现规律的方法,积累解决数学问题的经验和方法。
教学过程
一、创设问题情境。
电梯里面有师生两人,老师的身高a米比学生的身高b米要高,当电梯的高度升高6米,老师相对与原来的高度仍比学生高,即:由a>b 可得a+6>b +6 。当电梯的高度降低6米,老师相对与原来的高度还比学生高,即:由a>b 可得a-6>b-6 。
设计说明:通过学生所熟悉的事例引导学生猜想并发现不等式性质一。
二、探索新知。
1.不等式的性质1不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
用不等式表示为:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c
说明:由学生通过实际问题,研究、讨论其中所蕴含的数学思想、方法、规律,渗透概括、归纳的方法。
2.你能否用生活中的例子来说明不等式的性质1呢?
3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢?
探索观察:将不等式5>3的两边都乘以同一个不为0的数,比较所得结果。
用“<”或“>”填空:
5×3 3×3,5×4 3×4,5×(-2) 3×(-2),5×(-0.5) 3×(-0.5)
鲁教版七年级数学下册 不等式的基本性质教案
《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同. 2、掌握不等式的基本性质. 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用. 教学过程 一、比较归纳,产生新知 我们知道,在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式,等式不变. 请问:如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,那么结果会怎样?请举几例试一试,并与同伴交流. 类比等式的基本性质得出猜想:不等式的结果不变.试举几例验证猜想. 如3<7,3+1=4,7+1=8,4<8,所以3+1<7+1;3-5=-2,7-5=2,-2<2,所以3-5<7-5;3+a<7+a;3<7,3-a<7-a等.都能说明猜想的正确性. 二、探索交流,概括性质 完成下列填空. 2<3,2×5______3×5; 2<3,2×(-1)______3×(-1); 2<3,2×(-5)______3×(-5); 你发现了什么?请再举几例试试,与同伴交流. 通过计算结果不难发现:第一个空填“<”,后三个空填“>”. 得出不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1)x-5>-1;(2)-2x>3. 解:(1)根据不等式的基本性质1,两边都加5,得 x>-1+5 即
x >4 (2)根据不等式的基本性质3,两边都除以-2,得 32 <-x 四、练习巩固,促进迁移 1、用“>”号或“<”号填空,并简说理由. ① 6+2 ______ -3+2; ② 6×(-2)______ -3×(-2); ③ 6÷2______ -3÷2; ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质,填“>”或“<”. (1)若a >b ,则2a +1 _____ 2b +1; (2)若a <b ,且c >0,则ac +c ______ bc +c ; (3)若a >0,b <0, c <0,(a -b )c ______ 0. 3、巩固应用,拓展研究. 按照下列条件,写出仍能成立的不等式,并说明根据. (1)a >b 两边都加上-4; (2)-3a <b 两边都除以-3; (3)a ≥3b 两边都乘以2; (4)a ≤2b 两边都加上c . 五、课堂小结 不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
韦达定理与一元二次不等式(教学设计)
韦达定理与一元二次不等式 一、教学目标 通过本节课学习,要达到以下三个目标: (1)知识目标:进一步学习一元二次不等式的解法,体会韦达定理在一元二次不等式中的应用。 (2)能力目标:体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法,提高运算能力、逻辑思维能力。 (3)情感目标:激发学习数学的热情,培养勇于探索、勇于创新的精神,体会事物之间普遍联系的辩证思想,同时 认识到数学知识源自生产生活实际,是人类文化的结晶 这一特点。 二、教材分析 中学阶段涉及的一元二次内容由二次函数作为铺垫,高中阶段研究圆锥曲线中又有二次曲线,一元二次方程的根公式向我们提示了两根与系数间的密切关系,而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上,根与系数的进一步发现,这一发现在数学学科中具有较强的实用价值,学生在处理有关一元二次方程的问题时,比如一元二次不等式问题,就会多一些思想和方法,让解题更为简单、更为灵活,同时也为今后进一步的学习打下基 础。 三、学情分析 刚从初中升入高一的高职学生,基础薄弱,学习习惯较差,对初
中所学习知识的储备不够丰富,而且数形结合思想方面的缺失,望图生畏,这导致教师在教学过程中带来一定的困难。所以教师必须认识到这些在教学时不可盲目地拔高和追求一次到位,而在今后的学习中不滚动式、螺旋式逐步深化,多关注学生的学习过程。 四、重难点分析 (1)重点:一元二次不等式中韦达定理的应用 (2)难点:根据一元二次不等式的解集写出对应的一元二次不等式 五、教学方法 培养学生学会学习,学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务,如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”在教学过程中教师只是起到帮助建构和促进的作用。所以本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让教师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快的自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,并得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六、教学过程 (一)情景引入
最新初中数学之韦达定理
精品文档 精品文档 韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根 12,x x ,那么1212,b c x x x x a a +=-= 说明:定理成立的条件0?≥ 1.不解方程写出下列方程的两根和与两根差 (1)01032=--x x (2)01532=++x x (3)0223422 =--x x 2. 如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数,那么m = ;如果两根互为倒数,那么n = . 3. 若两数和为3,两数积为-4,则这两数分别为 4. 已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += 5. 若方程062=+-m x x 的一个根是23-,则另一根是 ,m 的值是 6. 已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ,且1x >2x ,求下列各式的值: (1)2212x x += ; (2)2 111x x += ; (3)=-221)(x x = ; (4))1)(1(21++x x = 7.已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ,是否存在负数k ,使方程的两个实数根的 倒数和等于4?若存在,求出满足条件的k 的值;若不存在,说明理由。 8.关于x 的方程p x x --822=0有一个正根,一个负根,则p 的值是( ) (A )0 (B )正数 (C )-8 (D )-4 9.已知方程122-+x x =0的两根是1x ,2x ,那么=++1221221x x x x ( ) (A )-7 (B) 3 (C ) 7 (D) -3 10.已知方程0322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么2 111x x +=( ) (A )-31 (B) 3 1 (C )3 (D) -3 11. 若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数,则a 的值是( ) (A )5或-2 (B) 5 (C ) -2 (D) -5或2 12.若方程04322=--x x 的两根是1x ,2x ,那么)1)(1(21++x x 的值是( ) (A )-21 (B) -6 (C ) 21 (D) -2 5 13.分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是( )
不等式的性质教案1
学习目标 1、掌握不等式的基本性质。 2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。 3、知道等式与不等式性质的联系与区别。 重点难点 重难点:不等式的性质及其应用。 学习过程 一、课前预习 1、不等式的性质1: 字母表示为:如果a>b,那么 2、不等式的性质2: 字母表示为:如果a>0,c>0,那么 3、不等式的性质3: 字母表示为:如果a>0,c<0,那么 二、课堂研讨 (一)重点研讨 4、将下列不等式化成“χ>a”或“χ<a”的形式。 (1)χ+12>6 (2)2χ<-2 (3)χ-2>0.9 (4)-3χ<-6
5、思考:等式的性质和不等式的性质有什么异同? 相同点:不同点: (二)拓展训练 6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。 7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗? (三)达标测试 8、填写不等号或变形依据。 (1)∵0<1∴a a+1,依据; (2)若2x>-6,两边同除以2,得,依据;(3)若-12 x f,两边同乘以-3,得,依据。 3 9、若x>y,判断下列不等式变形是否正确,并说出你的理由。(1)x-6 (3)-2x<-2y (4)2x+1>2y+1 (5)ax>ay 三、课后巩固 10、填空 (1)∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 (2)∵ 32 a a p ∴ a 是 数 (3)∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 11、根据下列已知条件,说出a 与b 的不等关系,并说明是根据不等式哪一条性质。 (1)a -3 > b -3 (2) 33a b f (3)-4a > -4b 12、设m >n ,用“<”或“>”填空 ⑴m -5 n -5 ⑵m+4 n+4 ⑶6m 6n ⑷-31 m - 31 n 13、利用不等式的性质解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来。 ⑴ x -7>26 ⑵ 3x <2x+1 教案韦达定理 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 教案:韦达定理(一) 王伟光 一、教学目标 1.通过根与系数的关系的发现与推导,进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力; 2.通过本节课的学习,向学生渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。 二、教学重点、难点 1.教学重点:根与系数的关系的发现及其推导. 2.教学难点:韦达定理的灵活应用. x2+2x﹣4=0 3x2+2x﹣6=0 2x2﹣5x﹣3=0 x 1+x 2 =? x 1 +x 2 =? x 1 +x 2 =? x 1x 2 =? x 1 x 2 =? x 1 x 2 =? 问题1: 对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0(a≠0)是否也具备这个特征? x 1 +x 2 =-,x 1 ·x 2 =, 如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系? 设x 1 、x 2 是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根. ∴ a ac b b x 2 4 2 1 - + - =, a ac b b x 2 4 2 2 - - - =.()0 4 2≥ -ac b 由此得出,一元二次方程的根与系数的关系.(一元二次方程两根和与两根积与 系数的关系)—韦达定理 三:韦达定理内容: 韦达定理说的是:设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ,,则 1212b c x +x =x x =a a -?,。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ,b ,c 的关系。其逆命题:如果12x x ,满足1212b c x +x =x x =a a -?,,那么12x x ,是一元二次方程 ()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。 四:韦达定理应用: 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。金鼎培训将其应用归纳为:①不解方程求方程的两根和与两根积; ②求对称代数式的值; ③构造一元二次方程; ④求方程中待定系数的值; ⑤在平面几何中的应用;⑥在二次函数中的应用等。 (1)、不解方程求方程的两根和与两根积:已知一元二次方程,可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。 例题1: 若x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣7x-2007=0的两根,则x 1+x 2与x 1x 2的值分别是【 】 练习:①下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】 A .x 2+2x ﹣4=0 B .x 2﹣4x+4=0 C .x 2+4x+10=0 D .x 2+4x ﹣5=0 韦达(法国1540-1603) 韦达定理的应用 例1、 已知实数b a ≠,且满足)1(33)1(2+-=+a a ,2)1(3)1(3+-=+b b 则 b a a a b b +的值为( )(2004年全国初中数学竞赛试题第1题) (A )23 (B )-23 (C )-2 (D )-13 例2、实数t s .分别满足1,01999,01991922≠=++=++st t t s s ,求 t s st 14++的值。 (1999年全国初中数学竞赛试题) 例3、若1≠ab ,且有0520019,092001522=++=++b b a a ,则b a 的值是( ) (2001年全国初中数学联合竞赛试题) (A ) 59 (B )95 (C )52001- (D )92001 例4、已知0325,052322=-+=--n n m m ,其中n m .为实数,求n m 1- 的值。 (2000年江苏省初中数学竞赛试题) 例5、设0122=-+a a ,01224=--b b ,且012 ≠-ab 。 求200322)12(a a b ab +-+的值。(2003年全国初中数学联合竞赛初赛题) 练习: 1、 已知实数b a ,满足027,02722=+-=+-b b a a ,求 b a a b +的值。 2、 已知实数b a ,满足015,01522=--=--b b a a ,求 b a a b +的值。 3、 已知实数b a ,满足025,02522=++=++b b a a ,求 a b b a +。 4、 已知βα,是方程022)2(322=--++m x m x 的两根且 2=βα,求m 的值。 5、 已知21,x x 是方程06)53(422=---m x m x 的两根,且 2321=x x ,求m 的值。 6、 关于x 的方程)(09)(2b a x b a x <=+--的两实根为βα,,求αββα+的值。 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 (1)能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系; (2)初步学会作差法比较两实数的大小; (3)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系, 会作差法比较两实数的大小 ,通过类比法,掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. (一)新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< (二)新课讲授 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 (1)某路段限速40km /h ; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ,“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40,于是0<v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于(3),设△ABC 的三条边为a ,b ,c ,则a +b >c ,a -b <c . 对于(4),如图,设C 是线段AB 外的任意一点,CD 垂直于AB ,垂足 为D ,E 是线段AB 上不同于D 的任意一点,则CD <CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着, 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解:提价后销售的总收入为错误!x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 §3.1.1 方程的根与函数的零点 一、导入新课(直接导入) 教师直接点出课题:上一章我们研究函数的图象性质,这一节我们讨论函数的应用,方程的根与函数的零点。 1、先观察下列三个一元二次方程的根与其相应的函数的图象: ①方程2 230x x --=与函数2 23y x x =--; ②方程2 210x x -+=与函数2 21y x x =-+; ③方程2 230x x -+=与函数2 23y x x =-+; 教师引导学生解方程,画函数图象(教师在黑板画出第一个函数图象),并引导学生发现方程的根与函数图象和x 轴交点坐标的关系。 容易知道,①中方程的两个根为121;3x x =-=,函数图象与x 轴有两个交点(-1,0),(3,0), ②中方程的两个实数根为121x x ==,函数图象与x 轴有一个交点(1,0),③中方程无实数根,函数图象与x 轴无交点。 在上面的三个例子中,我们发现: 方程有根,函数图象与x 轴就有交点,并且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。 2、那这个结论对一般的一元二次方程及其相应的函数也成立吗?(学生同桌之间交流完成下表) 0>V 0=V 0 函数 (2b a -+V ,0) ( 2b a --V ,0) (2b a -,0) 无交点 学生自行验证上述结论,结论成立。 3、这个结论对一般的方程及其相应的函数也成立吗? 函数y=f(x)与x 轴的交点在x 轴上,交点的纵坐标为0,那么,横坐标就是0= f(x)的解,也就是方程f(x)= 0的根。若方程有根,则说明所求的横坐标存在,即函数图象与x 轴的交点存在,且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。结论依然成立。 二、构建概念 由上述结论可知,函数图象与x 轴的交点可以把函数图象和方程联系起来,这样的点他还有一个特别的名字:零点。那么,怎样用数学语言来描述零点呢? 请看课本第87页的定义: 定义(教师板书):对于函数y=f(x),我们把使f(x)= 0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 说明:1、零点不是点,而是实数; 2、零点就是方程的根。 我们结合所学的零点一起来描述一下刚刚的结论: 方程f(x)= 0有根 ?函数y=f(x)图象与x 轴有交点 ?函数y=f(x)有零点 三、例题演练 求下列方程的零点 3 2)3()4)(3)(2)(1()2(8 )1(23+-=----=-=x x y x x x x y x y 四、诱导启发 1、通过上面的学习,同学们都有哪些求函数零点的方法呢? (①求相应方程的根,②利用函数图象求交点) 2、若一个函数图象不能直接画出,它相应的方程也不易求根,我们又有什么方法来求得它的零点呢? 请同学们看课本例二。 例2、求函数f (x)=ln 26x x +-的零点的个数。(不易求根,不易画图) 学生会觉得非常困难,激发学生的好奇心和好胜心,并加以引导。 同学们,我们先把这个题目放在一边,来观察函数2 23y x x =--的图象(之前已在黑板上画出)。我们发现2 23y x x =--在区间[-2,1]上有零点,计算f (-2)·f (1)在区间[2,4]上呢? 圆梦堂文化培训学校精品班教案 第 6 讲 1.根与系数的关系的猜想及证明 猜想:两根的和、两根的积与一元二次方程的系数a 、b 、c 有什么关系? 结论:=+21x x _____________,=21x x _____________。 证明猜想:一元二次方程 )0( 02≠=++a c bx ax 的求根公式: a ac b b 242-±-a c a ac a ac b b a a c b b a ac b b x x a b a b a ac b b a ac b b x x a ac b b x a a c b b x ==--=---?-+-=?∴- =-=---+-+-=+∴---= -+-=22 22222122212221444)4(242422242424,24 ●归纳:一元二次方程根与系数的关系:(由于这是数学家韦达提出并证明了的,所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理) 即:两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数;两根之积等于常数项与二次项系数的比。 ●注意,韦达定理使用的前提:(042 ≥-ac b 且0≠a ) 2.用到根与系数的关系的几种常见的求值 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 类型一:利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例1】不解方程,求一元二次方程01322 =-+x x 两个根的①平方和;②倒数和。 答案:① 4 13 ②3 a c x x a b x x x x a c bx ax = ?-=+≠=++2121212,,,)0(0则的两根为 若方程 【例2】不解方程,求下列方程两个根的和与积: (1) 1562 =-x x ; (2) 9732 +-=x x ; (3) 2 415x x =--; 答案:(1)x 1+x 2=6, x 1x 2=-15 (2)x 1+x 2=-37, x 1x 2=3 (3)x 1+x 2=45-, x 1x 2=-4 1 【例3】求运用根与系数的关系一个一元二次方程,使它的两个根是:2 5 , 310- 答案:0505603 25 6522 =-+=-+ x x x x 或 1、设 21,x x 是方程0142 =+-x x 的两个根,则 =+21x x =21x x () 2 212 221-+=+x x x x = ()=-221x x ()2 =-214x x =+2 11 1x x 答案:4、 1、 2x 1x 2、 14 、 X 1+X 2 、12 4 一对一个性化辅导教师授课学案 学生姓名年级初三科目数学授课老师相老师总课时数第几次课 3 授课时间审核人 本次课课题一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 教学目标韦达定理 授课内容 教学内容 对于一元二次方程,当判别式△= 时,其求根公式为:;若两根为,当△≥0时,则两根的关系为:;,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当,时,那么 则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系,综合 性强,应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点。学习中,老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外,还 常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式 存在的三种情况,以及应用求根公式求出方程 的两个根,进而分解因式,即 。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例 做些分析,希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。 例1:已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解? 分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而 筛选出,这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1:不解方程,判别方程两根的符号。 分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若判定根的正负,则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。 说明:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中<0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若>0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。 “不等式的性质”的教学设计 07990201 侯志静 综合理科072班 一、课标分析 数学新课程标准提到:要注重提高学生的数学思维能力,即“在学生学习数学运用数学解决问题时,应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上,在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法,以取得更好的教学效果。二、教材分析 (1)本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分,是不等式的第一节课,由于学生是第一次接触不等式,故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上,着重探究不等式的性质,了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 (2)不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质,不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 (3)不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材,学习不等式,要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想,还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题,这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高,适合学生讨论,可以充分开展合作学习,培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 (4)本章的知识定位与传统教材有些不同,在这套教材中,前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容,现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了,但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同,相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大,并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程,让学生体会 课题:一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)(教案) 编者:隋宝娥 教学目标:1.掌握判别式与韦达定理;2能运用韦达定理解决相关问题;培养学生综合运用只是的能力 教学重点:判别式、韦达定理 教学难点:韦达定理的应用 教学方法:讲练结合 教学手段:实物投影教学过程:(一)复习引入:初中学过一元二次方程根的判别式。一元二次方程ax2+bx+c=o何时有两个不同的实根?有两个相同的实根?没有实根?当方程有实根时,我们如何求出实根?提问学生求根公式,强调方程的根用系数表示,我们有必要进一步研究根与系数的关系。引出新课 (二)新课讲授:由求根公式我们知道方程的两根x i=^ 八;%2=二2 ,教 2a 2a 师引导学生探究x i+x2=- b x i x2=— (a = 0)强调这就是我们今天要研究的韦 a a 达定理,让学生背过。 例1、不解方程,判定解的个数。 2 2 2 (1)5(x +1)-3x=0 (2)2x -(4k+1)x+2k -1=0 目的:练习巩固判别式。学生完成,教师展示实物投影。 例2、已知方程5x2+kx-6=0 有一个根为2,求另一个根和k的值 解法:直接用韦达定理。求出另一根-0.6 k= -7 例3、若方程x2+x-1=0的两根为X1,X2,用韦达定理计算(1)X21+X22;(2)丄+—; x1 x2 3 3 (3)|x1-x2|;(4)x 1 +x2 ;(5)(X1-1)(X2-1) 解:由韦达定理得:X1+X2=-1,X1X2= -1 (1) 2 2 2 X 1+X2 =(X1+X2) -2X1X2=3 (2) 1 1 + -X1x2 =1 X1 X2X1X2 (3) |X1-X2|2 = =(X1- X2)2= :(X1+X2)2-4X1X2=5 |X1-X2|= ■- 5 1、韦达定理(根与系数的关系) 韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明:定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空: 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = , 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数,那么m = ;如果两根互为倒数,那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-4,那么m = ,n = . 6、以1x ,2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3,两数积为-4,则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-,则另一根是 ,m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k = ,若两根互为倒数,则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 9.1.2 不等式的性质 三维目标知识与技能 1、理解掌握不等式的性质; 2、会解决简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集。 过程与方法 经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,初步体会 不等式与等式的异同,初步掌握类比的思想方法。 情感与态度通过创设问题情境和实验探究活动,积极引导学生参与数学活动,提高学习数学的兴趣,增进学习数学的信心,体会在解决问题的过 程中与他人交流合作的重要性。 教学重点:理解并掌握不等式的性质及运用; 教学难点:不等式性质3的探索及正确运用不等式的性质; 教学方法与手段:启发、讨论、探究 教学过程: 一、情境创设 复习回顾: 等式有哪些性质? 导入新课: ①给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码,天平会有什么变化? ②不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码,天平会有什么变化? ③如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数,天平会平衡吗?缩小相同的倍数呢? 二、自主探究 探究活动一 (一)探究不等式的性质 问题1 用“>”或“<”填空. ①-1 < 3 -1+2 3+2,-1-3 3-3 ②5 >3 5+a 3+a ,5-a 3-a ③ 6 > 2 6×5 2×5 ,6×(-5) 2×(-5) ④-2 < 3 (-2)×6 3×6 (-2)×(-6) 3×(一6) ⑤-4 >-6 (-4)÷2 (-6)÷2 (-4)÷(-2)(-6)÷(-2)教案韦达定理
韦达定理在初中数学竞赛应用
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
高中数学_方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
第6讲韦达定理推理及常见计算-人教版暑假班九年级数学上册教学案(教育机构专用)
一元二次方程之韦达定理
不等式的性质的教学设计
课题一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)(教案)
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
人教初中数学七下不等式的性质教案