福建省福州市长乐高级中学2019届高三数学上学期期中试题文

长乐高级中学2018-2019第一学期期中考

高三数学（文科）试卷

命题内容：集合与逻辑用语 函数 导数 三角函数 数列 不等式 立几 班级 姓名 座号 成绩

说明：1、本试卷分第I 、II 两卷，考试时间：120分钟 满分：150分

2、Ⅰ卷的答案用2B 铅笔填涂到答题卡上；Ⅱ卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，每小题只有一个答案符合题意） 1．已知集合A={x|0≤x ≤2}，B={x|x 2

＜9，x ∈Z}，则A ∩B 等于（ ） A ．{0，1，2} B ．[0，1]

C ．{0，2}

D ．{0，1}

2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．已知命题

:sin(2);3

6

p y x x π

π

=-=

曲线的一条对称轴为:q 函数

sin(2)3

y x π

=-在区间

上单调递增．给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧

（?q ）；④（?p ）∨q ．其中真命题的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．已知0.32

2log 0.3,2,0.3a b c ===，则（ ）

A ．a b c >>

B ．c b a >>

C ．b a c >>

D ．b c a >> 6．已知四棱锥P ﹣ABCD 的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为

和3

的矩形，则该

四棱锥外接球的表面积为（ ） A ．18π

B ．

C ．36π

D ．48π

7．设a ，b 表示直线，α，β表示平面，则下列命题正确的是（ ）

A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b

B ．若a ⊥α，α⊥β，则a ∥β

C ．若a ∥α，b ⊥α，则a ⊥b

D ．若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β

8．已知1

()2(0)f x x x x

=+-<，则()f x 有（ ） A ．最大值为0

B ．最小值为0

C ．最大值为﹣4

D ．最小值为﹣4

9．若数列{}n a 满足22*

1

112,2()n n n n a a a a a n N ++=+=∈，则数列{}n a 的前

32项和为（ ） A ．64

B ．32

C ．16

D ．128

10．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=BB 1=2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．

B ．

C ．﹣

D ．

11．函数

sin (1cos 2)y x x =+在区间[﹣2，2]上的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

12. 已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）

A. )0,(-∞

B.

)

21

,0( C. )1 ,0( D. ),0(+∞

第II 卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本题包括4小题，每小题5分） 13．已知e 为自然对数的底数，则曲线

x y xe =在点(1,)e 处的切线方程为

14．在△ABC 中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，．若

，则实数λ的值为

15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥

的体积为 ．

16．已知实数x ，y 满足22222x y x y x y +≥??

-≤??+≤?

若(0)z x my m =->的最大值为4，则

(0)z x my m =->的最小值为 ．

三、解答题

17（10分）已知数列{a n }满足1

11,2(1)n n a na n a +==+，设n

n a b n

=

． （1）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （2）求{}n a 的通项公式及{}n a 的前n 项和n S ． 18（12分）(3sin 3,),(,cos3)(),a

x y b m x m m R =-=-∈已知向量

0a b +=且设()y f x =

（1）求()f x 的表达式，并求函数()f x 在21819[]π

π，

上图象最低点M 的坐标．

（2）若对任意9[0]x π∈，，()91f x t x >-+恒成立，求实数t 的范围． 19（12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点． （1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1； （2）求点C 到平面AC 1D 的距离．

20（12分）在钝角三角形△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长为,,a b c 已知角C 为最大内角，且

32sin a c A =

（1）求角C ； （2）若32c

=,且△ABC 的面积为

，求,a b 的值．

21（12分）已知等差数列{a n }的前3项分别为1,,a b 公比不为1的等比数列{}n b 的前3项分别为4,22,31a b ++

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设2

2

(log

1)

n

n n c a b =

-，求数列{}n c 的前n 项和n S ．

22（12分）已知函数()ln f x x x =

（1）求

()f x 在13[3]，上的最大值与最小值；

（2）求证：

2()(1)31f x x x -+≤--

长乐高级中学2018-2019第一学期半期考

高三数学（文科）参考答案

一、选择题 ADACD CCCAD DB 二、填空题

13． y=2ex ﹣e ． 14．λ=， 15.． 16.﹣6 ．

三、解答题题

17．解：（1）数列{a n }满足a 1=1，na n+1=2（n+1）a n ，

则：（常数），

由于， 故：，

数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得：，

根据

， 所以：

．

(1)21n n S n =-+

18．解：（1）∵，即

，

消去m ，得，

即

，

时，

，

，

即f （x ）的最小值为1，此时

∴函数f （x ）的图象上最低点M 的坐标是 （2）∵f （x ）＞t ﹣9x+1，即，

当时，函数

单调递增，y=9x 单调递增，

∴

在

上单调递增，

∴的最小值为1，

为要恒成立，只要t+1＜1，∴t＜0为所求．19． 1）证明：证：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC；

∴BB1⊥AD，又∵AB=AC，D是BC的中点；

∴AD⊥BC，BC∩BB1=B；

∴AD⊥平面BCC1B1；

（2）连接C1D，由（1）AD⊥平面BCC1B1，AD⊥DC1

∴，AC1=，∴．

==，

设点C到平面AC1D的距离为d．则?d=?CC1

解得d=，∴点C到平面AC1D的距离为．…（12分）

20．解：（1）因为，

由正弦定理可得．

因为sinA≠0，

所以．…（3分）

因为△ABC为钝角三角形，且角C为最大内角，

所以．

故．…（5分）

（2）因为△ABC的面积为，

所以ab=6．…（7分）

由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab，

所以（a+b）2=c2+ab=18+6=24，

即．…（10分）

所以a，b是方程的两解，

解得．…（12分）

21．解：（I）等差数列{a n}的前3项分别为1，a，b，

可得2a=1+b，①

公比不为1的等比数列{b n}的前3项分别为4，2a+2，3b+1，可得（2a+2）2=4（3b+1），②

由①②解得a=3，b=5（a=b=1舍去），

则等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，

则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

b n=4?2n﹣1=2n+1；

（Ⅱ）=

==﹣，

则数列{c n}的前n项和S n=1﹣+﹣+…+﹣

=1﹣=．

22解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=lnx+1，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故f（x）在[，）递减，在（，3]递增，

故f（x）min=f（）=﹣，f（x）max=3ln3；

（2）要证f（x）﹣（x+1）2≤﹣3x﹣1，

即证lnx﹣x+1≤0，

令h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），

h′（x）=﹣1=，

令h′（x）＞0，即1﹣x＞0，解得：0＜x＜1，

令h′（x）＜0，解得：x＞1，

故h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h（x）max=h（1）=0，

故h（x）≤0，问题得证．

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