福建省长乐高级中学2021-2022高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

长乐高级中学2021-2022第二学期期末考

高二数学(理科)试卷

一、选择题。

1.i 是虚数单位,复数734i

z i

+=+的共轭复数z = ( ) A. 1i -

B. 1i +

C.

17312525

i + D.

172577

i -

+ 【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘法运算化简z ，再由共轭复数的概念得到答案. 【详解】因为7(7)(34)25251342525

i i i i

z i i ++--====-+， 所以1z i =+， 故选B.

【点睛】该题考查的是有关复数的共轭复数问题，涉及到的知识点有复数的除法运算法则，复数的乘法运算法则，以及共轭复数，正确解题的关键是灵活掌握复数的运算法则.

2.在一次独立性检验中，其把握性超过99％但不超过99.5％，则2k 的可能值为（ ） 参考数据：独立性检验临界值表

A. 5.424

B. 6.765

C. 7.897

D. 11.897

【答案】B 【解析】

【分析】

根据独立性检验表解题

【详解】22

( 6.635)0.010,(7.879)0.005P k P k ≥=≥= 把握性超过99％但不超过99.5％，26.6357.879k ≤≤，选B 【点睛】本题考查独立性检验表，属于简单题。

3.某公共汽车上有5名乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式（ ） A. 4

5A 种 B. 4

5C 种

C. 45种

D. 54种

【答案】D 【解析】 【分析】

5名乘客选4个车站，每个乘客都有4种选法。 【详解】每个乘客都有4种选法，共有54种，选D 【点睛】每个乘客独立，且每个乘客都有4种选法

4.设()ln f x x x =，若()3f a '=，则a =（ ） A. e B. ln 2 C. 2e

D.

ln 2

2

【答案】C 【解析】 【分析】

先计算()f x '，带入a ，求出即可。 【详解】对()f x 求导得()ln +1f x x '= 将a 带入有()2

ln +13f a a a e '==?=。

【点睛】本题考查函数求导，属于简单题。

5.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为

930，下雨的概率为1130

，既吹东风又

下雨的概率为8

30

.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ） A.

25

B. 89

C. 811

D.

9

11

【答案】C 【解析】 【分析】

在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率÷ 下雨的概率

【详解】在下雨条件下吹东风的概率为

8

830=111130

，选C

【点睛】本题考查条件概率的计算，属于简单题。

6.函数()1

f x x x

=-

的单调增区间是（ ） A. ()(),00,-∞?+∞ B. ()(),0,0,-∞+∞

C. (),0-∞

D. ()0,∞+

【答案】B 【解析】 【分析】

首先确定定义域，再求导判断正负号即可得出答案。 【详解】定义域为(,0)

(0,)-∞+∞

()21

1+

0f x x

'=>恒成立 所以()f x 在(),0-∞上单增，在()0,∞+上单增 所以函数()1

f x x x

=-

的单调增区间是()(),0,0,-∞+∞ 【点睛】本题考查函数单调区间的求法，需要注意的是两个区间不能用并集符号连接。

7.若函数()2

f x x bx c =++的图象的顶点在第一象限，则函数()f x '的图像是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

求导，根据导函数的

性质解题。

【详解】()=2f x x b '+，斜率为正，排除BD 选项。

()2f x x bx c =++的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0

即b <0,选A

【点睛】本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。

8.椭圆22

194

x y +=的点到直线240x y +-=的距离的最小值为（ ）

5 565

D. 0

【答案】D 【解析】 【分析】

写设椭圆22

94x y +=1上的点为M （3cos θ，2sin θ）

，利用点到直线的距离公式，结合三角函数性质能求出椭圆22

94

x y +=1上的点到直线x +2y ﹣4＝0的距离取最小值．

【详解】解：设椭圆22

94

x y +=1上的点为M （3cos θ，2sin θ）

， 则点M 到直线x +2y ﹣4＝0的距离：

d 5

=

=

|5sin （θ+α）﹣4|， ∴当sin （θ+α）4

5

=

时， 椭圆22

94

x y +=1上的点到直线x +2y ﹣4＝0的距离取最小值d min ＝0．

故选：D ．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆的参数方程以及点到直线的距离、三角函数求最值，属于中档题。

9.在6

2??

?的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A. 154

-

B. 38

-

C.

154 D. 38

【答案】B 【解析】 【分析】

二次项展开式中某项的系数，根据二项式定理求解

【详解】6

??

的二项展开式中2x 的系数为5

11

613(2)28C ???-=- ??? 【点睛】本题考查二次项展开式中某项的系数，属于简单题。

10.设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ） A. ()1!n +种 B. ()1!n n ?+种 C.

()1

1!2n +种 D.

()1

1!2

n n ?+种 【答案】D

【解析】

【分析】

要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起。再全排列。

【详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得2

1!(1)!

2

n n

C n n

+

=+选D

【点睛】将两个颜色的球捆绑在一起。再全排列。本题为选择题还可取特值：令n=1,只有一种放法，排除AB，令n=2有6中放法，选D

11.如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）

A. 10

B. 13

C. 15

D. 25

【答案】C

【解析】

【分析】

向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理计算得出答案

【详解】因为只能向东或向北两个方向

向北走的路有5条，向东走的路有3条

走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果

根据分步计数原理知共有3515

?=种结果，选C

【点睛】本题考查分步计数原理，本题的关键是把实际问题转化成数学问题，看出完成一件事共有两个环节，每一步各有几种方法，属于基础题。

12.在一次抗洪抢险中，准备用射击方法引爆漂流的汽油桶。现有5发子弹，第一次命中只

能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是3

4

。则打光子弹

的概率是（）

A.

9256

B.

13

256

C.

45512

D.

91024

【答案】B 【解析】 【分析】

打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次。

【详解】5次中0次：5

14?? ??? 5次中一次： 4

15

3144C ??

?? ???

5次中两次： 前4次中一次，最后一次必中3

14331444C ??

??? ???

则打光子弹的概率是5

14?? ???

+4

1

53144C ???? ???+3

14331444C ????? ???=

13256,选B 【点睛】本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆。

二、填空题.

13.已知随机变量X 服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________. 【答案】0.1 【解析】

随

机

变

量

ξ

服从正态分布

()

20,N σ，且

()()200.4,020.4,P X P X -≤≤=∴≤≤=()20.50.40.1P X ∴>=-=，故答案为0.1.

14.定积分

)

2

x dx =?

__________．

【答案】2π+ 【解析】 【分析】

根据定积分的几何意义求出22

4x dx ，再由微积分基本定理求出2

xdx ?，进而可得出结

果.

【详解】因为22

4x dx表示圆224

x y

+=面积的

1

4

，所以

222

1

42

4

x dxππ

-=?=

?；又

2

2

2

1

2

2

xdx x

==

?，

所以()

22

42

x x dxπ

-+=+

?.

故答案为2

π+

【点睛】本题主要考查求定积分的问题，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即可，属于常考题型.

15.下图三角形数阵为杨辉三角：按照图中排列的规律，第n行（3

n≥）从左向右的第3个数为______（用含n的多项式表示）．

【答案】()

2

1

32

2

n n

-+

【解析】

【分析】

按照如图排列的规律，第n行（3

n≥）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…

找到规律及可求出。

【详解】按照如图排列的规律，第n行（3

n≥）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…由于6=23

?，12=34

?，20=45

?，30=56

?，

则第n行（3

n≥）从左向右的第3个数为2

11

(1)(2)(32)

22

n n n n

--=-+。

【点睛】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题。

16.,,

x y z∈R，若()()()

222

1112

x y z

-+-++=，则x y z

++的最大值为______.

61

【解析】

均值不等式推广；

【详解】=(1)+(1)+(1)111 x y z x y z

++--++≤=

【点睛】熟练掌握

2

112

a b

a b

+

≤≤≤

+

。

三、解答题。

17.7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）

（1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾。

（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起。

（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻。

（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）。

（5）7人分成2人，2人，3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习。

【答案】(1)3600种；(2)720种；(3)1440种；(4)840种；(5)630种

【解析】

【分析】

先特殊后一般。

【详解】(1)16

56

3600

A A=；

(2)35

35

720

A A=

(3)43

45

1440

A A=；

(4)

7

7

3

3

840

A

A

=

(5)

22

3

75

3

2

2

630

C C

A

A

=

【点睛】本题考查排列组合，思想先特殊后一般。属于简单题。

18.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的

零件的个数x

（个）

2 3 4 5

加工的时间y（小

时）

2.5 3 4 4.5

参考公式：

()()

()

11

222

11

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

x x y y x y nxy

b

x x x nx

==

==

----

==

--

∑∑

∑∑

，a y bx

=-，残差

i i i

e y y

=-（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

（2）求出y关于x的线性回归方程y bx a

=+；

（3）求第二个点的残差值，并预测加工10个零件需要多少小时？

【答案】（1）见解析；（2）0.7 1.05

y x

=+；（3）0.15

-；8.05个小时

【解析】

【分析】

按表中信息描点。

利用所给公式分别计算出?b和?a

残差222

??

e y y

=-，计算出

10

?y即为预测值。

【详解】（1）作出散点图如下：

（2）()12345 3.54x =

+++=，()1

2.534 4.5

3.54

y =+++= 4

2

1

54i

i x

==∑，4

1

52.5i i i x y ==∑

2

52.54 3.5 3.5

0.7544 3.5b -??∴=

=-?， 3.50.7 3.5 1.05a =-?=

∴所求线性回归方程为：0.7 1.05y x =+

（3）

20.73 1.05 3.15?y

=?+= 2223 3.150.1??5e

y y ∴=-=-=- 当10x =代入回归直线方程，得0.710 1.058.05y =?+=（小时）

∴加工10个零件大约需要8.

05个小时

【点睛】本题考查线性回归直线，考查学生的运算能力，属于基础题。

19.在直角坐标系0x y 中，直线l 的参数方程为2

32

252x t y ?=+

????=??

（t 为参数）．在极坐标系（与

直角坐标系0x y 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为25ρθ=.

（1）求圆C 的直角坐标方程和l 的普通方程；

（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为(5，求

11

PA PB -. 【答案】（1）(2

2

:55C x y +=；:530l x y -+=；

（22【解析】

（1）l 的普通方程消参，圆C 的直角坐标方程利用公式2

22cos ,sin x x y y ρθρρθ

=?=+?

=? 化简。

（2）联立方程利用韦达定理解出12t t +，12t t ，再带入即可。

【

详解】(1)(2

2

:5C x y +-=

:30l x y -+=

(2)将322x t y t ?=+????=??

代入(2

25x y +=

得240t ++=

12t t ∴+=-124t t ?= ,A B ∴点都在P 点下方。

1212

11t t PA PB AB PA PB PA PB PA PB t t --∴

-===??? 12

=

=

【点睛】极坐标与直角坐标方程互化公式2

22cos ,sin x x y y ρθρρθ

=?=+?

=? 涉及弦长一般利用参数t 的几何意义解题，属于基础题

20.已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；

（2）若不等式()2

2f x m m ≥+的解集非空，求m 的取值范围．

【答案】（1）12x x ?

?

≥????

；（2）{}31m m -≤≤ 【解析】

将函数()21f x x x =+--写出分段函数形式，再分段解不等式。 不等式()2

2f x m m ≥+的解集非空即()2

max 2f x m m ≥+。

【详解】(1)212x x +--≥

232x ≤-???-≥?或21212x x -<

?无解或21

12x x -<

?≥??或1x ≥

1

12

x ?

<<或1x ≥ 12

x ?≥

∴原不等式的解集为12x x ?

?≥

???

?

(2)若要()2

2f x m m ≥+的解集非空 只要()2

max 2f x m m ≥+即可

()()21213x x x x +--≤+--=

()max 3f x ∴=

故2223230m m m m +≤?+-≤

31m ?-≤≤

m ∴的取值范围为{}31m m -≤≤

【点睛】本题考查含绝对值的不等式，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题。

21.为调查某小区居民的“幸福度”。现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”。

（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；

（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望和方差。 【答案】（1）121140；（2）ξ的分布列见解析；数学期望为94

；方差为9

16

【解析】 【分析】

首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数，再计算概率。 由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为

3

4

，知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福”的概率为

3

4

，再计算即可。 【详解】(1)由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人； 记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”，”为事件A .

由题意得()321441233

161619121

1114070140

C C C P A C C ?=--=--= (2)由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为

3

4

，ξ的可能取值为0,1,2,3, 显然33,

4B ξ??~ ???

则()3

110464P ξ??=== ???；()2

1331914464P C ξ??==??= ???；

()2

23

312724464P C ξ??

??==??=

?

???

??；()3

327

3464

P ξ??=== ???； 所以ξ的分布列为

()39344

E ξ=?

= ()319

134416

D np p ξ=-=??=

【点睛】本题考查茎叶图、样本估计总体、分布列、数学期望，属于基础题。

22.设函数()3

65f x x x =-+.

（1）求过()0,3点的切线方程；

（2）若方程()f x a =有3个不同的实根，求a 的取值范围。

（3）已知当()1,x ∈+∞时，()()1f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围．

【答案】（1）33y x =-+；（2）(5-+；（3）3k ≤- 【解析】 【分析】

求导带入求出切线斜率()0f '，再利用点斜式写出切线。 求出()f x 的单调区间，极值，则a 在极小值与极大值之间。 参变分离，求最值。

【详解】(1)设切点为(

)

3

,65a a a -+

()236f x x ='- ()236k f a a ∴='=-切

切线过()0,3

3365362

a a a a k a a

-+--+∴==

切

32

3362

363662a a a a a a a a

-+-=?-=-+

3221a a ?=?=

363k ∴=-=-切 :33l y x ∴=-+切

(2)对函数()3

65f x x x =-+求导，得函数()2

36f x x ='-

令()0f x '>，即2360x ->，解得x >

x <()0f x '<

，即2360x -<，解得x <<

()

f x ∴的单调递增区间是(,-∞及

)+∞，单调递减区间是(

当x =()f x 有极大值5+

当x =()f x 有极小值5-∴

当55a -<<+

直线y a =与()y f x =的图象有3个不同交点， 此时方程()f x a =有3个不同实根。

∴实数a 的取值范围为(5-+

(3)()1,x ∈+∞时，()()1f x k x ≥-恒成立，

也就是365

1x x k x -+≤-恒成立，

令()365

1

x x g x x -+=-，

则()()

()2

25151

x x x g x x x x +--=

=+--，

()g x ∴的最小值为3-，3k ∴≤-

【点睛】本题考查曲线上某点的切线方程，两方程的交点问题以及参变分离。属于中档题。