微专题24椭圆中与面积有关的取值范围问题

微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题

范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取

值范围.

例题：如图，已知椭圆C：x2

＋

＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，左准线方程为

x＝－2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．

高中数学椭圆中的常见最值问题

椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。例1、椭圆19 252 2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的最大值时，P 点的坐标是。P （0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程122 22=+b y a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点， 21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤ 当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤ 2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15 92 2=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则||||2PF PA -的最大值是，此时P 点坐标为。||||2PF PA -的最小值是，此时P 点坐标为。 3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则

浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案

第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真题感悟 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2 ＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围； (2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO → ，求证：1λ＋1μ 为定值. 解 (1)因为抛物线y 2 ＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2 ＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由? ????y 2 ＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2 ×1>0，解得k <0或0

与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1 ?定义法 2 2 例1。P(-2, 3 ),F2为椭圆——=1的右焦点，点M 在椭圆上移动，求丨MP| + | MF 2 |的最大值 25 16 和最小值。分析：欲求丨MP| + | MF 丨的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 | MF | =2a- | MF | , F 1为椭圆的左焦点。解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PR 延长 PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 -| PF |兰| MP| - | MF |兰| PR |当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。因为 2a=10, | PF 1 | =2所以(| MP| + | MF |) ma>=12, (| MP | + | MF | ) min =8 2 2 X y 结论1：设椭圆二 2 =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 a b 一点，则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为2a - | PR |。 2 2 例 2： P(-2,6),F 2为椭圆— -L 25 16 M ，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 1。 MF |连接PF 1并延长交椭圆于点皿仆则M 在M 1处时| MP | - | MF I 取最大值| PF 1 |。二| MP | + | MF |最大值是10+ , 37，最小值是,41 2 2 x y 结论2:设椭圆一2 - =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， a b 则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为 PF ?。 2. 二次函数法 2 2 例3?求定点A(a,0)到椭圆务'￡ =1上的点之间的最短距离。 a b 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示| PA |，转化为x,y 的函数，求最小值。 1 1 解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y 2 =(x-a) 2+1- x 2 = (x_ 2a)2+1d 由椭圆方 =1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求| MP | + | MF |的最大值和最小值。分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- | M 1 M 2

椭圆中的最值问题与定点、定值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为三角函数的最值问题处理。一、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -， 2 2 01)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(2202 0a x b y -=，将其代入 2 0201)(||y c x PF ++=并化简得a x a c PF += 01||。所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a a c PF +=+?= max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。c a a a a c PF -=+-?= )(||min 1。当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。 1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 12 22 =+y x 不同的点A 、B 关于直线2 1 + =mx y 对称。（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ?面积的最大值（O 为坐标原点）。解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为y =联立?? ???+-==+b x m y y x 1122 2，消y 去，得012)121(222=-+- +b x m b x m 。因为直线b x m y +-=1与椭圆 12 22 =+y x 有两个不同的交点，所以04 222 2 >+ +-=?m b 。-------① 设),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点 ),(M M y x M ，则2 4221+= +m mb x x ，

2018届高中数学专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色训练新人教A版选修2_1

专题05 解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（） A . 9 2 B . 5 C . 2 D . 172 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（） A . 42 B . 62 C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ 822262==当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值2故答案选B

3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满足 |，则动点的轨迹是（） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（） A . 1 B 2 C . 3 2 D 3【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大值为285b -=，所以2 3b =，即3b = D ．考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定

椭圆的常见题型及解法一

椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导设P （，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。证法1：。因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴ ，证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 11 PF e d ，又，所以，而。 ∴ ，。

2.公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为，则、、。 ∵ ，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。例2.12,F F 是椭圆22 14x y + =的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。解：设，则1020332,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P Q 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。解：由已知可得，所以直线AB 的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为直径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。

押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题(原卷版)

【押题背景】取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围. 【押题典例】典例1 已知椭圆C： 22 22 x y a b +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2 2 9 2 y ? += ?? 过点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．【答案】（1） 22 1 84 x y +=；（2）．【解析】（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），又因为 2 1 2 OE F P =，所以P点坐标为(2，所以12 2a PF PF =+= 则a=b＝2，因此椭圆的方程为 22 1 84 x y +=；（2）设直线l1：y=k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为() 42k，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得（1+2k2）x2+（﹣8k2）x+8k2﹣k﹣4＝0，所以x P x A 2 2 84 12 k k -- = + ，所以x A 2 2 42 12 k k -- = + ，直线l2的方程为y 1 k =-（x﹣3），所以点D坐标为 1 4 k ?? ? ?? ，押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法： 1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组； 4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题” (如：AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线?直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0．二、基本解题思想： 1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法： (1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转

破解椭圆中最值问题的常见策略

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破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现,在各种题型中均有考查，其中以解答题为重,在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题,也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法,将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。第一类:求离心率的最值问题破解策略之一:建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴两端点,Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB , 求此椭圆离心率的最小值。分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关,很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则a x y k a x y k BQ AQ -= += ,, 利用到角公式及0 120=∠AQB 得：0120tan 1=-++ -- +a x y a x y a x y a x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上,故2222 2y b a a x -=-，消去x ，化简得2232c ab y =又b y ≤即b c ab ≤2 232 则4 2 2 2 3)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 04432 4≥-+e e 解得 13 6 <≤e 。故椭圆离心率的最小值为3 6 。（或222233()ab c a b ≤=-，得：303b a <≤,由21()b e a =-, 故 13 6 <≤e ）(注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。常用椭圆上的点),(y x 表示成 c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围例2：已知椭圆C:22 221(0)x y a b a b +=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使 12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。

高中数学与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1．定义法例1。P(-2,3),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 –︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1 22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论1：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。例2：P(-2,6),F 2为椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+ 37 ，最小值是 41。结论2：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法例3．求定点A(a,0)到椭圆122 22=+b y a x 上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。

椭圆中四边形面积最值问题一例刘向阳

椭圆中四边形面积最值问题一例 -------教学设计扬中市第二高级中学刘向阳一、引入问题背景：生活中我们经常要研究最优解的问题。在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的中的最值问题等.本课重点是借助对常见的面积问题的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用. 二、教学内容分析：解决椭圆最值问题，不仅要用到椭圆定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数方程思想、化归思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破. 几何方法主要结合图形的几何特征，借助椭圆的定义以及平面几何知识寻找存在“最值”的位置;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,建立目标函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题. 三、学生学习情况分析：椭圆的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用平面几何、代数、不等式等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力. 在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。由于椭圆的最值问题涉及到图形运动和数量变化，学生往往缺乏对问题的直觉把握和深切的感受，教学中可通过几何画板直观的呈现数、式、形的联动变化，使学生逐步形成多元联系的观点。

(完整版)微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)

专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||2PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?u u u r u u u r 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22 x y 122 －＝（x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 02 x 2－），B （x 020 x 2－，OA OB ?u u u r u u u r ＝2

椭圆中的最值问题

椭圆中的最值问题邢志平本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。 1. 几何化方向画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。例1. 已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使|AP|+2|BP|最小，则P点坐标为___________。解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。因为，所以。由椭圆第二定义，知，即，所以，这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。所以 P点坐标为。

例2. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R，求|PQ|+|PR|的最大值。解如图1，连结PF 1、PF 2 及F 1 R、F 2 Q，所以得到△PRF 1 及△PQF 2 ，根据题意可知，圆心恰好为椭圆的两个焦点。在三角形中 |PR|<|PF 1|+|F 1 R|， |RQ|<|PF 2|+|F 2 Q|，所以，即。当P、F 1、R与P、F 2 、Q都共线时，，所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。 2. 代数化方向先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。

例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。解在椭圆上取一点P（x，y），。当P点在短轴顶点时，|y|最大为b，所以。又，所以。先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。例4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为

破解椭圆中最值问题的常见策略名师制作优质教学资料

破解椭圆中最值问题的常见策略第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12 2 22>>=+b a b y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则a x y k a x y k BQ AQ -=+= ,，利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++ --+a x a x a x y a x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ，化简得2232 c ab y =又b y ≤即b c ab ≤2 2 32则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 04432 4≥-+e e 解得136<≤e 。故椭圆离心率的最小值为3 6。（或2222)ab a b -，得：0b a <≤ ，由e =，故136 <≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。常用椭圆上的点),(y x 表示成c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围例2：已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使1 2FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得： ααβαβαcos sin 2cos sin sin sin 90 sin 221210 +=++===a PF PF PF PF c 故22 ) 45sin(210 ≥+= αe ，故椭圆离心率的最小值为22。点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。第二类：求点点（点线）的最值问题破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）例3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且

椭圆最值问题常考题型分析

椭圆最值问题常考题型分析在遇到椭圆中线段或三角形周长最值问题时用函数思想有时很复杂，解题时常利用椭圆上点的性质（122MF MF a +=）及三角形三边关系. ◆典例剖析例1、已知点)3,2(-P ，2F 为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MF MP +的最大值和最小值。解：设椭圆左焦点为1F ，∴︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+ a 2-︱MF 1︱，连接PF 1，延长PF 1交椭圆于点M 1，延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。 ∵a 2=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2， P(x 0，y 0)为椭圆内一点，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为a 2–︱PF 1︱。例2、已知点P(-2,6），F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。解：由题可知点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小（求最大值方法同例1）。︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+a 2-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。 ∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+37，最小值是41。结论：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 ◆针对训练练1、已知1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，点)1,1(A ，则1PF PA +的最小值是练2、椭圆 13 422=+y x 的左焦点为F ，直线m x =与椭圆交于A ，B 两点，求FAB ?周长的最大值.

椭圆中最值问题习题2013.08.04

椭圆中最值问题 1.已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，，过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两点，且||3PQ =. （1）求椭圆的方程（2）过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，，则1F MN ?的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆的方程是22 221(0)x y a b a b +=>>，由交点的坐标得：1c =，---------------（1分）由||3PQ =，可得2 23b a =----------------（2分）解得23a b ==，---------------（3分）故椭圆的方程是22 143 x y +=-----------（4分）（2）设1122()N()M x y x y ，，，，不妨设1200y y ><，设1F MN ?的内切圆半径是R ，则1F MN ?的周长是48a =， 1111 ()42 F MN S MN F M F N R R ?=++=，因此1F MN S ?最大，R 就最大-----------------------（6分） 11212121 ()2 F MN S F F y y y y ?= -=- 由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x my =+，由22114 3x my x y =+???+=??得，22(34)690m y my ++-=，--------------（8分）解得221222361361 3434 m m m m y y m m -++-++==++，则212122 1121()234 AMN m S AB y y y y m ?+=-=-=+-----------------（9分）

与椭圆有关的最值问题的例析

与椭圆有关的最值问题的例析例：设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 3 ，过点(1,0)C -的直线交椭圆E 于两点A 、B ，满足2CA BC = 。求当A O B ?面积达到最大值时直线l 和椭圆E 的方程。解：3 e = 得2223 b a = ，又直线过点(1,0)C -，设椭圆方程为22 23(0),x y t t +=>直线方程为1my x =+。由2223,1, x y t my x ?+=?=+?得22(23)420.m y m y t +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122 2 42,.2323m t y y y y m m -+==++ 2CA BC = ，122.y y ∴=-则122284,.23 23 m m y y m m -= = ++ 122 166 32 23 2 2AO B m S y y m m m ?∴=-== ≤ ++ 当且仅当32m m = ，即2 m =± 时，A O B ?面积取得最大值，此时直线l 的方程为 102 x y + +=或10.2 x y -+= 由2 32 m = 代入122 223 t y y m -= +得10t =，∴椭圆方程为22 2310.x y += 例：已知椭圆22 2 1(1)x y a a +=>，直线l 过点(,0)A a -，(,)(0)B a ta t >交椭圆于M ，直线 O M 交椭圆于N 。（1）用,a t 表示A M N ?的面积.S （2）若[]1,2t ∈，a 为定值，求S 的最大值。解：（1）设直线l 的方程为(),2 t y x a = +代入 222 1x y a +=得222 (4)40a t y aty +-=，解得 0y =或22 4.4 at y a t =+

圆锥曲线的范围最值问题

圆锥曲线的最值、范围问题与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意．一、利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．【例1】已知(40),(2)A B ，，2是椭圆22 1259 x y + =内的两个点,M 是椭圆上的动点,求MA MB +的最大值和最小值．【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A M B 、、三点是否共线,总有 MA MB AB +>,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P 为抛物线 x y 42=上一个动点,Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点,当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时,点P 的横坐标为（）

A ． 8179- B ．8 9 C ．817 D ．17 【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点P 到点Q 的距离与点P 到准线距离之和的最小值就是点P 到点Q 的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值. 【解析】设P 到抛物线准线的距离为d ,抛物线的焦点为F ,圆心为C ,则 ()()min min 171PQ d PQ PF CF r +=+=-= ,故选A. 二、单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．【例2】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程. （2）设P 为椭圆上一点,若过点)0,2(M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和T ,且满足OP t OT OS =+(O 为坐标原点),求实数t 的取值范围. 【分析】（1）由题意可得圆的方程为222)(a y c x =+-,圆心到直线01=++y x 的距离 = d a c =+2 1；根据椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, c b a 22==代入*式得1b c ==,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由

椭圆中的定点、定值问题

解析几何中的椭圆是高考中的热点，常见的有求最值、过定点、定值等，这类题型中以直线与椭圆相交为基本模型，处理问题的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目中的条件整体化简。也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目的条件，因题而异。例1、（2017盐城高三三模18）已知A 、F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点、右焦点，点P 为椭圆 C 上一动点，当PF x ⊥轴时，2AF PF =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形（点P 在第一象限），求直线AP 与OQ 的斜率之积；（3）记圆2 2 22 :ab O x y a b += +为椭圆C 的“关联圆”. 若b =P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M 、N ，直线MN 的横、纵截距分别为m 、n ，求证：2234 m n +为定值.学科*网解：（1）由PF x ⊥轴，知P x c =，代入椭圆C 的方程，得2 2221P y c a b +=，解得2P b y a =±. 又2AF PF =，所以2 2b a c a +=，解得12e =. （2）因为四边形AOPQ 是平行四边形，所以PQ a =且//PF x 轴，所以2P a x = ，代入椭圆C 的方程，解得P y =，因为点P 在第一象限，所以2P y = ，同理可得2Q a x =- ，2 Q y b = 所以2 22 2()22 AP OQ b k k a a a a =?=----，由（1）知12c e a ==，得2234b a =，所以34AP OQ k k =-. （3）由（1）知12c e a == ，又b =2a =，所以椭圆C 方程为 22 143 x y +=，圆O 的方程为2 2 x y += ①. 连接,OM ON ，由题意可知，OM PM ⊥， ON PN ⊥，所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，