立体几何高三第一轮复习(含知识点)

第一讲 空间几何体

新课标数学高考《考试大纲》中对“空间几何体”部分的要求：

① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.

一、基础知识梳理：

1。多面体：由若干个______________围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的_____,

相邻两个面的公共边叫做多面体的_______,棱与棱的公共点叫做多面体的_________. 2。棱柱：有两个面互相_______，其余各面都是_________，并且每相邻两个四边形的公共边都__________，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做________,其余各面叫做_________.

棱柱的性质：侧棱都________，侧面是_____________；两个底面与平行于底面的截面是_______________；

过不相邻的两条侧棱的截面是_____________。 3。棱锥：有一个面是______，其余各面都是有一个公共顶点的_______，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

底面是___________，且各侧面______________的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：各侧棱_____，各侧面都是________________；顶点在底面上的射影是底面正多边形的_____。

棱锥的高、斜高和___________________组成一个直角三角形，棱锥的高、_______和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 4。棱台：用一个______________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

正棱台的性质：各侧棱______，各侧面都是____________；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是_____

的正多边形；正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和_________组成一个直角梯形， 两底面中心连线、________和两底面相应的半径也组成一个直角梯形， 5。旋转体：由一个平面图形绕______________________旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，

这条定直线叫做旋转体的__________，

6。圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。旋转轴叫做它们的______，在轴上这边的长度叫做它们的______；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做它们的_______；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的________；无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的_________。

圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角

形、等腰梯形。 注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式R l α= 7.球:以半圆的___________为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球) 球的截面性质: 球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r ，

有下面的关系：____________________。 8。简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。

一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)。 和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面， 投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。 三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。

三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下方，长度与俯视图一样，左视图放在主视图的右方，高度与

主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样。即“长对正，高平齐，宽相等”。 9。斜二测画法的画图规则：在已知图形中取互相垂直的两轴Ox,Oy,画直观图时，把它画成对应的轴

y O x O '''',，使y O x '''∠=45O (或135o ) .已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中画成平行于x '轴、

y '轴的线段；平行于x 轴的线段保持长度不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的一半，

10。旋转体的侧面积：圆柱侧S =______ , 圆锥侧S =________ , 圆台侧S =__________ , 球面S =__________ . 11。空间几何体的体积：柱体V =_______ , 锥体V =_______ , 台体V =________________ , 球V =______ .

二、典型例题：

例1. (2008海南、宁夏理)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）

A. 22

B. 32

C. 4

D. 52

例2. （2007湖北文）在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ） A.3

B.

2

2

C.

3

2λ D.

5

5

例3..(2003北京文、理)如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个

圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )

A ．π2

B ．π23

C ．

π332 D ．π2

1

例4。(2008海南、宁夏文、理)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在

，底面周长为3，那么这个球的体积为 ___ __.

例5. ( 2007广东文)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S

三、基础训练：

1．(2008广东文、理)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

2．(2008全国Ⅱ卷文、理)已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的 公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

3.（2007陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的

三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

（A ）

4

3

3 (B)33 (C) 43 (D) 123

4．（2007山东文、理）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．②④

5．(2007海南、宁夏文)已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC

，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）

Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π

6. (2008四川文)设M 是球心O 的半径OP 的中点，分别过,M O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( ) （Ａ）41 （Ｂ）12 （Ｃ）23 （Ｄ）3

4

7. (2007四川文、理)如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面 三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .

8. (2008广东理)如图5 所示,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径, ∠ABD=60°，∠BDC=45o

.PD 垂直底面ABCD ，PD=R 22.

E,F 分别是PB,CD 上的点,且

FC

DF

EB PE =

,过点E 作BC 的平行线交PC 于G. (1)求BD 与平面ABP 所成角θ的正切值; (2)证明: △EFG 是直角三角形; (3)当2

1

=EB PE 时,求△EFG 的面积.

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四

棱

四、巩固练习：

1。(2008福建文、理)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）

B.

C

. D.

2．(2001全国文，广东)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（ ）

（A ）π3 （B ）π33 （C ）π6 （D ）π9

3、（2006全国Ⅰ卷文、理）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积是（ ）

A ．16π

B ．20π

C ．24π

D ．32π

4. （2002广东、河南、江苏,全国文、理）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( )

A.34

B.45

C.35

D.－3

5

5． (2008四川理) 设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于

OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( )

（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,9

6.( 2008福建文、理)

，则其外接球的表面积是 .

7．（2007辽宁文、理）

的正六棱柱的 所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 8．（2006江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

第二讲 空间直线和平面

新课标数学高考《考试大纲》中对“空间直线与平面”部分的要求：

①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理：

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明：

◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

一、基础知识梳理：

1。两异面直线及所成的角：_____________________的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.

2。直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和________________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是______。一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是______. 3。二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的______，这两个半平面叫做二面角的______。 在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

二、典型例题：

例1．（2007湖南文）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别

是11AB C 、B 的中点，则以下结论中不成立的是( ) A ．1EF BB 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 11与A C 异面

例2.（2005江西理）在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2，

90=∠ABC ，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 .

C 例3. (2008全国Ⅰ卷文)已知菱形ABC

D 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD △所在平面的距离等于 ．

例4．（2004全国卷Ⅳ文、理）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，

侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.

三、基础训练： 1．（2008安徽文\理）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A ．,,m n m n αα若则‖‖‖

B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖

C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖

D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖

2. (2008海南、宁夏文)已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．

成立的是（ ） A. AB ∥m

B. AC ⊥m

C. AB ∥β

D. AC ⊥β

3.（2007陕西文、理）已知P 为平面a 外一点，直线l ?a,点Q ∈l ,记点P 到平面a 的距离为a,点P 到直线l 的距离为b ，点P 、Q 之间的距离为c ，则（ ）

(A) c b a ≤≤ (B)c b a ≤≤ (C) b c a ≤≤ (D)a c b ≤≤

4．（2006全国Ⅱ卷理）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与

两平面α、β所成的角分别为π4和π

6

，过A 、B 分别作两平面交线的垂 线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝（ ） （A ）2∶1 （B ）3∶1 （C ）3∶2 （D ）4∶3 5．（2004浙江理）已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 。 6．（2005湖南文）已知平面βα,和直线，给出条件：

①α//m ；②α⊥m ；③α?m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 时，有β//m ；

（ii ）当满足条件 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）

α β A B

A ′

B ′

7．（2004全国卷Ⅲ理）三棱锥P —ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA=PB=PC=3.

(1) 求证AB ⊥BC ； (2) 如果AB=BC=32，求侧面PBC 与侧面PAC

所成二面角的大小.

8．（2000全国文，江西、天津文，广东） 如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=BCD CD C ∠=∠=1。 （I ）证明：C C 1⊥BD ； （II ）当1

CC CD

的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明。

四、巩固练习：

1．(2008江西文) 设直线m 与平面α相交但不．

垂直，则下列说法中正确的是（ ） A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直

2.(2007天津文、理)设a b ，为两条直线,αβ，为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a α?，b β?，a b ∥，则αβ∥ D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥

3．（2006辽宁文、理）给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行.

②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．

命题的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

P

C A B

4．（2005天津文、理）设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是( )

(A) l m l ⊥=?⊥

,,βαβα

(B) γβγαγα⊥⊥=?,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,

(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,

5．（2004重庆理）设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，

4,2,PA PB ==则AB 的长为：（ ）

A.

B .

C.

D.

6．(2008江苏) 在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证： （Ⅰ）直线EF ∥面ACD ； （Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．

7.(2008山东文) 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==

，2AB DC ==

（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． ．

A

B

C

M

P

D

第三讲 空间向量与立体几何

新课标数学高考《考试大纲》中对“空间向量与立体几何”部分的要求： （1）空间向量及其运算

①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量.

② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，

了解向量方法在研究几何问题中的作用.

一、基础知识归纳：

1.向量的数量积：已知非零向量,，则>

2.两向量夹角的求法：|

b ||a |,cos ?>=<

3. ⊥?0=?

4.已知两点A(x 1,y 1，z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则向量)z z ,y y ,x x (AB 121212---=,

线段AB 的中点M 的坐标是???

??+++2z z ,2y y ,2

x x 212121，

A,B 两点间的距离是212212212)z z ()y y ()x x (||-+-+-=

4.若)z ,y ,x (b ),z ,y ,x (a 222111==，则212121z z y y x x b a ++=?.

5.用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：

(1)化为向量问题:建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面； (2)进行向量运算:通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角问题； (3)回到向量问题:把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

6.设A α?，B α∈，平面α的法向量是，直线AB 与平面α所成的角是θ，则|,cos |sin ><=θ

7.设A α?，B α∈，平面α的法向量是，点A 到平面α的距离|

n |,cos ||d >=<=

二、典型例题：

例1．（2008安徽理）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

,

OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。 （Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

N

B

例2.(2007福建理)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。 （1）求证：AB 1⊥面A 1BD ； （2）求二面角A －A 1D －B 的大小； （3）求点C 到平面A 1BD 的距离。

三、基础训练： 1．（2008浙江文、理）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，

∠BCF=∠CEF=?90,AD=3,EF=2。 （Ⅰ）求证：AE//平面DCF ；

（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为?60？

D A B E

F

C

H

G

2.（2006广东）如图5所示，AF 、DE 分别世O 、1O 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是O 的直径，6AB AC ==,//OE AD .

(I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.

四、巩固练习：

1．(2008湖南文) 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，0

60=∠BCD ，

E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA 。

（I ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （II ）求二面角A —BE —P 和的大小。

图

5 A F

D P

A

B

C

E D

2.(2007山东理)如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中 , 已知122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥，

AB DC ∥． （Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面BD A 1； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．

3.（2004福建理）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23， M 、N 分别为AB 、SB 的中点。 （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ； （Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小；（Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离.

B

C

D A

1A

1

D

1

C

1

B

E

第一讲 空间几何体（参考答案）

二、典型例题：

例1. C. 例2. D ． 例3.. C ． 例4、

43

π. 例5.【解析】（1）画出直观图并就该图作必要的说明. ……………3分 (2)64V =……………7分

(3)40S =+………12分

三、基础训练：

1．A 2．C ． 3. C 4．D ． 5．D 6. D 7. 30O

8. 解：∵PD ⊥底面ABCD

∴PD ⊥AB ，

∵BD 是圆的直径,

∴A D ⊥AB ， 又PD ∩AD=D

∴AB ⊥平面ADP 又AB ?平面ABP

∴平面ABP ⊥平面ADP ，且平面ABP ∩平面ADP=PA. 在平面ADP 内作DH ⊥PA,垂足为H,则DH ⊥平面ABP,

连结BH,则∠DBH 就是BD 与平面ABP 所成角,即∠DBH=θ. 在Rt △ABD 中，BD=2R ，所以AD=3R.

在Rt △ADP 中，DH ⊥PA, PD=22R ，AD=3R, 则AP=R 11

∴ DH=

R AP DP AD 11

6

2=?, 在Rt △BHD 中，BD=2R ，DH=R 1162,所以 BH=R R R DH BD 11

5

2112442222=-=-

∴ 5

30

tan ==BH DH θ. (2)证明: ∵EG ∥BC,

∴

GC PG EB PE =, 又已知FC DF EB PE =

∴ FC

DF

GC PG =

∴GF ∥PD 又由PD ⊥底面ABCD,可知PD ⊥BC ， ∴ EG ⊥GF

∴△EFG 是直角三角形.

(3)当

21=EB PE 时,由平行线截割定理可知,31==PB PE BC EG ,3

2

===BP BE CP CG PD GF , 在△BCD 中,∠BDC=45o

BD=2R,所以BC=2R, 又PD=22R ，

∴EG=32R, GF=3

2

4R.

所以△EFG 的面积为29

4

324322121R R R GF EG S EFG =??

=?=?. 解法2：以A 为原点，分别以AB 、AD 所在的直线为x 、y 轴，建立空间直角坐标系.(略)

四、巩固练习：

1。 D. 2． A

3、C ． 4. C. 5. D. 6.9π. 7．π34

图2

C 8．解：设OO 1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m ）22228)1(3x x x -+=-- 于是底面正六边形的面积为（单位：m 2

）()()2

2

2x 2x 8233x 2x 84

36-

+=-+?

=底

S

。

帐篷的体积为（单位：m 3

）231()2)(1)112)3V x x x x x x ??

=+--+=+-???? 求导数，得2()(123)2

V x x '=

- 令()0V x '=解得x=-2(不合题意，舍去),x=2. 当1,V(x)为增函数； 当2

答当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大。

第二讲 空间直线和平面(参考答案)

二、典型例题： 例1．D . 例

2.

22

3

例 例4．解：（Ⅰ）取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO 垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，

所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =

.96333483

1

=??? （Ⅱ）解：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23，

又知AD=43，AB=8，得

.AB

AD

AE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90°, 所以 AF ⊥BD. 因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的射影，所以PA ⊥BD.

三、基础训练：

1．D ． 2. D. 3. A 4．A 5．5。 6． (ⅰ) ③⑤ (ⅱ) ②⑤ 7．（Ⅰ）证明：如图1，取AC 中点D ，连结PD 、BD. 因为PA=PC ，所以PD ⊥AC ，又已知面PAC ⊥面ABC ，

所以PD ⊥面ABC ，D 为垂足. 因为PA=PB=PC ，所以DA=DB=DC ， 可知AC 为△ABC 的外接圆直径，因此AB ⊥BC. （Ⅱ）解：如图2，作CF ⊥PB 于F ，连结AF 、DF. 因为△PBC ≌△PBA ，所以AF ⊥PB ，AF=CF. 因此，PB ⊥平面AFC ，

所以面AFC ⊥面PBC ，交线是CF ，

因此直线AC 在平面PBC 内的射影为直线CF ， ∠ACF 为AC 与平面PBC 所成的角.

在Rt △ABC

中，

AB=BC=23，所以BD=.6

在Rt △PDC 中，DC=.3,6=PD 在Rt △PDB 中，.23

6

3=?=?=

PB

DB

PD DF 在Rt △FDC 中，,33

6

2tan ===

∠DC DF ACF 所以∠ACF=30°. 即AC 与平面PBC 所成角为30°.

8.（Ⅰ）证明：连结1A 1C 、AC 和BD 交于O ，连结O C 1。

∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，BC =CD 。

又∵∠BC 1C =∠1DCC ，C C 1=C C 1，

∴DC C BC C 11???， ∴1C B=1C D ， ∵OB DO =

∴BD O C ⊥1，

但O O C AC BD AC =⊥1, ，

∴⊥BD 平面1AC 。 又?C C 1平面1AC ， ∴⊥C C 1BD 。

（Ⅱ）当

11

=CC CD

时，能使⊥C A 1平面BD C 1。 证明一： ∵

11

=CC CD

，∴C C CD BC 1==， 又CD C CB C BCD 11∠=∠=∠，由此可推得D C B C BD 11==。 ∴三棱锥BD C C 1-是正三棱锥。

设C A 1与O C 1相交于G 。 ∵AC C A //11，且11C A ：2=OC ：1， ∴G C 1：GO =2：1。

又O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴点G 是正三角形BD C 1的中心，

∴⊥CG 平面BD C 1， 即⊥C A 1平面BD C 1. 证明：由（Ⅰ）知，⊥BD 平面1AC ， ∵?C A 1平面1AC ，∴C A BD 1⊥. 当

11

=CC CD

时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同C A BD 1⊥的正法可得C A BC 11⊥。又B BC BD =1 ， ∴⊥C A 1平面BD C 1。

四、巩固练习：

1．B ． 2. D ． 3．D 4．D 。 5．C. 6．【解析】（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，

∵EF ?面ACD ，AD ? 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.

又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ?面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD 7．（Ⅰ）证明：在ABD △中，由于4AD =，8BD =

，AB = 所以2

2

2

AD BD AB +=． 故AD BD ⊥．

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，

A

B

C

M

P

D

BD ?平面ABCD ，

所以BD ⊥平面PAD ， 又BD ?平面MBD ， 故平面MBD ⊥平面PAD ．

（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，

由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO

⊥平面ABCD ．

因此PO 为四棱锥P ABCD -的高，

又PAD △是边长为4的等边三角形．因此4PO == 在底面四边形ABCD 中，AB

DC ∥，2

AB DC =，

所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB

5=，

此即为梯形ABCD 的高， 所以四边形ABCD

的面积为

24S ==． 故1

243

P ABCD V -=

??=

第三讲 空间向量与立体几何(参考答案)

二、典型例题：

例1．方法一（综合法）

（1）取OB 中点E ，连接ME ，NE

ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖

又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖

MN OCD ∴平面‖ （2）CD ‖AB, M D C ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）

作,AP CD P ⊥

于连接MP ⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP

,4

2

ADP π

∠=

∵∴DP =

MD ==

1c o s ,23

DP MDP MDC MDP MD π

∠==∠=∠=∴

所以 AB 与MD 所成角的大小为3

π

（3）AB 平面∵∴‖OCD,

点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴

又

,AQ OP AQ

OCD ⊥⊥平面∵∴

,线段AQ 的长就是点A

到平面OCD 的距离

2OP ====∵

，2

AP DP ==

2

2

23OA AP AQ OP ===∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 A

B C

M

P

D

O

方法二(向量法)

作

AP CD ⊥于点P,如图

,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x

y z 轴建立坐标系

(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1

A B P D O M N ,

(1)22

22(1,,1),(0,,2),(2)44222

MN OP OD =-

-=-=--

设平面OCD 的法向量为(,,)n x

y z =,则0,n OP n OD =即 2022022

y z x y z -=????-+-=??

取z

=解得n =

22(1,,1)(0,4,2)0MN n =-

-=∵ MN OCD ∴平面‖ (2)设AB 与MD 所成的角为

θ,(1,0,0),(

1)22

AB MD ==-

-∵ 1c o s ,23

AB MD AB MD

π

θθ=

=

=?∴∴ , AB 与MD 所成角的大小为3π

(3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n

?=

=

.所以点B 到平面OCD 的距离为2

3

例2.解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AO ∴⊥平面11BCC B ．

连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，

的中点，

1B O BD ∴⊥， 1A B B D

∴⊥． 在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ． （Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ， 由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．

在1AA D △中，由等面积法可求得5

AF =， 又

11

2

AG AB =

= sin 4

AG AFG AF ∴===

∠． A

B

C

D

1A

1C

1B

O F

所以二面角1A A D B --

的大小为arcsin

4

． （Ⅲ）1A BD △

中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B

． 设点C 到平面1A BD 的距离为d ． 由11A BCD C A BD V V --=得111

333

BCD

A BD S S d

=△△

，

12

BCD

A BD

d S ∴=

=△△

∴点C 到平面1A BD ． 解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥． 在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ， AO ⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则

(100)B ，，，(110)D -，，，1(0

2A ，，

，(003)A ，，，1(120)B ，，， 1(12AB ∴=-，，，(210)BD =-，，，1(12BA =-．

12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．

1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．

(113)

AD =--，，，1(020)AA =，，．

AD ⊥n ，1

AA ⊥n ，

100AD AA ?=?∴?=??，，n

n 020x y y ?-+-=?∴?=?

?，，0y x =??∴?=??，．

令1z =得(1)=

，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．

cos

，111

3222

AB AB AB -

>=

=

=n n ．

∴二面角1A A D B --的大小为 （Ⅲ）由（Ⅱ），1AB 为平面

1A BD 法向量， 1(200)(12BC AB =-=，，，，．

∴点C 到平面1A BD 的距离1

1

22

BC AB d AB -=

=

=

．

三、基础训练： 1．方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形，

所以AD EG

∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．

因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．

所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．

在Rt EFG △

中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．

于是sin 2

BH BE BEH =∠=

． 因为tan AB BH AHB =∠，

所以当AB 为

9

2

时，二面角A EF C --的大小为60． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -．

设AB a BE b CF c ===，，，则(0

00)C ，，，)A a ，，0)B ，，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，

，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥，所以CB ⊥平面

ABE ．

因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =-，

，(30)CE b =，，

，所以0EF CE =，||2EF =， 从而3()0

2b c b -

+-=?

=，，

，解得34b c ==，

所以0)E ，，(040)F ，，．

设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直，则0n AE =，n 解得(1n =． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，

，， 所以||1|cos |2

||||4BA n n BA BA n a <>===，，

得到92

a =

． 所以当AB 为

9

2

时，二面角A EF C --的大小为60．

2.解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,

∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAF 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAF ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；

(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示）， 则O(0,0,0)，A(0,23-,0)，B(23,0,0）,D （0,23-,8），E(0,0,8)，F(0,23,0)

D

A

B

E

F

C

H

G

z

x

所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=

10

8282

10064180|

|||,cos =

?++=

>=

><=α 直线BD 与EF 所成的角为10

82arccos

四、巩固练习： 1．解：解法一

（I ）如图所示, 连结,BD 由ABCD 是菱形且0

60=∠BCD 知，

BCD △是等边三角形. 因为E 是CD 的中点， 所以,BE CD ⊥又,AB CD //所以,BE AB ⊥ 又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ?平面ABCD ，

所以,BE PA ⊥而,AB A =PA 因此 BE ⊥平面PAB. 又BE ?平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB. （II ）由（I ）知，BE ⊥平面PAB, PB ?平面PAB, 所以.PB BE ⊥

又,BE AB ⊥所以PBA ∠是二面角A BE P --的平面角．

在Rt PAB △中

, tan 60.PA

PBA PBA AB

∠==∠=．

故二面角A BE P --的大小为60.

解法二：如图所示,以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

(000),A ，，(100),B ，

，3(0),2C

1(0),2D

(00P

(10).E （I

）因为(0,0),BE =平面PAB 的一个法向量是0(010),n =，，所以BE 和0n 共线. 从而BE ⊥平面PAB. 又因为BE ?平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB.

（II ）易知3

(10,3),(0,0),PB BE =-=，

设1n 111()

x y z =

，，是平面PBE 的一个法向量, 则由1

100n PB n BE ??=???=??，得11111

1000002

x y x y z ?+?-=??

?+

+?=??，

所以111.y x ==0， 故可取1n 1).=，而平面ABE 的一个法向量是2(001).n =，，

于是,1212121

cos ,

.2

||||n n n n n n ?<>=

=．

故二面角A BE P --的大小为60.