人教版高中数学全套教案导学案24 函数的奇偶性

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2．4 函数的奇偶性

【知识络】

1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题．

【典型例题】

11A ）．（例）下面四个结论中，正确命题的个数是（f(x)f(0)?0y；③偶函数轴相交；②函数①偶函数的图象一定与为奇函数的充要条件是yfx=0xR ．（∈））的图象关于（轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是A1 B2 C3 D4

．．．．1y f(x)?提示：①不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；②不对，因为奇2xxf）既是奇函数又是偶函数的函数可以为（函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，aa

xA=0．∈（－〕，，答案为〔）2a2a?1,b??3ax)?ax?bxf( 2）是偶函数，且其定义域为［］（，则（）已知函数1?a a??1a?1a?3b0 AC b0 B Db0 b0 ＝，＝．．．，，＝＝，．

32f(x)?ax?bx?3a?bb0 ．＝为偶函数，得提示：由1(a?1)?2a?0aa?1,2a?A，∴，∴．故答案为又定义域为［．］3)f(fx)(x2x?x)?x2f(0?x R3R上的上的奇函数，当，则时，是定义在（）在）已知）表达式是（

2)?|?x(|xxyy?x(x?2)?x(|x|?2)y?||(x?2)y DC AB ．．．．)f(x2x?f(x)x?20x? R上的奇函数得：时，是定义在提示：由，2f(x)??f(?x)??(x?2x)?x(?x?2)0?x? x0，＜时，当

?2)xx?0)((x??f(x)?x(|x|?2))(xfD ．，答案为，即∴???2)(x?x(0)x?f(?2)?10358?ax?bxf(x)?x??26 f42（，那么（）已知）等于，且53f(?2)?8?18f(82)?26?f(?2)8?1?bx?x?ax??f(x)8 ．∴∴提示：，，为奇函数，1??f(xgf(x)(x)))xg(x)(f5的解析式为是奇函数，若，则（是偶函数，）已知?1x

1??)(x)gxf()g(xf(x)，是偶函数，联立可是奇函：提示由数，得??

1x111111?????)x)xg(f()xf(((x?))f ∴，得：，??????

221x1x1x1x2x12 ．判断下列函数的奇偶性：例1?x1)?xf()?(x(2)1 22；；（）1x?1?x??xf()1?x2?(x?0)x?x2)lg(1?x?f(x)??x)f( 43．（）（；）?

22|x?2|?2?x?x(x?0)??1?x?0[?1,1)f(x)为非奇非偶函数．，关于原点不对称，∴）由（解：1，得定义域为x?1．

∴．2，(2))(0xff(x)?1x??x??1?既是奇函数又是偶函数∴?

2?1?x?0?

2x?1?0??2?1?x?02)?xlg(1?2)xlg(1?(?1,0)(0,1)??，∴由得定义域为，（3）?)f(x?

22x22)?x?2?(|x?2|?2?0??22)x]lg(1(?x)?lg[1??f(x)f(x)为偶函数∵∴???f(?x)?

0x0??x? 4，（，则）当时，

22x?x)(22f(?x)??(?x)?x??(x?x)??f(x)

22)(xx)??f)?x??(?x?f(?x)?(?x0?0?xx?，，则当时，x?(??,??)f(?x)??f(x)f(x)为奇函数．综上所述，对任意的，∴，都有a)xf( 131?的不等式：）上的增函数，试解关于是定义在（例，．若奇函数2?4)?0?f(af(a?2) ．2f(a?2)??f(a?4) 解：由已知得222?f(a?4)?f(4?a)f(a?2)?f(4?a) f(x)．因，于是是奇函数，故?)(xf11 ）上的增函数，从而，是定义在（又?2?2?3?a?a4??2?a??

?1?a?2?1??3?a?21?a?3 ????214a???1??5?a?3或3?a?5??2)3,(．即不等式的解集是y xf(x)?f(y)?f(x?y))(xfx?0R4且当恒有，．已知定义在对任意实数上的函数、，例

20?(x)f??f(1) ．时，，又3)(xf(x)ff(x)3?6][R213上在在为奇函数；（）求证：）求上是减函数；（）求证：（，的最大值与最小值．(0)?ff(0?0)f(0)?f(0)?0y?x? f(0) = 01 ．，可得（，从而，）证明：令y??x f(x)?f(?x)?fx)(x?x)?f(0)?0f(?fx)??(f(x)为奇函数．即故，，令可得，x,xx?x?0f(x?x)?0x?x 2R．从而∈，且，则（）证明：设，于是22211121f(x)?f(x)?f[(x?x)?x]?f(x)?f(x?x)?f(x)?f(x)?f(x?x)?0 221112222221f(x)为减函数．所以，f(?3)f(6) 32．）解：由（，最小值为（）知，所求函数的最大值为

f(?3)??f(3)??[f(2)?f(1)]??[2f(1)?f(1)]??3f(1)?2

f(6)??f(?6)??[f(?3)?f(?3)]??4

f(x)[-36]2 -4 ．，最小值为于是，，上的最大值为在

【课内练习】1 C ）．下列命题中，真命题是（．

1?yA ．函数是奇函数，且在定义域内为减函数x031)?(xy?x B是奇函数，且在定义域内为增函数．函数?2xy? C30）上为减函数．函数，是偶函数，且在（20)?c(y?axac? D02）上为增函数．函数是偶函数，且在（，1?yADB中，中，在定义域内不具有单调性；提示：中，函数的定义域不关于原点对称；x20)(ac?y?ax?c0a? 02C．，）上为减函数，答案为时，在（当?????)x(2a)(xx))(bgxf()(xg52 0，都是奇函数，在（，．，＋∞）上有最大值若)(xf 0）在（－∞，则）上有（

3

1DA5B5 C．最大值－．最小值－．最小值－．最大值－?????)((x)x)f(x)2xabg()xg( 为奇函数．为奇函数，∴、提示：)(xf 0352．∴－，＋∞）上有最大值有最大值又在（，

)(xf(x)f0)??,((??,0) 123C．在，∴在－∴．答案为上有最小值－上有最小值－0)?0xf(xf(?3)?)f(x，则不等式3．定义在，+∞）上是增函数，又R上的奇函数在（0 A）的解集为（+∞）3）∪（3，B．（－∞，－，A．（－30）∪（0，3）

））∪（0，3 D．（－∞，－3）∪（C．（－3，03，+∞）

．提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A2)??f(xy)(xy?f 4.已知函数），2］上是单调减函数，则（A是偶函数，在［0(2)ff(0)?f?f(2)(?1)?f(0)?f(?1) A.B.

(0)f?1)?f(0)f(2)?f(f(?1)?f(2)?. D. C)xf(.

］上单调递减，∴02，］上单调递减在［－提示：由f（x－2）在［0，2(1)1)?f(x)f(?y?f(x)f ，故应选A在［0∵，2］上单调递增.又是偶函数，∴.1xx?)f(x)f(x)(xf0lg1051）时，∈（－，那么当奇函数，当．已知）时，∈（，，x1?)lg(1?x ．的表达式是

1)(fx)??f(?x)??lgxlg(1??xx??（－1，0）时，．∈（0，提示：当1），∴x?1x?2?alog)?f(x a2007 = 20086．＋是奇函数，则．已知2007a3x?a a?2?a2a20071a?10???f(0)log ．，提示：，

解得：，经检验适合，20082007a??3aax

0)?1f(x?1f(x)?x?)xf(∞∈的，则)是偶函数，当时，07．若［，+2}x?{x|0?解集是

0?)f(x)f(x由图可知的图象，提示：偶函数的图象关于y轴对称，先作出

0x?1)?f(2}0?x?{x?{x|1?x?1}|. ，∴的解集为的解集为 8．试判断下列函数的奇偶性：

||x2x1?02|??|x|f(x)?x?2|)1(f(x)?x??)f(x））（1．（2（3；）；

3?x3?x)x(?x2|?f|2|x???????x(f?)|x2||x2||??（解：1R）函数的定义域为，，)xf( 为偶函数．故．2??x01?[?1,0)(0,1] 20x?x?1且?1?，关于原点对称，，定义域为）由（得：?

|x?3|?3?0?

22xx?11?2x1?)xf(??f(x) 为奇函数．，，故)f?(xf(?x)??3x?3?x?x3(0)(01)(1+)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，∪，，（∞）函数的定义域为∪-∞，又非偶函数．aa??3)(y)f(?x?y)?f(x)f,f(x)xy?Rf(，用对一切．已知函数，都有，若9f(12)．表示

f(x)f(x?y)?f(x)?f(y)R中，，它关于原点对称．在解：显然的定义域是

y??x f(0)?f(x)?f(?x)，令，得x?y?0f(0)?f(0)?f(0)f(0)?0，，得令，∴f(x)?f(?x)?0f(?x)??f(x)f(x)是奇函数．∴∴，，即f(?3)?af(12)?2f(6)?4f(3)??4f(?3)??4a．∴，∵

2?1axac3(2)?f2(1)?fb)Zca,b,?xf()?(、、是奇函数，又，，．已知函数10，求bx?c的值.

f(?x)??f(x)?bx?c??(bx?c)f(1)?2a?1?2b，∴c=0. 解：由又得，得4a?1f(2)?321?a??3?，得. 而，解得a?1a?Za?0a?1.

又，∴或1a?0a?1Z??，则若若，则b=b=1∈Z.

，应舍去；2a?1,b?1,c?0. ∴