2017-2018东城高三(理)上学期期末数学2018.1

高三数学（理）（东城）第 1 页（共 13 页）

东城区2017-2018学年度第一学期期末

高三数学 （理科） 2018.1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

（1）若集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|1B x x =<-或2}x >，则A B =

（A ）{2,3}- （B ）{2,1,2,3}-- （C ）{0,1}

（D ）{1,0,1,2}-

（2）函数3sin(2)4

y x π

=+图象的两条相邻对称轴之间的距离是

（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4

π （3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为

（A ）1 （B ）2

（C ）3

2

（D ）74

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（4）若,

x y 满足332,,,y x x y y ??+???

≤≥≥则x y -的最小值为

（A ）5-

（B ）3-（C ）2-

（D ）1-

（5）已知函数41

()2

x x f x +=，则()f x 的

（A ）图象关于原点对称，且在),0[+∞上是增函数 （B ）图象关于y 轴对称，且在),0[+∞上是增函数 （C ）图象关于原点对称，在),0[+∞上是减函数 （D ）图象关于y 轴对称，且在),0[+∞上是减函数 （6）设,a b 为非零向量，则“

=a+b a -b ”是“0?a b =”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 体积为 （A ）

1

6

（B ）13

（C ）

12

（D ）1

（8）现有n 个小球，甲乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个

球，规定谁抓到最后一个球谁赢.如果甲先抓，那么以下推断正确的是 （A ）若4n =，则甲有必赢的策略 （B ）若6n =，则乙有必赢的策略 （C ）若9n =，则甲有必赢的策略

（D ）若11n =，则乙有必赢的策略

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

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第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （ 9 ）若复数(1+i)(i)a -为纯虚数，则实数a =． （10）()5

12x +的展开式中，2x 的系数等于．

（11）已知为等差数列，为其前项和，若，46

4a a +=，则5S =_______．

（12）在极坐标系中，若点(,)3

A m π

(0)m >在圆2cos ρθ=外，则m 的取值范围为．

（13）已知双曲线C ：2

2

21(0)y x b b

-=>的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则

b =；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以

为 ．（写出一个答案即可）

（14）如图1，分别以等边三角形ABC 的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形ABC 称为勒洛三角形ABC ，等边三角形的中心P 称为勒洛三角形的中心. 如图2，勒洛三角形ABC 夹在直线0y =和直线2y =之间，且沿x 轴滚动. 设其中心(,)P x y 的轨迹方程为()y f x =，则()f x 的最小正周期为；

()y f x =的图象与性质有以下描述：

①中心对称图形； ②轴对称图形；③一条直线； ④最大值与最小值的和为2. 其中正确结论的序号为__________.（注：请写出所有正确结论的序号）

图1 图2

{}n a n S n 16a

=

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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,2a =，2sin sin A C =． (Ⅰ) 求c 的长；

(Ⅱ) 若B 为钝角，1

cos 24

C =-, 求ABC △的面积．

（16）（本小题13分）

中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段.货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用.某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了2017年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：

（Ⅰ）已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求a 的值；

（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，从这5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ；

（III ）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这6天收盘价的方差最小.（只需写出结论）

（17）（本小题14分）

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如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ,

,O M 分别为线段,AD DE 的中点．四边形BCDO 是边

长为1的正方形，AE DE =，AE DE ⊥. （Ⅰ）求证：CM //平面ABE ；

（Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；

（III ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.

（18）（本小题13分） 已知函数x x x x x f ln 2

1

61)(3-+=

. （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程； （Ⅱ）若()f x a <对1

(,)x e e

?恒成立，求a 的最小值.

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（19）（本小题14分）

已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：

的离心率等于2

，经过其左焦点(1,0)F -且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点．

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；

(Ⅱ) O 为原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

（20）（本小题13分）

已知数列12:,,,(2)n A a a a n ≥ 满足*

i a N ∈且1(1,2,,)i

a i i n ≤≤= ，数列

12:,,,(2)n B b b b n ≥ 满足()1(1,2,,)i i b a i n τ=+= ，其中1()0a τ=，()(2,3,,)i a i n τ= 表

示121,,,i a a a - 中与i a 不等的项的个数.

（I ）数列A ：1，1，2，3，4，请直接写出相应的数列B ； （II ）证明：(1,2,,)i

i b a i n ≥= ；

（III ）若数列A 相邻两项均不等，B 与A 为同一个数列，证明：(1,2,,)i a i i n == .

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东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）C （3）D （4）B （5）B （6）C （7）A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）40 （11）20 （12）(1,)+∞ （13）1，222x y -=等 （14）23

π

，②④ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解:（Ⅰ）因为2a =，2sin sin A C =，由正弦定理

sin sin a c

A C

=，得4c =． （Ⅱ）由21cos 22cos 14C C =-=-，得2

3cos 8

C =.

因为02C π<<

，得cos C =． 所以sin C ==

方法一：

因为2sin sin A C =，所以sin ,cos 88

A A == 所以

sin sin[()]sin()

sin cos cos sin B A C A C A C A C =π-+=+=+=

=

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所以1

sin 2

ABC S ac B ?== 方法二：

由余弦定理2

2

2

2cos c a b ab C =+-

，得2

120b -=，

解得b =

或b =．

所以1

sin 2

ABC S ab C ?==

（16）（共13分）

解：（I ）由于收盘价的中位数为169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以

a =169.

（II ）由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以ξ的所有可能取值为0,1,2.

33351(0)10C P C ξ===，2132353(1)5C C P C ξ?===，12

323

5

3

(2)10C C P C ξ?===. 所以ξ的分布列为

故ξ的数学期望1336012105105

E ξ=?

+?+?=. （III ）168.

（17）（共14分） 证明：

（Ⅰ）取线段AE 中点P .连接BP 、MP . 因为点M 为DE 中点，所以//MP AD ，1

2

MP AD =

.

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又因为BCDO 为正方形，所以//BC AD ，BC AD =，所以//BC MP ，BC MP =. 所以四边形BCMP 为平行四边形，所以//CM BP . 因为CM ?平面ABE ，BP ?平面ABE ， 所以//CM 平面ABE . （Ⅱ）连接EO .

因为AE DE =，O 为AD 中点，所以EO AD ⊥.. 因为EO ?平面ADE ，平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE 平面ABCD AD =所以,EO OB EO OD ⊥⊥ 又因为正方形BCDO ，所以OB OD ⊥. 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -.

()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1E ，110,,22M ??

???

.

设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =

，

()1,1,0AB = ，()0,1,1AE =

，则有 0,0.

AB m AE m ??=???=??

即0,0.x y y z +=??+=? 令1y =-，则1x z ==，即平面ABE 的一个法向量为()1,1,1m =-

.

()0,1,1DE =-

，cos ,3DE DE DE

?==

= m m m . 所以直线DE 与平面ABE

所成角的正弦值为

3

（Ⅲ）设ON OD λ= ，所以()0,,0N λ=，所以()1,,0NB λ=- ，111,,22MB ??

=-- ??

? .

设平面BMN 的法向量为(),,n u v w =

，则有

0,0.NB n MB n ??=???=?? 即0,11

0.22u v u v w λ-=??

?--=?? 令1v =，则()0,1,1n =

.

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因为0CN n ?=

，则,21u w λλ==-.

即平面BMN 的一个法向量为(),1,21n λλ=-

.

因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ?=

.

解得23

λ=

，所以53AN =.

（18）（本题满分共13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得21ln 21)('2--=x x x f ，且3

2)1(=f . 所以0)1('=f .

所以曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为3

2

=y . （Ⅱ）设()'()g x f x =，（

1

x e e

<<） 则211

'()x g x x x x

-=-=.

令'()0g x =得1x =.

当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：

则()(1)0g x g ≥=，即'()0f x ≥，当且仅当1x =时，'()0f x =. 所以()f x 在1(,)e e

上单调递增.

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又e e e f 2

161)(3-=

， 所以a 的最小值为为

311

62

e e -. （19）（本题满分共14分）

解：（I

）由题意得2212

1.a a b ?=???=+?

解得 1.

a b ?=??=?? 故椭圆C 的方程为2

212

x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.

由22

(1),1,2

y k x x y =+???+=??消去y 得2222

(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0?>.设1122(,),(,)M x y N x y ，

则21222

12241222.12k x x k k x x k ?-+=??+?-?=?+?

， 设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于“QF 平分MQN ∠”，且12,x t x t ≠≠，又等价于“12120QM QN y y

k k x t x t

+=

+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-， 所以(20)Q -，.

① ②

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当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等. 故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等. （20）（共13分） 解：（I ）1，1，3，4，5.

（II ）1i =时，由111a ≤≤知11a =，由题意知111b a =≥，结论成立；

2i ≥时，设(1)i a k k i =≤≤，若1k =，则i i b a ≥；

若2k i ≤≤，则由1211,2,,1k a a a k -≤≤≤- 知121,,,k a a a - 均不与i a 相等. 于是()1i a k τ≥-，()1i i i b a k a τ=+≥=. 综上，(1,2,,)i

i b a i n ≥= .

（III ）当1i =时，由111a ≤≤知11a =，结论成立； 当2i ≥时，假设121,,,i a a a - 中存在一项和i a 相等，设为k a .

在数列121,,,,,,k i i a a a a a - 中，由1i i a a -≠，i k a a =可知，第i 项之前与i a 不相等的 项比第k 项之前与k a 不相等的项至少多了一项1i a -，则()()i k a a ττ>. 于是()1()1i i k k b a a b ττ=+>+=，可得i i k k a b b a =>=，与i k a a =矛盾. 于是121,,,i a a a - 均不与i a 相等，则()1i i i a b a i τ==+=. 综上，若数列A 相邻两项均不相等，且B 与A 为同一个数列， 则(1,2,,)i a i i n == .

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