2020高三第三次联考数学试卷

xx 届高三第三次联考数学试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150,考试时间120分钟,答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷的密封线内.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答在答题卷上,否则答案无效.

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．

1、设集合{}1,2,3P =，集合{}

23Q x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是： ( ) A ．P Q P ?= B. Q P Q ?? C. P Q P ?? D. P Q Q ?= 2、

设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）

A. 充分必要条件

B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件

D. 既不充分也不必要条件 3、方程2

sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是 （ ）

A ．[3,1]-

B ．(,1]-∞

C ．[1,)+∞

D ．

4、如果执行下面的程序框图，那么输出的S = （ ）． Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652

5、将函数sin(2)3y x π

=-的图象先向左平移6

π

，然后将所得图象

上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的

图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin y x =

D ．sin()6

y x π

=-

6、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且

3457-+=n n T S n n ，则使得n

n b a

为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3 B ．4

C ．5

D ．6

7、右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8、 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， AQ uuu r ＝23AB u u u r ＋14

AC u u u

r ，

则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．

15 B ． 4

5 C ． 14 D ．13

第8题

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．

9、化简：2

(1)i i

+= ．

10、 一物体在力F （x ）=4x+2（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0

处运动到x =5处（单位：m ），则力F （x ）所作的功___________

11、已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤??

≥??≥?

，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于

_______,最小值等于____________.

12、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,

共有1m

n C +种取法。在这1m

n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，

共有01101111m m m n n n C C C C C C -+?+?=?，即有等式： 11m m m

n n n C C C -++=成立。试根据上述思想化简下列式子：1122m m m k m k

n k n k n k n C C C C C C C ---+?+?++?=L 。

(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈。

▲选做题：以下三小题请选做其中两题，若三小题都做的，只计前两小题得分。

13、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝720，⊙O 过A 、B 两点且 与BC 相切于点B ，

8

6

4

8

6 4

6 8

4

6 8

4 6 8 4

（第7题）

?

第 13 题图

O C

D

B

A

与

AC 交于点D ，连结BD ，若BC ＝15-，则AC ＝ 。 14、极坐标方程

3sin 42=θ 化为直角坐标方程是 ,

它表示的图形是 _ _ 15、设x ，y 均为正实数，且

3

1

2121=+++y x ，则xy 的最小值为 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。

16、（本小题满分12分） 已知函数.sin cos )

22

cos(214cos )(22x x x x x f -++-=

π

（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）在所给坐标系中画出函数在区间]3

4,3[

π

π的图象

（只作图不写过程）.

17、(本小题满分14分)

将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问： （1）两数之和为8的概率；

（2）两数之和是3的倍数的概率； （3）两数之积是6的倍数的概率。

（4）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在圆x 2+y 2=25的内部的概率。

18、（本小题满分14分）

已知函数()3

2

f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+．

（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式；19、（本题满分14分） 如图，在矩形ABCD 中，2,1,AB AD E ==是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ?向上折起，使D 为D '，且平面D AE '⊥平面ABCE ． （Ⅰ）求证：AD EB '⊥；

（Ⅱ）求直线AC 与平面ABD '所成角的正弦值．

20. （本小题满分14分）

如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=, 点(11)T -，在AD 边所在直线上．

（I ）求AD 边所在直线的方程；

（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程； 20题 （III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的方程．

21、（本小题满分14分）已知x x f m log )(=（m 为常数，m>0且1≠m ） 设))((,),(),(21+∈N n a f a f a f n Λ是首项为4，公差为2的等差数列. （Ⅰ）求证：数列{a n }是等比数列；

（Ⅱ）若b n =a n ·)(n a f ，且数列{b n }的前n 项和S n ，当2=

m 时，求S n ；

（Ⅲ）若c n =lg n n a a ，问是否存在m ，使得{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，

求出m 的范围；若不存在，说明理由.

（2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围。

19题

A B

C

D 'E

参考答案

一：选择题

二．填空题： 9 . 2 10、m

n k C + 11、

12 . 60

13、 2 14、x y 3±=(或2

23x y =) ， 两条直线 15、 16

1.C; {}2,3P Q ?? , P Q P ??

2、A ； 显然(32()log f x x x =+为奇函数，且单调递增。于是 若0a b +≥，

则a b ≥-，有()()f a f b ≥-，即()()f a f b ≥-，从而有()()0f a f b +≥. 反之，若()()0f a f b +≥，则()()()f a f b f b ≥-=-,推出 a b ≥-，即

0a b +≥。故选A 。

3、A; 由()2

2

sin

2sin sin 11a θθθ=--=-++ , 知 31a -≤≤;

4、C; 50(2100)

2122232502552

S ?+=?+?+?++?=

=L 0

5、C; 6

sin(2)sin 2sin 3

y x y x y x π

π

=-

????→=???????→=向左平移

横坐标变为原来的2倍

6、B;

2121(21)143871933

7(21)2422

n n n n n n a n a S n n b n b T n n n ---++=====+---- 2131133n -=或或或 , 351335n =或或或;

7、A 把握住4，6，8三个面有一个共同的顶点这一个特点

8、B; 如下图，设25AM AB =u u u u r u u u r ，15

AN AC =u u u r u u u r

，则AP AM AN =+u u u r u u u u r u u u r ．

由平行四边形法则，知NP ∥AB ，所以

ABP AN ABC AC ?=?u u u r

u u u r ＝1

5

得

14

ABQ ABC ?=?．故45ABP ABQ ?=?，选B ．

9、2（略）

10、60； 力F （x ）所作的功为5

0(42)60x dx +=?

11

从图中看出

max

PO OA ==== ,

所以选A

min PO OC ==

12、m

n k C +； 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从n k +个球（n 个白球，k 个黑球）

中取出m 个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k 个黑球等()1k +类，故有m

n k C +种取法。

13、2; 由已知得 BD AD BC == , 2

()BC CD AC AC BC AC =?=-g ,

解得 2AC =

14、y =;两条直线；由2

4sin 3θ= ,得2224sin 3ρθρ= ,22243()y x y =+ ,

223y x = ,y =;两条直线

15、16； 由

3

1

2121=+++y x 可化为xy =8+x+y,Θx ，y 均为正实数 ∴ xy =8+x+y xy 28+≥（当且仅当x=y 等号成立）即xy-2xy -80≥

可解得xy 4≥,即xy ≥16故xy 的最小值为16。

三、解答题：

16、（本小题满分12分）

解：x x x x

x x f 2cos 2sin 2cos 2sin 21

2sin 21)(2+=+---=

).4

2sin(2π

+

=x ………………3分

（Ⅰ）函数)(x f 的最小正周期ππ

==

2

2T ， ………………5分

令Z k k x k ∈+≤+

≤+

,23

24222πππ

π

π，

Z k k x k ∈+≤≤+,45

2242ππππ

.,8

5

8Z k k x kx ∈+≤≤+πππ

∴函数)(x f 的单调递减区间为)(],8

5

,8[Z k k k ∈++ππππ …………7分

（Ⅱ）

---------------12分

17、（本小题满分14分）

解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件-----------1分 （1） 记“两数之和为8”为事件A ，则事件A 中含有5个基本事件， 所以P （A ）=

536

； 答：两数之和为6的概率为

5

36

。--------------------------------------- 4分 （2）记“两数之和是3的倍数”为事件B ，则事件B 中含有12个基本事件， 所以P （B ）=

13

； 答：两数之和是3的倍数的概率为

1

3

。-------------------------------7分 （2） 记“向上的两数之积是6的倍数”为事件C ，则事件C 中含有其中的15个等可能

基本事件， 所以P （C ）=

1553612

=， 答：两数之积是6的倍数的概率为

5

12

。-------------------------------10分 （3） 基本事件总数为36，点（x ，y ），在圆x 2+y 2=25的内部记为事件D ，则D 包含13

个事件， 所以P （D ）=

36

13。

答：点(x,y)在圆x 2+y 2=25的内部的概率36

13

。----------------------14分

18、（本小题满分13分） 解：()'

232f

x x ax b =-++， -----------------2分

因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，

所以()'

1323f a b =-++=-，即20a b +=，------------------------3分

又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-。------------------------4分 （1）函数()f x 在2x =-时有极值，所以()'21240f a b -=--+=，-------5分

解得2,4,3a b c =-==-，------------------------------------------7分 所以()3

2

243f x x x x =--+-．------------------------------------8分

（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()'

23f

x x bx b =--+在区间

[]2,0-上的值恒大于或等于零，------------------------------------10分

则()()'21220,

'00,f b b f b -=-++≥???

=≥??

得4b ≥，

所以实数b 的取值范围为[)4,+∞．----------------------------------13分

19、（本小题满分13分） 解（Ⅰ）在Rt BCE ?

中，BE == 在Rt AD E '?

中，AE =

=

∵2

2

2

2

2AB BE AE ==+，

∴AE BE ⊥．---------------------------2分

∵平面AED '⊥平面ABCE ，且交线为AE ， ∴BE ⊥平面AED '． ∵AD '?平面AED '

，∴AD BE '⊥．------------------------------------5分

（Ⅱ）设AC 与BE 相交于点F ，由（Ⅰ）知AD BE '⊥， ∵AD ED ''⊥，∴AD '⊥平面EBD '，

∵AD '?平面AED '，∴平面ABD '⊥平面EBD '，且交线为BD '，---------7分 如图19-2，作FG BD '⊥，垂足为G ，则FG ⊥平面ABD '，

连结AG ，则FAG ∠是直线AC 与平面ABD '所成的角．-------------------9分

A B

C

D '

E

F G

19-2

由平面几何的知识可知

1

2EF EC FB AB ==

，∴133EF EB ==

．--------------11分 在Rt AEF ?

中，3

AF =

== 在Rt EBD '?中，FG D E

FB D B

'=

'

，可求得FG =

．∴sin 3

FG FAG AF ∠=== ------------------------------------------------------------------------13分

20、（本题满分14分）

【解析】（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，

所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，

所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．-----------------3分

（II ）由36032=0

x y x y --=??

++?，

解得点A 的坐标为(02)-，， ------------4分

因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．

所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． -----------------6分

又AM ==

从而矩形ABCD 外接圆的方程为2

2

(2)8x y -+=．----------------------9分

（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，

所以PM PN =+

PM PN -=------------------------11分

故点P 的轨迹是以M N ，

为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长a =

2c =．

所以虚半轴长b ==

从而动圆P

的圆心的轨迹方程为22

1(22

x y x -=≤． -----------------14分

21、（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意,22)1(24)(+=-+=n n a f n 即,22log +=n a n m

∴2

2+=n n m a ……………………2分

∴22

22)1(21m m

m a a n n n n ==++++ ∵m>0且1≠m ，∴m 2为非零常数， ∴数列{a n }是以m 4为首项，m 2为公比的等比数列 …………4分

（Ⅱ）由题意22222

2)22(log )(+++?+===n n m n n n n m n m m

a f a

b ， 当212)1(2)22(2++?+=?+==

n n n n n b m 时，

∴2

5432)1(242322+?+++?+?+?=n n n S Λ ① …………6分

①式两端同乘以2，得

326542)1(22423222++?++?++?+?+?=n n n n n S Λ ② …………7分

②－①并整理，得

3265432)1(222222++?++-----?-=n n n n S Λ

32

5

4

3

3

2)1(]2

222[2++?++++++--=n n n Λ

=3332)1(2

1]

21[22+?++---

-n n n 3

3

3

2

)1()21(22+?++-+-=n n

n

n n ?=+32 -----------------------------------------------10分

（Ⅲ）由题意 22

lg (22)lg n n n n c a a n m

m +==+? 要使n n c c <-1对一切2≥n 成立，

即 m m n m n lg )1(lg 2

??+<对一切 2≥n 成立，

①当m>1时， 2)1(2

≥+

∴221m m n ->对一切 2≥n 成立，只需212

2

<-m

m ，

解得 3636<<-

m ， 考虑到0

6 综上，当0

6

或m>1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项. ----------14分