2019-2020学年浙江省温州市“十五校联合体”高二下学期期末联考数学试题word版含答案

2019-2020学年浙江省温州市“十五校联合体”下学期期末联考

高二数学试题

一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|1}x A x e =≤，{|ln 0}B x x =≤，则A

B =（ ）

A ．(,1]-∞

B ．(0,1]

C ．[1,]e

D ．(0,]e 2.在复平面内，复数

2334i

i

-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3.已知焦点在x 轴上的椭圆22

13

x y m +=的离心率为12，则m =（ ）

A ． 6

B ．6

C ．4

D ． 2

4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是（ ）

A 43+

B ．5693

+ D ．5

5.已知6266(1)112ax x bx a x +=+++

+，则实数b 的值为（ ）

A ． 15

B ．20 C. 40 D ．60

6.已知直线1:(1)20l mx m y +++=，2:(1)(4)30l m x m y +++-=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件

7.已知{}n a 是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为n S ，设数列{

}n

S n

的前n 项和为n T ，当且仅当

6n =时，n T 有最大值，则

1

a d

的取值范围是（ ） A ．5(,)2-∞- B ．(3,)-+∞ C. 5(3,)2-- D ．5

(,3)(,)2

-∞--+∞

8. ,x y 满足约束条件20

220220x y x y x y +-≤??

--≤??-+≥?

，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）

A ．

12或1- B ．2或1

2

C. 2或1 D ．2或-1 9.已知函数()sin cos f x a x b x =-（,a b 为常数，0a ≠，x R ∈）在4

x π

=

处取得最小值，则函数

3()(

)4

g x f x π

=-是（ ） A ．偶函数且它的图像关于点(,0)π对称 B ．奇函数且它的图像关于点(,0)π对称

C. 奇函数且它的图像关于点3(

,0)2π

对称 D ．偶函数且它的图像关于点3(,0)2

π

对称 10.已知,,(0,)a b c ∈+∞且a b c ≥≥，12a b c ++=，45ab bc ca ++=，则a 的最小值为（ ） A ． 5 B ． 10 C.15 D ．20

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）

11. ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2

2

2

b a

c a c +=+，则B ∠的大小为 ．

12.过点(0,1)M 且斜率为1的直线l 与双曲线:C 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两渐近线交于点,A B ，且

2

BM AM =，则直线l 的方程为 ；如果双曲线的焦距为，则b 的值为 ．

13.王先生家住A 小区，他工作在B 科技园区，从家开车到公司上班路上有12,L L 两条路线（如图），1L 路线上有123,,A A A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1

2

；2L 路线上有12,B B 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为

33

,45

，若走1L 路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为 ；若走2L 路线，王先生遇到红灯次数X 的数学期望为 ．

14.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1,3不相邻，数字2,5相邻，则这样的五位数的个数是 ．（用数字作答）

15.已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足(1,3)AC =，(3,1)BD =-，则凸四边形ABCD 的面积为 ；AB CD ?的取值范围是 ．

16.函数()1x f x x =+的对称中心为 ，如果函数322()(1)1

x ax ax g x x x -+=>-+的图像经过四个

象限，则实数a 的取值范围是 ．

17.在正四面体P ABC -中，点M 是棱PC 的中点，点N 是线段AB 上一动点，且AN AB λ=，设异面直线NM 与AC 所成角为α，当

12

33

λ≤≤时，则cos α的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

18. 已知函数2()2sin 2sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=+->的周期为π. （1）求ω的值； （2）求函数()f x 在[

,]64

ππ

上的值域.

19. 已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于一点O ，60A ∠=，将BDC ?沿着BD 折起得'

BDC ?，连接'

AC .

（1）求证：平面'

AOC ⊥平面ABD ；

（2）若点'

C 在平面AB

D 上的投影恰好是ABD ?的重心，求直线CD 与底面'

ADC 所成角的正弦值.

20. 已知函数()ln 2f x x x =--. （1）求函数()f x 的最小值；

（2）如果不等式ln (1)0x x k x k +-+>()k Z ∈在区间(1,)+∞上恒成立，求k 的最大值.

21. 如图，已知抛物线1:C 22(0)y px p =>，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且当倾斜角为60的直线l 经过抛物线1C 的焦点F 时，有1

||3

AB =

.

（1） 求抛物线C 的方程； （2）已知圆2

2

21

:(1)16

C x y -+=

，是否存在倾斜角不为90的直线l ，使得线段AB 被圆2C 截成三等分？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

22.已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，14b =，且12n n n b a a +=+，2

11n n n a b b ++=. （1）求234,,a a a 及234,,b b b ；

（2）猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并证明你的结论； （3）证明：对所有的*

n N ∈，3

21113

21221

n n n n n n

n a a b a a b b b b a b ---???

<<+-

2019-2020学年浙江省温州市“十五校联合体”下学期期末联考

高二数学试题参考答案

一、选择题

1-5: ABCCD 6-10:ACDBA

二、填空题

11.

3

π

12. 1,1y x =+ 13.

127

,220

14. 24 15. 2,[2,0)-

16. 1(1,1),(,0)3-- 17. 三、解答题

18.（1）因为()sin 2cos 2)4

f x x x x π

ωωω=-=

-，

且函数()f x 的最小正周期为π，故1ω=；

（2）因为())4f x x π=

-，当[,]64x ππ∈时，有2[,]4124

x πππ

-∈，

故函数()f x 在[

,]64

ππ

上的值域为. 19.（1）因为'

C O B

D ⊥，AO BD ⊥，'

C O AO O =，所以B

D ⊥平面'C OA ，又因为BD ?平面ABD ，

所以平面'

AOC ⊥平面ABD ；

（2）方法一：设'C 在平面ABD 上的投影为H ，即'

C H ⊥平面AB

D ， 过点H 作//HP CD 交AD 于点P ，过点H 作HK AD ⊥于点K ， 连结'

C K ，并过H 作'HQ C K ⊥于点Q ，

因为'

C H ⊥平面AB

D ，即'

AD C H ⊥，且有HK AD ⊥，

'HK

C H H =，所以A

D ⊥平面'KC H ，即AD QH ⊥，

又因为'

HQ C K ⊥，且'AD

C K K =，故HQ ⊥平面'ADC ，

从而知HPQ ∠是PH 与底面'

ADC 所成的角，

设AB a =，则在Rt HPQ ?中有3a PH =

，HQ =，所以sin HPQ ∠=PH 与底面'

ADC 所

成角的正弦值为

63，即CD 与底面'

ADC 所成角的正弦值为63

.

（2）方法二：如图建系O xyz -，

令AB a =，则知3(

,0,0)A ，1(0,,0)2B a ，1(0,,0)2D a -，'33

)C ，

即31(,,0)2CD AB a ==-

，平面'ADC 的法向量为2

(1,3,m =-， 故CD 与底面'

ADC 6

20.（1）函数的定义域为(0,)+∞，因为'

1

()x f x x

-=

，所以当(0,1)x ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当[1,)x ∈+∞时，'

()0f x ≥，函数()f x 单调递增.

因此，函数()f x 的最小值为(1)1f =-.

（2）不等式ln (1)0x x k x k +-+>在区间(1,)+∞上恒成立等价于ln (1)1

x x x

k x x +<

>-，令

ln ()(1)1x x x g x x x +=

>-，则'2

()()(1)

f x

g x x =-，由于(1,)x ∈+∞时，'

()0f x >，函数()f x 单调递增且

(1)10f =-<，所以函数()f x 有且只有一个零点0x ，因为(3)1ln 30f =-<，(4)2ln 40f =->，所以

0(3,4)x ∈，因此，当0(1,)x x ∈时，()0f x <，'()0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x >，'()0g x >，

从而函数()g x 在0(1,)x ，0(,)x +∞上分别是减函数、增函数， 因此0000min 0000(ln 1)(1)

()()11

x x x x g x g x x x x +-====--，

所以，由ln (1)1

x x x

k x x +<

>-得0k x <，因此k Z ∈，且0(3,4)x ∈，所以max 3k =.

21.（1）当倾斜角为60的直线l 经过抛物线1C 的焦点F 时，直线l

的方程为)2

p y x =-

，

∵联立方程组2)22p y x y px

?

=-?

??=?

，即2233504x px p -+=，

∴51||33p AB p =

+=，即18p =，∴抛物线1C 的方程是21

4

y x =； （2）假设存在直线l ，使得线段AB 被圆2C 截成三等分，令直线l 交圆2C 为,C D ，设直线l 的方程为

x my b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知：线段AB 与线段CD 的中点重合且有||3||AB CD =，联立方程组24y x

x my b

?=?=+?，即240y my b --=，

∴124m y y +=，124b y y =-，2

1224

m x x b +=+，

∴线段AB 中点的坐标为2(,)88m m b +，即线段CD 的中点为2(,)88m m

b +，

∴2

870m b +-=，即2

788

m b =-，

又∵||AB ==，

2

3||3)CD m ==<， ∴4

2

22130m m -+=

，即2

11m =±

，∴m =

，b =

，

故直线l

的方程为x =+

. 22.（1）因为12n n n b a a +=+，2

11n n n a b b ++=，且112,4a b ==，

令1n =，得到2

222

824a a b =+??=?解得26a =，29b =；同理令2,3n =分别解得由此可得312a =，316b =，

420a =，425b =；

（2）证明：猜测(1)n a n n =+，2

(1)n b n =+， 用数学归纳法证明：①当1n =时，由上可得结论成立.

②假设当n k =时，结论成立，即(1)k a k k =+，2

(1)k b k =+，

那么当1n k =+时，2

122(1)(1)(1)(2)k k k a b a k k k k k +=-=+-+=++，

222

1(2)k k k

a b k b ++==+，所以当1n k =+时，结论也成立.

由①②，可知(1)n a n n =+，2

(1)n b n =+对一切正整数都成立. （3）由（2）知，

1

n n a n

b n =

+，

于是所证明的不等式即为

13521246

2n n -????

<<（ⅰ）先证明：

135

211

(1,2,3)246

221

n n n n -????

<=+ 因为2

2

414n n -<，所以2(21)(21)n n n -+<，从而22(2

1)(21)4(21)n n n n -+<-，

即

212n n -<，所以135

2135

21246235

7

212

1

n n n n n -

-????

=++

<

(1,2,3)n = 设函数()f x x x =-，04

x π

<

<，则'

()1f x x =-，04

x π

<<

.

因为在区间(0,

)4

π

上'()1f x x =-为增函数，

所以当04

x π

<<

时，'

()1104

f x x π

=<=，

从而()f x x x =-在区间(0,

)4

π

上为单调递减函数，

因此()(0)0f x x x f =-<=对于一切04

x π

<<

都成立，因为当*

n N ∈

4

π

<，

<(1,2,3)n = 综上所述，对所有的*

n N ∈

，均有3

21113

21n n a a a b b b --???

<<.