浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高一上学期期中联考试题 数学(带答案)

2019-2020学年浙江省温州十五校联合体高一上学期期中联考

数学试题

一、单选题

1．下列函数中与函数2y x =相同的函数是( )

A.2

2x y x

=

B.22y x =

C.22)y x =

D.2log 4x

y =

【答案】D

【解析】可用相等函数的两个重要判断依据逐项判断 【详解】

A 项定义域0x ≠，定义域不同，A 错

B 项222y x x ==，对应关系不同，B 错

C 项22)y x =定义域[)0,x ∈+∞，定义域不同，C 错

D 项222log 4l 22og x x

x y ===，定义域和对应关系都相同，D 对

故选：D 【点睛】

本题考查相等函数的判断方法，抓住两点：定义域相同，对应关系相同（化简之后的表达式一致） 2．下列结论描述正确的是( ) A.(,0)R N =-∞e B.Q π∈

C.{0}φ=

D.Z N Z ?=

【答案】D

【解析】利用元素与集合，集合与集合的基本关系判断即可 【详解】

集合N 为自然数集，R N e还包括正整数之外的其他正数，A 错

π为无理数，B 错

空集是任何非空集合的真子集，表示不含任何元素的集合，C 错

整数集的范围比自然数集大，所以Z N Z ?=，D 对 故选：D 【点睛】

本题考查元素与集合，集合与集合的基本关系，是基础题 3．函数()1

x f x +=

的定义域为( ) A.[

)1,0)(0,-?+∞ B.(1,)-+∞

C.[1,)-+∞

D.(0,)+∞

【答案】A

【解析】分别求解分子和分母对应表达式所满足的限定条件，再求交集即可 【详解】

由题可知，应满足[)101

1,0)(0,2100x

x x x x +≥≥-????∈-?+∞??-≠≠??

故选：A 【点睛】

本题考查具体函数的定义域，是基础题

4．已知1a >，函数x y a -=与log ()a y x =-的图象只可能是( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】分别判断1a >，函数x

y a -=与log ()a y x =-的图像特征，结合选项采用排除法可快速求解

【详解】

1x

x

a y a

-=??= ???

，()11,0,1a a >∴∈Q ，1x

y a ??= ???为减函数，

答案在C ,D 中选择；根据()y f x =-与()y f x =图像关于y 轴对称，可得log ()a y x =-与log a y x =关于y 轴对称，1,a >Q 所以四个选项中C 项符合

故选：C 【点睛】

本题考查函数图像的辨析，涉及函数图像的翻折变换，函数图形的翻折变换具有以下特点： ①()y f x =与()y f x =-图像关于y 轴对称 ②()y f x =与()y f x =-图像关于x 轴对称 ③()y f x =与()y f x =--图像关于原点对称

5．在如图所示的三角形空地中，欲建一个如图所示的内接矩形花园（阴影部分），则该矩形花园的面积的最大值为( )

A.120

B.210

C.225

D.300

【答案】C

【解析】可设矩形的长为x ，宽为y ，则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，再根据相似比求出x 与y 的关系式，表示出面积S 关于,x y 的关系式，即可求解 【详解】

设矩形的长为x ，宽为y ，则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，可得

30303030

x y

y x -=?=-，则矩形面积()()2

3015225S xy x x x ==-=--+，当矩形长15x =时，面积S 最大，为225 故选：C 【点睛】

本题考查以三角形为载体建立的一元二次函数求最值问题，找出长与宽的等量代换关系是解题关键

6．已知,,,a b c d R ∈，函数32

(),[,]f x ax bx cx d x a c =+++∈是奇函数，则(1)f 的值( )

A.随a b c d ,,,

的取值而变化 B.只与a 的取值有关 C.与a 和c 的取值都有关 D.0

【答案】D

【解析】根据奇函数的性质可得，0a c +=，同时可判断0b d ==，再将1x =代入表达式求值即可 【详解】

因为3

2

(),[,]f x ax bx cx d x a c =+++∈是奇函数，所以

32(),f x ax bx cx d -=-+-+()()00f x f x b d +-=?==，又奇函数定义域关于原点对称，所以0a c +=，

则c a =-，()3

f x ax ax =-，()10f a a =-=，所以()10f =

故选：D 【点睛】

本题考查奇函数的性质，求解具体的函数值，若函数()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，且函数的定义域关于原点对称

7．已知0.20.3a =，0.30.2b =，0.3log 0.2c =，则,,a b c 的大小为( ) A.b a c << B.c a b << C.c b a << D.a b c <<

【答案】A

【解析】先判断0.3log 0.21c =>，对比,a b 发现既不同底，也不同幂，则应考虑引入一个新的参考量，可设0303.d .=，再分别将a,d ，,b d 进行对比，即可得出三者大小关系 【详解】

由题可判断0.3log 0.21c =>，()0.2

0,10.3

a ∈=，()0.30,10.2

b ∈=，设0303.d .=，

先对比a,d ，看成0.3x

y =，由函数单调递减得a d > 再对比,b d ，看成0.3

y x =，函数在第一象限为增函数，故d b >

所以b a c << 故选：A 【点睛】

本题考查根据指数函数、幂函数、对数函数特点比较大小，解题常规思路为：根据表达式直接判断每个式子大致范围，当范围不能确定时，需要通过构造同底数或同幂的函数，结合函数的增减性来比较大小，再进一步确定大小关系

8．已知定义在[1,1]-上的偶函数()f x 在[0,1]上为减函数，且(1)(32)f x f x ->-，则实数x 的取值范围是( )

A.4(,)(2,)3-∞?+∞

B.4[1,)3

C.4(,2)3

D.

【答案】B

【解析】

先确定函数的定义域应满足[][]11,1321,1x x ?-∈-??-∈-??

，再根据偶函数的增减性和对称性来进行求解即可 【详解】

由题可简单画出拟合题意的偶函数图像，函数定义域为[1,1]-，故应满足[]

[]11,1321,1132x x x x ?-∈-?

-∈-??-<-?

解得4[1,)3

x ∈ 故选：B 【点睛】

本题考查根据偶函数性质求解不等式，易错点为忽略函数定义域，是中档题 9．定义函数序列:()()11x

f x f x x

==

-，()()()21f x f f x =，()()()32f x f f x =， ，()()1()n n f x f f x -=，则函数()2019y f x =的图象与曲线1

2019

y x =-的交点坐标为( )

A.11,2020??- ?-?

?

B.10,2019?

? ?-??

C.11,2018?? ?-??

D.12,2017?? ?-??

【答案】A

【解析】观察式子可得，函数序列应满足()()1

()n n f x f

f x -=()2n ≥的基本递推关系，可先通过递推前几

项，进而求出()n f x 的表达式，再联立函数与曲线进行求解即可 【详解】

本题主要考查函数的概念与图象。

1()()1x f x f x x

==

-， ()211()()11x

x f x f f x x x

-===--12x

x -，

()32()()13x

f x f f x x

==

-，

()1()()1n n x

f x f f x nx -==

-， 所以函数2019()12019x

y f x x

==

-，

要求函数2019()y f x =的图象与曲线1

2019

y x =

-的交点坐标，

则可令

1

120192019

x x x =--，

解得1x =（舍去）或1x =-， 将1x =-代入12019y x =

-得1

2020

y =-，

所以函数2019()y f x =的图象与曲线12019y x =-的交点坐标为11,2020?

?-- ???

故选：A 【点睛】

本题考查由函数的概念求函数解析式，求函数交点坐标，根据递推式找出规律是关键，属于中档题

10．已知0a >,设函数120193

()20191

x x

f x ++=+([,]x a a ∈-)的最大值为M , 最小值为N ,那么M N +=( ) A.2025 B.2022

C.2020

D.2019

【答案】B

【解析】可类比求解分式函数值域的形式分离常数，得1201932016

()20192019120191

x x x

f x ++==-++，再表示出()f x -，通过()()f x f x +-，结合函数的增减性即可求得结果

【详解】

由题可知1201932016()20192019120191x x x f x ++==-++，20162019()201920191

x

x

f x ?-=-+ ()()2016201621024038403892019201621

02x

x f x f x -+?+-=-=+=，

2016

()201920191

x

f x =-

+Q 在[,]x a a ∈-为增函数，()()++2022M N f a f a ∴=-= 故选：B 【点睛】

本题考查分离常数法的具体应用，函数单调性的判断与应用，运算能力，属于中档题

二、填空题

11．已知集合{}25,log M a =，{},N a b =，若{1}M N =I ，则a b +=_____. 【答案】3

【解析】由题可知21log a =，可求出a ，再推导出b ，即可求解 【详解】

由{1}M N =I 得21log a =，2a =，则{}2,N b =，又{1}M N =I ，故1b =，则3a b += 故答案为：3 【点睛】

本题考查由交集结果求解具体参数，是基础题

12．已知幂函数n y x =的图象经过点（3,27），则此幂函数的解析式是_______．

【答案】3y x =

【解析】将点（3,27）代入n

y x =即可求出

【详解】

将点（3,27）代入n y x =得：3273n n =?=，则3

y x =

故答案为：3

y x =

【点睛】

本题考查幂函数解析式的求法，是基础题

13．设函数22

432,2

()log (1),2

x x x f x x x ?-<=?-≥?，则[(3)]f f =________. 【答案】24

【解析】先求内层()3f 的值，代入2x ≥对应的表达式，得()3

32

f =，再将3

2

x =

代入2x <的表达式即可求解 【详解】 先求()43382f log ==，再求3

3=33242f ??-= ???

，即[(3)]24f f =

故答案为：24 【点睛】

本题考查分段函数具体值的求法，应先求内层函数值，再将此值当作自变量再次代入对应的表达式求解，是基础题

14．已知实数1a >，则函数22

()log (32)a f x x ax a =++的单调递增区间为________.

【答案】(,)a -+∞

【解析】可先确定复合函数外层为增函数，故求解内层函数在满足定义域情况下的增区间即可 【详解】

根据复合函数“同增异减”性质，设()log a f x t =，1a >时为增函数，故2232x a t x a ++=应取对应的增区间，

()()222032t x a x a x ax a =+=++>+，解得2x a <-或x a >-，当x a >-时，t 为增函数，故

22()log (32)a f x x ax a =++的增区间为(,)a -+∞

故答案为：(,)a -+∞ 【点睛】

本题考查复合函数增减区间的求解，复合函数增减性满足“同增异减”性质，同时求解时内层函数表达式一定要在外层函数定义域内进行求解

15．设a R ∈，且11

22

2

a a --=，求1

a a --=_________. 【答案】42【解析】可对11

22

2a a --=左右同时平方，结合平方关系即可求解 【详解】 对11 2

2

2

a a

--=左右同时平方得2

11 1122246a a a a a a ---??-=+-=?+= ???

同时由1

1 22

2a a

--=可判断1a >，则1

0a a -->，()()

1

2

121=43242a a

a a a a ---?-=+=--

故答案为：2 【点睛】

本题考查利用整体法求解表达式数值，和的平方与差的平方的关系，可简单记为：()()2

2

4a b a b ab -=+- 16．设函数1,0()lg ,0

x x f x x x ?+≤?=?>??,若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===,则22

134234x x x x x x +的取

值范围是________. 【答案】[20,2)--

【解析】可先画出函数图像，结合图像，对22

134234x x x x x x +化简，根据4x 的范围求解即可

【详解】 如图所示：

()=f x lg x 的两根为34,x x ，34lg x lg x -=，则3434+01lg x lg x x x =?=

又由()01x ,f x x ≤=+可得，()12212x x +=?-=-（对称性）

故()222

134********=+2x x x x x x x x x x x +=-，由图可知(]4110x ,∈

所以[)2

2

1342344220,2x x x x x x x -+=-∈-

故答案为：[20,2)-- 【点睛】

本题考查分段函数图像的画法，根据函数图像的交点求解取值范围问题，综合性强，数形结合大大减小了试题难度，根与函数图像关系值得深入研究，是一道好题

三、解答题

1722

log 3123258(log 10)44lg 24lg 21-+-+. 【答案】10

【解析】采用指数与对数相关公式进行化简即可 【详解】

原式22

2log 3323(2)lg 252(2lg 21)+- =2lg 259(12lg 2)-++- =12lg100- =10 . 【点睛】

本题考查指数与对数的化简求值，熟练掌握基本运算公式是解题关键，如幂的乘方、积的乘方、正分数指

数幂，对数的加法（减法）公式、对数的化简公式（逆运算）、和（差）的平方公式、去绝对值的基本方法等，掌握这些基本公式和运算法则能让我们在数学运算中游刃有余

18．已知全集U =R ，集合1{|124}x A x -=<<,1

{|(),2}2

x

B y y x ==≥-. （1）求()U A B I e；

（2）若集合{|121}C x x a a =-<-<-，且C A ?，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|01x x <≤或34}x ≤≤；（2）[1,)+∞.

【解析】（1）先对集合,A B 进行化简，再根据集合的混合运算法则进行求解即可 （2）由C A ?判断，集合C 应该分为C =?和C ≠?两种情况进行求解即可 【详解】

（1）由已知得{|13}A x x =<<， ∴{|1U C A x x =≤或3}x ≥

{|04}B y y =<≤

∴ (){|01U C A B x x ?=<≤或34}x ≤≤ . （2）{|211}C x a x a =-<<+

当211a a -≥+时，即2a ≥时，C φ=，满足C A ?，

当2a <时，由题意211

13

a a -≥??

+≤?，解得12a ≤<，

综上，实数a 的取值范围是[1,)+∞. 【点睛】

本题考查集合的混合运算，根据集合的包含关系求解参数问题，易错点为由C A ?，容易忽略C φ=的情况

19．已知定义在R 上的函数()22x x

f x a -=-? ()a R ∈.

(1) 当0a >时,试判断()f x 在区间(1,)+∞上的单调性,并给予证明.

(2) 当1a =时,试求2[()]4

()()

f x

g x f x +=()12x ≤≤的最小值.

【答案】(1) ()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，证明见解析； (2)4. 【解析】（1）用定义法严格证明即可

（2）用换元法设(),(12)f x t x =≤≤，4()g x t t

=+，由（1）可得315

[,]24t ∈，再根据对勾函数增减性

求出()g x 的最小值即可 【详解】

(1) 用定义法证明如下: 设 121

则112212()()(22)(22)x x x x

f x f x a a ---=-?--?

1221(22)(22)x x x x a --=-+-

12

1

2

1222(22)2

x x x x x x a +-=-+

1212

(22)(1)2

x x x x a +=-+

，

121， 12220x x ∴-<, 12

102x x a ++

>，

1212

(22)(1)02

x x x x a +∴-+

<, 即12())0(f x f x -<，

∴()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；

(2)设(),(12)f x t x =≤≤,则4()g x t t

=+

， 由(1)知, 当1a =时()f x 在区间(1,)+∞上单调递增

∴315

[,

]24t ∈ ， 4y t t =+Q 在区间3[,2]2上单调递减,在区间15

[2,]4

上单调递增 ，

∴当2t =, 即1

222

x x -

=,解得2log (21)x =时,min ()4g x =. 【点睛】

本题考查函数增减性的证明，复合函数值域的求法，换元法的应用，换元法的核心在于新元的取值范围必须明确，复合函数的增减性遵循同增异减

20．已知函数22()log (1)f x ax x =-+,2()2(0)g x x bx x =+->,()

51

()2

(0)1

f x x h x x x -=-<-. (1)如果(1,3)x ∈时,()f x 有意义,求实数a 的取值范围;

(2)当1a =时,若函数()g x 的图象上存在A B 、两个不同的点与()h x 图象上的A B ''、两点关于y 轴对称,求实数b 的取值范围. 【答案】(1) 1

4

a >

；(2) 425 1.b << 【解析】（1）可通过分离参数法，要使210ax x -+>对(1,3)x ∈恒成立，等价于211

a x x

>-+对(1,3)x ∈恒成立，求出211

x x

-

+的最大值，即可求解 （2）先对()

51

()2(0)1f x x h x x x -=-

<-进行化简，可得24()(0)1

x h x x x x x =--<-，可将函数()g x 的图象上存在,A B 两个不同的点与()h x 图象上的''A B 两点关于y 轴对称转化为()()g x h x =-在()0,∞+上有两个不等实根，化简后可得2

(1)(1)20b x b x -++-=在(0,)+∞上有两个不等实根，再根据二次函数图像特征即可求解 【详解】

(1)由题意知, 210ax x -+>对(1,3)x ∈恒成立,

则等价于211

a x x

>-

+对(1,3)x ∈恒成立. (1,3)x ∈Q ， 11

(,1)3

x ∴∈,

22111111()244x x x ∴-+=--+≤ ,

1

4

a ∴> .

(2) 由题意知,()2514()2(0)11

f x x x

h x x x x x x -=-

=--<-- ， 且可得方程()()g x h x =-在()0,∞+上有两个不等实根， 即满足2

2

421

x x bx x x x -+-=+-

-- ?2(1)(1)20b x b x -++-=在(0,)+∞上有两个不等实根,

2(1)8(1)01010

2(1)b b b b b ?

??=++->??∴--??

, 4251b ?<<,

所以实数b 的取值范围为425 1.b << 【点睛】

本题考查根据恒成立问题求解参数问题，函数图像对称类问题，函数与方程的转化；恒成立问题求参常采用分离参数法，用不等式性质进行求解；函数对称类问题是处理的难点，可通过点的对称加深对函数对称的理解；二次函数存在类问题需要考虑结合开口，判别式，对称轴进行综合分析