东北大学离散数学复习总结满分版)

方法、知识点总结（知识重点和考题重点）

前三章重点内容（知识重点）：

1、蕴含（条件）“→”的真值

P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。

2、重言(永真)蕴涵式证明方法

<1>假设前件为真，推出后件也为真。

<2>假设后件为假，推出前件也为假。

易错

3、等价公式和证明中运用

4、重要公式

重言蕴涵式：P∧Q => P or Q

P or Q => p∨Q

A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C)

其他是在此基础上演变

等价公式：幂等律P∧P=P P∨P=P

吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P

同一律P∨F=P P∧T=P

P∨T=T P∧F=F

P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)

5、范式的写法（最方便就是真值表法）

6、派遣人员、课表安排类算法：

第一步：列出所有条件，写成符号公式

第二步：用合取∧连接

第三步：求上一步中的析取范式即可

7、逻辑推理的写法

直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分

其中E公式是指等价公式部分

条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S

R P(附加条件)

... ...

S T

R->S CP

8、谓词基本内容

注意：任意用—> 连接

存在用∧连接

量词的否定公式

量词的辖域扩充公式

量词分配公式

其他公式

9、带量词的公式在论域内的展开

10、量词辖域的扩充公式

11、前束范式的写法

给定一个带有量词的谓词公式，

1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)；

2)如果量词前有“﹁?”，则用量词否定公式﹁?”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁?”后移到原子谓词公式之前；

3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)；

4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。

简要概括：1、去-> ，<-> 2、移﹁

3、换元

4、量词辖域扩充

12、谓词演算的推理理论

推理规则：P、T、CP、US、ES、EG、UG 的使用

ES US 去量词

EG UG 添量词

★谨记：ES要在US之前,很重要

添加量词注意事项：

13、集合的幂集（用P表示，也常有花P表示）

A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之为A的幂集。记作P(A)或2的A次方

给定有限集合A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2的n次方

14、求集合的划分数与等价关系数——相同

15、三种重要集合运算

一、差运算- (相对补集)

二、绝对补集~

三、对称差

前三章重点内容（考题重点）：最常考

内容和方法需要看自己课件，前三章考试内容不多且简单

1、命题符号化（包括第一章简单的命题和第二章谓词的命题）

2、逻辑推理（命题逻辑和谓词逻辑两种推理，每章书最后部分）

3、主析取范式与主合取范式（命题逻辑和谓词逻辑中的两种范式写法）

4、真值的判断

后五章重点内容（知识重点）：

1、笛卡尔积

定义:设A、B是集合，由A的元素为第一元素，B的元素为第二元素组成序偶的集合，称为A和B 的笛卡尔积，记作A×B

如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则|AXB |=mn.

2、域的表示：

定义域dom（关系的第一个元素的范围）

值域Ran（关系的第二个元素的范围）

3、空关系、完全关系、A上的恒等关系IA的定义

空关系只有点，没有一条边。

4、关系的个数

5、对称、反对称、自反、反自反、传递的判定

6、等价关系、等价类

定义：设R是A上关系,若R是自反的、对称的和传递的，则称R是A中的等价关系

等价关系的个数：划分数；

由等价关系图求等价类：

R图中每个独立子图上的结点，构成一个等价类。

不同的等价类个数=独立子图个数

7、相容关系、相容类

特点：自反、对称。

图的简化：⑴不画环；

⑵两条对称边用一条无向直线代替

相容类：设r是集合X上的相容关系，C?X,如果对于C 中任意两个元素x,y有∈r ,称C是r的一个相容类从简化图找最大相容类：

最大相容类的意义是——一个相容类加多一个点就不是相容类了，所以最大相容类可以是多个而不是唯一的“最大”的概念，定义类似极大线性无关组，但元素个数不同------找最大完全多边形。最大完全多边形：含有结点最多的多边形中，每个结点都与其它结点相联结。

通过最大相容类求完全覆盖：

完全覆盖就是指所有最大相容类构成的集合。

8、关系的分类：

偏序关系定义：R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R 是A上的偏序关系。并称是偏序集。

全序关系定义：是偏序集，任何x,y∈A，如果x与y都是可比较的，则称≤是全序关系(线序、链)。

9、偏序集Hasse图的画法

1).用“。”表示A中元素。

2).如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。

3). 如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连一直线。

4). 一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环))，逐层向上画，直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。(采用抓两头，带中间的方法)

10、重要元素定义（极大小元、最大小元、上下界、最大下界与最小上界）

11、如何求映射是入（单）、满、双射？

第一步：分别求出定义域和值域

第二步：比较就出来了，就那么简单

但是要证明的话：

两者结合得：双射成立

12、复合函数中的重要性质（常考）：

f:X→Y, g:Y→Z是两个函数, 则

⑴如果f和g是满射的，则g。f 也是满射的；

⑵如果f和g是入射的，则g。f 也是入射的；

⑶如果f和g是双射的，则g。f 也是双射的

⑴如果g。f 是满射的，则g是满射的；

⑵如果g。f 是入射的，则 f 是入射的；

⑶如果g。f 是双射的，则f是入射的和g是满射的

13、函数种类个数的求法

14、逆函数（性质）

设f:X→Y是双射的函数，f C:Y?X 也是函数, 称之为 f 的逆函数。

设f:X→Y是双射的函数，则有

15、第六章基础知识重点

幂等元、幺元e、零元0、逆元的概念

同态同构：f(x)满射、并且满足

*不是双射就一定复合同构的条件：

必须具有幺元对幺元、零元对零元......

代数系统（重点）

半群：封闭、可逆独异点：有幺元

群：可逆交换群：可交换

群的特征：1.消去律 2.无零元 3.除幺元外无其他幂等元

运算表中：每个元素在每一行、列必须出现仅出现一次！16、第七章基础知识重点

格：是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界，则称是格

平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。

分配格：（判定定理）

所有链均为分配格。

设是分配格，对任何a,b,c∈A, 如果有a∧b=a∧c及a ∨b=a∨c则必有b=c .

有界格：（判定定理）

有界格定义：如果一个格存在全上界1与全下界0，则称此格为有界格。

从格的图形看：全上界1，就是图的最上边元素(只一个)。全

下界0，就是图的最下边元素(只一个)。

有补格：（判定定理：根据定义看是不是每个中间元素都有补元）

补元：设是个有界格，a∈A, 如果存在b∈A, 使得a∨b=1 a∧b=0 则称a与b互为补元（其中∨是求最小上界，∧求最大下界）

有补格的定义：一个有界格中，如果每个元素都有补元，则称之为有补格

布尔格：如果一个格既是分配格又是有补格，则称之为布尔格。

*重要定理：

在有界分配格中，如果元素有补元，则补元是唯一的。17、格的同构条件（特别）需同时满足：

钻石定律：

一个布尔代数的所有原子（直接覆盖最小元0的元素）构成的布尔代数一定与元代数同构

18、布尔代数表达式和布尔函数

是布尔代数的形式

含有变元x1,x2,…,xn 的布尔表达式记作E(x1,x2,…xn),也可以看成是一个函数f:Bn→B, 称之为布尔函数

布尔表达式的范式的写法（很重要，与第一第二章的方法类似）19、第八章图论的重要知识点（好多好多的定义自己记吧）

图的同构：

两个图同构的必要条件:

1.结点个数相等.

2.边数相等.

3.度数相同的结点数相等.

4.对应的结点的度数相等.

图的连通：强连通、单侧连通和弱连通（一般不考）

如果任何两个结点间相互可达, 则称G是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通

强分图、单侧分图和弱分图

在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.

具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图.

具有弱连通的最大子图,称为弱分图.

图的矩阵表示和写法（前两个有点重要）：

一、邻接矩阵

每一行的1：在无向图中代表一条线

有向图中代表—>出线

列中的1代表<—入线

二、可达性矩阵

三、完全关系矩阵

图中结点的度与个数、边的关系：

考试需要两则结合

20、欧拉图与H（汉密尔）图（重点）

定义：

在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路. 称此图为欧拉图

汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好一次的回路.具有汉密尔顿回路(H回路)的图.

欧拉回路的判定：（充要条件）

无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.

汉密尔顿图的判定: （只有充分条件）

(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之

和大于等于n,则G有一条H回路

欧拉回路的算法（重重重！虽然可能不考）

（记做闭迹交集法）

H回路的算法（重重重！虽然可能不考）

（记做相邻最小权法）

21、树中的重要方法：

树的结点与边数：边数=结点数-1 e = v-1

m叉有序树转化成二叉树的方法：

赋权图的最小生成树的求法（记做相邻最小权不回路法）：定义:一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树.

最优树求法：定义

***后五章重点内容（考题重点）：

<精华看完绝对不亏>

1、求逆元（例如a逆）

第一步：求出幺元e

第二步：a逆与a进行所定义的运算，写出等式：如a*a逆=e,求解

2、群的阶性质

*有一个群G，a属于G，a元素的阶为n，当且仅当k=mn(n的整数倍),a 的k次方=e.

*n阶群中的元素x，x的n次方等于e

3、树的边数e与叶结点t的关系

e=2t-2

4、图的画法与格的判断

画法在前面总结过：偏序集Hasse图的画法

3).用“。”表示A中元素。

4).如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。

3). 如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连一直线。

4). 一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环))，逐层向上画，直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。(采用抓两头，带中间的方法)

判断——

格：看是否任意都有最小上界、最大下界；

分配格：跟那俩个特别的格比较，没有那样的子格就是分配格；链一定是分配格

有界格：有无最大最小元（1,0表示），有限个元素的格一定是有界格；

有补格：看是否每个元素都有补元

若有补元，补元唯一的是有界分配格！

布尔格：分配、有补

5、复合函数的性质

f:X→Y, g:Y→Z是两个函数, 则

⑴如果f和g是满射的，则g。f 也是满射的；

⑵如果f和g是入射的，则g。f 也是入射的；

⑶如果f和g是双射的，则g。f 也是双射的

⑴如果g。f 是满射的，则g是满射的；

⑵如果g。f 是入射的，则 f 是入射的；

⑶如果g。f 是双射的，则f是入射的和g是满射的

6、完全图的边数

无向完全图：边数为n(n-1)/2

有向完全图：边数为2的n次方

7、欧拉图、H图

完全图Kn，n为奇数时，完全图既是欧拉图又是H图；

8、证明子格

证明从封闭性入手，若对∨,∧（取最小下界、最大上界运算）运算封闭则为子格。

9、证明子群

第一步：证明非空集合；

第二步：在集合中任取两个进行自定义的运算，证明封闭性；

第三步：任意取一个集合中的数a，证a逆属于集合即证明可逆性。

10、证明等价关系

证明三点：自反、对称、传递

11、证明同态、同构（或者自同构）

第一步：证明f(x)双射，①先证入射（单射），②再证满射，则为双射

第二步：证类似如下式子成立

12、求图定点数与欧拉握手定理

形如：“一个图，边12，有6个3度结点，其他结点度数都小于3，求最少有几个结点”的问题

用欧拉握手定理：边数|E|为m，则所有结点度数累加起来等于2m

任何图中都有：奇数度顶点个数为偶数。

13、布尔表达式的析取范式、合取范式的求法

和前面说的一样，与第一第二章的范式写法类似，最好列真值表

14、分清叶结点、分支节点、树中节点数与边的关系、度数和与节点数的关系

15、Δ(G)，k(G)，δ(G)，λ(G)，W(G)，x(G) 分别表示图G的( 最大度)，( 点连通度)，( 最小度)，( 边连通度)，( 连通分支数)，( 最小着色数)

K（G）表示点连通度λ（G）表示边连通度d（u，v）表示最短两点距离deg(v)表示度degi 表示入度dego 表示出度

16、代数系统的证明

半群——》独异点——》群——》交换群

对应证明顺序：

封闭、可结合——》有幺元——》可逆性——》可交换

！！！当复杂时，可以用画出运算表的方法，就可以证明是否运算封闭、有幺元、有逆元。

17、循环群、生成元( g )与交换群（循环群属于需要了解）

循环群一定是交换群

素数阶群一定是循环群

证明交换群：证任意X、Y，对运算X * Y = Y * X 成立。循环群周期：g的N次方等于e(幺元)，则n为周期

无限循环群与同构，K阶有限循环群与同构+4、+6运算的意义：模加运算，将两个数相加后取模

p为素数，p阶循环群有p-1个生成元。

18、图的面与欧拉公式

欧拉公式：对于一个平面图

V - e + r = 2

v为顶点数，e为边数，r为面的数量。

19、完全二叉图的顶点、边数与叶的关系(理解性记忆)

叶子结点：n

顶点数：2n-1

边数：2(n-1)

m叉图：叶子结点：t 分支结点：i 则有（m-1）i = t-1

20、二元关系种数

若A有n个元素，B有m个元素，A→B有2的nm次方种关系。

21、三叉树

叶结点为n，边数为3（n-1）/2

22、证明图不连通、其补图一定连通

任取u,v∈V(G), 如果u与v不邻接,则在G中有边(u,v)，所以在G中u与v是连通的；如果在G中u与v邻接, 则u与v在G的同一个连通分支, 由于G是不连通的,所以G必有另一个连通分支G(V1), 设w∈V1(G), 于是在G中必有边(u,w),(w,v),于是在G中必有路uwv, 所以G是连通的。

23、最优树问题

在第八章知识点最后一个方法，考试考的可能性还算大