立体几何复习(知识点+经典习题)
立体几何复习(知识点+经典习题)
1.给出以下命题：
1) 若平面α内的两条相交直线分别平行于平面β内的两条直线，则平面α平行于平面β；
2) 若平面α外一条直线l与平面α内的一条直线平行，则直线l和平面α平行；
3) 设平面α和平面β相交于直线l，若平面α内有一条直线垂直于l，则平面α和平面β垂直；
4) 直线l与平面α垂直的充分必要条件是直线l与平面α内的两条直线垂直。
写出所有真命题的序号。
2.在空间中，以下命题正确的是：
A) 平行直线的平行投影重合；
B) 平行于同一直线的两个平面平行；
C) 垂直于同一平面的两个平面平行；
D) 垂直于同一平面的两条直线平行。
考点为二三视图与直观图及面积与体积。
基础训练】
1.如图，E和F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1
的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的投影可能是什
么形状。
2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45度，腰和上底均为1的等腰梯形，则原图形的面积是多少？
3.在三角形ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120度。
若使其绕直线BC旋转一周，则它形成的几何体的体积是多少？
4.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长是多少？若长方体共顶点的三个
侧面面积分别为3,5,15，则它的体积是多少？
5.正方体的内切球和外接球的半径之比为多少？
6.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，则球的
表面积是多少？
7.若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是
多少？
8.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的
8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是多少？
9.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为多少？
高考链接】
1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为多少？
2.设某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为多少？
1.在三棱锥ABCDE中，AB=AC=AD=2，BC=3，CD=4，BE=5，CE=6，DE=7，求∠AED的大小。
2.已知四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AB=AC=BD=CD=4，A1B1=5，A1C1=6，B1D1=8，C1D1=9，求∠A1B1C1的大小。
3.如图2，ABCD为平行六面体，E为BC的中点，F为
AE的中点，连接FD，求∠AFD的大小。
高考链接】
1.如图3，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为A1E的延长线上一点，连接FC1，求∠EFB1的大小。
2.如图4，四棱锥ABCD-A1中，AB=AC=3，CD=6，
AD=5，BC=4，A1B=7，A1C=8，B1D=10，C1D=12，求
∠A1B1C1的大小。
3.如图5，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为A1E的延长线上一点，连接AF和CC1，求∠AFC1的大小。
1.直角三角形ABC中，斜边AB与平面α垂直，AC与
BC分别与平面α成30度和45度，CD是斜边AB上的高。求CD与平面α的夹角。
2.在正三棱柱V-ABC中，V在地面上的投影是底面正三
角形的中心，DE、EF、FD分别是VC、VA、AC的中点，P
为VB上任意一点。求直线DE与PF所成的角的大小。
3.已知直线l与平面α的夹角为30度，且A在平面α上，A不在直线l上。求直线l与平面α的任意一条垂线m所成角
的取值范围。
4.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为
4.求异面直线BD1与AD所成角的正切值。
5.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC为直角，
AB=AC=AA1.求异面直线BA1与AC1所成的角的大小。
6.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，
A1在底面ABC上的投影为BC的中点。求异面直线AB与
CC1所成角的余弦值。
7.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为
AA1的重心。求异面直线BE与CD1所成角的余弦值。
8.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是
侧棱CC1的中点。求异面直线AB1和BM所成角的大小。
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1.求AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值。
注意：将符号“”改为“与”，将符号“”改为“α”，删除
明显有问题的段落，并对语言进行简洁明了的改写。）AD与平面BB
已知AD与平面BB所成角的大小为60度。
六棱锥底面为正六边形，PA垂直于平面ABC且PA等于
2AB，则结论B平面PAB垂直于平面PBC是正确的。
在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长为2的等边三角形，SA垂直于底面ABC且SA等于3，直线AB与平面SBC所成
角的正弦值为4/√73.
正方体ABCD-A中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值
为3/√22.
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD垂直于
平面ABCD且PD等于DC，E和F分别是AB和PB的中点。结论EF垂直于CD是正确的。在平面PAD内，点G使GF垂
直于平面PCB。
在四棱锥ABCDA1B1C1D1中，底面BCDA1为矩形，侧面ABC垂直于底面BCDA1且BC等于2，CD等于2，AB等于AC。结论AD垂直于CE是正确的。二面角C-AD-E的大小为90度。
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1等于2AB等于4，点E在CC1上且C1E等于3EC。结论AC1垂直于BED是正确的。二面角A1-DE-B的大小为120度。
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在B1C1上，A1D垂直于B1CE，F分别是A1B和A1C的中点。结论EF平行于平面ABC是正确的，平面AFD垂直于平面B1C1是正确的。
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB等于AD等于1，AA1等于2，M是棱CC1的中点。二面角A1M和C1D1所成角的正切值为1/2.结论平面ABM垂直于平面AB1M1是正确的。
2.已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上面放着一个半径为5cm的钢球。求球心到盒底的距离。
答案：球心到盒底的距离为1cm。
3.设P、A、B、C是球O表面上的四个点，PA、PB、PC
两两垂直，且PA=PB=PC=1.求球的表面积。
答案：球的表面积为3π。
4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面
A1B1C1D1内取一点E，使AE与AB、AD所成的角都是60°。求线段AE的长度。
答案：线段AE的长度为√3.
高中数学立体几何知识点及练习题
点、直线、平面之间的关系 ㈠平面的基本性质 公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。 公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。 即：a∥b，b∥c a∥c 1.2 异面直线 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵作异面直线成角的方法：平移法。 注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理： 1.3 性质定理：
2 线面角： 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜 交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： ⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面的两条线段，那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即： 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理： 图2-3 线面角 图2-5 判定1推论 图2-6 判定2
高三数学-专题复习-立体几何(3)空间直角坐标系与空间向量典型例题
立体几何（3）空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系. 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 ABCD — A i B i C i D i 中，AA 、= 2，底面 ABCD AB // CD , AB = 4 , AD = 2 , DC = 1，求异面 余弦值. 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD i 所在直线为x 、y 、z 轴建立空 间直角坐标系，贝U C i （0，i ，2 ）、B （2，4，0）， UJUD UJU ??? BC i （ 2，3,2），CD （0，i,O ）. LULU UUU 设BC i 与CD 所成的角为， UUUL UUUT 一 则 BCipD 3 i7 则 cos UUU U ||UUur ---- ? BG CD i7 （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 ABC — A i B i C i 中，AB 丄侧面 BB i C i C , E 为 一点，EA 丄 EB i .已知 AB 2 , BB i = 2 , -.求二面 例1已知直四棱柱 是直角梯形，/ A 为直角, 直线BC i 与DC 所成角的 例2 如图2，在三棱柱 棱CC i 上异于C 、C i 的 BC = i ，/ BCC i = 冬2
角A —EB i —A i的平面角的正切值. 3
解析：如图2，以B 为原点，分别以BB i 、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平 面AB i 的直线为x 轴建立空间直角坐标系. 由于 BC = i , BB i = 2 , AB = 2，/ BCC i = 3 uur uur 由 EA 丄 EB i ，得 EAgEB i a,0 2 (舍去). u u EA 的夹角. UUJU iuiu g Buuu[ -i ，即 tan |EA B i AI V 3 (2) 求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值. ???在三棱柱ABC — A i B i C i 中, 有 B (0,0,0) (0,0, .2)、B i (0, 2, 0)、 c ，2,0 i 3,a , 且 3 a(a 4 2) a 2 uu 由已知有EA uuir uuu EB] , B i A i uui r EB uuuu ,故二面角A — EB i — A i 的平面角 的大小为向量BA 与 uur 因BA uiu BA ，- uuu (0,0,. 2) , EA 故cos uu u EA (三) 利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3如图3准四棱 面VAD 是正三角形，平面 锥V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧 VAD 丄底面ABCD . VAD ;
立体几何专题复习(自己精心整理)
专题一证明平行垂直问题 题型一证明平行关系 (1）如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别 是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD。 （2）在正方体AC1中,M，N，E，F分别是A1B1，A1D1,B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB. 思考题1（1）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. （2)如图,在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2,BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD。 题型二证明垂直关系(微专题) 微专题1:证明线线垂直 (1）已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为 AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC。求证：PM⊥QN. （2)(2019·山西太原检测）如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1,BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上 的点，求证:DF⊥AE。 微专题2：证明线面垂直 （3）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求证:BD1⊥平面ACB1. (4)（2019·河南六市一模）在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠
ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD。 微专题3：证明面面垂直 （5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中 点,求证:平面DEA⊥平面A1FD1. （6)如图，四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝ AB＝错误!PD，求证:平面PQC⊥平面DCQ。 思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC，E是PC的中点, 作EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD。 （2)（2019·济南质检）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D 为BC的中点,PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO ＝4，AO＝3，OD＝2。 ①证明：AP⊥BC； ②若点M是线段AP上一点，且AM＝3,试证明平面AMC⊥平面BMC. 题型三探究性问题 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为 正方形，PD＝DC，E,F分别是AB，PB的中点． (1）求证：EF⊥CD; （2）在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB.若存在，确 定G点的位置；若不存在,试说明理由． 思考题3（2019·山西长治二模）如图所示,四棱锥P－ABCD的底 面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2，E为PD上一点， PE＝2ED。 (1）求证：PA⊥平面ABCD； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置,并证明；若不存在，说明理由．
立体几何复习(知识点+经典习题)
立体几何复习(知识点+经典习题) 1.给出以下命题： 1) 若平面α内的两条相交直线分别平行于平面β内的两条直线，则平面α平行于平面β； 2) 若平面α外一条直线l与平面α内的一条直线平行，则直线l和平面α平行； 3) 设平面α和平面β相交于直线l，若平面α内有一条直线垂直于l，则平面α和平面β垂直； 4) 直线l与平面α垂直的充分必要条件是直线l与平面α内的两条直线垂直。 写出所有真命题的序号。 2.在空间中，以下命题正确的是： A) 平行直线的平行投影重合； B) 平行于同一直线的两个平面平行； C) 垂直于同一平面的两个平面平行； D) 垂直于同一平面的两条直线平行。 考点为二三视图与直观图及面积与体积。 基础训练】
1.如图，E和F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1 的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的投影可能是什 么形状。 2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45度，腰和上底均为1的等腰梯形，则原图形的面积是多少？ 3.在三角形ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120度。 若使其绕直线BC旋转一周，则它形成的几何体的体积是多少？ 4.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长是多少？若长方体共顶点的三个 侧面面积分别为3,5,15，则它的体积是多少？ 5.正方体的内切球和外接球的半径之比为多少？ 6.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，则球的 表面积是多少？ 7.若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是 多少？ 8.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的 8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是多少？ 9.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为多少？ 高考链接】
立体几何专题复习(自己精心整理)
专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系 (1)如图所示，在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，M，N分别是C 1 C， B 1C 1 的中点．求证：MN∥平面A 1 BD. (2)在正方体AC 1 中，M，N，E，F分别是A 1 B 1 ，A 1 D 1 ，B 1 C 1 ，C 1 D 1 的中点， 求证：平面AMN∥平面EFDB. 思考题1 (1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. (2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 求证：PQ∥平面BCD. 题型二证明垂直关系(微专题) 微专题1：证明线线垂直 (1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中 点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN. (2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A 1B 1 C 1 中，AA 1 ＝AB ＝AC＝1，E，F分别是CC 1，BC的中点，AE⊥A 1 B 1 ，D为棱A 1 B 1 上的点，求 证：DF⊥AE. 微专题2：证明线面垂直 (3)在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，求证：BD 1 ⊥平面ACB 1 . (4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A 1B 1 C 1 为三棱柱， 且AA 1 ⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.
高中数学重要知识点及典型例题——立体几何
9.1 空间两条直线的位置关系 1、平面及基本性质 公理1 ααα??∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =?βα且α∈P 公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线） 2、空间两直线的位置关系 共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 3、异面直线 （1）对定义的理解：不存在平面α，使得α?a 且α?b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P ★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形. ②向量法 |||||,cos |cos b a b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π ） （4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明； ②向量法 0=??⊥b a b a （5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算. 9.2 直线与平面的位置关系 1、直线与平面的位置关系 A a a a =??ααα,//, 2、直线与平面平行的判定 （1）判定定理: ααα////b a a b b ??? ????? (线线平行，则线面平行17P ) （2）面面平行的性质：βαβα////a a ?? ??? (面面平行，则线面平行)
3、直线与平面平行的性质 b a b a a //,//?? ??=??βαβα (线面平行，则线线平行18P ) ★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用 a l a l ⊥?? ???⊥αα, （2）判定定理：αα⊥??? ???=??⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ） （3）αα⊥?? ??⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥??? ???⊥?=?⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ） （5）面面平行是性质：βαβα⊥?? ??⊥l l // 5、射影长定理 ★6、三垂线定理及逆定理 线垂影?线垂斜 9.3 两个平面的位置关系 1、空间两个平面的位置关系 相交和平行 2、两个平面平行的判定 （1）判定定理：βαβαα//,,//,//?? ??=?P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ） （2）βαβα//?? ??⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//? 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题）
立体几何知识点和例题(含有参考答案)
【考点梳理】 一、考试内容 1.平面。平面的基本性质。平面图形直观图的画法。 2.两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。 3.直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。 4.两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。 二、考试要求 1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。 2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。 3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。 三、考点简析 1.空间元素的位置关系 2.平行、垂直位置关系的转化
3.空间元素间的数量关系 （1）角 ①相交直线所成的角； ②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角； ③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角； ④二面角——用二面角的平面角来度量。 （2）距离 ①两点之间的距离——连接两点的线段长； ②点线距离——点到垂足的距离； ③点面距离——点到垂足的距离； ④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离； ⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长； ⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离； ⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离； ⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。 四、思想方法 1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。 2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。 3.注意下面的转化关系： 4.在直接证明有困难时，可考虑间接证法，如同一法和反证法。 5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下： （1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。 （2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。 （3）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另
高中数学 立体几何专题复习
图2 侧视图 俯视图正视图 4x 3 3x 4D C B A 侧视图 正视图立体几何专题(一) 一、 三视图考点透视： ①能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积 ③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题 ④旋转体（圆柱、圆锥、圆台或其组合体）的三视图有两个视图一样。 ⑤基本几何体的画法，如：三棱柱（侧视图）、挡住的注意画虚线。 1. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为85 12π+ ，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 2 2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、 侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为c 3．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图）， 左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 4 ． 4. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积 为 A ．63 B ．93 C ．123 D ．183 5、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)， 其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是 正视图 左视图 图4
_3 _3 这个几何体的棱11C A 上的中点。 （Ⅰ）求出该几何体的体积； （Ⅱ）求证：直线11//BC AB D 平面； (Ⅲ)求证:直线11B D AA D ⊥平面. 二、直观图 掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变； ②平行于y 轴的长度为原来的一半，x 轴不变； ③新坐标轴夹角为45°。 6、如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2，C 1D 1＝3，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( ) A ．10 B ．5 C ．5 2 D ．102 三、表面积和体积 不要求记忆，但要会使用公式。审题时分清“表面积”和“侧面积”。 （1）常见旋转体的面积公式： 表面积 侧面积 圆柱 ()2r r l π+ 2rl π 圆锥 ()r r l π+ rl π 圆台 ()/22/r r r l rl π+++ /r l rl ππ+ （2）体积公式 柱体V Sh = 锥体13V Sh = 台体() //1 3 V S S S S h = 球体34 3 V R π= 球的表面积24S R π= C A C 1 A 1 B 1 D
高考数学立体几何多选题知识点-+典型题附解析
高考数学立体几何多选题知识点-+典型题附解析 一、立体几何多选题 1．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ） A ．() () 2 2 12AA AB AD AC ++= B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点 C ．1AA 与平面ABC D 所成角大于45 D ．1BD 与AC 6 【答案】AC 【分析】 对A ，分别计算() 2 1++AA AB AD 和2 AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接 1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算 10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算 11 ,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角 公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】 对A ，由题意，111 11cos602 ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= AA AB AA AD AD AB ，所以( ) 2 222 111112********* ++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯ =AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以() 2 2 2 2 21113=+=+⋅+=++=AC AB AD AB AB AD AD ， 所以()()2 2 1 26++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1 A O ， 1 111111 222 =+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10 ⋅=O AB A ，又因为
高考数学一轮复习立体几何多选题知识点-+典型题及答案
高考数学一轮复习立体几何多选题知识点-+典型题及答案 一、立体几何多选题 1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正 确的是（ ） A ．异面直线1A B 与1AD 所成的角是3 π B ．1BD ⊥平面11A C D C ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3 D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23 【答案】ABD 【分析】 选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体 11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线 长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】 A ：正方体1111ABCD A B C D -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线
1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113 A BC π ∠= ，正确； B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111 D C B A ，即111AC B B ⊥，又 11 11AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确； C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为 1 3 4 ACB S = ，错误； D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()() 2 2 2 2 2 2 6++=2
空间立体几何高考复习知识点及经典题目
知识 空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 （ 1）多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 （ 2） 旋转体： 把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。如圆柱、圆锥、圆台。 2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。 正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3. 空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 圆柱的表面积 ： S 2 rl 2 r 2 圆锥的表面积： S rl r 2 圆台的表面积： S rl r 2 Rl R 2 球的表面积： S 4 R 2 4．空间几何体的体积公式 ： V S 底 h ： V 1 h 柱体的体积 锥体的体积 S 底 3 台体的体积 ： 1 球体的体积： V 4 3 V （ S 上 下 下 h R 3 S 上 S S ) 3 5. 空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 . 空间中点、直线、平面之间的位置关系 （ 1） 直线与直线的位置关系： 相交；平行；异面。
（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。 （3）平面与平面的位置关系：平行；相交。 7.空间中点、直线、平面的位置关系的判断 （1）线线平行的判断：①平行公理：平行于 同一直线的两直线平行。 ②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平 面相交，那么这条直线和交线平行。 ③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平 行。 ④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线线垂直的判断：①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直 线垂直于平面内所有直线。 ②线线垂直的定义：若两直线所成角为90 0，则两直线垂直③一条直线和两 条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 （3）线面平行的判断： ① 线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线 和这个平面平行。 ② 面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （4）线面垂直的判断： ①线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这 个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 （ 5）面面平行的判断：
高中数学立体几何知识点及习题
高中数学立体几何知识点及习题 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 贡献人云南大关一中王有祥 1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线. 若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线. 若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的. 平面通常用一个平行四边形来表示. 平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC. 在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如： a) A∈l—点A在直线l上；Aα—点A不在平面α内； b) lα—直线l在平面α内； c) aα—直线a不在平面α内； d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点； e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点； f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l. 2.平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 3.证题方法
立体几何多选题知识点总结含答案
立体几何多选题知识点总结含答案 一、立体几何多选题 1．在正三棱柱111ABC A B C -中，AC =11CC =，点D 为BC 中点，则以下结论正 确的是（ ） A ．1111 22 A D A B A C AA = +- B ．三棱锥11D AB C -的体积为 6 C ．1AB BC ⊥且1//AB 平面11AC D D ．ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分 【答案】ABD 【分析】 A ．根据空间向量的加减运算进行计算并判断； B ．根据1111D AB C A DB C V V --=，然后计算出对应三棱锥的高A D 和底面积11 DB C S ，由此求解出三棱锥的体积；C ．先假设1AB BC ⊥， 然后推出矛盾；取AB 中点E ，根据四点共面判断1AB //平面11AC D 是否成立；D ．将问题转化为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断. 【详解】 A ．() 11111111 222 A D A A AD AD AA A B A C AA AB AC AA =+=-= +-=+-，故正确； B ．1111D AB C A DB C V V --=，因为D 为BC 中点且AB AC =，所以AD BC ⊥， 又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AD ⊥且1BB BC B =，所以AD ⊥平面11DB C ， 又因为AD == = 11 111122 DB C S BB B C = ⨯⨯= ， 所以1111 11 1 13 3226 D AB C A DB C DB C V V AD S --==⨯⨯=⋅= ，故正确；
(精品)立体几何知识点+经典习题
立体几何知识点和典型例题 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
高考数学立体几何多选题知识点-+典型题及答案
高考数学立体几何多选题知识点-+典型题及答案 一、立体几何多选题 1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若 ||5AE =，AC DF ⊥，则（ ） A ．点E 的轨迹是一个圆 B ．点F 的轨迹是一个圆 C ．EF 21- D ．A E 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为1530 15 【答案】ACD 【分析】 对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E = +=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆； 选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E = +=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面 1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确； 对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以 AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误； 对于C:在平面1111D C B A 内，
1A 到直线11B D 的距离为2,d =当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正 确； 对于D: 建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D 因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=- 设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1 · 220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ 不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则： 22| ||sin |cos ,|||||5315 n AE n AE n AE πθα⎛ ⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4 π θ=时，sin α221530 1515 = ， 故D 正确
立体几何复习测试题及答案
立体几何复习测试题及答案
高一数学立体几何复习题 必修2立体几何知识点 第一章：空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫 做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线 照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、 空间几何体的表面积与体积 ⑴ 圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面；圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑵ 圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面 （3）体积公式： h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+⋅+=31 （4）球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂 直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑶定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 第一部分：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
经典高考立体几何知识点和例题(理科学生用)
高考立体几何知识点总结 整体知识框架： 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱 柱 四棱柱 平行六面体 直平行六面 体 长方体正四棱柱正方体 性质： 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 图1-1 棱柱
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：1 3 V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 对棱间的距离为 a 2 2 （正方体的边长） 正四面体的高 a 3 6 （正方体体对角线l 32=） 正四面体的体积为 3 12 2a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61= ） A B C D P O H