高三《立体几何》专题复习
高三《立体几何》专题复习
一、常用知识点回顾
1、三视图。正侧一样高，正俯一样长，侧府一样宽，看不到的线画虚线。
2、常用公式与结论。（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式；（2）空间几何体的表面积与体积公式；（3）全品高考复习方案（听课手册）105页的常用结论
3、两条异面直线所成的角；直线与平面所成的角。
4、证明两条直线平行的常用方法；直线与平面平行的判定与性质；面面平行的判定与性质。
5、证明两条直线垂直的常用方法；直线与平面垂直的判定与性质；两个平面垂直的判定与性质。
二、题型训练
题型一：三视图的运用，求几何体的体积、表面积
例1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
（A）
18+
（B）
54+
（C）90
（D）81
【练习1】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为（）
C.3
D.2
【练习2】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实
线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一
圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A.90π
B.63π
C.42π
D.36π
【练习3】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的
三视图，则该几何体的表面积为（ ）
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
例2、在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ）
（A ）4π （B ）
9π2 （C ）6π （D ）32π3
变式1：在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.
若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=5，则V的最大值是
变式2：在封闭的长方体ABCD－A1B1C1D1内有一个体积为V的球.
若AB=BC=6，AA1=3，则V的最大值是
变式3：（1）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
（2）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
变式4：
【练习1】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（）
A. B.12π C. D.10π
【练习3】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_______
题型二：平行问题
例1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，
PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为
PC的中点.
（I）证明MN∥平面PAB; （II）求四面体
N-BCM的体积.
【练习1】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD
AD,
为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=1
2
∠BAD=∠ABC=90°。
（1）证明：直线BC∥平面PAD;
（2）若△PAD面积为P-ABCD的体积。
【练习2】如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．
⑴证明：平面AM D⊥平面BMC；⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
【练习3】如图，在下列四个正方体
中，A ，B 为正方体的两个顶点，
M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在
这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）
题型三：垂直问题
例1、如图，在三角锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====,O 为AC 的
中点.
(1)证明：PO ⊥平面ABC ;
(2)若点M 在棱BC 上，且二面角MC=2MB ，求点C 到
平面POM 的距离.
【练习1】在正方体中，E 为棱CD 的中点，则（ ）
1111ABCD A BC D -
A ．
B ．
C ．
D ．
【练习2】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，
AD =CD ．
（1）证明：AC ⊥BD ；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为
棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE
与四面体ACDE 的体积比．
例2、如图,在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA 。
(1)证明:平面ACD ⊥平面ABC:
(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上点,且BP=DQ=23
DA,求三棱锥Q-ABP 的体积.
【练习1】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
11A E DC ⊥1A E BD ⊥11A E BC ⊥1A E AC
⊥
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.
【练习2】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE =CF ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿
EF 折到'D EF ∆的位置.
（I ）证明：；
(II)若
求
五棱锥体积.
'AC HD ⊥55,6,,
'4
AB AC AE OD ===='ABCEF D -
高三数学《空间几何体的三视图》专题复习题含答案
高三数学空间几何体的三视图专题复习题含答案 1．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是． A ．43 π B ．2π C ．83π D ．103 π 2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．13π B ．12 π C ．2π D ．π 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．54 B ．60 C ．66 D ．72 4．已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为 A ．31 B ．3 2 C ．1 D ． 3 4 俯视图 侧视图 正视图俯视图 侧视图 正视图 2 1 2 2 2 俯视图 左视图 正视图 32 5 4
5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中的最大面积为 A．3 B ． C．6 D．8 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A ．2 B ．4 C ．2+ D．5 7．已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为 A ．5 B ． 5 2 C D ．3 8．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为． A．28 3 B ． 3 C．28 D ．22+ 2 2 2 4 33 侧视图 俯视图 正视图 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 1 1 2 1 5 2 1 2 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 22 22 4 4 2 2
9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是A．π B ．4π3 C．3π D．4π 10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为A． 4 π B．3π C．4π D．4 3π 11．已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为． A．16 B．16 3 C．8 3 D．8 12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．15 B．20 C．25 D．30 3 3 侧视图 2 俯视图 正视图
高三理科数学立体几何复习专题
立体几何复习专题 一、要求：（1）熟练掌握课本中的基本概念、定理。 （2）积累各种常见题型的解题方法： ① 基本概念型题（直接证明、画图形举反例） ② 证明类题：线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直。 ③ 计算类题：异面直线所成角、线面角、面面角、点到面的距离、异面 直线间的距离、多面体的体积、球面距离。（各自常用的方法是什么） （3）会用空间向量的方法去解决上述问题。 二、典型例题讲解 例1. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==， 90ACB ∠=?，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点. （1）求证： AB ⊥C 1CQ （2）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小； （3）求直线PQ 与面Q 1B C 所成角的正弦； （4）求二面角A 1-CQ-B 1的平面角的余弦。 例2．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， (1)在棱AD 上有一点P ，当 P D P A 为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？ (2)在(1)的条件下，求直线A 1B 1与平面CD 1P 所成的角. A B C 1 A 1 B 1 C P Q
例3．如图，将长AA′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示： (1) 求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； (2) 求三棱锥A 1—APQ 的体积. 例4．如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设AB=1，PA=h ，AD=y. (1)试求y 关于h 的函数解析式； (2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径.
高三立体几何知识点
高三立体几何知识点 进入高三总复习的第一阶段，同学们应从基础知识抓起，扎扎实实，一步一个脚印地过高三立体几何知识点关。复习时，将高三复习数学资料熟练掌握运用，小编相信您一定可以提高数学成绩! 高三立体几何知识点： 1.三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为。 2.表(侧)面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S 底;②侧面积：S侧= ;③体积：V=S底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V= S底h：⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧= ;③体积：V= (S+ )h;⑷球体：①表面积：S= ;②体积：V= 。 3.位置关系的证明(主要方法)：⑴直线与直线平行：①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理;②面面平行线面平行。⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法。 4.求角：(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)⑴异面直线
所成角的求法：1 平移法：平移直线，2 构造三角形;3 ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，4 发现两条异面直线间的关系。注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。⑵直线与平面所成的角：①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin 。注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点(特殊点)，作出平面角，再求解;②三垂线法：由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解;③射影法：利用面积射影公式： ,其中为平面角的大小; 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法;理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。 5.求距离：(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离)⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算;⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解;⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键)，再求解;5 等体积法;理科还可用向量法：。⑷球面距离：(步骤)(Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。 6.结论：⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上;⑵立平斜公
2013届高三数学第一轮复习《立体几何》专题资料
第十章 立体几何 第一单元 点、线、面之间的位置关系 【考纲要求】 1． 了解平面及其基本性质公理1~4，确定平面的四种方法（公理3、推论1~3）． 2． 理解直线与平面平行、垂直的判定及性质． 3． 理解两平面平行、垂直的判定及性质． 4． 会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系． 【知识回顾】 1．公理1的内容：_________________________________________________________； 2．公理2的内容：_________________________________________________________； 3．公理3的内容：_________________________________________________________； 推论1的内容：_________________________________________________________； 推论2的内容：_________________________________________________________； 推论3的内容：_________________________________________________________； 4．平行公理及等角定理； 5．空间两条直线的位置关系：___________________________； 6．异面直线的判定：__________________________； 7．直线和平面平行的位置关系： ； 8．直线与平面平行的判定定理： ； 9．直线与平面平行的性质定理：. ； 10．直线与平面垂直的判定定理： ； 11．直线与平面垂直的性质定理： ； 12．平面与平面平行的判定定理： ； 13．平面与平面平行的性质定理： ； 14．两个平面互相垂直的定义； 15．平面与平面垂直的判定定理： ； 16．平面与平面垂直的性质定理： ； 17．“线线平行（垂直）”、“线面平行（垂直）”、“面面平行（垂直）”的相互转化． 【方法回顾】 例1．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． （1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积． 解：（1）连结1BD ，在B DD 1?中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则 11111111////EF D B D B ABC D EF ABC D EF ABC D ? ? ?????? 平面平面平面 C D B F E D 1 C 1 B 1 A A 1
高三第二轮专题复习资料：立体几何题型与方法(文科)
专题二：立体几何题型与方法（文科） 一、 考点回顾 1．平面 （1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （4）证共面问题一般用落入法或重合法。 （5）经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线. （1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。 （2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） （3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. （4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （5）两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与 21,l l 距离相等的点在同一平面内. （l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. （1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. （2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”） （3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面
高三《立体几何》专题复习
高三《立体几何》专题复习 一、常用知识点回顾 1、三视图。正侧一样高，正俯一样长，侧府一样宽，看不到的线画虚线。 2、常用公式与结论。（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式；（2）空间几何体的表面积与体积公式；（3）全品高考复习方案（听课手册）105页的常用结论 3、两条异面直线所成的角；直线与平面所成的角。 4、证明两条直线平行的常用方法；直线与平面平行的判定与性质；面面平行的判定与性质。 5、证明两条直线垂直的常用方法；直线与平面垂直的判定与性质；两个平面垂直的判定与性质。 二、题型训练 题型一：三视图的运用，求几何体的体积、表面积 例1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（） （A） 18+ （B） 54+ （C）90 （D）81 【练习1】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为（） C.3 D.2
【练习2】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实 线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一 圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A.90π B.63π C.42π D.36π 【练习3】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的 三视图，则该几何体的表面积为（ ） （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π 例2、在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ） （A ）4π （B ） 9π2 （C ）6π （D ）32π3
高三数学立体几何专题训练
高三数学立体几何专题训练 【考点】1.三视图；2求体积；3证线面垂直(垂直关系)；4求二面角的平面角；5求线面 角；6求异面直线所成角；7.求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。 【复习建议】 本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1)问，一般考查平行与垂直的证明 及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范， 如能建系。也可用向量法；第(2)问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用 空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于900 )、线面所成角(此类题最容易错，记 住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般 情况下是锐角)。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写 的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。特别 的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量 还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角 要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。下面的例题仅供参考。 【题例】 1.如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，342=PB ．F 是线段PB 上一点，3417 15 = CF ,点E 在线段AB 上且EF⊥PB． (I)证明：PB⊥平面CEF ； (Ⅱ)求二面角B —CE-F 的正切。选题目的，练好计算(包括三角形各边，二面角求解) 练好规范；判定是否适用向量。 2．翻折问题．体积问题．函数导数)如图6所示，等腰△ABC 的底 边66=AB ,高CD=3，点E 是线段BD 上异于点B,D 的动点，点F 在BC 边上，且EF⊥AB，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE⊥AE，记BE=x ，V(x)表示四棱锥P 一ACEF 的体积. (1)求V(x)的表达式； (2)当x 为何值时，V(x)取得最大值? (3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值
高中数学 立体几何专题复习
图2 侧视图 俯视图正视图 4x 3 3x 4D C B A 侧视图 正视图立体几何专题(一) 一、 三视图考点透视： ①能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积 ③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题 ④旋转体（圆柱、圆锥、圆台或其组合体）的三视图有两个视图一样。 ⑤基本几何体的画法，如：三棱柱（侧视图）、挡住的注意画虚线。 1. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为85 12π+ ，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 2 2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、 侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为c 3．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图）， 左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 4 ． 4. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积 为 A ．63 B ．93 C ．123 D ．183 5、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)， 其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是 正视图 左视图 图4
_3 _3 这个几何体的棱11C A 上的中点。 （Ⅰ）求出该几何体的体积； （Ⅱ）求证：直线11//BC AB D 平面； (Ⅲ)求证:直线11B D AA D ⊥平面. 二、直观图 掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变； ②平行于y 轴的长度为原来的一半，x 轴不变； ③新坐标轴夹角为45°。 6、如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2，C 1D 1＝3，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( ) A ．10 B ．5 C ．5 2 D ．102 三、表面积和体积 不要求记忆，但要会使用公式。审题时分清“表面积”和“侧面积”。 （1）常见旋转体的面积公式： 表面积 侧面积 圆柱 ()2r r l π+ 2rl π 圆锥 ()r r l π+ rl π 圆台 ()/22/r r r l rl π+++ /r l rl ππ+ （2）体积公式 柱体V Sh = 锥体13V Sh = 台体() //1 3 V S S S S h = 球体34 3 V R π= 球的表面积24S R π= C A C 1 A 1 B 1 D
高三立体几何专题复习
高考立体几何专题复习 一．考试要求： 〔1〕掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 〔2〕了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念〔对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离〕。 〔3〕了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 〔4〕了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 〔5〕会用反证法证明简单的问题。 〔6〕了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 〔7〕了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 〔8〕了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 〔9〕了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 〔10〕了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的根底上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的根底上，掌握它们的求法(其根本方法是分别作出这些角，并将它们置于*个三角形通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步稳固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握根本的立体几何解题方法和常用解题技巧，开掘不同问题之间的在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和"说话要有根据〞的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： 〔Ⅰ〕根底知识详析 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考察的知识点在20个以. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考察立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着"多一点思考,少一点计算〞的开展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探常考常新的热门话题. 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决"平行与垂直〞的有关问题着手，通过较为根本问题，熟悉公理、定理的容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2．判定两个平面平行的方法： 〔1〕根据定义——证明两平面没有公共点； 〔2〕判定定理——证明一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面； 〔3〕证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质：
高三数学立体几何专题复习
2010高考数学第一轮复习教、学案__立体几何 第58讲：平面的性质与直线的位置关系 （一）平面的概念和性质 1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸. 2．平面的基本性质 公理1.线的在平面内. 用途：①作为判断和证明是否在平面内；②证明点在某平面内；③检验某面是否平面. 公理2两个平面的交线. 用途：①判断和证明两平面是否相交；②证明点在某直线上；③证明三点共线；④证明三线共点. 公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1:经过一条直线和直线外的一点，推论2:经过两条相交直线.推论3:经过两条平行直线 用途：①确定平面的依据，②证明两个平面重合的依据，③空间问题平面化的理论依据和具体办法. 3．证明直线共面通常的方法：①先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内；②分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合；③共面向量定理来证明. 4．异面.定义—— 判定： 5．求两条异面直线所成的角，①平移法：“作（找）—证—算”.注意，范围；②向量 法：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量,则两异面直线所成的角|||| arccos ||a b a b α= ； 6．两条异面直线的公垂线定义：和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做异面直线的 公垂线； 7．两条异面直线的距离：①定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度. ②计算方法：①公垂线法；②转化成线面距离(点面距离)；③转化成面面距离. 8．公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 9．等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等. 推论:两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两条直线所成的角相等. 二、双基题目练练手 1.共点的四条直线最多可以确定_______平面；互不相交的三条直线可以确定_______平面. 2. 对平面α和共面的直线,m n 下列命题中真命题是 ( ) （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n （C ）若,m n αα?∥,则m ∥n （D ）若,m n 与α所成的角相等，则m ∥n 3. 直线a 、b 相交于点O 且a 、b 成60°角，过点O 与a 、b 都成60°角的直线有（ ） 4．下列各图是正方体或正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则PQ 与SR 一定是异面直线的是
2020届高三数学复习专题三《立体几何》学案
专题三立体几何 第1讲立体几何中的平行与垂直问题 一、回归教材： 1. (必修2P77习题1改编)设a，b，c表示不同的直线，α表示平面，下列命题中正确的是() A. 若a∥b，a∥α，则b∥α B. 若a⊥b，b⊥α，则a⊥α C. 若a⊥c，b⊥c，则a∥b D. 若a⊥α，b⊥α，则a∥b 2. (必修2P53习题1改编)给出下列命题，其中错误命题的个数为() ①若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行； ②若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直； ③若异面直线a，b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直； ④若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和直线c共面． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. (必修2P82习题5改编)如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分 别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，给出下列四 个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC. 其中恒成立的结论是() A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 二、举题故法 例1．(1) (2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为 正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则() A. BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C. BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 (2) 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n. 其中正确命题的序号是() A. ①④ B. ①② C. ④ D. ②③④ 变式：(1) 已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，其中错误的命题是() A. 若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b B. 若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b C. 若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α D. 若α∥β，a∥α，则a∥β (2) 在直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BB′＝5，则异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为________．
【高考数学专题】立体几何中的翻折问题与最值问题 专题 高三一轮复习备考
立体几何中的翻折问题与最值问题 一知识点导学 1.解决折叠问题注意什么？ 折叠问题是立体几何的一个重要内容，是空间几何问题与平面几何问题相互转化的集中体现，处理这类问题的关键就是抓住折叠前后图形的特征关系。解答折叠问题在于画好折叠前后的平面图形和立体图形，并弄清折叠前后哪些量和位置关系发生了变化，哪些量和位置关系没有发生变化，这些未发生变化的已知条件就是我们分析问题和解决问题的依据。 2立体几何常见的最值问题有哪些？如何解决？ 空间图形最值问题有线段、角、距离、面积、体积等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径． 3如何解决涉及几何体切接问题最值计算？ 求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题； 4解决折叠问题的步骤有哪些？ 二．考点典例 考点一：面积、体积最值问题 空间几何体的侧面积、表面积、截面面积、体积等最值问题，往往是几何体中有关几何元素如顶点、侧棱、侧面、截面等在运动变化过程中，达到某个特殊位置时所具有的度量性质。因此，在解决此类问题时，要注意分析这些几何元素运动变化与所求量的联系，建立两者之间的数量关系。 实例演练1（2021•湖南模拟）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D，E，F为圆O上的点，DBC ∆分别是 ∆，FAB ∆，ECA 以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折
2023届高三数学一轮复习专题 空间几何体的外接球与内切球问题 讲义 (解析版)
空间几何体的外接球与内切球问题 高考分析： 球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主. 一、几种常见几何体的外接与内切球 1.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点； (2)半径：R ＝a 2＋b 2＋c 2 2(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)． 2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径R ＝3 2 a(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝ 2 a (a 为正方体的棱长)； (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径=2 r a (a 为正方体的棱长)． 3.正四面体的外接球与内切球 (1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R (a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r (a 为正四面体的棱长)． 求外接球问题常用方法： 1.补体法。将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解 2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面） 3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径 4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆 求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。
题型一：柱体的外接球 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________． 2.已知三棱柱111ABC A B C －的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为_________． 3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 4.已知圆柱的底面半径为1 2，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆 柱的体积为( ) A.π B. 3π4 C.π2 D.π4 题型二：锥体的外接球 5.求棱长为1的正四面体外接球的体积为_________． 6.已知正四棱锥P －ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P －ABCD 体积的最大值是( ) A.16R 381 B.32R 381 C.64R 3 81 D ．R 3 7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形， PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π 3，则三棱 锥P －AOB 的外接球的体积是_________． 8.已知△ABC 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为 16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A. B. C. 1 D.
立体几何之“线面角”题型专项训练(学生版)-2022届高三数学二轮专题复习
立体几何之“线面角”题型专项训练 1、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC CA ===，1AA =N 为AB 的中点． （1）求证：1//AC 平面1NB C ； （2）求11B C 与平面1NB C 所成角的正弦值． 2、已知四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，SBC ∆为等边三角形，平面SBC ⊥平面ABCD ． （1）求证：BC SD ⊥； （2）若点E 是线段SA 上靠近S 的三等分点，求直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值． 3、如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5. （1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值. 4、如图，在矩形ABCD 中，3AB =，6AD =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且1AE =， 4BF =，沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A EFB ''，使点B '在平面CDEF 上的射影H 在直 线DE 上．
（1）求证：平面B CD '⊥平面B HD '； （2）求证：//A D '平面B FC '； （3）求直线HC 与平面A ED '所成角的正弦值． 5、已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示. （1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ； （2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值. 6、如图，三棱锥S ﹣ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ． （1）若P 点是线段SA 的中点，求证：SA ⊥平面PBC ； （2）点Q 在线段出上且满足AQ ＝ ，求BQ 与平面SAC 所成角的正弦值． 7、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形， 120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥. （1）证明：AB PM ⊥； （2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.
大题专项训练16：立体几何(二面角)-2021届高三数学二轮复习 含答案详解
二轮大题专练16—立体几何（二面角） 1．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且 24AB AD ==，60DAB ∠=︒，1AD D D ⊥． （1）证明：1AD BD ⊥． （2）若112D D D B ==，求二面角1A BC B --的正弦值． （1）证明：在ABD ∆中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒， 由余弦定理得222cos6023BD AB AD AB AD =+-⋅︒= 则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥， 又1AD D D ⊥，1BD D D D =，故AD ⊥平面1D DB ． 而1BD ⊂平面1D DB ，1AD BD ∴⊥． （2）解：取BD 的中点O ，11D D D B =，1D O BD ∴⊥． 由（1）可知平面1D DB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ． 由ABCD 是等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，得DC CB =， 则CO BD ⊥，2211431D O DD DO --=． 以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OD 的方向为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，
则(3,2,0)A --，(3,0,0)B ，(0C ，1，0)，(3,0,0)D -，1(0D ，0，1)， (23,2,0)AB =，11(3,0,1)BB DD ==，(3,1,0)BC =-． 设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =， 则13030n BB x z n BC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ， 令1x =，则3y =，3z =-，有(1,3,3)n =-． 又(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量． ∴||321|cos ,|||||771 m n m n m n ⋅〈〉===⨯， ∴二面角1BC B Λ--的正弦值为32717- =． 2．如图，已知三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，4SB SC ==，点D 为SC 的中点，2DA =． （1）求证：平面SAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角S AB D --的正弦值．
高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解34---空间几何体的表面积和体积
高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题34 空间几何体的表面积和体积 【考纲要求】 1．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积. 【知识清单】 知识点1．几何体的表面积 圆柱的侧面积 rl S π2= 圆柱的表面积 )(2l r r S +=π 圆锥的侧面积 rl S π= 圆锥的表面积 )(l r r S +=π 圆台的侧面积 l r r S )(+'=π 圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π 球体的表面积 24R S π= 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 知识点2．几何体的体积 圆柱的体积 h r V 2π= 圆锥的体积 h r V 23 1π=
圆台的体积 )(3 122r r r r h V '++'=π 球体的体积 33 4R V π= 正方体的体积 3a V = 正方体的体积 abc V = 【考点梳理】 考点一 ：几何体的面积 【典例1】（2020·天津高考真题）若棱长为则该球的表面积为（ ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π 【答案】C 【解析】 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即3R ==， 所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C. 【典例2】（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）