高中数学立体几何专题

高中课程复习专题——数学立体几何

一 空间几何体 ㈠ 空间几何体的类型

1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡ 几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征

1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1。2 棱柱的分类

1。3 棱柱的性质

⑴ 侧棱都相等,侧面是平行四边形;

⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 1.4 长方体的性质

⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12

⑵ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是α、β、γ，那么：

cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2

⑶ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则:

cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 1

1。5 棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。

图1-1 棱柱

图1-2 长方体

图1-1 棱柱

1。6 棱柱的面积和体积公式

S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长,h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征

2—1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2-2 圆柱的性质

⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面（轴截面)是全等的矩形.

2—3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2—4 圆柱的面积和体积公式

S 圆柱侧面 = 2π·r ·h （r 为底面半径，h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3—1 棱锥的定义

⑴ 棱锥：有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

⑵ 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征

⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;

⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱（SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影（OB)、斜高在底面上的射影（OH)、底面边长的一半（BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形）。

3—3 正棱锥的侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 3—4 正棱锥的面积和体积公式

S 正棱锥侧 = 0.5 c h ’ （c 为底面周长，h'为侧面斜高） S 正棱锥全 = 0。5 c h ’ + S 底面

V 棱锥 = 1/3 S 底面·h （h 为棱锥的高）

图1-3 圆柱

图1-4 棱锥

4 圆锥的结构特征

4—1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.

4—2 圆锥的结构特征

⑴ 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 轴截面是等腰三角形；

⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和： l 2 = r 2 + h 2

4—3 圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形. 4—4 圆锥的面积和体积的公式

S 圆锥侧 = π r ·l (r 为底面半径,l 为母线长) S 圆锥全 = πr ·（r + l ）

V 圆锥 = 1/3 πr 2·h （h 为圆锥高） 5 棱台的结构特征

5。1 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台. 5。2 正棱台的结构特征

⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； ⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；

⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形；

⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。 5-3 正棱台的面积和体积公式

S 棱台侧= n/2 (a + b)·h ’ (a 为上底边长，b 为下底边长,h'为棱台的斜高，n 为边数) S 棱台全 = S 上底 + S 下底 + S 侧 V 棱台 =

6 圆台的结构特征

6—1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 6-2 圆台的结构特征

⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； ⑵ 圆台的截面是等腰梯形；

⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。

图1-5 圆锥

图1-6 棱台 图1-7 圆台

6—3 圆台的面积和体积公式

S圆台侧= π·（R + r）·l （r、R为上下底面半径）

S圆台全= π·r2 + π·R2 + π·（R + r）·l

V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R）h （h为圆台的高)

7 球的结构特征

7—1 球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴，

半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体.空间中，与定点

距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何

体称为球体。

7—2 球的结构特征

⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面;

⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方

图1-8 球

差：r2 = R2– d2

★7-3 球与其他多面体的组合体的问题

球体与其他多面体组合,包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：

⑴根据题意，确定是内接还是外切,画出立体图形;

⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图;

⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；

⑷注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；

球外切正方体，球直径等于正方体的边长。

7-4 球的面积和体积公式

S球面= 4 π R2(R为球半径）

V球= 4/3 π R3

㈢空间几何体的视图

1 三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形.

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。

侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图.

俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

注意：⑴俯视图画在正视图的下方，“长度"与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度"与俯视图相等.（正侧一样高,正俯一样长，俯侧一样宽）

⑵正视图、侧视图、俯视图都是平面图形,而不是直观图.

2 直观图

2—1 直观图的定义:是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

2—2 斜二测法做空间几何体的直观图

⑴在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°；

⑵画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O'y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平

面表示水平平面；

⑶在坐标系x’o'y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变;平行于x

轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。

结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的

2—3 解决关于直观图问题的注意事项

⑴由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”;

⑵由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱

画成虚线。

二点、直线、平面之间的关系

㈠平面的基本性质

1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化

图形语言文字语言符号语言

点A在直线a上点B在直线a外A∈a B a

点A在平面α内点B在平面α外A∈αBα

直线a在平面α内直线b在平面α外aαbα

直线a与平面α相交于点A a∩α=A 直线a与直线b相交于点A a∩b=A

平面α与平面β交于直线a α∩β=a

★2 平面的基本性质

公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.

公理二：不共线的三点确定一个平面。

推论一：直线与直线外一点确定一个平面。

推论二:两条相交直线确定一个平面。

推论三:两条平行直线确定一个平面。

公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）。

㈡空间图形的位置关系

1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面）

1。1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。

即：a∥b，b∥c a∥c

1。2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3 异面直线

⑴定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。

⑵判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直

线。

即：

1.4 异面直线所成的角

图2-1 异面直线

⑴异面直线成角的范围：(0°，90°］。

⑵作异面直线成角的方法:平移法.

注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如中点、端点等），形成异面直线所成的角。

2 直线与平面的位置关系（直线在平面内、相交、平行）

3 平面与平面的位置关系（平行、斜交、垂直)

㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行） 1 线面平行

1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行. 1。2 判定定理：

1.3 性质定理:

1.4 判断或证明线面平行的方法

⑴ 利用定义（反证法):l ∩ α = ф ,l ∥α (用于判断）； ⑵ 利用判定定理:线线平行

线面平行 (用于证明）；

⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；

⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断).

2 线面斜交和线面角:l ∩ α = A

2。1 直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ. 2。2 线面角的范围：θ∈［0°,90°］

注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°； 当直线垂直于平面时，θ=90° 3 面面平行

3。1 面面平行的定义:空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行.

3.2 面面平行的判定定理：

⑴ 判定定理1:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面相互平行. 即:

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面

图2-2 直线与平面的位置关系

图2-3 线面角

图2-4 面面平行

的两条线段，那么这两个平面平行。即：

⑵ 判定定理2:垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：

3。3 面面平行的性质定理 （面面平行线面平行）

⑴ ⑵

⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直） 1 线面垂直

1。1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 1.2 线面垂直的判定定理：

1.3 线面垂直的性质定理：

⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

即:

⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。 即:

1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据 ⑴ 利用定义，用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明.

⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。

⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面. ★1。5 三垂线定理及其逆定理

⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相

图2-5 判定1推论

图2-6 判定2

等则射影相等，斜线越长则射影越长,垂线段最短。 如图：

⑵ 三垂线定理及其逆定理

已知PO ⊥α，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a 是平面 α内的一条直线.

① 三垂线定理：若a ⊥OA ，则a ⊥PA 。即垂直射影则垂直斜线。 ② 三垂线定理逆定理：若a ⊥PA ，则a ⊥OA.即垂直斜线则垂直射影。

⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直;

② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。 2 面面斜交和二面角

2.1 二面角的定义：两平面α、β相交于直线l ，直线a 是α内的一条直线，它过l 上的一点O 且垂直于l ，直线b 是β内的一条直线,它也过O 点,也垂直于l ，则直线a 、b 所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α—l —β。 2.2 二面角的范围:∠α-l —β ∈［0°，180°］ 2。3 二面角平面角的作法:

⑴ 定义法：证明起来很麻烦，一般不用; ⑵ 三垂线法：常用方法；

⑶ 垂面法：常用于空间几何体中的二面角. 3 面面垂直

3。1 面面垂直的定义:若二面角α—l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β.

3。2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 即：

3。3 面面垂直的性质定理

⑴ 若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为90°； ⑵

图2-8 三垂线定理

图2-9 面面垂直

⑶

⑷

三立体几何主要难点

1 三种角的对比

角的类型范围解题步骤

异面直线所成角0°~90°1找：利用平移法找出异面直线所成角;

⑴固定一条直线，平移另一条直线，

⑵将两条直线都平移至一特殊位置。

2证:证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；

3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。

直线与平面所成角0°～90°1找:作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理;

2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；

3计算:通过解三角形，求出线面角的角度。

二面角的平面角0～π1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；

2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法;

3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。

2 立体几何知识网络

图2-10 面面垂直性质2 图2-11 面面垂直性质3

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