云南昆明三中2019高三第三次适应性抽考-数学理教学文案

云南昆明三中2019高三第三次适应性抽

考-数学理

云南昆明三中2019高三第三次适应性抽考-数学理

理科数学试卷

制卷：徐青华

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座

位号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦擦干净

后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用黑色碳素笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

图２

2

2

4C 1

B 1

A 1

C

B A

1.设全集R U =,=A (2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则图中阴影部分表示的

集合为 （ ）

A ．{|1}x x ≥

B ．{|12}x x ≤<

C ．{|01}x x <≤

D ．{|1}x x ≤

2.已知,x y R ∈，为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x y i ++的值为 （ ）

A. 2

B.

2i - C. 4- D. 2i

3.如图2，正三棱柱11

1

ABC A B C -的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为( )

A ．83

B ．43

C ．23

D ．16

4.若βα,是两个不同的平面，以下四个条件：①存在一条直线a ，

βα⊥⊥a a ,；②存在一个平面γ，

βγαγ⊥⊥，；③存在两条平行直线a b a b a ,,,,βα??∥,b β∥α；④存在两

条异面直线,,,α?a b a

a b ,β?∥,b β∥α．那么可以是α∥β的充分条件有

（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个

5.设函数

32

sin 3cos ()tan 32

f x x x θθθ=

++，其中θ∈????

0，5π12，则导数)1(f '的取值

范围是（ ）

A ．[－2,2]

B ．[2，3]

C ．[3，2]

D ．[2，2]

6.若变量,a b 满足约束条件

6321a b a b a +≤??

-≤-??≥?

，23n a b =+，则n 取最小值时，

21

2n x x ?

?- ?

?

?二项展开式中的常数项为 （ ）

A ． -80

B ．80

C ．40

D ． -20

7.函数2

1ln ||1

y y x x

==--+与在同一平面直角坐标系内的大致图象为 （

8.若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2

＋y 2

＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1

b 的

最小值为（ ） A. 14

2

C. 3

2

2

+

D. 3

22

2

+

9.如图，在等腰直角ABO ?中，设,,1,OA a OB b OA OB C ====u u u r u u u r r r 为AB

上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线，设P 为垂线上任一点，

,OP p =u u u r r 则()p b a ?-=

r r r （ ）

A. 21-

B. 21

C. 23- D .23

O A

B

P

C

10.若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，

SA =1AB =，2AC =，

60BAC ∠=?，则球O 的表面积为 （ ）

A ．64π

B ．16π

C ．12π

D ．4π

11. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所

大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（ ）种. A ．114 B ．150 C ．72 D ．100

12.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ?∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当

]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在)

,0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 （ ）

A ．

)

2

2,0( B ．

)

3

3,0( C ．

)

5

5,0( D ．)

6

6,0(

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上。

13.已知数列

{}n a 为等比数列，且2113725a a a π+=，则)cos(122a a 的值为

_________________.

14.圆222π=+y x 内的曲线x y sin -=与x 轴围成的阴影部分区域记为M （如图），随机往圆内投掷一个点A ，则点A 落在区域M 的概率为_________________.

15.已知F 是双曲线C ：2

2221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点，2

1B B 是双曲线的虚轴，M 是1OB 的中点，过M F 、的直线交双曲线C 于A ，且2=，则双

曲线C 离心率是_________________.

16.在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且

sin 2sin 222,log log b a b c ><，2223b c a bc

+=，若0AB BC ?

,则cos sin B C +的取值范围是 _____________.

三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

根据如图的程序框图，将输出的,x y 值依次分别记为

201321,,,x x x Λ；201321,,,y y y Λ.

（1）写出数列

{}{},n n x y 的通项公式（不要求写出求解过程）； （2）求()()()1112211++++++=n n n y x y x y x S Λ)2013(≤n .

18．(本小题满分12分)

如下图，正方形D D AA 1

1与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ,

点E 为AB 的中点.

（1）求证：DE A BD 11//平面；

（2）求证：D A E D 1

1⊥；

（3）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D MC D --1

的大小为6π？若存

在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.

19. (本小题满分12分）

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计 男生 5 女生 10 合计

50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35

．

（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.

下面的临界值表供参考：

2

()

P K k ≥

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式：

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++，其中n a b c d =+++)

20.（本小题满分12分）

已知)0,1(1-F 、)0,1(2F ，圆2

F ：1)1(22=+-y x ，一动圆在y 轴右侧与

y 轴相切，同时与圆2F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，曲线E 是以1F ，

2F 为焦点的椭圆． （1）求曲线C 的方程；

（2）设曲线C 与曲线E 相交于第一象限点P ，且

3

71=

PF ，求曲线E 的标

准方程；

（3）在（1）、（2）的条件下，直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线的斜率k 的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0

x =处取得极值.

(1)求实数a 的值；

(2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围；

(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()2341

2ln 149n n n

+++++>+L 都成立.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上填涂所选题目对应的题号。 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于B A 、两点，∠APE 的

平分线和BE AE ,分别交 于点D C ,.

求证：（1）DE CE =； （2）.CA PE CE PB

=

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，直线经过点P （-1，0），其倾斜角为α，以原点O

为极点，以x 轴非负半轴

为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系。设曲线C 的极

坐标方程为26cos 50.ρρθ-+=

（1）若直线与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （2）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|1||4|.f x x x a =++-- （1）当1,()a f x =时求函数的最小值； （2）若4

()1

f x a

≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。

昆明三中2018届高考适应性月考卷（三）

理科数学参考答案

一、选择题：BDACD ACCAB DB 二、填空题：13. 1

2

； 14.

3

4

π

； 15.

52； 16.

三、解答题：

17. 解：（1）)2013(13,12≤-=-=n y n x n n n ---------4分

（2）

()n n n S 312353331321?-++?+?+?=Λ

()()13231233233313+?-+?-++?+?=

∴n n n n n S Λ

两式相减,则

()()n n n n 333233122S 321+++--?-=+Λ ()()20133

311≤+-=∴+n n S n n

-------------12分

18.解：（Ⅰ）的中点是为正方形，四边形111AD O A ADD , 点E 为AB 的中点,连

接OE

∴1ABD EO ?为的中位线 EO ∴//1

BD ……2分

又DE A OE DE A BD 111,平面平面??Θ ∴DE A BD 11//平面 ………4分

（II ）正方形11A ADD 中,11AD D A ⊥ , 由已知可得：1

1A A DD AB 平面⊥，

111A ADD D A 平面? D A AB 1⊥∴,A AD AB =?1

E AD E D DE,A 1111平面平面?⊥∴D A E D D A 11⊥∴ …………8分

故当

3

32-

=AM 时，二面角D MC D --1的大小为6π ……………12分

(注：其它方法同样得分)

19. 解：(1) 列联表补充如下： -----------------------3分

（2）∵

2

2

50(2015105)8.3337.879

30202525

K ??-?=≈>??? ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.--------------7分

（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2. 其概率分别为

021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C

ξ===,20

10152

253

(2)20

C C P C ξ=== 故ξ的分布列为:

ξ的期望值为:

7134012202205

E ξ=?+?+?=

---------------------12分

20. 解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为

(),x y )0(>x

因为动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2

F 相外切，所以

21

CF x -=，………1分

1x =+，化简整理得24y x =，曲线C 的方程为

24y x =)0(>x ； …3分

（Ⅱ）依题意，1c =，

173PF =, 可得23

p x =

， …………4分 253PF ∴=,又由椭圆定义得1275

24,2

33

a PF PF a =+=+==. …………5分

2223b a c ∴=-=，所以曲线E 的标准方程为2

2

143

x y +=； …………6分 （Ⅲ）（方法一）设直线与椭圆E 交点()()2

211y ,x B ,y ,x A ，B ,A 的中点M 的坐

标为()0

y ,x ，

设直线方程为()00≠≠+=m ,k m kx y

与13

422=+y x 联立得()012484322=-+++m kmx k

由034022>+>m k -得?① ……8分

由韦达定理得

2

21438k km x x +-=+ =∴0x 2434k km +- =0y 2

433k m +

将M(2434k km +-,2433k m +)代入24y x = 整理得9

)43(162k k m +-=

②…10分

将②代入①得()

814316222<+k k 令()042>=t k t 则081192642<-+t t 8

30<

<∴t

8

686<

<-∴k 且0≠k ………12分

（方法二）设直线与椭圆E 交点),(),,(2

211y x B y x A ，B A ,的中点M 的坐标为

()0

,y x ，

将B A ,的坐标代入椭圆方程中，得

?????=-+=-+0

12430124322222

121y x y x

两式相减得()()()()0432

1212121=+-++-y y y y x x x x

2

12

1

43y x x x y

y -

=--∴

， …………7分 0

2

04x y =Θ，∴直线AB 的斜率

212116

3

y x x y y k -=--=， …………8分 由（Ⅱ）知

23

p x =，,3842

==∴p p x y ∴362±

=p y 由题设)

0(3

623

6200≠<

<-

y y ，8

6163

860<

-<-∴y ， ………10分

即8

686<<-k ()0≠k . …………12分

21．解:(1)

()'

1

21,

f x x x a

=--+ …………1分 0x =Q 时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴= …………2分 故12010,0a -?-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意. …………3分

（2）由1a =知

()()2ln 1,f x x x x =+--

由

()5

2

f x x b

=-+,得()2

3

ln 10,

2

x x x b +-+-= 令

()()2

3ln 1,2x x x x b ?=+-+-则()52

f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于

()0

x ?=在区间

[]0,2上恰有两个不同的实数根.

()()()()

'

451132,

1221x x x x x x ?-+-=-+=++

当[]0,1x ∈时,

()'0x ?>,

于是

()x ?在

[)0,1上单调递增;

当

(]

1,2x ∈时,

()'0x ?<,

于是()

x ?在

(]1,2上单调递减.…………6分

依题意有

()()()()()0031ln 1110

22ln 12430

b b b ???=-≤??

?

=+-+->??

?=+-+-≤?, 解

得,

1ln 31ln 2.

2

b -≤<+ …………8分 (3) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为

{}1x x >-,由(1)知()()()

'

231x x f x x -+=

+,

令

()'0

f x =得,0x =或

32

x =-

(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增; 当0x >时,

()'0f x <,()f x 单调递减. ()0f ∴为()f x 在()

1,-+∞上的最大值.

()()0f x f ∴≤,

故

()2ln 10x x x +--≤(

当且仅当0x =时,等号成立)

对任意正整数n ,取

10x n =>得,2111ln 1,n n n ??+<+ ??? …………10分 2

11ln n n n n

++??∴< ???.

故

()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n ++++++>++++=+L L . …………12分 （方法二）数学归纳法证明：

当1n =时，左边21121+==，右边ln(11)ln 2=+=，显然2ln 2>，不等式成立。

假设

()

*,1n k k N k ≥∈≥时，

()2341

2ln 149k k k

+++++>+L 成立， 则1n k =+时，有

()()

()22

234122

2ln 14911k k k k k k k ++++++++>++++L .

做差比较：

()()()

()2

222

22111ln 2ln 1ln ln 1111(1)11k k k k k k k k k k k ??+++?

?+-+-=-=+-+ ? ?++++??++??

构建函数

()()()

2ln 1,0,1F x x x x x =+--∈，则

()()

230

1

x x F x x -+'=<+， ()()0,1F x ∴在单调递减，

()()00F x F ∴<=.

取

()*11,1x k k N k =≥∈+，()2111ln 10011(1)F k k k ????+-+<= ? ?+++????

即()()()

2

2

ln 2ln 10

1k k k k ++-+-

<+，亦即

()

()()

2

2

ln 1ln 21k k k k +++>++，

故1n k =+时，有

()()

()()22

234122

2ln 1ln 24911k k k k k k k k ++++++++>++>+++L ，

不等式成立。

综上可知，对任意的正整数n ,不等式

()2341

2ln 149n n n

+++++>+L 都成立. ------12分

22.解：（1）切PE Θ⊙O 于点E ，BEP A ∠=∠∴------2分

APE PC ∠平分Θ，DPE BEP CPA A ∠+∠=∠+∠∴------4分

DPE BEP EDC CPA A ECD ∠+∠=∠∠+∠=∠,Θ， ED EC EDC ECD =∴∠=∠∴, ------5分

（2）PCE PDB ECD EDC EDC PDB ∠=∠∠=∠∠=∠,,Θ------6分

PBD EPC BPD ?∴∠=∠∴,∽PEC ?，PD

PC PB PE =∴------7分

同理PDE ?∽PCA ?，DE

CA PD PC =∴------8分

DE

CA PB PE =∴------9分 PB

PE CE CA CE DE =

∴=,Θ------10分

23.解：（1）将曲线C 的极坐标方程2-6cos 50ρρθ+=化为直角坐标方程为

22650x y x +-+= -----------1分

直线的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+??

=? （为参数） ----------2

分

将1cos sin x t y t αα=-+??

=?代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t α-+=-------------3分

Q 直线与曲线C 有公共点，264cos 480α∴?=-≥

cos cos αα∴≥≤分

[)0,,απα

∈∴Q 的取值范围是

50,,66πππ????

?????????

-----------5分

(2)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为

()

2

234

x y -+=，其参数方程为

32cos 2sin x y θ

θ

=+??

=?（θ为参数）

---------6分

()

,M x y Q 为曲线C

上任意一点，

32cos 2sin 34x y πθθθ?

?∴+=++=++ ?

?

? -------8分

x y ∴+

的取值范围是3,3?-+? --------------10分

24.解：（1）当1a =时，

()22,1,1414,14,

24, 4.x x f x x x x x x -+≤-??

=++--=-<

()min 4f x ∴= -----------5

分

（2）

()41f x a ≥+对任意的实数x 恒成立?4141x x a a

++--≥+

对任意的实数x 恒成立

?

44

a a

+≤ ---------------6分 当0a <时，上式成立； ----------7分

当0a >

时，

44a a +≥=

当且仅当

4a a =即2a =时上式取等号，此时4

4

a a

+≤成立。 ----------9分

综上，实数a 的取值范围为(){},02-∞? --------------10