2013考研数学三真题及答案

2013考研数三真题及答案

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、

１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）

（A ）)()(3

2

x o x o x =? （B ）)()()(3

2

x o x o x o = （C ）)()()(2

2

2

x o x o x o =+ （D ）)()()(2

2

x o x o x o =+

【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2

3

3

2

x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是

)(2x o 故应该选（D ）．

2．函数x

x x x x f x

ln )1(1)(+-=

的可去间断点的个数为（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x e

x x

x x

ln ~11ln -=-，

1ln ln lim

ln )1(1lim

)(lim 0

==+-=→→→x x x x x x x x x f x x

x x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．

2

1

ln 2ln lim

ln )1(1lim

)(lim 0

1

1

=

=+-=→→→x

x x

x x

x x x x f x x

x x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→x

x x x x

x x x x f x x x x ln )1(ln lim

ln )1(1lim

)(lim 1

1

1

，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的

可去间断点．

故应该选（C ）．

３．设k D 是圆域{

}

1|),(2

2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记??-=k

D k dxdy x y I )(，则

（ ）

（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

()πππ

πππθθθ

θθθθθ22

1

2211

02

22

)1(|cos sin 3

1

)sin (sin 31)cos (sin )(k k k

k k

k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-

=-=-=-=?????

所以ππ3

2

,32,04231-==

==I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则

∑∞

=--1

1

)

1(n n n a 收敛；

（B ）若

∑∞

=--11

)

1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；

（C ）若

∑∞

=1

n n

a

收敛．则存在常数1>P ，使n p

n a n ∞

→lim 存在；

（D ）若存在常数1>P ，使n p

n a n ∞

→lim 存在，则

∑∞

=1

n n

a

收敛．

【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．

此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞

→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，

选项（B ）也不正确，反例自己去构造．

５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．

【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121ΛΛ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i ΛΛ=+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1

-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．

6．矩阵????? ??1111a a b a a 与矩阵???

?

? ??00000002b 相似的充分必要条件是

（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数

【详解】注意矩阵????? ??00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=????? ??1111a a b a a 与矩阵???

?

? ??00000002b 相

似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．

)22)2((1

1

1

1

22a b b a

a b a

a

A E -++--=---------=-λλλλλλλ

从而可知b a b 2222

=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．

7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~2

3221N X N X N X ，

{}22≤≤-=i i X P P ，则

（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2

σμN X ，则

)1,0(~N X σ

μ

-

1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=?

??

???≤≤-=≤≤-=X P X P P ，

{}())13737)1(3523535222333Φ-???

??Φ=??? ??-Φ--Φ=?

?

????-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，

=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-??

?

??Φ+．

故选择（A ）．

8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为

则{}==+2Y X P （ ） （A ）

121 （B ）81 （C ）61 （D ）2

1 【详解】

{}{}{}{}6

12412411211,30,21,12=++=

-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．设曲线)(x f y =和x x y -=2

在点()0,1处有切线，则=??

?

??+∞

→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以

2)1('22222)

1(221lim 2lim -=-=-+?

+--??? ??

+-+=??? ??+∞→∞→f n

n n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x

=+确定，则

=??)2,1(|x

z

． 【详解】 设

()xy

y z z y x F x -+=)(,,，

则

()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，

当2,1==y x 时，0=z ，所以

2ln 22|)2,1(-=??x

z

． 11．

=+?

∞+x d x x

1

2

)1(ln ．

【详解】

2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )

1(ln 11111

2=+=+++-=+-=+∞

+∞+∞+∞+∞

+???

x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程04

1

=+

'-''y y y 的通解为． 【详解】方程的特征方程为04

1=+-λλr

，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通

解为2

21)(x

e x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．

13．设()

ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足

)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A =．

【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+T

A A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从

而可知

A A

A A T -===-1

3**，所以A 可能为1-或0．

但由结论??

???-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+T

A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只

能为3，所以.1-=A

14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()

=X

Xe

E 2． 【详解】

()

=

X Xe E 2dx e

x e dx e

x dx e

xe x x x x

??

?

∞+∞

---

∞+∞

-+--

∞+∞

--

+-=

=2

)2(2

22

)2(2

22

2

2

)22(2221π

π

π

22222222)(222

2

e e X E e dt e dt te e t t =+=???

? ??+=??∞+∞--∞+∞--π． 所以为2

2e ．

三、解答题

15．（本题满分10分）

当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与n

ax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【

详

解

】

当

→x 时，

)(2

11cos 22

x o x x +-

=，)

(21)()2(21

12cos 2222x o x x o x x +-=+-=，

)(2

9

1)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，

所

以

)(7))(2

9

1))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+-

-=-，

由于x x x 3cos 2cos cos 1-与n

ax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3

x y =

，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x

轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知

πππ35

3

202

5

3

a dx x dx y V a a

x ===?

?；

πππ37

3

40

7

6

2)(2a dx x dx x xf V a a

y ===?

?；

由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）

设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求??D dxdy x 2

．

【详解】

3

416

83

6

2

2

33

2

2

2

222

1

=

+=+=??????????-x

x x x D D D

dy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,1000

60Q

P -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】

（1）设利润为y ，则60001000

40)206000(2

--

=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.500

40'Q y -

= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．

经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.4010000

20000

60,20000=-==P Q

19．（本题满分10分）

设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞

→x f x ，证明

（1）存在0>a ，使得();1=a f

（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得a

f 1)('=ξ． 【详解】

证明（1）由于2)(lim =+∞

→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有

2

5)(23<a ，使得();1=a f

（2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得a

a f a f f 1

)0()()('=-=ξ．

20．（本题满分11分）

设???

?

??=???? ??=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出

所有矩阵C ．

【详解】

显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设???

?

??=4321

x x

x x C ， 则B CA AC =-变形为???

?

??=????

??---++-+-b ax x x x x ax x ax ax x 110324314213

2， 即得到线性方程组???????=-=--=++-=+-b

ax x x x x ax x ax ax x 324314

2132110

，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方

程组的增广矩阵进行初等行变换如下

()??

?

?

?

?

?

??+---→???????

??-----=b a a b a a

a a

b A 000010000001011101

01011

1011010010|，

所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．

此时，()??????

?

?

?--→00

0000000000110

11101

|b A ， 所以方程组的通解为??

??

???

??+??????? ??-+?

?????

? ??=??????? ??=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵

C 为

???

?

?

?-++=2112

11C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．

21．（本题满分11分） 设

二

次

型

2

3322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记

????

? ??=????? ??=321321,b b b a a a βα．

（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T

T

ββαα+2；

（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 2

22

12y y +． 【详解】证明：（1）

()()()()()()()()

()(

)

??

??

? ??+=????

? ??+????

?

??=??

?

??

??????? ??+????? ??????? ??=+++++=3213213213213213213213213213213213213213212

33221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f T

T T

T

ββααββαα

所以二次型f 对应的矩阵为 T

T ββαα+2．

证明（2）设=A T

T

ββαα+2，由于0,1==αβαT

则(

)ααββα

ααββααα2222

=+=+=T T

T A ，

所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；

()

ββββααβββααβ=+=+=2

22T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向

量；

而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T

T

T

T

r r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．

故f 在正交变换下的标准形为 2

22

12y y +． 22．（本题满分11分）

设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为???<<=其他

,01

0,3)(2x x x f X ，在给定

)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为??

?

??<<=其他,0,0,3)/(3

2

x y x y x y f X

Y ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．

【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：

()??

?

??<<<<=?=其他,00,10,9)()/(,2

x y x x y x f x y f y x f X X

Y

（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：

??

???<<-===??∞+∞

-其他,010,ln 99),()(212

y y y dx x y dx y x f y f y

Y 23．（本题满分11分）

设总体X 的概率密度为?????>=-其他,00

,);(32x e x x f x θ

θθ，其中θ为为未知参数且大于零，

n X X X Λ,21为来自总体X 的简单随机样本．

（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．

【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）

θθθ

===?

?

∞+-

∞+∞

-0

2

2

)()(dx e x

dx x xf X E x ，

令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==n

i i X n X 1

1θ．

（2）当),2,1(0n i x i Λ=>时，似然函数为

???

?

??-==-∑

???

? ??=????

?

?==∏∏n i i i

x n i i n

n

i x

i e x e x L 113121

32

)(θθ

θθθ，

取对数，∑∑==-???? ??-=n

i i n i i x x

n L 1

1ln 31

ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i i

x n θ，

解得的极大似然估计量为．