条件概率教学设计
2.2.1条件概率教学设计
一.教学目标
（一）知识与技能：
掌握条件概率的定义、判断、及求解方法。
（二）过程与方法：
通过知识的探索让学生体会数学来源于生活，采用分析、归纳、总结为主的方法，以培养学生自学能力。
（三）情感态度与价值观：
通过生活中的实例让学生体会数学知识的重要性，培养学生思维的灵活性和知识的迁移能力，让学生养成善于观察，分析总结的良好习惯。
二.教学重点、难点
教学重点：条件概率的定义、公式的推导及计算；为了让学生能够区分一般概率和条件概率的区别，在教学时应特别注意条件概率的定义的引入；但能否解决问题，
并解决学生知其然，不知其所以然的情况，还在于对公式的理解，所以本节
课的重点是让学生理解公式的推导及应用。
教学难点：条件概率的判断与计算；在理解的基础上能运用自如才是教学的真正目的，所以在教学中选择适当的练习题让学生理解究竟什么是条件概率及条件概率
该如何解决。
三.学情分析
（一）学生已有知识基础或学习起点
这是一节新授课，本班学生对数学科特别是概率内容的学习有很高的热情，本班学生具备较好的逻辑思维能力，并能够用已学的定理和概念解决一些常见问题，但分析问题的能力有待提高。
（二）学生已有生活经验和学习该内容的经验
学生通过小学、初中的学习，具备了基本的逻辑思维能力，同时在以前的数学学习中学生已经经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
（三）学生的思维水平以及学习风格
受以前传统教学方式的影响，学生的思维仍停留在就题论题上，还没有形成一套完
整的思维体系去解决一类问题甚至没有形成一种解决问题的思维方法，因此思路不开阔，缺少发散思维和逻辑思维能力。学习风格上还保留着被动接受的习惯，缺乏主动思考和探索的精神。
（四）学生学习该内容可能的困难
在学习中，学生可能对对条件概率的判断和计算上会有些困难，但相比较计算上困难会更大一些，因为通过本节课的学习，我们掌握了两种解决条件概率的方法，分别是公式法和缩减基本事件空间的方法，能不能运用的好可能是学生在学习中遇到的困难。
（五）学生学习的兴趣、学习方式和学法分析
由于学生自我归纳能力较差又习惯于就题论题，因此适合提问引导启发式授课方式和归类对比的学习方法。讲解的时候，应做到适当启发、设问，引发学生对问题的思考，引导学生找到解题思路，并且点拨学生进行对比归类，提高学生对问题的分析、归纳、总结的能力。
四.教学内容分析
概率是高中数学的新增内容，它自成体系，是数学中一个较独立的学科分支，与以往所学的数学知识有很大的区别，但与人们的日常生活密切相关，而且对思维能力有较高要求，在现实生活中都占有重要的作用。
《条件概率》是高中课程标准实验教科书人教B版数学选修2－3第二章第二节的内容，它在教材中起着承前启后的作用，一方面，可以巩固古典概型概率的计算方法，另一方面，为研究相互独立事件打下良好的基础。本节课通过引例让学生体会条件概率的定义，并在此基础上类比得出条件概率的公式。
五.教学过程设计
最新概率统计教案2
第三章 多维随机变量及其分布 一、教材说明 本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望。本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。 1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念； （2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数； （3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望。 本章的教学要求是： （1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布； （2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法； （3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目； （4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系； （5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目。 2、本章的重点与难点 本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。 二、教学内容 本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容。 3.1 多维随机变量及其联合分布 一、多维随机变量 定义3.1.1 如果12(),(),,()n X X X ωωω???是定义在同一个样本空间{}ωΩ=上的n 个随机变量，则称1()((),...,())n X X X ωωω=为n 维随机变量或随机向量。 二、 联合分布函数 1、定义3.1.2 对任意n 个实数12,,,n x x x ???，则n 个事件 1122{},{},,{}n n X x X x X x ≤≤???≤同时发生的概率 121122(,,,){,,,}n n n F x x x P X x X x X x ???=≤≤???≤ 称为n 维随机变量12(,,,)n X X X ???的联合分布函数。
3.1.4概率加法公式
班级：___ 姓名：________ 一、新知导学 1．互斥事件、事件的并、对立事件 不可能同时发生的两个事件叫做__________ (或称为_________事件)。由事件A 和B 至少有一个发生(即A 发生，或B 发生，或A 、B 都发生)所构成的事件C ，称为____________ (或和)。记作_________(或C=A+B)。 事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件所组成的集合。 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为__________。 事件A 的对立事件记作A 。 2.若A 、B 是互斥事件。在n 次试验中，事件A 出现的频数是n 1，事件B 出现的次数是n 2，则事件A B 出现的频数为________，所以事件A B 的频率为_________。 用n μ表示在n 次试验中事件出现的频率，则总有n μ(A B)=_____________，由概率的统计定义可知P(A B)=____________。 3.如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，那么事件12n A A A 发生(是指事件n A A A ,,,21 中至少有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的_______，即P(12n A A A )=______________，称为互斥事件的概率加法公式。 4.一般地，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件。对立事件的概率公式为__________________________。 二、课前自测 1、判断下列各对事件是否为互斥事件。 某小组有3名男生和5名女生,从中任选2名同学去参加英语竞赛, (1)恰有1名男生与恰有2名男生；______；(2)至少有1名女生与全是女生。 _______ 2、给出以下四个命题： (1)将一枚硬币抛掷二次，设事件A ：“二次都出现正面”，事件B ：“二次都出现反面”．则事件A 与事件B 是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A 与事件B 是互斥事件； (3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A ：“所取3件中最多有2件是次品”．事件B ：“所取3件中至少有2件是次品”．则事件A 与事件B 是互斥事件． 其中真命题的个数是（ ）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
第四章概率教案
第四章概率 一教学目标 1．经历猜测、试验、收集与分析试验结果的活动过程． 2．初步了解必然事件、不可能事件和不确定事件发生的可能必大小，了解事件发生的等可能性游戏规则的公平性． 3．了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型，发展随机观念． 4．能对两类事件（古典概率和几何概率）发生的概率进行简单的计算，并能设计符合要求的简单概率模型． 5．在概率的学习中进一步体会“数学就在我们的身边”发展“用数学”的意识和能力．二教材分析 概率中“随机”观念的培养需要一个长期的过程．在七年级（上）《可能性》一章中学生已经接触过不确定事件的有关事例（如在“一定能摸到红球吗”中已初步体验了有些事件的发生是不确定的，知道事件发生的可能性有大小；在“转盘游戏”中又体验了不确定事件发生的可能性大小；在“谁转出的四位数大”中进一步体会到不确定事件的特点及事件发生的可能性）． 在本单元的学习中，学生将在经历猜测、试验、收集与分析试验结果的活动过程中，进一步了解不确定现象的特点，通过具体情景体会概率的意义，在丰富的实际问题中认识概率是刻画不确定现象的数学模型，同时学习一些简单的计算概率的方法，并通过对概率的进一步认识帮助自己作出合理的决策． 教材首先呈现给学生的是一个转盘游戏，意在通过实验与分析，使学生体会必然事件、不可能事件和不确定事件发生的可能性；然后通过掷硬币游戏，让学生初步了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，在做大量试验的过程中感悟概率的意义，初步体会可以通过做试验来估计事件发生的可能性． 教材在第二节中，通过对摸到红球的概率展开了讨论，使学生初步学习定量刻划一类事件（古典概型）的方法，进一步体会概率的意义；在第三节中，通过小猫停留在黑砖上的概率问题，使学生直观体验另一类事件（几何概型），了解此类事件发生概率的基本计算方法，并能进行简单计算． 三教学建议 1．引导学生认真阅读“主题图”，帮助他们初步了解本章要学习的内容。 课文给出学生十分感兴趣的两个问题，希望引发学生的学习兴趣。同时简要介绍本章主要内容，并指出概率存在于日常生活之中，与人们的生产、生活密切相关。 2．注重引导学生积极参与试验过程，亲自动手试验收集相关数据，通过对数据的分析处理，培养学生的随机观念． 学生往往存在着一些生活“经验”，这些经验是进一步学习的基础，但其中的一部分是错误的．逐步消除错误的经验，建立正确的随机观念是学习概率的一个重要目标．要实现这一目标，必须让学生经历对随机现象的探索过程，引导学生亲自从事“试验→收集试验数据→分析试验结果”的过程，从而获得事件发生的概率． 3．注意培养学生的随机观念，理解现实世界中不确定事件的现象与特点，树立一定的随机观念是教学中的重点和难点所在． 教学时，教师要引导学生主动参与对事件发生的感受和探索，通过对现实世界中学生熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验．在教学中，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生亲自尝试试验，以获得事件发生的概率，消除一些错误的经验，体会不确定事件现象的特点．
高中数学《概率与统计》教学设计
高中数学《概率与统计》教学设计 课题:1.3抽样方法 教学目的:1理解什么是系统抽样 2.会用系统抽样从总体中抽取样 教学重点:系统抽样的概念及如何用系统抽样获取样本 教学难点:与简单随机抽样一样,系统抽样也属于等概率抽样,这是本节课的一个难点;当总体中的个体数不能被样本容量整除时,可先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,使剩下的个体数能被样本容量整除,然后再按系统抽样进行,这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然是相等的.这是本节课的又一难点授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.在统计学里,我们把所要考察对象的全体叫做总体,其中的每一个考察对象叫做个体,从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本的容量.总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,样本中所有个体的平均数叫做样本平均数. 2.简单随机抽样:设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样 3.⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 N 1;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n;⑵简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;⑶简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础. 4.抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个编号(号码可从1到N,并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作,然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时
高中数学概率统计教案
专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定
用频率估计概率教案
利用频率估计概率》教案1 第一课时 ★新课标要求知识与技能： 1．当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率． 2．通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念．过程与方法： 通过试验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系 与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力． 情感态度与价值观： 1．通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯． 2．在活动中进一步发展合作交流的意识和能力． 教学重点：理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率．教学难点：对概率的理解． 设计教学程序： 一、问题情境： 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都 是班里的篮球迷，两人都想去．我很为难，真不知该把球给谁．请大家帮我想个办法来决定把球票 给谁． 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定．（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认 可的方法．如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢由学生讨论：这样做公平．能保证小强与小明得到球票 的可能性一样大．在学生讨论发言后，教师评价归纳． 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上” 还上“反面朝 上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小 明得到球票的可能性一样大． 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币 的试验来验证一下．说明：现实中不确定现象是大量存在的，新课标指出：“学生数学学习内容应当 是现实的、有意义、富有挑战的” ，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的 学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下 一步引导学生开展探索交流活动打下基础． 二、合作游戏： 1．教师布置试验任务． （1）明确规则． 把全班分成10 组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在 同样条件下进行． （2）明确任务，每组掷币50 次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝 上”的频率，整理试验的数据,并记录下来． 2．教师巡视学生分组试验情况． （1）观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）要求真实记录试验情况?对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3 ?各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入.
统计与概率复习课教案
统计与概率 第1课时统计与概率（1） 教学内容：教材第96页1、2题，练习二十一第1—3题 教学目标 1、使学生将统计的相关知识系统化、条理化。 2、使学生明确条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点及作用。 3、使学生进一步掌握复习整理的方法和策略。 重点难点 重点 分类、整理知识点 难点 条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点及作用。 教学准备 多媒体课件等。 教学步骤 一、复习导入 在日常生活和生产实践中，经常需要对一些数据进行分折、比较、研究，这样就需要进行统计。今天我们就一起来复习统计一部分的内容。 二、回顾与整理 教材等96页第1、2题。 1、我们学过哪些统计与可能性的知识？ （单复式）统计表 （单复式）统计图：条形统计图、折线统计图、扇形统计图 平均数：一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，通常用来表示统计对象的一般水平。 2、各种统计图都有什么特点？适合在什么情况下使用？ ①条形统计图 用一个单位长度（如1厘米）表示一定的数量，根据数量的多少，画成长短相应成比例的直条，并按一定顺序排列起来，这样的统计图，称为条形统计图。条形统计图可以清楚地表明各种数量的多少。 条形统计图的特点：（1）能够显示每组中的具体数据。（2）易于比较数据之间的差别。 ②扇形统计图 以一个圆的面积表示事物的总体，以扇形面积表示占总体的百分数图，叫做扇形统计图，也叫做百分数比较图。扇形统计图可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系。 扇形统计图的特点：（1）用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比。（2）易于显示每组数据相对于总数的大小。 ③ 折线统计图 以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图，叫做折线统计图，与条形统计图比较，折线统计图不仅可以表示数量的多少，而且可以反映同一事物在不
人教B版高中数学高一必修3学案古典概型概率的一般加法公式
3．2.1 & 3.2.2 古典概型 概率的一般加法公式(选学) 预习课本P102～107，思考并完成以下问题 (1)古典概型的特征是什么？ (2)古典概型的概率计算公式是什么？ [新知初探] 1．古典概型的概念 (1)定义：如果一个概率模型满足： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件发生的可能性是均等的． 那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)计算公式：对于古典概型，任何事件A 的概率 P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数. 2．概率的一般加法公式(选学) (1)事件A 与B 的交(或积)： 由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记作D ＝A ∩B (或D ＝AB )． (2)概率的一般加法公式： 设A ，B 是Ω的两个事件，则有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )． [小试身手] 1．下列关于古典概型的说法中正确的是( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n . A ．②④ B ．①③④ C ．①④ D ．③④
解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B. 2．下列试验是古典概型的是( ) A ．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{}取中白球和{}取中黑球 B ．在区间[－1,5]上任取一个实数x ，使x 2－3x ＋2＞0 C ．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D ．某人射击中靶或不中靶 解析：选C A 中两个基本事件不是等可能的；B 中基本事件的个数是无限的；D 中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C 符合古典概型的两个特征，故选C. 3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( ) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D ．1 解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝2 3 . 4．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( ) A.12 B.1536 C.1936 D.56 解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝19 36 . 基本事件的计数问题 [典例] (1)42张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 (2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
概率的加法公式
12．3．1 概率的加法公式 2．任意事件概率的加法公式 任意事件概率的加法公式为 P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ） 公式可以推广到有限个事件的情形。下面给出三个事件的并的概率加法公式： P （A ∪B ∪C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）－P （AB ）－P （AC ）－P （BC ）+P （ABC ） 例2 如图12-6（课本）所示的线路中，元件a 发生故障的概率为0.08,元件b 发生故 障的概率为0.05,元件a,b ，同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率。 解 设A={元件a 发生故障}，B={元件b 发生故障}，C={线路中断}，根据电学知识 可知 C=A ∪B 。根据题意可知，P （A ）=0.08, P(B)=0.05, P(AB)=0.004. 由公式12-4得 P(C)=P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）=0.08+0.05－0.004=0.126. 课堂练习 12．3．2概率的乘法公式 1．条件概率 定义 在事件A 发生的条件下发事件B 发生的概率叫条件概率，记作P （B ︱A ）。 例3 五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，不放回抽取两次，试求在第 一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率。 解 设A={第一次取到红球}，B={第二次取到白球}。 由于事件A 已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍 有三个，于是由古典概型可知 P （B ︱A ）= 43 条件概率有以下计算公式： P （B ︱A ）=)()(A P AB P P （A ）≠0 P （A ︱B ）=) ()(B P AB P P （B ）≠0。 （12-6） 课堂练习 2．乘法公式 由条件概率的计算公式可得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=P （B ）P （A ︱B ） （12-7） 公式（12-7）称为概率的乘法公式。 例4 设在一个盒子中装有10只晶体管，4只是次品，6只是正品，从中接连取两次， 每次任取一只，取后不再放回。问两次都取到正品管子的概率是多少？ 解 设A={第一次取到的是正品管子}，B={第二次取到的是正品管子}。 则AB={两次都取到正品管子}。 因为 P （A ）=106， P （B ︱A ）=9 5， 所以，由公式（12-7）得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）= 3195106=?。 概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积的概率公式： P （ABC ）=P （A ）P （B ︱A ）P （C ︱AB ）。 12．3．3 事件的独立性 定义 如果事件A （或B ）的发生不影响事件B （或A ）发生的概率，即P （B ︱A ） =P （B ）或P （A ︱B ）=P （A ），那么事件A 、B 叫做相互独立事件。 如果事件A 、B 相互独立，那么两事件的积AB 的概率等于两个事件概率的乘积，即
频率与概率教案
频率与概率教案 Prepared on 24 November 2020
《频率与概率》教案 教学目标：1。经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。 2．通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计一事件发生的概率。 3．能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。 教学重点：运用树状图和列表法计算事件发生的概率。 教学难点：树状图和列表法的运用方法。 教学过程： 问题引入：对于前面的摸牌游戏，在一次试验中，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌的数字为几的可能性大如果摸得第一张牌的牌 面数字为2呢（由此引入课题，然后要求学生做实验来验证他们 的猜想） 做一做： 实验1：对于上面的试验进行30次，分别统计第一张牌的牌面字为1时，第二张牌的牌面数字为1和2的次数。 实验的具体做法：每两个人一个小组，一个负责抽纸张，另一个人负责记录， 如：1 2 2 1---------(上面一行为第一次抽的) 2 1 2 1---------（下面一行为第二次抽的） 议一议： 小明的对自己的试验记录进行了统计，结果如下：
数字为2 让学生去讨论小明的看法是否正确，然后让学生去说说自已的看法。 想一想： 对于前面的游戏，一次试验中会出现哪些可能的结果每种结果出现的可能性相 可能出现的结果（1，1）（1，2）（2，1）（2，2） 1）（1，2）
（2，1）（2，2），而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是1/4。 利用树状图或表格，可以比较方便地求出某些事件发生的概率。 例1：随机掷一枚硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少 解：随机掷一枚均匀的硬币两次，所有可能出现的结果如下： 正 正 开始反 正 反 正 总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而至少有一次正面朝上的结果有3种：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率为3/4。 第二种解法：列表法 随堂练习： 1．从一定高度随机掷一枚硬币，落地后其朝上的一面可能出现正面和反面这样两种等可能的结果。小明正在做掷硬币的试验，他已经掷了3次硬币，不巧的是这3次都是正面朝上。那么你认为小明第4次掷硬币，出现正面的可能
高中数学 第三章 概率 3_2_1 古典概型的特征和概率计算公式教案 北师大版必修31
2．1 古典概型的特征和概率计算公式 整体设计 教学分析 本节课是高中数学(必修3)第三章“概率”的第二节“古典概型”的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位．学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．三维目标 1．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性地理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神． 2．鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，归纳总结出古典概型的概率计算公式，掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数 的使用条件——古典概型，体现了化归的重要思想．掌握列举法，试验的所有可能结果数 学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度． 重点难点 教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率． 教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．
概率论教案
第一章随机事件与概率 第一节随机事件 教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。 教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。 教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。 教学内容： 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。 研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验（E） 对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 （1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用ω表示。 （2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用Ω表示。 4、随机事件 （1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。 （2）随机事件的集合表示 （3）随机事件的图形表示 必然事件（Ω）和不可能事件（E） 5、事件间的关系与运算 （1）包含（子事件）与相等 （2）和事件（加法运算） （2）积事件（乘法运算） （3）互斥关系 （4）对立关系（逆事件） （5）差事件(减法运算) 6、事件间的运算规律 （1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律 教学时数：2学时 作业：习题一1、2 第二节概率的定义 教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。
教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。 教学内容： 1、概率 用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率，用P(A)表示。 2、古典型试验与古典概率 （1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。 （2）古典概率，在古典型试验中规定 P(A)= n k A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数 3、几何型试验与几何概率 （1）几何型试验 向区域G 内投点，点落在G 内每一点处是等可能的，落在子区域1G 内(称事件A 发生) 的概率与1G 的度量成正比，而与1G 的位置和形状无关。 （2）几何概率。在几何型试验中规律定 P(A)= 的度量 的度量 G G 1 4、频率与统计概率 （1）事件的概率 设在n 次重复试验中，事件A 发生了r 次，则称比值 n r 为在这n 次试验中事件A 发生的频率，记为n r A f n =)( （2）频率的性质 ○11)(0≤≤A f n ；○21)(=Ωn f ；○30)(=Φn f ； ○4Φ=AB 时，)()()(B f A f B A f n n n +=+； ○5 随机性：r 的出现是不确定的；○6稳定性：)()(∞→→n p A f n （3）统计概率，规定 P(A)=P （4）统计概率的计算 n r A p ≈ )( (n 很大) 5、概率的基本性质 从以上三种定义的概率中可归纳得到： （1）0;1)(≤≤A P （2）1)(=ΩP
概率教学设计
列举所有机会均等的结果 ---用列表法和画树状图计算概率 （华师大9上册第25章3节第1课时） 一、课型 初中数学其他课型 二、教材分析 本节课属于统计和概率领域，在学习本节课之前，学生已经学习了如何收集和整理数据、如何描述和处理数据，以及如何列出频数分布表和频数直方图，并且能用频数来估计概率，经历收集、整理、描述和分析数据的过程，观察、实验、归纳的方法，能作出合理的推断和预测的观念。且本节内容也为高中学习概率打下基础，具有承上启下的作用。本节课是通过画树状图和列表法来求随机事件的概率，通过学习有利于学生以随机的观点理解社会，形成科学的世界观和方法论。 《课标》中也提出要学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题的能力。 三、学情分析 本堂内容的教学对象是15岁左右的学生，这个年龄阶段的学生已经具备对事物的认识和判断以及处理问题的能力，具有好胜、求知和参与的愿望，往往过高估计自己的特点。 本班的学生通过之前的学习和生活实践，已经掌握如何收集和整理数据、如何描述和处理数据等方法，因此学生容易掌握通过树状图和列表法来求随机事件的概率。通过学习本课，学生可以获得在合作交流中获取知识的方法、观察、发现、归纳、概括的能力。 四、教学目标 知识与技能： 1.使学生进一步理解等可能事件概率的意义 2.能够运用列表或画树状图计算事件的概率 3.让学生能从实际出发合理选择方法求概率 数学思考： 1.通过经历列表或画树状图求概率的过程，培养学生思维能力 2.提高学生分析问题、解决问题的能力 问题解决： 1.能够使学生在具体情境中分析问题，计算事件发生的概率 2.渗透数形结合与分类思想 情感态度： 1.通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣 2.让学生感受数学应用的广泛性 五、教学重点、难点突破重难点策略 重点：知道如何利用列表法或画树状图求随机事件的概率 难点：会正确列表或画树状图表示出所有等可能结果
高中数学教案——概率与统计
课题：1．7概率与统计 教学目的： 1能运用简单随机抽样、分层抽样的方法抽取样本； 2. 能通过对样本的频率分布估计总体分布； 3. 培养学生动手能力和解决实际问题能力通过例题，对本章部分内容进行一次复习．培养学生的探究能力以及分析与解决实际问题的能力 教学重点：统计在实际生活中的应用 教学难点：学生解决实际问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1某中学高中部共有16个班级，其中一年级6个班，二年级6个班，三年级4个班.每个班的人数均在46人左右（44人－49人），各班的男女学生数均基本各占一半.现要调查这所学校学生的周体育活动时间，它是指学生在一周中参加早锻炼、课间操、课外体育活动、体育比赛等时间的总和（体育课、上学和放学路上的活动时间不计在内）.为使所得数据更加可靠，应在所定抽样的“周”之后的两天内完成抽样工作.此外还有以下具体要求： （1）分别对男、女学生抽取一个容量相同的样本，样本容量可在40－50之间选择 （2）写出实习报告，其中含：全部样本数据；相应于男生样本的 - - 1 x与 1 s，相 应于女生的 - - 2 x与 2 s，相应于男、女全体的样本的 - - x；对上面计算结果作出分
析. 解：（1）由于各个年级的学生参加体育活动的时间存在差异，应采用分层抽样；又由于各班的学生数相差不多，且每班的男女学生人数也基本各占一半，为便于操作，分层抽样时可以班级为单位.关于抽取人数，如果从每班中抽取男、女学生各3人，样本容量各为48（3×16），符合对样本容量的要求. （2）实习报告如表一所示. 1 .在本班范围内，就每名学生所在家庭的月人均用水量进行调查.调查的具
最新人教版高中数学必修三概率的基本性质优质教案
§3.1.3 概率的基本性质 一、教材分析 教科书通过掷骰子试验,定义了许多事件,及其事件之间的关系,事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念. 教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述,没有给出严格的定义,严格的定义,要到大学里的概率统计课程中才能给出. 二、教学目标 1、知识与技能： （1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念； （2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) （3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法： 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。 3、情感态度与价值观： 通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。 三、重点难点 教学重点：概率的加法公式及其应用. 教学难点：事件的关系与运算.
四、课时安排 1课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路1 体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考试,结果如下： 在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？ 从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？ 为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题. 思路2 （1）集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4} {2,3,4,5}等； （2）在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点或2点},C4={出现的点数为偶数}……. 师生共同讨论：观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质. 思路3 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是2/7和1/5,则该省夺取该次冠军的概率是2/7+1/5,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质. （二）推进新课、新知探究、提出问题
概率,教案
§25.2 用列举法求概率（一） ◎自主探索导引 阅读教材P133-134页，请尝试完成以下问题： 1.在一次试验中，满足什么条件可以用列举法求概率？ 2.自学例1，请完成下题： 1）标号3是什么意思？ 2）如果小王开始时踩中的方格上标号是6，下一步踩在哪个区域比较安全? 3)小王开始时踩中的方格上标号是几时，下一步踩在两个区域的概率相等? 3.自学例2，请完成下题： 1）同时掷两枚硬币，共有几种可能结果？分别是什么？ 2）“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的结果一样吗？ ４.请完成P134练习： 练习1：练习2： ５.请解P137，习题25.2第1题 ６.请解P138，习题25.2第2题 ◎知识方法归纳 1.列举法就是把试验结果一一列举出来分析求解的方法． 2.列举法求概率的步骤： 1）用列举法就是把所有结果全部列举出来； 2）再用古典概率定义求解.
◎基础优化练习（必做题） 1.在盒子里放有三张分别写有整式1a +、 2a +、2的卡片，从中随机抽取两张卡片， 把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是( )． A . 13 B . 23 C . 16 D . 34 2.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是（ ） A ．12 B ．25 C ．35 D ．718 3.甲、乙两盒中分别放入编号为1、2、3、4的形状相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数（ ）的概率最大． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4.下图是由四个直角边分别为3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是_________． 5.一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率为_______ 6.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次．．都是．．正面朝上的概率是 ． 7.如图，随机闭合开关 123S S S ，，中的两个， 能够让灯泡发光的概率为 ． 8.从1，2，3，4这四个数字中任意取出两个不同的数字，取出的两个数字都是偶数的概率是 . 9.袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是 ． 10.从分别标有数字1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其和为奇数的概率是______． ◎综合应用拓展（选做题） 11.甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，求取出的两球标号之和为4的概率是多？ 第4题 第5题
新课标人教版六年级数学下册《统计与概率(一)》教案
一、复习引入，提示课题。 统计在我们的生活中有着广泛的应用，例如，公司要了解一种产品的销售情况，就需要了解顾客群体，需求状况等数据，统计就是帮助人们整理和分析数据的知识方法。这节课我们就一起来复习统计的初步知识。 板书课题：统计图统计表 1.总体回顾。 师：我们以前都学过哪些统计的知识? （1）组织学生独立回答. 学生可能的回答有：我们学过简单的统计表，还有统计图。统计表里分为单式统计表和复式统计表。统计图里分为条形统计图、折线统计图和扇形统计图，引导学生说一说上述统计图表的优缺点。 2.学生自主整理。 师：同学们说的很全面，我们以前学习了这么多关于统计的知识，现在就请同学们用你们喜欢的方法，把这些知识进行系统的整理下。 （1）独立整理 （2）组内交流。（教师巡视指导，参与小组活动） （3）交流汇报。（师多找几个小组汇报，在对比中引导学生完善知识结构，优化整理方法，并完善板书。） 3.师：谁知道统计知识有什么用处？ （1）找不同学生独立回答. （1）教师做适当评价和补充。 在日常生活、生产和科学研究中，经常需要用到统计知识。例如，为了了解学生的身体发育情况，经常要测量学生的身高和体重，把测量得到的数据进行收集和整理，再制成统计表或统计图进行分析。又如，工厂要了解每天、每周、每月、或者每年的生产进度或产量，就需要进行统计；要了解本单位的工作效率，产品的质量，计算产品的合格率等，也需要进行统计。”(教师还可以帮助学生结合本地区的实际，再举出一些例子，说明统计知识的用处。) 三、重点复习，强化提高。 1.出示例1中的各统计图表： （1）师：同学们，下面是对六（1）班同学进行调配所搜集的几项数据，分别用统计表和统计图表示。第一幅是六（1）班男、女生人数统计表，第二幅是什么统计图？你能从中得到什么信息？ ①组织学生认真读题分析。. ②教师做相应的补充和评价。 师：扇形统计图有什么优缺点？ 学生回答，教师总结完善。 扇形统计图可以直观地反映各部分占总体的百分比，但不能反映部分的具体数量。 （2）第三幅图是什么统计图？你能得到什么信息？ ②教师做相应的补充和评价 师：条形统计图有什么优缺点？ 学生回答，教师总结完善。 条形统计图可以直观反映各部分的数量，也可直观比较各部分的多少，但不能看出各部分总体的百分比。 （3）第四幅图是一个折线统计图，折线统计图有什么优点
概率统计教案
教案 2006-2007学年第二学期 课程名称：概率论与数理统计 课程编号： 学院、专业、年级：信工学院、计算机、二年级任课教师： 教师所在单位：信息科学与工程学院 山东师范大学
课程简介 《概率论与数理统计》课程是高等学校各理科专业学生的一门重要的基础必修课、学位课和研究生入学考试课，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
教学大纲 课程名称：概率统计 课程编号：4111105 课程类别：基础课 学时数：76学时（理论76学时，实验0学时） 学分数：4 先修课程：高等数学、线性代数 适用年级：二年级 适用专业：计算机科学与技术 一、内容简介 本课程是信息科学与工程学院计算机专业基础课，内容包括概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。 二、本课程的性质、目的和任务 概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。 通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。 通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 三、本课程与其它课程的关系 本课程是信息科学与工程学院计算机科学与技术专业的基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学院的整体教学水平。 四、本课程的基本要求 基本了解概率论与数理统计的基础理论，充分理解概率论与数理统计数学思想。掌握概率论与数理统计的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地概率论与数理统计的思想方法解决应用问题。 五、课程内容与学时分配 （一）概率论的基本概念（12学时） 基本要求：