数的开方与二次根式

数的开方与二次根式

1、平方根

（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。用数学语言

表达即为：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。a 的平方根记作: ,读作“根号a ”

（2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

②0有一个平方根，它是0本身。

③负数没有平方根。

（3）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方的运算。

+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算。

（4）平方根的表示方法：

a 表示正数a 的正的平方根

-a 表示正数a 的负的平方根 练习：求169的平方根 将1.44开平方

2、算术平方根

（1）算术平方根的定义：正数a 有两个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根， 记作 “a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数。

（2）算术平方根的性质：

①正数a 的算术平方根是一个正数。

②0的算术平方根是0。

③负数没有算术平方根 。

（3）重要性质： 练习：求25的算术平方根 求

的算术平方根 a 2

±±或a ())0(2

≥=a a a a a =2a ±?

??记作

3、立方根

（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。用数学语言表达即为：若a x =3,则x 叫做a 的立方根。记作： ,读作“三次根号a ” 。

（2）立方根的性质：

①一个正数有一个正的立方根；

②一个负数有一个负的立方根；

③0的立方根是0。

（3）重要性质：

（4）求一个数的立方根的运算，叫做开立方运算。立方运算与开立方运算互为逆运算。 练习：求8

1-的立方根 求64的立方根

4．二次根式的有关概念

(1) a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，

它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）

的式子叫做二次根式．

注意： 在二次根式a 中，字母a 的取值范围，必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数。

练习：如果22-x 有意义，求x 的取值范围

如果x

-15有意义，求x 的取值范围

(2)最简二次根式

被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．

二次根式的化简是进行二次根式运算的重要手段，二次根式的化简主要包括两个方面： ①如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。

②如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。

在化简过程中，都需要将被开方数中的完全平方“开方”出来，在这里，二次根式的

性质“2)(a =a （a ≥0）”起着举足轻重的作用．

练习：计算（1）2)53(； （2）9

4； （3）49a ． 3a x =33-a a -=

(3)同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

练习：判断是否为同类二次根式，33与32-，a a 335与，a a 42与，

5．二次根式的性质 ).

0;0();

0;0();0(),0(||);

0()(22>≥=≥≥?=???<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a

6．二次根式的运算

(1)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。 练习：计算：3322323--+．

451227+

-

(2)二次根式的乘法

两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘，即).0,0(≥≥=?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行。

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式． 上面得到的等式ab b a =?（a ≥0，b ≥0），也可以写成b a ab ?=（a ≥0，b ≥0）这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。利用这个性质可以进行二次根式的化简。

练习：计算322

1? 化简34a ；

b a 4．

(3)二次根式的除法 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除，即b

a b a

=（a ≥0，b ＞0） 二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化。

练习：计算：218

化简： 31

．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）

化简：5

2 化简：

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