数的开方与二次根式讲义
数的开方与二次根式讲义
〖知识点〗
平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗
1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；
2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析
1．二次根式的有关概念 (1)二次根式
式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质 ).
0;0();0;0();
0(),
0(||);
0()(22>≥=≥≥?=??
?<-≥==≥=b a b
a b
a
b a b a ab a a a a a a a a a
3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=
?b a ab b a
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．
(3)二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。
3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。
考查题型
1．下列命题中，假命题是（ ）
（A ）9的算术平方根是3 （B ）16的平方根是±2
（C ）27的立方根是±3 （D ）立方根等于－1的实数是－1 2．在二次根式45， 2x 3
， 11，
54， x
4
中，最简二次根式个数是（ ） （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ） （A ）136，3 2 （B ）35，15 （C ）1
2
12，
1
3
（D ）8，23
3. 化简并求值，a+ab ab+b ＋ab －b
a －ab
，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3
4．2＋1的倒数与2－3的相反数的和列式为 ，计算结果为 5．（－14）2的算术平方根是 ，27的立方根是 ，
4
9
的算术平 方根是 ，
49
81
的平方根是 . 考点训练：
1．如果x 2
＝a ，已知x 求a 的运算叫做 ，其中a 叫做x 的 ；已知a 求x 的运算叫做 ，其中x 叫做a 的 。
2．(－ 2 )2
的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。 3．当a<0时，化简∣a ∣＋a 2
＋3a 3 ＝ 。
4．若 5.062 =2.249，50.62 =7.114，x =0.2249，则x 等于（ ） （A ）5.062 （B ）0.5062 （C ）0.005062 （D ）0.05062 5．设x 是实数，则(2x ＋3)(2x －5)＋16的算术平方根是（ ） （A ）2x －1 （B ）1－2x （C ）∣2x －1∣ （D ）∣2x ＋1∣ 6．x 为实数，当x 取何值时，下列各根式才有意义： （1）－3x －2 （ ）（2）x 2
＋5 （ ）（3）1
x
2 （ ） （4）
1
3
1－x
（ ）(5)1
1－x ＋2 （ ）（6）x ＋－x （ ）
7．等式
3－x x ＋2 ＝3－x
x ＋2
成立的条件是（ ） （A ）－2
8．计算及化简： （1）(－727
)2 （2）ab 2(c ＋1)2 （3）0.01×64
0.36×324
（4）2a 2
3b
b 3
a 4－
b 2
a 4 （b>1） （5）
x
x －3y
x 2
y －6xy 2
＋9y
3
x
（x>3y ）
（6）(48 －60.5 )(4 3 ＋18 )－(2 3 －3 2 )2
（7）已知方程4ｘ2
－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，
化简4ａ2
－12ａ＋9 ＋｜ａ－6｜
解题指导 1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．已知30.5 =0.794，35 =1.710，350 =3.684，则3
5000 等于（ ） （A ）7.94 （B ）17.10 （C ）36.84 （D ）79.4 3．当1 的结果是（ ） （A ）－1 （B ）2x －1 （C ）1 （D ）3－2x 4．(x －2)2 ＋(2－x )2 的值一定是（ ） （A ）0 （B ）4－2x （C ）2x －4 （D ）4 5．比较大小： （1）3 15 11 4 （2）7 － 2 2 2 －1 （3）35 －34 34 －33 6．化简：a a －2b a 2 b －4ab 2 ＋4b 3 a （2b>a ） 7．计算：（32 ＋0.5 －2 1 3 ）－（18 －1 5 75 ） 8．已知a ＝ 3－23＋2 ，b ＝3＋23－2 ，求a 2－5ab ＋b 2 的值。 9．计算：945 ÷3 15 ×3 2 223 10．化简：632－23 11.设 5+15-1 的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ2＋12 ａｂ＋ｂ2 的值。 独立训练 1． 2 － 3 的倒数是 ； 2 － 3 的绝对值是 。 2．8 的有理化因式是 ，x －y 的有理化因式是 。 3．1x －x －1 与1 x －1＋x 的关系是 。 4．三角形三边a ＝750 ，b ＝472 ，c ＝298 ，则周长是 。 5．直接写出答案： （1） 3 · 2 ÷30 ＝ ，（2） 4xy 2x = ，（3）( 3 －2)8( 3 ＋2)8 = 。 6．如果 a － b 的相反数与 a ＋ b 互为倒数，那么（ ） （A ）a 、b 中必有一个为0 （B ）∣a ∣＝∣b ∣（C ）a ＝b ＋1 （D ）b ＝a ＋1 7．如果(2－x)2 ＋(x －3)2 ＝（x －2）＋（3－x ），那么x 的取值范围是（ ） （A ）x ≥3 （B ）x ≤2 （C ）x>3 （D ）2≤x ≤3 8．把（a －b ） －1a －b 化成最简二次根式，正确的结果是（ ） （A ）b －a （B ）a －b （C ）－b －a （D ）－a －b 9．化简－3x x － 1x ＋4x 3 的结果必为（ ） （A ）正数 （B ）负数 （C ）零 （D ）不能确定 10．计算及化简： （1）（5 8 27 ·113 ·354 ） （2）18 ＋22－1 －412 －2( 2 ＋1)0 （3）（3x 2 x y －25 3xy +13 xy 2 ）÷x 2 x y （4） a a －b a 2 －ab a 3－2a 2b+ab 2 （a>b ） 11.已知ｘ＋3ｘ＋2 ＝13+2+1 ,求x-32x －4 ÷(5 x －2 －的值x －2)。 12.先化简,再求值:( ｘ＋2xy +y x ＋y + 1x - y )+ ｘ- y+1 x 其中x=2 - 3 ,y=2 + 3 13.设11－6 2 的整数部分为m ，小数部分为n ，求代数式m ＋n ＋2 n 的值。 14.试求函数ｔ＝2－－3ｘ2 ＋12ｘ－9 的最大值和最小值。 15.如果ａ＋ｂ＋｜ｃ－1 －1｜＝4ａ－2 ＋2ｂ＋1 －4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值 初中数学总复习 1.3数的开方和二次根式 一：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） ①20,a ≥=若则 ；③= (0,0)a b ≥≥ ( )()a a a ?==?-?0,0)a b =≥ （2）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； 0,0)a b =≥≥； 0,0)a b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 二：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A 5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1； （2 （3 3． 当x ≤2时，下列等式一定成立的是（ ） A 2x =- B 3x =- C 、= D 4. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 5. 当a 则实数a 在数轴上的对应点在（ ） A ．原点的右侧 B ．原点的左侧 C ．原点或原点的右侧 D ．原点或原点的左侧 6. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数； 是17的平方根，其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7. ______． 8. 当a ≥0= 9.计算 （1） （2）、))20032 （3）、(2； （4） 10. 已知：x y 、为实数，3x+4y 的值。 二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -． 数的开方和二次根式 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有 一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2()()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 （二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A 5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1； （2 （3 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2 2x y + 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式： 0),3b b - 5. 化简与计算 2)x ； ； 7)2m - ⑤22-； ⑥(+ 三：【课后训练】 1. 当x ≤2时，下列等式一定成立的是（ ） 专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如.a _0（a 一0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 例 1 下列各式1）L；,2）.飞,3） - -X22,4）、一4,5）L（-；）2,6）.,口,7）, a2—2a 1， 其中是二次根式的是_________ （填序号）. 例2使，x +“ ；x-2有意义的x的取值范围是（） A ,x > 0 B ,x 丰 2 C.x>2 D ,x > 0 且 2.[来源：学*科* 网Z*X*X*K]例 3 若y= .、X -5 + _ 5 -X +2009，则x+y= ______________ 练习1使代数式有意义的x的取值范围是（） x —4 A 、x>3 B x> 3 C x>4 D、x >3 且x丰4 练习2若x —1 - .1—x = （x y），则x —y 的值为（） A. —1 B . 1 C . 2 D . 3 例 4 若a—2|+5/^5 =0,贝U a2—b= ____________________ 。 例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X 2 + 4= ________ ___________ 例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）： A、诟+ 品=^a2+b2; B、寸（a2+b2）2=a2+b2； C、（ .a + . b ）2= a2+b2; D、. （a—b）2=a—b; 【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，■. a 一0（a 一0）的最小值是0;也就是说=（「：—?）是一个非负数，即二二0 注：因为二次根式=（，二I）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正 章节 第一章 课题 数的开方与二次根式 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标（知识、能力、教育） 1.理解平方根、 立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二 次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式， 能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会 进行简单的分母有理化。 教学重点 使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点 二次根式的化简与计算. 教学媒体 学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数 有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥f （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥f ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）23x -+； （2）211x x -+； （3）14 x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2222 1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式： 《数的开方及二次根式（复习）》教学设计 宜良县第六中学 袁志刚 教学内容：人教版义务教育实验教科书“数与代数”（八上）第十三章、（九 上）第二十一章。 课型：复习课 课时：1课时 教学目标： 1、 能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简. 2、 能够比较熟练进行二次根式的运算. 3、 进一步渗透化归思想、分类讨论思想及进行逆向思维训练。 教学重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算。 教学难点：二次根式的化简及灵活应用公式 教具：多媒体课件、《导学案》 教法：互动式教学法 教学过程 （教师寄语：一千个愿望，一千个计划，一千个决心，不如一个行动！） 、小试牛刀: 1. 当X _ <3__时，J 3—X 有意义。 2. 3 -8 二-2 ； 3.化简：二 _2j5 ___ 5. 计算屈乂弱-屈二 _屈_ . 6. 把分母中的根号化去（分母有理化）： 丄二 迺 丄二 週 価二 迈 （1） 匸 ________ . _________ ； （ 2 、、「「 _____ . _________ ； （ 3）二」- ____ - _________ 4 ?比较大小：（1） 13— 3 2 ⑵ _2命 __ 〉 __ —3^/2 7.若：r.有意义，则,'L的取值范围是x>6 匚的结果是（ &化简 D ?以上答案都不对 (A a>0—>0 D .丄■一 10.一一「的值为（B C l 冷-2 11.若代数式「丨有意义，则.［的取值范围是 2 A. 一且 B. 12.计算2* (3—1)2+ 1 + 解：原式= 匕注+ . 2+ 1+ 3 —2 =2—,3+ 2 + 1+ 3— 2 = 3. 5 - 8= 0则以x, y的值为两边长的等腰三角13.［2012攀枝花］已知实数x, y满 形的周长是（B A. 20 或16 B .20 C. 16 D .以上答案均不对 二、考点聚焦: 考点1 平方根、算术平方根与立方根一个数x的平方—等于a,那么x叫做a的平方根，记作 一个正数x的平方.等于a,则x叫做a的算术平方根，记作.a , 0的算术平方根是0 一个数x的_立方等于a,那么x叫做a的立方根 一、选择题 1. （2017山东滨州，4，3分）下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）(-)2＝12，（4） 1=-，其中结果正确的个数为 （2.3. 4.古 p ＝12 答案：B ，解析：∵a ＝2，b ＝3，c ＝4，∴p ＝2a b c ++＝2342++＝92，得 4 ． 5. （2017四川成都，3x 的取值范围是 A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<1 答案：A，解析：由x－1≥0得．x≥1. 10+的值应在（） 6.（2017重庆，5，4分）估计1 A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间 答案：B解析：先找出与10相邻的两个完全平方数，然后开方，可以确定10在被夹的这两个数之间， 7. 8. 9. 10. A B C D 答案：A12中含有开得尽方 的因数42a中含有开得尽方的因式2a的 被开方数 1a 中含有分母a ，不是最简二次根式． 11. （2017山东潍坊，9，3分）若代数式12 --x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．x ＞1 D ．x ＞2 答案：B ，解析：由题意，得?? ?>-≥-,01,02x x 解得x ≥2． 12. 4．（2017浙江温州，4，4分）下列选项中的整数，与 最接近的是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B ，解析： ∵4.1<<4.2， ∴ 最接近的是4． 13. 3．（2017甘肃酒泉，3，3分）4的平方根是( ) A.16 B.2 C.2± D.2± 答案：C ，解析：根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得2x =a ，则x 就是a 的 平方根．此题中，∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故选C ． 14. 7．（2017湖北黄冈，7，3分）16的算术平方根是 ． 答案：4，解析：16的算术平方根是164=． 15. 2．(2017湖北荆门，2，3分)在函数y ＝ 25 x -中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x ＞5 B ．x ≥5 C ．x ≠5 D ．x ＜5 答案：A ，解析：这里自变量的取值范围应满足：(1)分母不为0；(2)被开方数不能是负数．所以x －5＞．解得x ＞5．故选A ． 16.1．（2017江苏泰州，1，3分）2的算术平方根是( ) A.2± B.2 C.2- D.2 答案：B ，解析：根据算术平方根的定义可知，22． 17. 6．（2017山东烟台，6，3分）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 二次根式的概念与性质 编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨 一、目标认知 1.学习目标： 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论： ，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点： ；，及其运用． 3.难点： 利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释： 二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？ 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式 作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 数的开方与二次根式讲义 〖知识点〗 平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。 内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． (2)最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). 0;0();0;0(); 0(), 0(||); 0()(22>≥=≥≥?=?? ?<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥= ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法 二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 第4节数的开方与二次根式命题点一二次根式的概念及性质 1. 下列二次根式中，最简二次根式是() A. － 2 B. 12 C. 1 5 D. a 2 2. 下列二次根式中，与3是同类二次根式的是() A. 18 B. 1 3 C. 2 4 D. 0.3 3. 下列各式化简后的结果为32的是() A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 命题点二二次根式有意义的条件 4. 要使二次根式2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＝2 5. 式子 a＋1 a－2 有意义，则实数a的取值范围是______________. 6. 使代数式 1 x＋3 ＋4－3x有意义的整数x有________个． 命题点三平方根、算术平方根、立方根 7. 4的平方根是() A. 16 B. 2 C. ±2 D. ± 2 8. 计算36的结果为() A. 6 B. －6 C. 18 D. －18 命题点四二次根式的估值 9. 估计38的值在() A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 10. 下列实数，介于5和6之间的是() A. 21 B. 35 C. 42 D. 3 64 11. 已知M＝2×8＋5，则M的取值范围是() A. 8＜M＜9 B. 7＜M＜8 C. 6＜M＜7 D. 5＜M＜6 12. 估计7＋3的值在哪两个连续整数之间() A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 13.若3＜a＜10，则下列结论中正确的是() A. 1＜a＜3 B. 1＜a＜4 C. 2＜a＜3 D. 2＜a＜4 14. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在() 第14题图 A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 15. 关于8的叙述正确的是() A. 在数轴上不存在表示8的点 B. 8＝2＋ 6 C. 8＝±2 2 D. 与8最接近的整数是3 命题点五二次根式的运算 16.下列运算正确的是() A. 2＋3＝ 5 B. 22×32＝6 2 C. 8÷2＝2 D. 32－2＝3 17.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a－b）2的结果是() A. －2a＋b B. 2a－b C. －b D. b 第17题图 18. 计算27－61 3的结果是________． 19. 计算：418－92＝________. 20. 计算12＋8×6的结果是________． 一、选择题 1．（2019 ） A ． B ．4 C D ． 【答案】B 。 2．（2019·益阳）下列运算正确的是（ ） A.2)2(2-=- B.6)32(2= C.532=+ D.632=? 【答案】D 【解析】∵2|2|)2(2 =-=-，∴A 错误； ∵1234)3(2)32(222=?=?=，∴B 错误； ∵32与不是同类二次根式，无法合并，∴C 错误； ∵63232=?=?，∴D 正确. 3．（2019·常德）下列运算正确的是（ ） A B ＝ C 2 D 【答案】D 【解析】A ＋2，A 选项错误；B ＝，B 选项错误；C 2， C 选项错误；D ，D 选项正确． 4．（2019·武汉）式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ≥－1 C ．x ≥1 D ．x ≤1 【答案】C 5．（2019·陇南）下列整数中，与 最接近的整数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】A ． 【解析】34， ∴与 最接近的整数是3，故选：A ． 6. （2019·滨州）若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，则（m +n ）3的平方根为（ ） A ．4 B ．8 C ．±4 D ．±8 【答案】D 【解析】∵8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，∴m=3，n=1，∴（m+n ）3=43=64，∵（±8）2=64，∴（m+n ）3的平方根为±8．故选D ． 7. （2019·济宁） 下列计算正确的是（ ） A 3=- B = C 6=± D ．0.6=- 【答案】D 3=，A ≠，B 6=，C 不对；0.6=-，故D 正确． 8. (2019·聊城)下列各式不成立的是 ( ) = = 5 =+ 【答案】C 【解析】 A.,A 正确； B. ,B 正确； C. ==,C 错误；正确；故选C. 《二次根式和它的性质》教案1 教学内容 二次根式的概念及其运用． 教学目标 a≥0)的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1 a≥0)的式子叫做二次根式的概念． 2 a≥0)”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是 ___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是______ ____． A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x 求点的坐标 ． 问题2：由勾股定理得AB 问题3：由方差的概念得S 二、探索新知 a ≥0)的式子叫做二次根 式， (学生活动)议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a <0 下列式子，哪些是二次根式，、1x x >0、 -1x y +x ≥0，y ≥0)． ；第二，被开方数是正数或0． x >0)、(x ≥0，y ≥0)；不是二次根 1x 1x y +． 例题解析 例1 当x 在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x -1≥0才能有意义． 解：由3x -1≥0，得：x ≥13 当x ≥13在实数范围内有意义． 例2 计算 （1）；）（215 （2）；）-（2830. （3）. 223）-（ 三、应用拓展 当x 11x +在实数范围内有意义？ 11x +在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和 2013初三数学总复习教案 数的开方和二次根式 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 （二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）23x -+； （2） 211x x -+； （3）4 x - 二次根式及其性质（2） 鄌郚镇中学 郑全河 教学目标： 1. 会根据 ，以及 进行化简。 2. 知道什么是最简二次根式，会辨别最简二次根式。 3. 掌握二次根式乘、除法运算法则，会熟练进行计算，并将结果写为最简二次根式。 重点、二次根式的性质及运算法则 难点、（1） 化简的分类讨论。 （2）熟练进行二次根式的乘、除法运算及将二次根式化为最简二次根式。 教学过程： 一、观察与思考： 当a ≥0时，a 2的算术平方根是多少？由此你能得到一个怎样的等式? 当a ≥0时, =a 例3 化简： （1）16， （2）2)5(- 解：16＝4 2)5(-＝5 想一想，当a ≥0时, 表示a 的算术平方根，因此有 ， 二、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ ［1］ 94? 94? ［2］ 2516? 2516? ［3］ 4936? 4936? ［4］ 8164? 8164? ［5］ 121100? 121100? 这就是说，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积［注：在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数。］ 探一探 用你发现的规律填空［判断是否相等］： ab a b a 0b 0=≥≥（ ，） 32?____________ 6 52?____________ 10 例4 化简 8116? ； 324b a 解：8116?= 324b a = 三、二次根式的性质 的化简： （1） 对于 的化简，注意对被开方数 ，需考察它的正负数，若a 为非负数，即 ，则 ；若a 为负数，则 。显然这和绝对值的化 简是一致的，所以对这一性质，也可以记出中间过程 。 （2）公式 与公式 的比较 ①公式 的左边是对a 先进行开平方再平方，a 是被开方数，所以必须有 的条件，否则 在实数范围内无意义；而公式 的左边 是对a 先平方再开平方， 是被开方数，所以a 取任何实数，总有 ，因此公式 在实数范围内总有意义。 ②只有在 时， 四、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ 小结：一般的， 这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 例5 化简 解：（让同学上黑板演示） 跟踪练习： 阶段小结：（1）怎样形式才算是最简二次根式？ ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 注：对最简二次根式可作如下理解： ①被开方数不含分母。 ()()2925210031y x 972)1()2 81(2)025x x > 二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题：例1.x为何值时，下列各式在实数围才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵ 6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵ x2≥0, ∴ x2+3>0, ∴ x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴∴当-≤x<时，原式有意义。 （5） ∴∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。 （6） ∵∴∴ x=2 ∴当x=2时，原式有意义。 例2.写出下列各等式成立的条件： 教学课题：平方根和立方根、二次根式 知识点： 平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算. 1.基本要求： （1）了解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根. （2）了解二次根式概念，会确定二次根式有意义的条件. （3）理解二次根式的加、减、乘、除运算法则. 2.略高要求： （1）会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根. （2）会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求立方根. （3）会利用二次根式的性质进行化简；能根据二次根式的性质对代数式作简单变形，在特定条件下，确定字母系数的值. （4）会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（二次根式的个数不超过三个，不要求分母有理化） 一、基础知识(投影片) 1．二次根式的有关概 （1）正数有_________个平方根，__________没有平方根，0的平方根是______. （2）二次根式：式子 )0 (≥ a a叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O． （3）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． （4）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). ;0 ( ); ;0 ( ); ( ), ( | | ); ( ) ( 2 2 > ≥ = ≥ ≥ ? = ? ? ? < - ≥ = = ≥ = b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ). ,0 (≥ ≥ = ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． (3)二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 一、选择题 1．x 的取值范围是 （A ）x ≥0 （B ）x ≠4 （C ）x ≥4 （D ）x ＞4 答案C 2．（2018有意义，则x 的取值范围是 A ．2x >- B ． x ≥2- C ．2x > D ．x ≥2 答案：B 3．（2018北京市朝阳区初二期末）下列各式中，是最简二次根式的是 A ．2.0 B ．18 C ．12+x D ．2x 答案：C 4．（2018北京市东城区初二期末）下列式子为最简二次根式的是 B. C. D. 解：C 5．（2018北京市丰台区初二期末）若二次根式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．2x ≥ B ．2x > C ．2x ≤ D ．2x < 答案：A 6．（2018北京市怀柔区初二期末）3的算术平方根是 A B ． D ．9 答案： B 7．（2018北京市怀柔区初二期末）下列代数式能作为二次根式被开方数的是 A ．3 -π B ．a C ．a 2+1 D ． 2x+4 答案： C 8 ．（2018有意义，那么x 的取值范围是 A ．3x ≥ B ．0x ≥ C ．3x ＞ D ．3x ≠ 答案：A 9．（2018北京市石景山区初二期末）9的算术平方根是 A ．3 B ．3- C ．3± D ．45. 答案：A 10.（2018北京市平谷区初二期末）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是 A ． B C 答案：B 11．（2018 A ．13x > B ．13x ≥ C ．13x ≤ D ．3x ≤ 答案：B 12．（2018有意义，则x 的取值范围是 A ．1x >-且 1x ≠ B ．1x ≥- C ．1x ≠ D ．x ≥-1且 1x ≠ 答案：D 13.（2018北京大兴区八年级第一学期期末）2．9的平方根是 A ．±3 B ． 3 C ．81 D ．±81 14.（2018北京大兴区八年级第一学期期末）6．下列二次根式中，最简二次根式是 A ．8 B ．23m C ．21 D ．6 15. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）实数9的平方根是 A ．3 B ．±3 C ．3± D ．81 答案：B 16、（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考） 17．（2018北京市门头沟区八年级期末）如果实数a =a 在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是 A B C D 答案：D 18．（2018北京市平谷区初二期末）9的算术平方根 A ．-3 B ．3 C ．3± D ．81 答案：B 二、填空题 19.（2018北京市门头沟区八年级期末）如果实数a 在数轴上的位置如图所示，=． 答案：1 20.（2018北京西城区二模） 有意义，那么x 的取值范围是 ． 答案： x ≤2 21．（2018北京市顺义区八年级期末）25的平方根是 . 答案：5± 22．（2018北京市平谷区初二期末）若1-x 有意义，则x 的取值范围是___________. 解： x -1a x -1430a a -1x a 034-1x 1≥x 第6课 数的开方与二次根式 〖知识点〗 平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。 内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． (2)最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). 0;0();0;0();0(), 0(||);0()(22>≥=≥≥?=?? ?<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两 ） ） ） 章节 第一章 课题辽宁省丹东七中中考数学复习《1.3 数的开方与二次根式》教案北师大 版 课型复习课教法讲练结合 教学目标（知 识、能力、教育） 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立 方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次 根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根 据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会 进行简单的分母有理化。 教学重点使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点二次根式的化简与计算. 教学媒体学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x2=a，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为； 零的平方根是；没有平方根。 （2）如果x3=a，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式 （1 （2 （3 （4）二次根式的性质 ①若a ≥ 0,则( a)2=；③ab =(a ≥ 0, b≥ 0) 2 ?a ( ) a a ② a = a =? -a ( ) ；④ b = b (a ≥ 0, b 0) ? （5）二次根式的运算 b a b x2 +1 x2 y5 12 0.5 23 2 3 3 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式 a ?= ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ； ③除法：应用公式= a (a ≥0, b0) b ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。(二）：【课前练习】 1.填空题 2.判断题 3.如果(x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（） A、x ≤2 B. x ＜2 C . x ≥2 D. x＞2 4.下列各式属于最简二次根式的是（） A． B. C. D. 5.在二次根式：①12, ②③；④27和是同类二次根式的是（） A．①和③B．②和③C．①和④ D．③和④ 二：【经典考题剖析】 1.已知△ABC的三边长分别为 a、b、c, 且a、b、c 满足a2－6a+9+ b - 4 + | c - 5 |= 0 ，试 判断△ABC 的形状． 2.x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 9.1 二次根式和它的性质（1） 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第112页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 2、计算 ： 4 （1） 2)4( （2） （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负 数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式 中，字母a 必须满足 , 才有意义。 （三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x 223 x + ③ 2、（133a a --有意义，则a 的值为___________． （2 在实数范围内有意义，则x 为（ ）. A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 （四）展示反馈 (学生归纳总结) 1、非负数a 的算术平方根a (a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 2、式子)0(≥a a 的取值是非负数。 （五）精讲点拨 1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。 （六）拓展延伸 2 )3(________)(2=a x --21x -实数的开方与二次根式(总复习)
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