中考数学数的开方与二次根式测试
初三数学复习教学案
第四讲数的开方与二次根式
【回顾与思考】
【例题经典】
理解二次根式的概念和性质
例1 （1
x取值范围是________．
【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负．
（2）已知a
【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0．
掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法
例2）
A B C D
【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题．
掌握二次根式化简求值的方法要领
例3）先化简，再求值:
若
．
【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入．【基础训练】
1_______，-1
64
的立方根为_______．
2．当x_______1
x 有意义；当x________无意义．
3a
．
4-+2）=_________．
5．若x+
1
x =5=______．
6．下列叙述中正确的是（ ）
A ．正数的平方根不可能是负数
B ．无限小数都是无理数
C ．实数和实数上的点一一对应
D ．带根号的数是无理数
7．（A C
8．若m 的值为（ ） A ．20511315 (32688)
B C D
9
=成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x>2 D ．x ≥2
10．小明的作业本上有以下四题：①=4a ；②105a a =a ；③
a a
==；④=a ≠0），做错的．．．题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④
11．对于实数a 、b ，则（ ）
A ．a>b
B ．a C ．a ≥b D ．a ≤b 12 【能力提升】 13．（1）若0 （2，则x 的取值范围为__________． 14．（1）（2005 你发现的规律，判断Q = n?为大于1的整数）的值的大小关系为（ ） A ．P B ．P=Q C ．P>Q D ．与n 的取值有关 （2 （a>0，b>0）分别作如下的变形： =; =. 这两种变形过程的下列说法中，正确的是（ ） A ．甲、乙都正确 B ．甲、乙都不正确 C ．只有甲正确 D ．只有乙正确 （3）（2006年桂林市）观察下列分母有理化的计算: ==== ……， 从计算结果中找出规律利用规律计算: 2007++）=_________． 15．化简式计算: （1）（200621) + . （2）（2005年山东省）已知， 求22[ ()] 33x y x y x x y x +---+ 【应用与探究】 16．（2006年内江市）对于题目“化简求值：1a ，其中a=15 ”甲、?乙两人的解答不同． 甲的解答是： 1a =1a 112495a a a a a =+-=-=； 乙的解答是：1a =1a 1115a a a a =+-==， 谁的解答是错误的是，为什么？ 答案: 例题经典 例1：（1）x<2 （2）（1-a 例2：B 例3： a b a b +-，值为4 3 考点精练 1．±2 - 14 2．x ≥-5 2且x ≠0，x ≤2 3．．-2 5．C 7．A 8．?D 9．C 10．D 11．D 12．- 32．（1） 2 x （2）4≤x ≤6 14．（1）A （2）D （3）2006 15．?- 9 2 ② 2 16．乙解答是错误的， ∵a=15， ∴│1a -a │=1a -a ，而不是a-1a ． 平方根检测题 ◆随堂检测 1、25 9的算术平方根是 ；___ __ 2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是 3x 的取值范围是 ，若a ≥04、下列叙述错误的是（ ） A 、-4是16的平方根 B 、17是2(17)-的算术平方根 C 、164的算术平方根是18 D 、0.4的算术平方根是0.02 ◆典例分析 例：已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且a 、b |4|0b -=，求c 的取值范围 分析：根据非负数的性质求a 、b 的值，再由三角形三边关系确定c 的范围 |4|0b -=0 |4|b -≥0|4|b -=0 所以a=3 b=4 又因为b-a A ．1a + B ．21a + C ．21a + D ．1a + 2、（08年泰安市）88的整数部分是 ；若a<57 初中数学总复习 1.3数的开方和二次根式 一：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） ①20,a ≥=若则 ；③= (0,0)a b ≥≥ ( )()a a a ?==?-?0,0)a b =≥ （2）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； 0,0)a b =≥≥； 0,0)a b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 二：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A 5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1； （2 （3 3． 当x ≤2时，下列等式一定成立的是（ ） A 2x =- B 3x =- C 、= D 4. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 5. 当a 则实数a 在数轴上的对应点在（ ） A ．原点的右侧 B ．原点的左侧 C ．原点或原点的右侧 D ．原点或原点的左侧 6. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数； 是17的平方根，其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7. ______． 8. 当a ≥0= 9.计算 （1） （2）、))20032 （3）、(2； （4） 10. 已知：x y 、为实数，3x+4y 的值。 数的开方知识点汇总 安皋二中八年级数学组 一、平方根、算术平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数 a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。 2、平方根的性质： （1）正数有两个平方根，它们互为相反数。 （2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数） 3、平方根的表示方法 一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a 其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。 3、算术平方根 （1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。 （2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为 a，读作根号a, （3）算术平方根的性质： ①正数有一个正的算术平方根。 ②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。 （4）a的双重非负性 ①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。 ②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。 综上：a中a≥0 a≥0 （5）初中所学的三类非负数 ⅰ：绝对值非负即|a|≥0 ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0 ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥0 4、立方根 （1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。（2、）立方根的表示方法： 一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a 其中3叫做根指数，a叫被开方数。 （当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质： 任何数都有立方根且只有一个 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。 5、数的开方中的几个公式： 数的开方单元测试题 班级：姓名：__________ 一、选择题：（每题2分，共24分） 1、在数-5，0，7 22，2006，20.80中，有平方根的数有（） A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、10的平方根应表示为（） A 、210 B 、10± C 、10 D 、10- 3、在数-27，-1.25，0，7 24中，立方根为正的数有（） A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个 4、下面的运算中，是开平方运算的是（） A 、4069)64(2=- B 、864= C 、864±=± D 、4643= 5、下列各数中：5，-3，0，34， 722，-1.732，25，2π-，293+，无理数的个数有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、下列说法中，正确的有（）①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③两个无理数的和是无理数；④对于实数a 、b,如果22b a =，那么a=b ；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数。 A 、②④ B 、①②⑤ C 、② D 、②⑤ 7、下列各式正确的是（） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- 8、在数轴上，原点和原点左边的所有点表示的数是（） A 、负有理数 B 、负数 C 、零和负有理数 D 、零和负实数 9、a 、b A 、a 、b 互为相反数B 、b+a ?0C 、零和负有理数D 、b-a ?0 10、下列式子正确的是（） A 、55?B 、23-?-C 、3223-?-D 、230-? 0 11一个自然数的算术平方根为a ，则与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根为（）A 、22+a B 、12+a C 、1+a D 、1+a 12、若x -有意义，则x x -一定是（）A 、正数B 、非负数C 、负数D 、非正数 二、填空题：（每空2分，共38分） 13、若a 的算术平方根为2 1，则a= 14、如果68.28,868.26.2333==x ，那么x= 15、若0125=-++--y x y x ，则=x y 16、若m=3，代数式2213m m m +-+= 17、若2 992 2--+-=x x x y +1，则y x 43+= 18、比较大小：53112，10 11-67- 19、38的平方根是，2)4(-的算术平方根是，81的平方根是 20、把2写成一个数的算术平方根的形式： 21、若一个正数的两个平方根为2m-6与3m+1，则这个数是；若a+3与2a-15是m 的平方根，则m= 22、绝对值最小的实数是，21-的绝对值是，21-的相反数是 23、若实数满足1-=a a ，则a 是；若40≤≤a ，则a 的取值范围是 24、在数轴上，与表示7-的点相距2的点表示的数为 三、解答题：（每题2分，共8分） 25、求下列各数的平方根： （1）0（2）0.49（3）16 91（4）2)5(- 26、求下列各数的立方根：（每题2分，共8分） （1）27 102（2）-0.008（3）0（4）125-- 27、求下列各式的值：（每题3分，共27分） （1）16.0（2）169-（3）4 12±（4）3027.0 数的开方和二次根式 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有 一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2()()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 （二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A 5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1； （2 （3 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2 2x y + 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式： 0),3b b - 5. 化简与计算 2)x ； ； 7)2m - ⑤22-； ⑥(+ 三：【课后训练】 1. 当x ≤2时，下列等式一定成立的是（ ） 平方根知识点总结讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 平方根知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根 （规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数. 要点诠释：有意义时，a≥0，a≥0. 2.平方根的定义 =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方如果2x a a≥a的算与开平方互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0) 术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算 术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m －4＝－（3m －1）， 解得m ＝1； ∴m 的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1， 七年级下册平方根练习题及窃案 (一)填空１．16的平方根是__＿＿＿___.３.49的平方根是____. 5．4的平方根是_＿_＿＿＿_ 7.8１的平方根是____＿___. 8.25的算术平方根是＿___＿_＿＿＿． 9.49的算术平方根是_＿____＿__．］11．62的平方根是_＿____．12．0.01９6的算术平方根是＿_＿____＿．13.4的算术平方根是_＿___＿__; ９的平方根是__＿__＿_＿．1４.64的算术平方根是__＿____＿.１5.3６的平方根是＿____＿_＿； 4.4１的算术平方根是_____＿_. １８．4的平方根是____, ４的算术平方根是___．19．２５6的平方根是____． ______. 37.与数轴上的点一一对应的数是____＿___.3８.______＿_统称整数；有理数和无理数统称_＿＿______． 0.10１0010001…各数中，属于有理数的有____＿＿＿_;属于无理数的有_＿___＿__. ４0.把下列各数中的无理数填在表示无理数集合的大括号里: 无理数集 合:{ } 41.绝对值最小的实数是__＿_____． ４4．无限不循环小数叫做__＿__＿_＿数．４5．在实数范围内分解因式：2ｘ3+x2-６x-3=__＿_＿___. (二）选择 ４6．3６的平方根是［］ ４8．在实数范围内,数0,7，-81,(－5)２中，有平方根的有 [ ] A.1个；Ｂ．2个;C．３个;Ｄ.4个. A．-36; B.3６; C．±6;Ｄ．±36. 50．下列语句中,正确的是［］ ５1．０ 是[ ] A.最小的有理数；Ｂ.绝对值最小的实数；C．最小的自然数;Ｄ．最小的整数． 52.以下四种命题,正确的命题是[ ] A.0是自然数； B.0是正数； C.0是无理数；Ｄ.0是整数． 53.和数轴上的点一一对应的数为 [ ] A.整数； B.有理数;Ｃ．无理数； D．实数. 54.和数轴上的点一一对应的数是 [ ] A.有理数； B.无理数； C．实数; D．不存在这样的数. 55.全体小数所在的集合是 [ ］ A.分数集合；B．有理数集合；Ｃ．无理数集合； D.实数集合． 56．下列三个命题:(1)两个无理数的和一定是无理数;(2)两个无理数的积一定是无理数; (３）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数．其中真命题是[ ] A．(１)，(2）和(3）; B．(1）和（３);C.只有(1）;D.只有(3）． 数是[ ] Ａ．4; B．3; C.6；D.５． Ａ．2３60; B．２3６C.23.6； D．２．36. 章节 第一章 课题 数的开方与二次根式 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标（知识、能力、教育） 1.理解平方根、 立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二 次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式， 能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会 进行简单的分母有理化。 教学重点 使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点 二次根式的化简与计算. 教学媒体 学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数 有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥f （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥f ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）23x -+； （2）211x x -+； （3）14 x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2222 1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式： 《数的开方及二次根式（复习）》教学设计 宜良县第六中学 袁志刚 教学内容：人教版义务教育实验教科书“数与代数”（八上）第十三章、（九 上）第二十一章。 课型：复习课 课时：1课时 教学目标： 1、 能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简. 2、 能够比较熟练进行二次根式的运算. 3、 进一步渗透化归思想、分类讨论思想及进行逆向思维训练。 教学重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算。 教学难点：二次根式的化简及灵活应用公式 教具：多媒体课件、《导学案》 教法：互动式教学法 教学过程 （教师寄语：一千个愿望，一千个计划，一千个决心，不如一个行动！） 、小试牛刀: 1. 当X _ <3__时，J 3—X 有意义。 2. 3 -8 二-2 ； 3.化简：二 _2j5 ___ 5. 计算屈乂弱-屈二 _屈_ . 6. 把分母中的根号化去（分母有理化）： 丄二 迺 丄二 週 価二 迈 （1） 匸 ________ . _________ ； （ 2 、、「「 _____ . _________ ； （ 3）二」- ____ - _________ 4 ?比较大小：（1） 13— 3 2 ⑵ _2命 __ 〉 __ —3^/2 7.若：r.有意义，则,'L的取值范围是x>6 匚的结果是（ &化简 D ?以上答案都不对 (A a>0—>0 D .丄■一 10.一一「的值为（B C l 冷-2 11.若代数式「丨有意义，则.［的取值范围是 2 A. 一且 B. 12.计算2* (3—1)2+ 1 + 解：原式= 匕注+ . 2+ 1+ 3 —2 =2—,3+ 2 + 1+ 3— 2 = 3. 5 - 8= 0则以x, y的值为两边长的等腰三角13.［2012攀枝花］已知实数x, y满 形的周长是（B A. 20 或16 B .20 C. 16 D .以上答案均不对 二、考点聚焦: 考点1 平方根、算术平方根与立方根一个数x的平方—等于a,那么x叫做a的平方根，记作 一个正数x的平方.等于a,则x叫做a的算术平方根，记作.a , 0的算术平方根是0 一个数x的_立方等于a,那么x叫做a的立方根 一、选择题 1. （2017山东滨州，4，3分）下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）(-)2＝12，（4） 1=-，其中结果正确的个数为 （2.3. 4.古 p ＝12 答案：B ，解析：∵a ＝2，b ＝3，c ＝4，∴p ＝2a b c ++＝2342++＝92，得 4 ． 5. （2017四川成都，3x 的取值范围是 A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<1 答案：A，解析：由x－1≥0得．x≥1. 10+的值应在（） 6.（2017重庆，5，4分）估计1 A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间 答案：B解析：先找出与10相邻的两个完全平方数，然后开方，可以确定10在被夹的这两个数之间， 7. 8. 9. 10. A B C D 答案：A12中含有开得尽方 的因数42a中含有开得尽方的因式2a的 被开方数 1a 中含有分母a ，不是最简二次根式． 11. （2017山东潍坊，9，3分）若代数式12 --x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．x ＞1 D ．x ＞2 答案：B ，解析：由题意，得?? ?>-≥-,01,02x x 解得x ≥2． 12. 4．（2017浙江温州，4，4分）下列选项中的整数，与 最接近的是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B ，解析： ∵4.1<<4.2， ∴ 最接近的是4． 13. 3．（2017甘肃酒泉，3，3分）4的平方根是( ) A.16 B.2 C.2± D.2± 答案：C ，解析：根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得2x =a ，则x 就是a 的 平方根．此题中，∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故选C ． 14. 7．（2017湖北黄冈，7，3分）16的算术平方根是 ． 答案：4，解析：16的算术平方根是164=． 15. 2．(2017湖北荆门，2，3分)在函数y ＝ 25 x -中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x ＞5 B ．x ≥5 C ．x ≠5 D ．x ＜5 答案：A ，解析：这里自变量的取值范围应满足：(1)分母不为0；(2)被开方数不能是负数．所以x －5＞．解得x ＞5．故选A ． 16.1．（2017江苏泰州，1，3分）2的算术平方根是( ) A.2± B.2 C.2- D.2 答案：B ，解析：根据算术平方根的定义可知，22． 17. 6．（2017山东烟台，6，3分）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 数的开方单元试题(华东师大版) 考试总分：120分 考试时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（共8题24分，每题3分） 1、4的算术平方根是（ ） A 、4- B 、4 C 、2- D 、2 2、“9的平方根是3±”的表达式正确的是（ ） A 、39±=± B 、39= C 、39 ±= D 、39=- 3、若式子5+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、5->x B 、5- 七年级下册平方根 （一）填空1．16的平方根是________．3．49的平方根是____． 5．4的平方根是_______ 7．81的平方根是________．8．25的算术平方根是_________． 9．49的算术平方根是_________．]11．62的平方根是______．12．的算术平方根是________．13．4的算术平方根是________；9的平方根是________． 14．64的算术平方根是________．15．36的平方根是________；的算术平方根是_______． 18．4的平方根是____, 4的算术平方根是___．19．256的平方根是____． ______．37．与数轴上的点一一对应的数是________．38．________统称整数；有理数和无理数统称_________． …各数中，属于有理数的有________；属于无理数的有________． 40．把下列各数中的无理数填在表示无理数集合的大括号里： 无理数集合：{ } 41．绝对值最小的实数是________． 44．无限不循环小数叫做________数．45．在实数范围内分解因式：2x3+x2-6x-3=________． （二）选择 46．36的平方根是[ ] 48．在实数范围内，数0，7，-81，(-5)2中，有平方根的有[ ] A．1个；B．2个；C．3个；D．4个． A．-36；B．36；C．±6；D．±36． 50．下列语句中，正确的是[ ] 51．0是[ ] A．最小的有理数；B．绝对值最小的实数；C．最小的自然数；D．最小的整数． 52．以下四种命题，正确的命题是[ ] A．0是自然数；B．0是正数；C．0是无理数；D．0是整数． 53．和数轴上的点一一对应的数为[ ] A．整数；B．有理数；C．无理数；D．实数． 54．和数轴上的点一一对应的数是[ ] A．有理数；B．无理数；C．实数；D．不存在这样的数． 55．全体小数所在的集合是[ ] A．分数集合；B．有理数集合；C．无理数集合；D．实数集合． 56．下列三个命题：（1）两个无理数的和一定是无理数；（2）两个无理数的积一定是无理数；（3）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数．其中真命题是[ ] A．（1），（2）和（3）；B．（1）和（3）；C．只有（1）；D．只有（3）． 数是[ ] A．4；B．3；C．6；D．5． A．2360；B．236 C．；D．． 59．数轴上全部的点表示的数是[ ]A．自然数B．整数；C．实数；D．无理数；E．有理数．60．和数轴上的点成一一对应关系的数是[ ]A．无理数；B．有理数；C．实数；D．自然数． 数的开方与二次根式讲义 〖知识点〗 平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。 内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． (2)最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). 0;0();0;0(); 0(), 0(||); 0()(22>≥=≥≥?=?? ?<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥= ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法 二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 第4节数的开方与二次根式命题点一二次根式的概念及性质 1. 下列二次根式中，最简二次根式是() A. － 2 B. 12 C. 1 5 D. a 2 2. 下列二次根式中，与3是同类二次根式的是() A. 18 B. 1 3 C. 2 4 D. 0.3 3. 下列各式化简后的结果为32的是() A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 命题点二二次根式有意义的条件 4. 要使二次根式2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＝2 5. 式子 a＋1 a－2 有意义，则实数a的取值范围是______________. 6. 使代数式 1 x＋3 ＋4－3x有意义的整数x有________个． 命题点三平方根、算术平方根、立方根 7. 4的平方根是() A. 16 B. 2 C. ±2 D. ± 2 8. 计算36的结果为() A. 6 B. －6 C. 18 D. －18 命题点四二次根式的估值 9. 估计38的值在() A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 10. 下列实数，介于5和6之间的是() A. 21 B. 35 C. 42 D. 3 64 11. 已知M＝2×8＋5，则M的取值范围是() A. 8＜M＜9 B. 7＜M＜8 C. 6＜M＜7 D. 5＜M＜6 12. 估计7＋3的值在哪两个连续整数之间() A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 13.若3＜a＜10，则下列结论中正确的是() A. 1＜a＜3 B. 1＜a＜4 C. 2＜a＜3 D. 2＜a＜4 14. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在() 第14题图 A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 15. 关于8的叙述正确的是() A. 在数轴上不存在表示8的点 B. 8＝2＋ 6 C. 8＝±2 2 D. 与8最接近的整数是3 命题点五二次根式的运算 16.下列运算正确的是() A. 2＋3＝ 5 B. 22×32＝6 2 C. 8÷2＝2 D. 32－2＝3 17.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a－b）2的结果是() A. －2a＋b B. 2a－b C. －b D. b 第17题图 18. 计算27－61 3的结果是________． 19. 计算：418－92＝________. 20. 计算12＋8×6的结果是________． 数的开方单元测试题 班级： 姓名：__________ 一、选择题：（每题3分，共30分） 1、在数-5，0，7 22，2006，20.80中，有平方根的数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、在数-27，-1.25，0，7 24 中，立方根为正的数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、0个 3、下面的运算中，是开平方运算的是（ ） A 、4069)64(2=- B 、864= C 、864±=± D 、4643= 4、下列各数中：5，-3，0，34，722，-1.732，25，2 π -，293+，无理数的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5、下列说法中，正确的有（ ）①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③两个无理数的和是无理数；④对于实数a 、b,如果22b a =，那么a=b ；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数。 A 、②④ B 、①②⑤ C 、② D 、②⑤ 6、下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- 7、a 、b 是两个实数，在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是（ ） A 、a 、b 互为相反数 B 、b+a ?0 C 、零和负有理数 D 、 b-a ?0 8、下列式子正确的是（ ） A 、55? B 、23-?- C 、3223-?- D 、230-? 9一个自然数的算术平方根为a ，则与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根为 （ ）A 、22+a B 、12+a C 、1+a D 、1+a 10、若x -有意义，则x x -一定是（ ）A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 二、填空题：（每空3分，共24分） 11、若a 的算术平方根为 2 1 ，则a= 如果68.28,868.26.2333==x ，那么x= 12、若0125=-++--y x y x ，则=x y 13、若2 992 2--+-= x x x y +1，则y x 43+= 14、比较大小： 112， 11-6- 15、38的平方根是 ，2)4(-的算术平方根是 ，81的平方根是 16、若一个正数的两个平方根为2m-6与3m+1，则这个数是 ；若a+3与2a-15是m 的平方根，则m= 17、绝对值最小的实数是 ，21-的绝对值是 ，21-的相反数是 18、若实数满足 1-=a a ，则a 是 ；若40≤≤a ，则a 的取值范围是 三、解答题：（，共66分） 19、求下列各式的值：（每题4分，共24分） （1）41 2± （2）3027.0 （3）31512 169 -- （4） 222129- 一、选择题 1．（2019 ） A ． B ．4 C D ． 【答案】B 。 2．（2019·益阳）下列运算正确的是（ ） A.2)2(2-=- B.6)32(2= C.532=+ D.632=? 【答案】D 【解析】∵2|2|)2(2 =-=-，∴A 错误； ∵1234)3(2)32(222=?=?=，∴B 错误； ∵32与不是同类二次根式，无法合并，∴C 错误； ∵63232=?=?，∴D 正确. 3．（2019·常德）下列运算正确的是（ ） A B ＝ C 2 D 【答案】D 【解析】A ＋2，A 选项错误；B ＝，B 选项错误；C 2， C 选项错误；D ，D 选项正确． 4．（2019·武汉）式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ≥－1 C ．x ≥1 D ．x ≤1 【答案】C 5．（2019·陇南）下列整数中，与 最接近的整数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】A ． 【解析】34， ∴与 最接近的整数是3，故选：A ． 6. （2019·滨州）若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，则（m +n ）3的平方根为（ ） A ．4 B ．8 C ．±4 D ．±8 【答案】D 【解析】∵8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，∴m=3，n=1，∴（m+n ）3=43=64，∵（±8）2=64，∴（m+n ）3的平方根为±8．故选D ． 7. （2019·济宁） 下列计算正确的是（ ） A 3=- B = C 6=± D ．0.6=- 【答案】D 3=，A ≠，B 6=，C 不对；0.6=-，故D 正确． 8. (2019·聊城)下列各式不成立的是 ( ) = = 5 =+ 【答案】C 【解析】 A.,A 正确； B. ,B 正确； C. ==,C 错误；正确；故选C. 平方根练习题 令狐采学 姓名：_______________班级：_______________考号： _______________ 一、填空题 1、已知m的平方根是2a-9和5a-12，则m的值是________. 2、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下： a※b=， 如3※2=．那么12※4=． 3、实数a在数轴上的位置如图所示，化简：。 4、已知： ，则x+y的算术平方根为_____________． 二、选择题 5、已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 6、若，，且，则的值为( ) A．-1或11 B．-1或-11 C． 1 D．11 7、点P,则点P所在象限为( ). A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D第四象限. 8、的平方根是 A．9 B．C．D．3 9、一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（） A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间 三、简答题 10、已知的平方根是±3，的算术平方根是4，求 的平方根 11、如图，实数、在数轴上的位置，化简． 12、如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，求2m －2的值． 四、计算题 13、已知与的小数部分分别是a、b，求ab的值． 14、设都是实数，且满足 ，求式子的算术平方根． 15、 参考答案 一、填空题 1、9 2、1/2 3、1 4、5 二、选择题 5、D 6、 D 7、D 8、C 9、B 三、简答题 10、…2分…..4分……6分结果 .8分 11、解:由图可知: ,,∴．2分 ∴ 原式=5分 =6分 =．7分 12、∵一个正数的两个平方根分别是2a－3和a－9， ∴(2a－3)+(a－9)=0，解得a= 4， ∴这个正数为(2a－3) 2=52=25，∴2m－2=2×25－2= 48； 四、计算题 13、解:因为，所以的小数部分是，的小数部分是 14、解： 由题意得，，解得， 2013初三数学总复习教案 数的开方和二次根式 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 （二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）23x -+； （2） 211x x -+； （3）4 x - 教学课题：平方根和立方根、二次根式 知识点： 平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算. 1.基本要求： （1）了解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根. （2）了解二次根式概念，会确定二次根式有意义的条件. （3）理解二次根式的加、减、乘、除运算法则. 2.略高要求： （1）会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根. （2）会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求立方根. （3）会利用二次根式的性质进行化简；能根据二次根式的性质对代数式作简单变形，在特定条件下，确定字母系数的值. （4）会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（二次根式的个数不超过三个，不要求分母有理化） 一、基础知识(投影片) 1．二次根式的有关概 （1）正数有_________个平方根，__________没有平方根，0的平方根是______. （2）二次根式：式子 )0 (≥ a a叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O． （3）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． （4）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). ;0 ( ); ;0 ( ); ( ), ( | | ); ( ) ( 2 2 > ≥ = ≥ ≥ ? = ? ? ? < - ≥ = = ≥ = b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ). ,0 (≥ ≥ = ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． (3)二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．八年级数学平方根练习题包含答案
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