(完整)初中数学复习数的开方与二次根式教案

第6课 数的开方与二次根式

〖知识点〗

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗

1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；

2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；

3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

内容分析

1．二次根式的有关概念 (1)二次根式

式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．

(2)最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质 ).

0;0();0;0();0(),

0(||);0()(22>≥=≥≥?=??

?<-≥==≥=b a b

a b

a b a b a ab a a a a a a a a a

3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．

(2)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两

个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

〖考查重点与常见题型〗

1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。

2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。

3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。

考查题型

1．下列命题中，假命题是（ ）

（A ）9的算术平方根是3 （B ）16的平方根是±2

（C ）27的立方根是±3 （D ）立方根等于－1的实数是－1 说明：考查平方根、算术平方根、立方根的概念。 2．在二次根式45， 2x 3， 11，

5

4

， x

4

中，最简二次根式个数是（ ） （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 说明：考查最简二次根式的概念。

（2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ） （A ）

136，3 2 （B ）35，15 （C ）1

2

12，1

3

（D ）8，23

说明：考查同类二次根式概念。 3. 化简并求值，

a+ab ab+b ＋ab －b

a －ab

，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3 4．2＋1的倒数与2－3的相反数的和列式为 ，计算结果为 5．（－14）2的算术平方根是 ，27的立方根是 ，

4

9

的算术平 方根是 ，

49

81

的平方根是 . 说明：考查平方根、算术平方根、立方根的概念。 考点训练：

1．如果x 2

＝a ，已知x 求a 的运算叫做 ，其中a 叫做x 的 ；已知a 求x 的运算叫做 ，其中x 叫做a 的 。

2．(－ 2 )2的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。 3．当a<0时，化简∣a ∣＋a 2

＋3

a 3 ＝ 。（注意符号） 4．若 5.062 =2.249，50.62 =7.114，x =0.2249，则x 等于（ ） （A ）5.062 （B ）0.5062 （C ）0.005062 （D ）0.05062 5．设x 是实数，则(2x ＋3)(2x －5)＋16的算术平方根是（ ） （A ）2x －1 （B ）1－2x （C ）∣2x －1∣ （D ）∣2x ＋1∣ 6．x 为实数，当x 取何值时，下列各根式才有意义： （1）－3x －2 （ ）（2）x 2＋5 （ ）（3）1

x 2

（ ） （4）

1

3

1－x （ ）(5)

1

1－x ＋2

（ ）（6）x ＋－x （ ）

7．等式

3－x x ＋2 ＝3－x

x ＋2

成立的条件是（ ） （A ）－2－2 （D ）x ≤3

8．计算及化简： （1）(－727

)2 （2）ab 2(c ＋1)2 （3）0.01×64

0.36×324

（4）2a 2

3b

b 3a 4－b 2a 4 （b>1） （5）x x －3y

x 2y －6xy 2＋9y 3

x

（x>3y ）

（6）(48 －60.5 )(4 3 ＋18 )－(2 3 －3 2 )2 说明：考查二次根式的计算或化简求值。

（7）已知方程4ｘ2－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根， 化简4ａ2－12ａ＋9 ＋｜ａ－6｜

解题指导： 1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

说明：考查平方根、算术平方根、立方根的概念。

2．已知30.5 =0.794，35 =1.710，350 =3.684，则3

5000 等于（ ） （A ）7.94 （B ）17.10 （C ）36.84 （D ）79.4 3．当1

（1）3

1

5

（2）7 － 2 2 2 －1 （3）35 －34 －33 6．化简：a

a －2b

a 2

b －4ab 2＋4b 3

a

（2b>a ）

7．计算：（32 ＋0.5 －2

1

3

）－（18 －1

5

75 ） 8．已知a ＝

3－23＋2 ，b ＝3＋2

3－2

，求a 2－5ab ＋b 2的值。 9．计算：945 ÷3

15 ×3

2

223 10．化简：6

32－23

11.设

5+15-1

的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ2＋1

2 ａｂ＋ｂ2的值。

独立训练：

1． 2 － 3 的倒数是 ； 2 － 3 的绝对值是 。 2．8 的有理化因式是 ，x －y 的有理化因式是 。 3．

1x －x －1

与

1

x －1＋x

的关系是 。

4．三角形三边a ＝750 ，b ＝472 ，c ＝298 ，则周长是 。 5．直接写出答案：

（1）3 ·2 ÷30 ＝ ，（2）4xy

2x

= ，（3）( 3 －2)8( 3 ＋2)8= 。

6．如果 a － b 的相反数与 a ＋ b 互为倒数，那么（ ）

（A ）a 、b 中必有一个为0 （B ）∣a ∣＝∣b ∣（C ）a ＝b ＋1 （D ）b ＝a ＋1 7．如果(2－x)2 ＋(x －3)2 ＝（x －2）＋（3－x ），那么x 的取值范围是（ ） （A ）x ≥3 （B ）x ≤2 （C ）x>3 （D ）2≤x ≤3 8．把（a －b ）

－

1

a －b

化成最简二次根式，正确的结果是（ ） （A ）b －a （B ）a －b （C ）－b －a （D ）－a －b 9．化简－3x x －

1

x

＋4x 3 的结果必为（ ） （A ）正数 （B ）负数 （C ）零 （D ）不能确定 10．计算及化简： （1）（5827

·113 ·354 ） （2）18 ＋22－1

－41

2

－2( 2 ＋1)0

（3）（3x 2

x y －25

3xy +1

3

xy 2 ）÷x 2

x y （4） a

a －b

a 2－ab

a 3－2a 2b+a

b 2

（a>b ）

说明：考查二次根式的计算或化简求值。

11.已知ｘ＋3ｘ＋2 ＝13+2+1 ,求x-32x －4 ÷(5

x －2 －的值x －2)。

12.先化简,再求值:(

ｘ＋2xy +y x ＋y + 1x - y )+ ｘ- y+1

x

其中x=2 - 3 ,y=2 + 3

13.设11－6 2 的整数部分为m ，小数部分为n ，求代数式m ＋n ＋2

n 的值。

14.试求函数ｔ＝2－－3ｘ2＋12ｘ－9 的最大值和最小值。

15.如果ａ＋ｂ＋｜ｃ－1 －1｜＝4ａ－2 ＋2ｂ＋1 －4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值

教后记：

1.平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。

2.最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。

3.二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。