专转本数学历年真题

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、下列各极限正确的是 （ ）

A 、e x x x =+→)11(lim 0

B 、e x x x =+∞→1

)11(lim D 、11

sin lim 0=→x

x x

C 、

11

sin lim =∞→x

x x 2、不定积分

=-?dx x 211

（ ）

A 、2

11

x

- B 、c x +-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin 3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)('

'>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）

A 、0)('

B 、0)('

'>x f

C 、0)('>x f ,0)(''

D 、

0)('>x f ,0)(''>x f

4、

=-?

dx x 2

1 （ ）

A 、0

B 、2

C 、－1

D 、1

5、方程

x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 （ ）

A 、圆柱面

B 、点

C 、圆

D 、旋转抛物面

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6、设???+==2

2t

t y te x t ，则==0t dx dy 7、0136'

''=+-y y y 的通解为

8、交换积分次序=?

?dy y x f dx x x

220

),(

9、函数y x z =的全微分=dz

10、设

)(x f 为连续函数，则=+-+?-dx x x x f x f 31

1

])()([

三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知

5

cos

)21ln(arctan π

+++=x x y ，求dy .

12、计算x x dt

e x x

t x sin lim

200

2

?-→.

13、求)

1(sin )1()(2--=x x x x x f 的间断点，并说明其类型.

14、已知x y x y ln 2+

=，求1,1==y x dx

dy

.

15、计算

dx e e x x

?+12. 16、已知?∞-=+02

2

1

1dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '

=-满足00==x y 的特解.

18、计算??D

dxdy y

2

sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.

19、已知

)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在

1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.

20、设),(2

y

x

x f z =，其中f

具有二阶连续偏导数，求x z ??、y

x z

???2.

四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）

21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求

（1）切线方程；

（2）由2-=

x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；

（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

22、设?????=≠=00

)()(x a

x x x f x g ，其中)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f .

（1）求a ，使得)(x g 在0=x 处连续；

（2）求)('

x g .

23、设

)(x f 在[]c ,0上具有严格单调递减的导数)('x f 且0)0(=f ；试证明：

对于满足不等式c b a b a <+<<<0的a 、b 有)()()(b a f b f a f +>+.

24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？

2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1、下列极限中，正确的是 （ ） A 、

e x x x =+→cot 0

)tan 1(lim B 、 11sin

lim 0

=→x

x x C 、

e x x x =+→sec 0

)cos 1(lim

D 、

e n n n =+∞

→1

)1(lim

2、已知

)(x f 是可导的函数，则=--→h

h f h f h )

()(lim

0 （ ）

A 、)(x f '

B 、)0(f '

C 、)0(2f '

D 、)(2x f ' 3、设)(x f 有连续的导函数，且0≠a 、1，则下列命题正确的是 （ ）

A 、C ax f a

dx ax f +='?)(1

)(

B 、

C ax f dx ax f +='?)()( C 、)())(ax af dx ax f =''?

D 、C x f dx ax f +='?

)()(

4、若

x e y arctan =，则=dy （ ）

A 、dx e

x

211+

B 、

dx e

e x

x

21+ C 、

dx e

x

211+ D 、

dx e

e x

x 21+

5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是 （ ）

A 、x y =2

B 、?

??=++=++120z y x z y x C 、22+x =74+y =3-z

D 、043=+z x

6、微分方程02=+'+''

y y y 的通解是 （ ）

A 、

x c x c y sin cos 21+= B 、x x e c e c y 221+= C 、()x e x c c y -+=21 D 、x x e c e c y -+=21 7、已知)(x f 在()+∞∞-,内是可导函数，则))()(('--x f x f 一定是 （ ）

A 、奇函数

B 、偶函数

C 、非奇非偶函数

D 、不能确定奇偶性 8、设dx x x I

?

+=10

41，则I

的范围是 （ ）

A 、2

20≤

≤I B 、

1≥I C 、0≤I D 、

12

2

≤≤I 9、若广义积分dx x

p ?

∞+1

1

收敛，则p 应满足 （ ） A 、10

<

p C 、1-

D 、

0

10、若

x

x e

e x

f 11

121)(+-=

，则

0=x 是()x f 的 （ ）

A 、可去间断点

B 、跳跃间断点

C 、无穷间断点

D 、连续点

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11、设函数)(x y y =是由方程)sin(xy e e y x =-确定，则='=0x y

12、函数

x

e x x

f =

)(的单调增加区间为

13、

?-=+1

1221ta dx x x n x

14、设)(x y 满足微分方程1='y y e x

，且1)0(=y ，则=y

15、交换积分次序

()=??dx y x f dy e

e y

10

,

三、计算题（本大题共8小题，每小题4分，共32 分） 16、求极限()?+→x

x dt

t t t x

x 0

20

sin tan lim

17、已知()()???-=+=t t t a y t t t a x cos sin sin cos ，求4

π=t dx dy

18、已知()

2

2ln y x x z ++=，求x z ??，x

y z ???2

19、设?????<+≥+=0,11

,11

)(x e

x x x f x ，求()dx x f ?-201

20、计算?

?

?

?

-+++220

12

210

222

22

x

x dy y x dx dy y x dx

21、求()x e y x y sin cos =-'满足1)0(=y 的解.

22、求积分dx x

x x ?

-4

2

1arcsin

23、设

()()????

?=≠+=0,

,11

x k x x x f x ，且()x f 在0=x 点连续，求：（1）k 的值（2）()x f '

四、综合题（本大题共3小题，第24小题7分，第25小题8分，第26小题8分，共23分） 24、从原点作抛物线42)(2+-=x x x f 的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为S ，求：（1）S 的面积； （2）

图形S 绕X 轴旋转一周所得的立体体积.

25、证明：当2

2

π

π

<

<-x 时，21

1cos x x π

-

≤成立.

26、已知某厂生产

x 件产品的成本为2

40

120025000)(x x x C +

+=（元）

，产品产量x 与价格P 之间的关系为：x x P 20

1

440)(-

=（元） 求：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？

(2) 当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润.

2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1、已知2)(0'=x f ，则=--+→h

h x f h x f h )

()(lim

000

（ ）

A 、2

B 、4

C 、0

D 、

2-

2、若已知)()('

x f x F

=，且)(x f 连续，则下列表达式正确的是 （ ）

A 、c x f dx x F +=?)()(

B 、c x f dx x F dx d

+=?

)()(

C 、c x F dx x f +=?)()(

D 、)()(x f dx x F dx

d

=? 3、下列极限中，正确的是 （ ）

A 、22sin lim =∞→x

x x

B 、1arctan lim =∞→x

x

x

C 、∞=--→2

4

lim

22x x x D 、

1lim 0

=+→x x x

4、已知

)1ln(2x x y ++=，则下列正确的是 （ ）

A 、dx x x dy 2

11++= B 、dx x y 2

1'+=

C 、dx x dy 211+=

D 、2

11

'x

x y ++= 5、在空间直角坐标系下，与平面1=++z y x 垂直的直线方程为 （ ）

A 、?

??=++=++021z y x z y x B 、31422-=+=+z

y x C 、5222=++z y x D 、321-=-=-z y x

6、下列说法正确的是 （ ）

A 、级数∑∞

=1

1n n 收敛

B 、级数

∑∞

=+1

2

1

n n n 收敛 C 、级数∑

∞

=-1

)1(n n

n 绝对收敛 D 、级数

∑∞

=1

!n n 收敛

7、微分方程

0''=+y y 满足00

==x y

，1'

==x y 的解是

A 、

x c x c y sin cos 21+= B 、x y sin = C 、x y cos = D 、x c y cos =

8、若函数???

?

???<-=>=0)31ln(1020sin )(x x bx x x x ax

x f 为连续函数，则a 、b 满足

A 、2=a 、b 为任何实数

B 、2

1

=+b a

C 、2=a 、2

3

-=b D 、1==b a

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9、设函数)(x y y =由方程xy e y x =+)ln(所确定，则==0

'

x y

10、曲线93)(23++-==x x x x f y 的凹区间为

11、

=+?

-dx x x x )sin (1

1

32

12、交换积分次序

=+?

??

?-y

y

dx y x f dy dx y x f dy 30

31

20

10

),(),(

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 13、求极限x

x x cos 1120

)

1(lim -→+

14、求函数

???

? ??=y x z tan 的全微分

15、求不定积分dx x x ?

ln

16、计算θθθ

π

πd ?-

+22

2

cos 1sin

17、求微分方程x e x y xy 2'=-的通解.

18、已知???-=+=t

t y t x arctan )1ln(2，求dx dy 、2

2dx y d .

19、求函数1

)

1sin()(--=

x x x f 的间断点并判断其类型.

20、计算二重积分

??

+-D

dxdy y x )1(2

2，其中D 是第一象限内由圆x y x 222=+及直线0=y 所围成的区域.

四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分）

21、设有抛物线

24x x y -=，求：

（i ）、抛物线上哪一点处的切线平行于X 轴？写出该切线方程； （ii ）、求由抛物线与其水平切线及Y 轴所围平面图形的面积； （iii ）、求该平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积.

22、证明方程2=x

xe 在区间()1,0内有且仅有一个实根.

23、要设计一个容积为V 立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设

计，可以使造价最低？

五、附加题（2000级考生必做，2001级考生不做）

24、将函数

x

x f +=

41

)(展开为x 的幂级数，并指出收敛区间。（不考虑区间端点）（本小题4分）

25、求微分方程133'2''+=--x y y y 的通解。（本小题6分）

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 1、

[](]

???∈--∈=2,00,3)(3

3

x x

x x x f ，是： （ ）

A 、有界函数

B 、奇函数

C 、偶函数

D 、周期函数

2、当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的 （ ）

A 、高阶无穷小

B 、同阶但不是等价无穷小

C 、低阶无穷小

D 、等价无穷小

3、直线

L 与x 轴平行且与曲线x

e x y -=相切，则切点的坐标是 （ ）

A 、()1,1

B 、()1,1-

C 、()1,0-

D 、

()1,0

4、2

228R y x =+设所围的面积为S ，则

dx x R R ?

-220

228的值为 （ ）

A 、

S

B 、

4

S

C 、

2

S D 、

S 2

5、设y

x y x u arctan

),(=、2

2ln ),(y x y x v +=，则下列等式成立的是 （ ） A 、y v x u ??=?? B 、x

v x u ??=?? C 、x v y u ??=?? D 、

y

v y u ??=?? 6、微分方程x xe y y y 22'3''=+-的特解*

y 的形式应为 （ ）

A 、

x Axe 2

B 、x e B Ax

2)(+

C 、

x e Ax 22

D 、

x e B Ax x 2)(+

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

7、设x

x x x f ??

?

??++=32)(，则=∞

→)(lim x f x 8、过点)2,0,1(-M 且垂直于平面2324=

-+z y x 的直线方程为 9、设)()2)(1()(n x x x x x f +++=Λ，N n ∈，则=)0('

f

10、求不定积分

=-?

dx x

x 2

31arcsin

11、交换二次积分的次序

=?

?-dy y x f dx x x 2102

),(

12、幂级数∑

∞

=-1

2)1(n n n

x 的收敛区间为

三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 13、求函数x

x

x f sin )(=

的间断点，并判断其类型.

14、求极限)

31ln()1()sin (tan lim 2

2

x e

dt

t t x x

x +--?→.

15、设函数)(x y y =由方程1=-y

xe y 所确定，求

02

2=x dx y

d 的值.

16、设)(x f 的一个原函数为

x

e x

，计算

?dx x xf )2('.

17、计算广义积分dx x x ?

+∞-2

1

1.

18、设),(xy y x f z -=，且具有二阶连续的偏导数，求x z ??、y

x z

???2.

19、计算二重积分dxdy y y D

??sin ，其中D 由曲线x y =及x y =2

所围成.

20、把函数

2

1

)(+=

x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间.

四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分） 21、证明：??

=

π

π

π

)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并利用此式求dx x

x

x

?+π

2

cos 1sin .

22、设函数

)(x f 可导，且满足方程)(1)(20

x f x dt t tf x

++=?，求)(x f .

23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？

2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、

0=x 是x

x x f 1

sin

)(=的 （ ） A 、可去间断点 B 、跳跃间断点

C 、第二类间断点

D 、连续点

2、若

2=x 是函数)21

ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=a （ ）

A 、1-

B 、21

C 、2

1

- D 、1

3、若?+=C x F dx x f )()(，则?

=dx x xf )(cos sin （ ）

A 、C x F +)(sin

B 、

C x F +-

)(sin C 、C F +(cos) D 、C x F +-)(cos

4、设区域D 是xoy 平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，

则：

=+??dxdy y x xy D

)sin cos ( （ ）

A 、??1

)sin (cos 2

D dxdy y x

B 、??1

2

D xydxdy

C 、??+1

)sin cos (4

D dxdy y x xy

D 、0

5、设y

x y x u arctan

),(=，22ln ),(y x y x v +=，则下列等式成立的是 （ ）

A 、

y

v x u ??=?? B 、

x

v

x u ??=

?? C 、x v y u ??=?? D 、y v y u ??=?? 6、正项级数(1)

∑∞

=1

n n u

、(2)

∑∞

=1

3

n n

u

，则下列说法正确的是 （ ）

A 、若（1）发散、则（2）必发散

B 、若（2）收敛、则（1）必收敛

C 、若（1）发散、则（2）可能发散也可能收敛

D 、（1）、（2）敛散性相同 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、=----→x

x x

e e x x x sin 2lim

0 ； 8、函数x x f ln )(=在区间[

]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ； 9、

=++?-11211x x π ；

10、设向量{

}2,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ； 11、交换二次积分的次序

=?

?

-+-dy y x f dx x x 211

1

),( ；

12、幂级数

∑∞

=-1

)12(n n

x

n 的收敛区间为 ；

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、设函数??

???+=a x

x x f x F sin 2)()( 00=≠x x 在R 内连续，并满足：0)0(=f 、6)0('

=f ，求a . 14、设函数)(x y y =由方程???-==t

t t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy 、2

2dx y

d .

15、计算?xdx x sec tan 3

.

16、计算?

1

arctan xdx

17、已知函数),(sin 2

y x f z =，其中

),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ??、

y x z

???2

18、求过点)2,1,3(-A 且通过直线1

2354:z

y x L =+=-的平面方程.

19、把函数2

2

2)(x x x x f --=

展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间.

20、求微分方程

0'=-+x e y xy 满足e y x ==1的特解.

四、证明题（本题8分） 21、证明方程：

0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.

五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分） 22、设函数

)(x f y =的图形上有一拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数a x y +=6''，求

)(x f .

23、已知曲边三角形由

x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：

（1）、曲边三角形的面积； （2）、曲边三角形饶X 轴旋转一周的旋转体体积.

24、设

)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F u

y

u

??=)()(1

，)1(>u

（1）、交换)(u F 的积分次序； （2）、求)2('

F .

2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、若2

1)

2(lim

0=→x x f x ，则=→)3

(lim 0x f x

x （ ） A 、

2

1 B 、

2

C 、3

D 、

3

1

2、函数

?????=≠=0

01sin )(2

x x x

x x f 在

0=x 处 （ ）

A 、连续但不可导

B 、连续且可导

C 、不连续也不可导

D 、可导但不连续

3、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是 （ ）

A 、

x e y =

B 、

x y +=1

C 、

21x y -= D 、x

y 11-

= 4、已知C e dx x f x +=?2)(，则=-?dx x f )(' （ ）

A 、C e

x

+-22

B 、

C e x +-221 C 、C e x +--22

D 、C e x +--22

1

5、设

∑∞

=1

n n u

为正项级数，如下说法正确的是 （ ）

A 、如果0lim 0

=→n n u ，则∑∞

=1n n u 必收敛 B 、如果l u u n

n n =+∞→1

lim

)0(∞≤≤l ，则∑∞

=1n n u 必收敛

C 、如果

∑∞

=1

n n u

收敛，则

∑∞

=1

2

n n u

必定收敛 D 、如果

∑∞

=-1

)

1(n n

n

u 收敛，则

∑∞

=1

n n u

必定收敛

6、设对一切x 有),(),(y x f y x f -=-，}0,1|),{(2

2

≥≤+=y y x y x D ，

=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ，则??=D

dxdy y x f ),( （ ）

A 、0

B 、

??1

),(D dxdy y x f C 、2??1

),(D dxdy y x f D 、4??1

),(D dxdy y x f

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、已知

0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等级无穷小，则=a

8、若A x f x x =→)(lim 0

，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续.

9、设

)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ，?

=1

3)(dx x f ，则?=1

')(dx x xf

10

1=，b a ⊥，则=+?)(

11、设x e u

xy sin =，

=??x

u

12、

=??D

dxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三角形区域.

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、计算

1

1lim

3

1

--→x x x .

14、若函数)(x y y =是由参数方程???-=+=t

t y t x arctan )1ln(2所确定，求

dx dy

、22dx

y d .

15、计算

?

+dx x

x

ln 1.

16、计算dx x x ?

20

2cos π

.

17、求微分方程2'2y xy y x -=的通解.

18、将函数)1ln()(x x x f +=展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）.

19、求过点)2,1,3(-M 且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.

20、设

),(2

xy x xf z =其中

),(v u f 的二阶偏导数存在，求y z ??、

x

y z

???2.

四、证明题（本题满分8分）. 21、证明：当

2≤x 时，233≤-x x .

五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）

22、已知曲线

)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程.

23、已知一平面图形由抛物线2

x y =、82+-=x y 围成.

（1）求此平面图形的面积；

（2）求此平面图形绕y

轴旋转一周所得的旋转体的体积.

24、设??

???=≠=??00

)(1

)(t a t dxdy x f t t g t D ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续.

（1）求a 的值使得)(t g 连续；

（2）求)('

t g .

2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、若2)2(lim

0=→x x f x ，则=∞→)21

(lim x xf x （ ）

A 、41

B 、2

1 C 、

2 D 、4

2、已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x n

sin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n

（ ） A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

3、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数为 （ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

4、设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则=?dx x f )2(' （ ）

A 、

C x +4cos

B 、

C x +4cos 2

1

C 、

C x +4cos 2

D 、C x +4sin

5、设

dt t x f x ?=21

2sin )(，则=)('x f （ ）

A 、4

sin x B 、2

sin 2x x C 、2

cos 2x x D 、4

sin 2x x 6、下列级数收敛的是 （ ）

A 、∑∞

=12

2n n

n

B 、

∑

∞

=+1

1

n n n

C 、∑

∞

=-+1

)1(1n n

n D 、

∑

∞

=-1

)1(n n

n

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、设函数?????

=≠+=02

)1()(1

x x kx x f x ，在点0=x 处连续，则常数=k

8、若直线m x y +=5是曲线232

++=x x y 的一条切线，则常数=m

9、定积分

dx x x x )cos 1(432

2

2+-?

-的值为

10、已知→

a ，→

b 均为单位向量，且2

1

=?→

→b a ，则以向量→→?b a 为邻边的平行四边形的面积为

11、设y x

z =，则全微分=dz

12、设x x

e C e

C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为 三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、求极限x

x x e x x tan 1

lim 0--→.

14、设函数)(x y y =由方程xy e e y

x

=-确定，求0=x dx dy 、0

22=x dx y

d .

15、求不定积分

dx e x x

?-2.

16、计算定积分dx x

x ?

-12

222

1. 17、设),32(xy y x f z +=其中

f 具有二阶连续偏导数，求

y

x z

???2.

18、求微分方程2'2007x y xy =-满足初始条件20081

==x y

的特解.

19、求过点)3,2,1(且垂直于直线???=++-=+++0

120

2z y x z y x 的平面方程.

20、计算二重积分

dxdy y x D

??

+22，其中{}0,2|),(22≥≤+=y x y x y x D .

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

21、设平面图形由曲线

21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成.

（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；

（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分.

22、设函数

9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：

（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少； （2）在点1-=x 的右侧临近单调增加；

（3）其图形在点)2,1(的两侧凹凸性发生改变. 试确定a ，b ，c 的值.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 23、设0>>a b

，证明：dx x f e e dx e x f dy b

a

a x x

b y

y x b a

???++-=)()()(232

24、求证：当0>x 时，22)1(ln )1(-≥-x x x .

2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、设函数

)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是 （ ）

A 、)(x f y -=

B 、)(4

3x f x y =

C 、)(x f y --=

D 、)()(x f x f y -+= 2、设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是 （ ）

A 、)0()

()0(lim '0f x

x f f x -=-→

B 、)()()2(lim 0'00x f x x f x x f x =-+→

C 、)()()(lim 0'000x f x x x f x x f x =??--?+→?

D 、)(2)()(lim 0'

000x f x x x f x x f x =??+-?-→?

3、设函数)(x f ?=1

22sin x

dt t t ，则)('x f 等于 （ ）

A 、x x

2sin 42

B 、x x

2sin 82

C 、x x

2sin 42

- D 、x x

2sin 82

-

4、设向量)3,2,1(=→

a ，)4,2,3(=→

b ，则→

→

?b a 等于 （ ）

A 、（2，5，4）

B 、（2，－5，－4）

C 、（2，5，－4）

D 、（－2，－5，4）

5、函数

x y

z ln

=在点（2，2）处的全微分dz 为 （ ） A 、dy dx 2121+- B 、dy dx 2121+ C 、dy dx 2

121-

D 、dy dx 2

121--

6、微分方程123'

''=++y y y 的通解为 （ ）

A 、

1221++=--x x e c e c y B 、

21221+

+=--x x e c e c y C 、1221++=-x x e c e c y

D 、

2

1221++=-x

x e c e c y 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、设函数

)

1(1

)(2--=

x x x x f ，则其第一类间断点为 .

8、设函数{=)(x f ,0,3tan ,

0,<≥+x x x x x a 在点0=x 处连续，则a ＝ .

9、已知曲线54322

3++-=x x x y ，则其拐点为 .

10、设函数)(x f 的导数为x cos ，且2

1

)0(=f ，则不定积分?dx x f )(＝ .

11、定积分

dx x x

?-++1121sin 2的值为 . 12、幂函数∑∞

=?12

n n

n

n x 的收敛域为 .

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：x

x x

x 3)2(

lim -∞

→ 14、设函数)(x y y =由参数方程Z n n t t y t t x ∈≠?

??-=-=,2,cos 1,sin π所决定，求22,dx y

d dx dy

15、求不定积分：

?+dx x x 13

.

16、求定积分：?1

dx e

x

.

17、设平面π经过点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，5），求经过点P （1，2，1）且与平面π垂直的直线方程.

18、设函数),(x

y

y x f z +=，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ???2.

19、计算二重积分??D

dxdy x 2

，其中D 是由曲线x

y 1

=，直线2,==x x y 及0=y 所围成的平面区域.

20、求微分方程

2'2x y xy +=的通解.

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、求曲线)0(1

>=

x x

y 的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.

22、设平面图形由曲线

2x y =，22x y =与直线1=x 所围成.

（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 23、设函数

)(x f 在闭区间[]a 2,0)0(>a 上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间),0(a 上至少存在一

点ξ，使得)()(a f f +=ξξ.

24、对任意实数x ，证明不等式：1)1(≤-x

e x .

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、已知32

lim

22=-++→x b

ax x x ，则常数b a ,的取值分别为 （ ） A 、2,1-=-=b a B 、0,2=-=b a C 、0,1=-=b a D 、1,2-=-=b a

2、已知函数

4

23)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的

A 、跳跃间断点

B 、可去间断点

C 、无穷间断点

D 、震荡间断点

3、设函数??

?

??>≤=0,1sin 0,

0)(x x x x x f α在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为 （ ）

A 、10<<α

B 、10≤<α

C 、1>α

D 、1≥α

4、曲线2

)1(1

2-+=x x y 的渐近线的条数为 （ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

5、设)13ln()(+=x x F 是函数)(x f 的一个原函数，则=+?dx x f )12(' （ ）

A 、

C x ++461

B 、

C x ++463 C 、C x ++8121

D 、

C x ++8

123

6、设α为非零常数，则数项级数∑∞

=+1

2n n n α

（ ）

A 、条件收敛

B 、绝对收敛

C 、发散

D 、敛散性与α有关

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、已知2)(

lim =-∞

→x

x C

x x ，则常数=C .

8、设函数

dt te x x t ?=20

)(?，则)('x ?＝ .

9、已知向量)1,0,1(-=→

a

，)1,2,1(-=→

b ，则→→+b a 与→

a 的夹角为 .

10、设函数),(y x z z =由方程12

=+yz xz 所确定，则x

z ??＝ .

11、若幂函数)0(1

2

>∑∞

=a x n a n n n 的收敛半径为21，则常数=a . 12、微分方程0)2()1(2

=--+xdy y ydx x 的通解为 .

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、求极限：x

x x x sin lim 3

0-→

14、设函数)(x y y =由参数方程???-+=+=3

2)1ln(2

t t y t x 所确定，，求

22,dx y

d dx dy .

15、求不定积分：

?+dx x 12sin

.

16、求定积分：?

-1

2

22dx x

x .

17、求通过直线1

2213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程.

18、计算二重积分??D

yd σ，其中}2,2,20),{(22

≥+≤≤≤≤=y x

y x x y x D .

19、设函数),(sin xy x f z =，其中

)(x f 具有二阶连续偏导数，求

y

x z

???2.

20、求微分方程

x y y =-''的通解.

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

21、已知函数13)(3+-=x x x f ，试求：

（1）函数)(x f 的单调区间与极值；

（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；

（3）函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最大值与最小值.

22、设1D 是由抛物线

22x y =和直线0,==y a x 所围成的平面区域，2D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及

0=y 所围成的平面区域，其中20<

（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 23、已知函数??

?≥+<=-0

,10

,)(x x x e x f x ，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导.

24、证明：当21<x x x x .

2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1.设当

0x →时，函数()sin f x x x =-与()n g x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( ) A. 1,36a n == B. 1,33a n == C. 1,412a n == D. 1,46a n ==

2.曲线22

34

56

x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D. 4条 3.设函数22

()

cos t x x e tdt Φ=?，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )

A. 2

2

2cos x xe x B. 2

2

2cos x xe x - C. 2cos x

xe x - D. 2

2

cos x e x - 4.下列级数收敛的是 ( ) A.

11

n n

n ∞

=+∑ B. 2

121

n n n n

∞

=++∑

C. 1n n ∞

= D.

2

12

n n n ∞

=∑

5.二次积分

11

1

(,)y dy f x y dx +??

交换积分次序后得 ( )

A.

11

1(,)x dx f x y dy +?? B.

2

1

1

0(,)x dx f x y dy -??

C.

21

1

1

(,)x dx f x y dy -??

D. 21

1

1

(,)x dx f x y dy -??

6.设

3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A. 函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B. 函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C. 函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D. 函数()f x 单调减少且其图形是凸的

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7.

1lim(

)1

x

x x x →∞+=-

8. 若(0)1f '=，则0()()

lim x f x f x x →--=

9. 定积分

3

1211

1x dx x -++?的值为

10. 设(1,2,3),(2,5,)a b k ==r r

，若a r 与b r 垂直，则常数k =

11.

设函数

z =，则10

x y dz

===

12. 幂级数0

(1)n n

n x n ∞

=-∑的收敛域为

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限20

11

lim(

)tan x x x x

→-

14、设函数()y y x =由方程2x y

y e

x ++=所确定，求22

,dy d y

dx dx

15、求不定积分arctan x xdx ?

16

、计算定积分40

?

17、求通过点(1,1,1)，且与直线23253x t y t z t =+??

=+??=+?

垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程。

18、设2(,)x

z y f xy e =，其中函数

f 具有二阶连续偏导数，求

2z

x y

???

19、计算二重积分D

xdxdy ??

，其中D

是由曲线x =y x =及x 轴所围成的闭区域。

20、已知函数x y e =和2x y e -=是二阶常系数齐次线性微分方程"'0y py qy ++=的两个解，试确定常数q p ,的值，并

求微分方程

"'x y py qy e ++=的通解。

四、证明题（每小题9分，共18分） 21、证明：当

1x >时，121122

x e x ->

+

22、设()

,0,()1,

0,x x f x x x ??≠?

=??=?其中函数()x ?在0x =处具有二阶连续导数，且

'(0)0,(0)1??==，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导。

五、综合题（每小题10分，共20分） 23、设由抛物线

2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记

为1()V a ，由抛物线

2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋

转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。

24、设函数

()f x 满足方程'()()2x

f x f x e

+=，且

(0)2f =，记由曲线'()

()

f x y f x =

与直线1,(0)y x t t ==>及y 轴所围平面图形的面积为

()A t ，试求lim ()t A t →+∞

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、C 2、D 3、B 4、D 5、A 6、2 7、)2sin 2cos (213x C x C e y x +=，其中1C 、2C 为任意实数

8、

dx y x f dy dx y x f dy y y y ????

+2

2

42

2

2

),(),(

9、

xdy x dx yx y y ln 1+-

10、

5

64 11、dx x x x dy x x ???

? ??++?+=21ln 22111 12、31

-

13、1-=x 是第二类无穷间断点；0=x 是第一类跳跃间断点；1=x 是第一类可去间断点.

14、1 15、C e e dx e e e e dx e e x

x x

x x x x x ++-=+-+=+??)1ln(1122 16、π

1

17、[]

C dx e x e C dx e x e y x x xdx xdx +?=??

????+???=??----cos ln cos ln tan tan sec sec x C x cos +=，

x x

y C C y x cos 00cos 000=?=?+?==.

18、解：原式2

4cos 1sin 2011

2-==??+y dx dy y 19、解：“在原点的切线平行于直线032=-+y x ”?2)(0'

-==x x f 即2-=b

又由

)(x f 在1=x 处取得极值，得0)1('=f ，即03=+b a ，得3

2

3=-

=b a

故

22)(2'-=x x f ，两边积分得c x x x f +-=

23

2)(3

，又因曲线)(x f y =过原点， 所以0=c

，所以x x x f y 23

2)(3

-=

= 20、y f x f x z 122'

1'?+?=??， 2'222''312''22212f y

f y x f y x y x z ---=??? 21、（1）012=+-x y ；（2）31；（3）6π=x V ，π5

6

=y V

22、2

'0'0)()

()(lim

1)()(lim x x f x x f x f x x f x x ??-???=?-???=→?→? )0(2

12)(lim 2)()()(lim '

'''0''''0f x x x f x x f x f x x f x x =????=??-?+???=→?→?. 23、由拉格朗日定理知：

)()

()(1'ξf a b f b a f =-+ )(1b a b +<<ξ，

)()

0()(2'ξf a

f a f =- )(2a b <<ξ

由于)('x f 在),0(c 上严格单调递减，知)()(2'

1'ξξf f <，因0)0(=f ，故 )()()(b a f b f a f +>+.

24、解：设每月每套租金为x 10200+，则租出设备的总数为x -40，每月的毛收入为： )40)(10200(x x -+，维护成本为：)40(20x -.于是利润为：

2102207200)40)(10180()(x x x x x L -+=-+= )400(≤≤x 110)('=?=x x L

比较0=x 、11=x 、40=x 处的利润值，可得)40()0()11(L L L >>， 故租金为310)1110200(=?+元时利润最大.

2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 01－05、ACABD

06－10、CBABB 11、1 12、-∞(，]1 13、0

14、

32+--x e 15、?

?x

e

dy y x f dx ln 0

1

),( 16、

2

3

17、1 18、221

y

x x

z

+=

??，422

2)(y x y x y z +-=??? 19、解：令1-=x t ，则2=x 时1=t ，0=x 时，1-=t ，

所以

())1ln()1ln(1111111

100120+=++=+++=---???e e dx x dx e dx x f x

20、原式=12

4010

2201222πθπ

=?=+????-rdr r d dx y x dy y y

21、)1(cos +=x e

y x

22、C x +22arcsin 4

1 23、（1）e k =

（2）???????=-≠???? ??+-++=0................................................20.......)1ln()1(1)1()(21

'x e x x x x x x x f x

24、（1）3

16

4222

4260

222=

+=?

??

?+-+---x x x x x x

dy dx dy dx S （2）ππππ15

512

)2()6()42(20

20

2

222

22=

---+-=???--dx x dx x dx x x V

25、证明：x x x F cos 1)

(2

--

=π，因为)()(x F x F =-，所以)(x F 是偶函数，我们只需要考虑区间??

?

???2,0π，则x x x F sin 2)('+-=π，x x F cos 2

)(''+-=π

.

在

??????∈π2arccos ,0x 时，0)(''>x F ，即表明)('x F 在?????

?

π2arccos ,0内单调递增，所以函数)(x F 在

??

????

π2arccos ,0内严格单调递增； 在??? ??∈2,2arccos

ππx 时，0)(''

2,2arccos ππ内单调递减，又因为0)2('=πF ，说明)(x F 在??? ?

?

2,2arccos

ππ内单调递增. 综上所述，)(x F 的最小值是当0=x 时，因为0)0(=F ，所以)(x F 在???

?

?-2,2ππ内满足0)(≥x F . 26、（1）设生产x 件产品时，平均成本最小，则平均成本

x x x x C x C 40

1

20025000)()(++==， 10000)('=?=x x C （件）

（2）设生产x 件产品时，企业可获最大利润，则最大利润

??

? ??++-??? ??

-=-240120025000201440)()(x x x x x C x xP ，

()16000)()('=?=-x x C x xP . 此时利润167000)()(=-x C x xP （元）.

2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、B 2、C 3、D 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、12

-e

10、()+∞,1 11、0

12、

dy y x f dx x

x ??

-32

20

),(

13、原式

22

10

cos 1112

2222

lim ]

)1[(lim e e

x x x x x

x x x ==+=?→-?

→

14、dy y x y

x dx y x y dz

222sec sec 1-=

15、C x x +??? ??-21ln 212 16、原式2

cos 1sin cos 1sin 2020

22πθθθθθθπ

π=+++-=??-d d

17、)(c e x y x

+= 18、2t dx dy =、t t dx

y d 412

22+=

19、1=x 是1)1sin()(--=x x x f 的间断点，11)1sin(lim 1-=---→x x x ，11

)

1sin(lim

1=--+→x x x 1=x 是1

)

1sin()(--=

x x x f 的第一类跳跃间断点.

20、

9162)1()1(cos 20202

2-

=

-=+-?

???π

θθ

π

dr r d dxdy y x D

21、（i ）切线方程：4=y ； （ii ）[]

3

8)4(420

2

=--=?dx x x S （iii ）πππ15

224)4(2420

2

221=--??=-=?dx x x V V V x

22、证明：令2)(-=x

xe x f ，02)0(<-=f ，02)1(>-=e f ，因为)(x f 在()1,0内连续，故)(x f 在()

1,0内至少存在一个实数ξ，使得0)(=ξf ；又因为)1()('x e x f x

+=在()1,0内大于零，所以)(x f 在()1,0内单调递增，所以在()1,0内犹且仅有一个实根.

23、解：设圆柱形底面半径为r ，高位h ，侧面单位面积造价为l ，则有

??

?

??+?+?==)2(222)1(222rhl l r l r y h r V ππππ 由（1）得2r V

h π=代入（2）得：???

? ??++=r V r r l y ππ221222

令

025'2=??? ??

-=ππr V r l y ，得：352πV r =；此时圆柱高3

3

242552πππV V V h =??

? ??=. 所以当圆柱底面半径352πV r =，高为3425πV

h =时造价最低.

24、解：2')4(1)(x x f +-=，3'')4(2)(x x f +=，3

'

'')

4(32)(x x f +?-=，…

1

)()4(!

)1()(++-=n n n x n x f ，

41)0(=f ，2'4

1

)0(-=f ，3''42)0(=f ，…，1)(4!)1()(+-=n n n n x f

ΛΛ+-+++-=+12324

)1(414141)(n n

n x x x x f ， 收敛区间()4,4-

25、解：对应特征方程0322=--λλ，11-=λ、32=λ，所以x x e C e C y 321+=-，因为0=λ不是特征方

程的根，设特解方程为10b x b y +=*，代入原方程，解得：3

1321+

-+=-x e C e C y x x .

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、A 2、B 3、C 4、B 5、A 6、D 7、1

-e

8、

3

2

241-+==-z y x 9、

!n

10、

C x +4arcsin 4

1

11、

dx y x f dy dx y x f dy y

y

?

??

?

-+20

2

1

1

),(),(

12、

()3,1-

13、间断点为

πk x =，Z k ∈，当0=x 时，1sin lim

)(lim 00

==→→x

x

x f x x ，为可去间断点；当πk x =，0≠k ，

Z k ∈时，∞=→x

x

x sin lim

0，为第二类间断点.