3-计算理论总结

正则语言

一、

2.1 图给出两台DFA M 1和M 2的状态图. 回答下述有关问题.

a. M 1的起始状态是q 1

b. M 1的接受状态集是{q 2}

c. M 2的起始状态是q 1

d. M 2的接受状态集是｛q 1，q 4｝

e. 对输入aabb,M 1经过的状态序列是q 1，q 2，q 3，q 1，q 1

f. M 1接受字符串aabb 吗？否，因为无法到达终态q 2

g. M 2接受字符串ε吗？是

二、

2.6画出识别下述语言的DFA 的状态图。 DFA 和NFA 的区别：DFA 对于每个输入的字符，都能确定的指定到一个确定的状态；而NFA 的每个字符，指定的不一定是同一个状态，可能同时指向不同状态。

a){w | w 从1开始以0结束}

b){w | w 至少有3个1}重点

c) {w | w 含有子串0101}

d) {w | w 的长度不小于3，且第三个符号为0}

e) {w | w 从0开始且为奇长度，或从1开始且为偶长度}

或

f) {w | w 不含子串110}

最后一个接受状态若是输入0，则无法返回到接受状态，因此不会有110

g) {w | w 的长度不超过5}

最后一个接受状态若是输入0，1则无法返回到接受状态

h){w | w 是除11和111以外的任何字符}

注：11和111是指接受状态后的结果。

i){w | w 的奇位置均为1}

0,1

注：起始接受状态中，输入0后，则无法回到接受状态，因此不会有影响 j) {w | w 至少含有2个0，且至多含有1个1}

k) {ε,0}

m) 空集 n) 除空串外的所有字符串

三、

泵引理：

0,1 1

上下文无关（CFL ）

PDA ：下推自动机 一、

3.1语法分析树和派生的使用(语法分析树自己写) a. E T F a ???

b. E E T T F F a a a ?+?+?+?+

c. E E T E T F T F a F a a a a a ?+?++?++?++?++

d.

()()()(())(())(())(())E T F E T F E T F a ?????????

二、

3.2a. 利用语言A={a m b n c n

| m,n ≥0}和B={a n b n c m

| m,n ≥0}以及例3.20，证明

上下文无关语言在交的运算下不封闭。

证明：a.先说明A,B 均为上下文无关文法，对A 构造CFG C 1

S →aS|T|ε T →bTc|ε

对B,构造CFG C 2

S →Sc|R|ε R →aRb

由此知 A,B 均为上下文无关语言。

但是由例3.20, A ∩B={a n b n c n |n ≥0}不是上下文无关语言，所以上下文无关语言在交的运算下不封闭。

三、

3.3 设上下文无关文法G ： R →XRX|S

S →aTb|bTa

T→XTX|X|ε

X→a|b

回答下述问题：

a.G的变元和终结符是什么？起始变元是哪个？

答：变元是：R，X，S，T；起始变元是R。终结符是：a，b，ε

b.给出L(G)中的三个字符串。答：ab，ba，aab。

c.给出不在L(G)中的三个字符串。答：a，b，ε。

d.是真是假：T aba

?。答：假

e.是真是假：

*

T aba

?。答：真

f.是真是假：T T

?。答：假

g.是真是假：

*

T T

?。答：假

h.是真是假：

*

XXX aba

?。答：真

i.是真是假：

*

X aba

?。答：假

j.是真是假：

*

T XX

?。答：真

k.是真是假：

*

T XXX

?。答：真

l.是真是假：

*

Xε

?。答：假

四、

ε表示“空”

1)0,ε->0当读取到输入的字符为0时，将0压入栈（此时0为栈顶）

2)0,ε->ε和1,ε->ε意思是再次读到0或1都不压入栈，不写入

3)0,0->ε弹出栈顶0，栈顶指向下一个栈元素。

五、

图灵一、

构造具有3条带的图灵机。

对于问题a.

1)w 先读入第一条带，然后读到0就把0写入第2条带，读到1就把1写

入第3条带，直到读到空格为止。

2)然后把3个读写头都返回到最左边。

3)开始读第2条带和第3条带，每次都是读一个字符，如果同时遇上空格

符，则接收，否则拒绝。

对于问题b:

1)和a的第1步相同。

2)和a的第2步相同。

3)每次读带3的一个字符就读带2的两个字符，如果同时遇上空格符，就

接收，否则拒绝。

对于问题c:

1)和a的第1步相同。

2)和a的第2步相同。

3)每次读带3的一个字符就读带2的两个字符，如果同时遇上空格符，就拒

绝，否则接受。

构造具有3条带的图灵机。

二、

能被图灵机识别则可数，不能被图灵机识别不可数

5.7设B是{0，1}上所有无限序列的集合，用对角化方法证明B是不可数的。

证明：为证明B是不可数的，必须证明在B和N之间不存在对应。下面用反证法证之。假设在B和N之间存在对应f，现在的任务是证明它没有应有的性质。因为它是一个对应，必须能将N的所有元素与B的所有元素进行配对。如果能找到B中的一个x，它和N中的任何元素都不能配对，则找到了矛盾。

为此，实际构造出这样一个x。方法如下：在选择它的每一位数字时，都使得：x不同

于某个无限序列，且此无限序列已与N中的一个元素配对。这样就能保证x不同于任何已配对的无限序列。

用一个例子来说明这个思路。假设对应f存在，且设f(1) = 010101…，f(2) = 101010…，

f(3) =…等等。则f将1和010101…配对，将2和101010…配对，依此类推。

要保证对每个n都有x ≠f(n)。为保证x ≠f(1)，只要保证x的第一位数字不同于f(1)

= 010101…的第一位数字，即不是数字0，令它为1。为保证x ≠f(2)，只要保证x的第二位数字不同于f(2) = 101010…的第一位数字，即不是数字0，令它为1。以这种方法继续下去，就能够得到x的所有数字。不难知道，对任意n，x都不是f(n)，因为x与f(n)在第n位上不同。

三、

四、

8.5下面的公式是可满足得吗？

φ=(x∨y)∧(x∨y)∧(x∨y)∧(x∨y)

解:(x,y)共有四种取值：(true, true),(true, false),(false, true),(false, false).分别将其带入公式得：

若(x,y)=(true, true)，φ=(true∨true) ∧(true∨false) ∧ (false∨true) ∧ (false∨false)=false 若(x,y)=(true, false)，φ=(true∨false) ∧(true∨true) ∧ (false∨false) ∧ (false∨true)=false 若(x,y)=(false, true)，φ=(false∨true) ∧(false∨false) ∧ (true∨true) ∧ (true∨false)=false 若(x,y)=(false, false),φ=(false∨false) ∧(false∨true) ∧ (true∨false) ∧ (true∨true)=false 所以原公式不可满足。

8.16

对于输入＜G，a，b，k＞,G是包含节点a,b在内m个节点的无向图

1)、将节点a上作一个标记0

2)、i从0到m:

3)、扫描G的所有边，如果一条边(s,t)被发现为在i内从节点s到节点b，

则标记节点t为i+1。

4)、如果t被标记为最大值K ，则接受，否则拒绝。

五、

P类是不是pspace类？

8.5 证明NL在并、补和星号运算下封闭。

证明：(1) 并：

对任意L1, L2∈NL，设有O(logn)空间图灵机M1和M2判定它们，且c=max{a,b}。

对L1?L2构造判定器M:

M=“对于输入字符串w=w1w2…w n:

1)初始化将带子改写为w1w1 w2w2…w n w n。

2)在w上分别运行M1和M2，即在奇数格运行M1和在偶数格运

行M2。

3)若有一个接受，则接受；否则拒绝。”

空间复杂度：2O(logn)=O(logn),

所以L1?L2属于NL，即NL在并的运算下封闭。

(2) 补：

对任意L1, L2∈NL，设有O(logn)空间图灵机M1和M2判定它们，且c=max{a,b}。

对L1?L2构造判定器M:

M=“对于输入字符串w=w1w2…w n:

1)初始化将带子改写为w1w1 w2w2…w n w n。

2)在w上分别运行M1和M2，即在奇数格运行M1和在偶数格运

行M2。

3)若两个都接受，则接受；否则，拒绝。”

空间复杂度：2O(logn)=O(logn),

所以L1?L2属于NL，即NL在交的运算下封闭。

(3)星号：

设M为判定A的空间O(logn)图灵机。设计如下TM：

D=“对于输入y=y1y2…y n，

1)令i=1.

2)若i≤n,非确定的选取j≤n,重复以下步骤。

3)以二进制将i,j存储于工作带。

4)对于y i y i+1…y j运行M。

5)若M拒绝，则拒绝；若M接受，则令i=j+1。

6)接受。

运行空间：第4)步模拟M运行需要O(logn)空间，存储i,j需要2logn 空间，所以A*属于NL。

8.6证明PSPACE难的语言也是NP难的。

证明:称B是PSPACE难的，若对于任意A属于PSPACE,都有A≤P B。称

B是NP难的，若对于任意A属于NP,都有A≤P B。

现在设B是PSPACE难的。对于任意A属于NP，由于NP?PSPACE，所以A≤P B。这说明B也是NP难的。