北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 章末培优练习
第四章图形的相似章末培优练习
一．选择题
1．线段b是线段a和线段c的比例中项，若a＝2，c＝8，则线段b的长度为（）A．5 B．±5 C．4 D．±4
2．已知△ABC∽△A1B1C1，且相似比是2：3，那么△A1B1C1与△ABC的面积比是（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
3．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝2.4，则CE的长等于（）
A．4 B．3.6 C．1.6 D．5
4．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1：2的位似图形，点O是位似中心，若OA＝2，则AA′的长是（）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）
A．（﹣3，1）B．（﹣12，4）
C．（﹣12，4）或（12，﹣4）D．（﹣3，1）或（3，﹣1）
6．如图所示，四边形ABCD的两条对角线交于点O，且AB∥CD，下列结论中总能成立的有（）
①△AOB与△COD相似；②△ABD与△ABC相似；
③S△DOC：S△AOB＝DC：AB；④S△AOD＝S△BOC．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．若AE＝ED，则的值为（）
A．B．C．D．
8．如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于（）
A．B．2 C．D．4
9．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连结DF并延长交AB于点G，下列结论中，正确的个数是（）
①∠CFD＝60°
中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案
中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优易错难题篇含答案 一、相似 1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH?EA； （3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°， 即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线 （2）证明：连接AC，如图2所示： ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH?EA （3）解：连接BE，如图3所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ， ∴AB=5，BE=AB?sin∠BAE=5× =3， ∴EA= =4， ∵， ∴BE=CE=3， ∵CE2=EH?EA， ∴EH= ， ∴在Rt△BEH中，BH= . 【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°； （2）连接AC，要证CE2=EH?EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解； （3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。 2．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．
相似三角形培优专题讲义
相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)
冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习培优测试卷B 卷（附答案详解） 1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，则AE AC =（ ） A ．12 B ．13 C ．23 D ．14 2．为测量被池塘相隔的两棵树A ，B 的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树A 沿着垂直于AB 的方向走到E ，再从E 沿着垂直于AE 的方向走到F ，C 为AE 上一点，其中3位同学分别测得三组数据：()1AC ， ()2ACB CD ∠，ACB ∠，()3ADB EF ∠，DE ，AD ，其中能根据所测数据求得A ，B 两树距离的有（ ） A ．0组 B ．一组 C ．二组 D ．三组 3．如图，△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，下列判断错误的是 ( ) A ．AD AE D B E C = B ．A D D E DB BC = C ．AD AE AB AC = D ．AD DE AB BC = 4．如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点 F ，则DF ：FB 等于 （ ）
5．下列说法“①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；⑤两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81．”中，正确的个数有（）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F， S△AEF=3，则S△FCD为（） A．6 B．9 C．12 D．27 7．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为（） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 8．有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（） A．全等B．相似C．既不全等与也不相似D．无法确定 9．如图，小正方形的边长均为1，则下面4个阴影部分三角形中，能与△EFG相似的是（） A．B．C． D． 10．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为_____． 11．一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是__________. 12．如果2x＝5y，则x y ＝____， x y y + ＝____． 13．若，则=________． 14．如图，已知O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且4 AB=， 3 DE CE =+，则CD的长为________． 15．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是________（请填上编号）．
天津中考数学二轮 相似 专项培优 易错 难题
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由； （4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形， 在中， 分别是的中点， （2）解：如图1，过点作于，
（舍）或秒 （3）解：四边形为矩形时,如图所示： 解得： （4）解：当点在上时，如图2，
当点在上时，如图3， 时，如图4， 时，如图5， 综上所述，或或或秒时，是等腰三角形． 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。 （3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。
相似三角形的综合应用(培优提高)
相似三角形的应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 【知识回顾】 一、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等． （2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．． ． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比． 二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等． 【典型例题】 例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 例2：阅读以下文字并解答问题： 在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E
度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ． （1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）． （3）请选择丙树的高度为（ ） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看． 【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度． 图1 图2 图3 图4
初三数学 相似三角形培优练习题(含答案)
(3题图）E D C B A D B C A N M O 相似三角形练习题 1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ． 2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ） A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 3、如图3，等腰ABC ?中，底边BC=a ,A ∠=0 36,ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设k = DE=( ) A 、2 K a B 、3 K a C 、2a k D 、 3 a k 4、如图4，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接 OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ) A ．3)22 B ．3(22 C ．1(22 D ．1)22 x （1题图） 图 4 图 5
F E D C B A E F A D C B 6、如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与AB C △相似的是（ ） 7、如图7，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥， 若 2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ． 1 C. 2.5 D. 2.3 (7题图) 8、如图8，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________. 9、如图9，已知ABC ?，延长BC 到D ，使CD=BC 取AB 的中点F,连接FD 交AC 于点E 。 （1）求AE AC 的值；（2）若AB=a ，FB=EC ，求AC 的长。
第4章 图形的相似单元测试(培优卷)-2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优(原卷版)【北师大版】
2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题4.10第4章 图形的相似单元测试（培优卷） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2019秋?海曙区期末）若a 5=b 8，则b?a a 等于（ ） A ．35 B ．53 C ．85 D ．5 8 2．（2019秋?禅城区期末）已知两个相似三角形的相似比为4：9，则这两个三角形的对应高的比为（ ） A ．2：3 B ．4：9 C ．16：81 D ．9：4 3．（2020?拱墅区校级一模）如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和 D 、 E 、 F ，且AB ＝3，BC ＝4，EF ＝4.8，则DE ＝（ ） A ．7.2 B ．6.4 C ．3.6 D ．2.4 4．（2020?营口）如图，在△ABC 中，D E ∥AB ，且CD BD =32，则CE CA 的值为（ ） A ．35 B ．23 C ．45 D ．3 2 5．（2018秋?象山县期末）如图，矩形ABCD ∽矩形DEFC ，且面积比为4：1，则AE ：ED 的值为（ ）
A．4：1B．3：1C．2：1D．3：2 6．（2019秋?花都区期末）如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（） A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9 7．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（）条． A．3B．4C．5D．6 8．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（） A．B． C．D． 9．（2020春?工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为（）
专题27.1图形的相似-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)【人教版】
2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】 专题27.1图形的相似 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2019秋?红桥区期末）下列各组图形中，是相似图形的是（） A．B． C．D． 2．（2019秋?榆次区期中）在如图所示的各组图形中，相似的是（） A．①②B．①③C．②③D．②④ 3．（2018秋?丰顺县期末）如图所示的三个矩形中，其中相似形是（） A．甲与乙B．乙与丙C．甲与丙D．以上都不对 4．（2019秋?东营期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（）
A ． B ． C ． D ． 5．（2020?亳州模拟）下列图形中，一定相似的是（ ） A ．两个正方形 B ．两个菱形 C ．两个直角三角形 D ．两个等腰三角形 6．（2018秋?福田区校级期末）下列说法正确的是（ ） A ．菱形都是相似图形 B ．矩形都是相似图形 C ．等边三角形都是相似图形 D ．各边对应成比例的多边形是相似多边形 7．（2019秋?浦东新区校级月考）下列说法中，正确的是（ ） A ．等腰三角形都是相似形 B ．等边三角形都是相似形 C ．平行四边形都是相似形 D ．菱形都是相似形 8．（2019秋?普宁市期中）已知A 4纸的宽度为21cm ，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A 4的高度约为（ ） A ．29.7cm B ．26.7cm C ．24.8cm D ．无法确定 9．（2019秋?渭滨区期末）如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝xcm ，宽BC ＝ycm ，把这张纸片沿一组对边AB 和DC 的中点连线EF 对折，对折后所得矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似，则x ：y 的值为（ ） A ．2 B ．√2 C ．√5+12 D ．√5?12
人教版九年级下数学《相似》单元培优检测题含答案
人教版九年级下数学《相似》单元培优检测题 （含答案） 一．选择题 1．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，点F是?ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（） A．B．C．D． 3．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（）
A．12尺B．56尺5寸C．57尺5寸D．62尺5寸 4．如图，以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（） A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2 5．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1?AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段AP2017的长度是（） A．（）2017B．（）2017C．（）2017D．（﹣2）1008 6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若＝＝，DE＝3，则BC的值为（） A．6 B．8 C．9 D．10 7．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE：S△ECF等于（）
A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：4 8．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E 作AB的平行线交BC于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是（） A．B．C．D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（） A．B．C．D． 10．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）
初中数学九年级上册讲义第05讲-图形的相似(培优)-学案
初中数学九年级上册讲义第05讲-图形的相似 （培优）-学案 学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题 第05讲-----图形的相似授课类型T同步课堂P实战演练S 归纳总结教学目标熟练利用成比例线段计算线段的长度；掌握平行线分线段成比例的常见模型，并准确计算线段长度；掌握判定三角形相似的三个条件，熟练进行相关证明；熟练运用三角形相似解决测高等实际问题；理解三角形相似的性质及图形的位似，并能进行简单计算。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一.知识梳理 二.知识概念 （一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质 （二）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有，，等等。
3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示 （三）平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DEBC，则有（四）相似三角的判定方法 1.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 2.如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 3.如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 （五）相似三角形基本类型 1.平行线型常见的有如下两种，DEBC，则ADEABC 2.相交线型常见的有如下四种情形（1）如图，已知1B，则由公共角A得，ADEABC（2）如下左图，已知1B，则由公共角A得，ADCACB（3）如下右图，已知BD，则由对顶角12得，ADEABC 3.旋转型已知BADCAE，BD，则ADEABC，右图为常见的基本图形 4.母子型已知ACB90，ABCD，则CBDABCACD
培优讲义01：相似三角形(一)解析
第一讲相似三角形（一） A、相似多边形是全等多边形 B、不全等的多边形不是相似多边形 C、全等多边形是相似多边形 D、不相似的多边形可能是全等多边形 1、下列说法中正确的是（） A、两个三角形不全等，那么它们也不相似 B、两个三角形不相似，那么它们也不全等 C、两个相似三角形一定不全等 D、两个全等三角形一定不相似 例2、观察下面的图形，如图形状相同的有。 2、（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（） A、平移 B、旋转 C、对称 D、相似 3、某图纸的比例尺是1：20，图中零件长是32 mm，则加工的零件实际长为________cm。 例4、下列各组线段中，能组成比例线段的是（） A、3、6、7、9 B、2、5、6、8、 C、3、6、9、18 D、1、2、3、4 4、如图， AB BC =________， AB CD =________， BC DE =________， AC CE =________， AC CD =________， CD DE =________，图中成比例的线段的是________________________________。 5、已知AB=0.5m，BC=25cm，A’B’=20cm，B’C’=10cm，问AB、BC、A’B’、B’C’是否成比例线段？ 知识点二：成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 （1）若四条线段a、b、c、d成比例，则记作 a c b d =或:: a b c d =。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。（2）四条线段a、b、c、d的单位应一致（有时为了计算方便，a、b的单位一致，c、d的单位一致也可以） （3）判断四条线段是否成比例： ①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列； ②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 （4）拓展：比例式中， a c b d =或() a b c d = ：：中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d叫后项，如果b c =，那么b叫做a、d的比例中项。把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 知识点一：图形的相似 形状相同的图形叫做相似图形。 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到； （2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同； （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
九年级下学期《第6章图形的相似》单元培优测试卷(含答案)
《图形的相似》单元培优测试卷 一．选择题 1．已知＝，则的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 2．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（） A．＝B．2a＝3b C．＝D．3a＝2b 3．如果＝，那么下列等式中不一定成立的是（） A．＝B．＝ C．＝D．ad＝bc 4．给出下列各组线段，其中成比例线段是（） A．a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，d＝8cm B．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝cm C．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝2cm D．a＝2cm，b＝cm，c＝2cm，d＝cm 5．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（） ①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618AB A．1个B．2个C．3个D．4个 6．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP?AC D． 8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A．B． C．D． 9．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（） A．B．C．D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（） A．（0，0），2 B．（2，2），C．（2，2），2 D．（1，1），11．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（） A．一种B．两种 C．三种D．四种或四种以上 12．如图，已知在?ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是（）
相似三角形提高培优经典题型
相似三角形判定提高 相似三角形中几个基本图形 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例. 如图，若∥∥，则 定理2 平行于三角形一边的直线截得的对应线段成比例或截得的三角形与原三角形形似. 如图，若∥,则,还有： . 如图，分别是的边上的点，过点的直线交于,若∥,则 定理4（角平分线性质定理）如图，分别是 的内角平分线与外角平分线， 则.
定理5 射影定理 直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角 形与原三角形相似. 练习1．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ． 3、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18 4、如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点 E，若AC=8，BC=6，AE=4，则AD的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5、如图，△中，、分别为、边上的点，∥，为边上的中线，若 =5，=3，=4，则的长为（ ） A. B. C. D. 6、（2011?河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中 点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（ ） A．9cm B．14cm C．15cm D．18cm 7．（2013?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= . 8．2013年河北）如图4， 菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，
相似图形培优老师用要点
2013年中考数学专题复习第二十七讲相似图形 【基础知识回顾】 一、成比例线段： 1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、 n则这两条线段的比就是它们的比，即：AB CD= 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果a b=那么四条线段叫做同比例 线段，简称 3、比例的基本性质：a b= c d<＝> 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 【名师提醒：1、表示两条线段的比时，必须示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的无关即比值没有 2、全分割：点C把线段AB分成两条，线段AC和BC（AC>BC） 如果那么称线段AB被点C全分割AC与AB的比叫全比，即L AC AB=≈】 二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边 ⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于 1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交， 三角形与原三角形相似 ⑵两边对应且夹角的两三角形相似 ⑶两角的两三角形相似 ⑷三组对应边的比的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：⑴相似多边形对应角对应边 ⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】 一、位似： 1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】 【典型例题解析】 . 可修编.
北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习培优测试卷B(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习培优测试卷B （附答案详解） 1．如图，D 为ABC ?的边AB 上一点，,3cm,4cm ABC ACD AD AB ∠=∠==，则AC 长为（ ） A ．12cm B ．23cm C ．3cm D ．2cm 2．下列四条线段中，不能成比例的是（ ） A ．a=3，b=6，c=2，d=4 B ．a=1，b=2，c=22，d=4 C ．a=4，b=5，c=8，d=10 D ．a=2，b=3，c=4，d=5 3．若 -x x y ＝2，则x y 的值( ) A ． 12 B ． 32 C ． 23 D ．2 4．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，下面四个结论： ①AOB COD ∽②AOD BOC ∽③::DOC BOA S S DC AB =④AOD BOC S S =． 其中结论始终正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如图，要使△ACD ∽△ABC ，需要补充的一个条件是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若4AE =，6EB =，2DF =，3FC =， 且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为何？（ ）
A ．1:2 B ．2:3 C ．2:5 D ．4:9 7．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 在CD 边上，CF ：DF=1：2，则S △CEF ：S △AEB 等于（ ） A ．1：2 B ．1：3 C ．1：4 D ．1：9 8．在△ABC 中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A ．2 B ．2 C ．4 D ．22 9．小明在离路灯底部6m 处测得自己的影子长为1.2m ，小明的身高为1.6m ，那么路灯的高度为（ ） A ．9.6m B ．8m C ．7.2m D ．6m 10．用同一张底片洗出两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图像的大小比例为( ) A ． 13 B ． 23 C ． 12 D ．不能确定 11．如图，若BC ∥DE ， 2 3 AB AD =，S △ABC =4，则S △ADE =_____． 12．两个相似三角形面积比为2，周长比为K ，则 2 k =________． 13．已知线段a=4，b=1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c=_____． 14．如图，90ABC D ∠=∠=，9AC cm =，6BC cm =， 则当BD =________cm 时，ABC CDB ∽． 15．已知x ，0y ≥满足 23 1x y ==，则x y +=________．
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 章末培优练习
第四章图形的相似章末培优练习 一．选择题 1．线段b是线段a和线段c的比例中项，若a＝2，c＝8，则线段b的长度为（）A．5 B．±5 C．4 D．±4 2．已知△ABC∽△A1B1C1，且相似比是2：3，那么△A1B1C1与△ABC的面积比是（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 3．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝2.4，则CE的长等于（） A．4 B．3.6 C．1.6 D．5 4．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1：2的位似图形，点O是位似中心，若OA＝2，则AA′的长是（） A．2 B．3 C．4 D．6 5．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（） A．（﹣3，1）B．（﹣12，4） C．（﹣12，4）或（12，﹣4）D．（﹣3，1）或（3，﹣1） 6．如图所示，四边形ABCD的两条对角线交于点O，且AB∥CD，下列结论中总能成立的有（） ①△AOB与△COD相似；②△ABD与△ABC相似； ③S△DOC：S△AOB＝DC：AB；④S△AOD＝S△BOC．
A．1个B．2个C．3个D．4个 7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．若AE＝ED，则的值为（） A．B．C．D． 8．如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于（） A．B．2 C．D．4 9．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（） A．B．C．D． 10．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连结DF并延长交AB于点G，下列结论中，正确的个数是（） ①∠CFD＝60°
北师大版九年级上册第四章《图形的相似》培优练习卷(含答案)
《图形的相似》培优练习卷 一．选择题 1．矩形ABCD的两条对角线相交于O点，∠AOB＝60°，若BC＝6，则矩形的对角线AC的长为（） A．2 B．4 C．D． 2．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠ABD的度数为（） A．20°B．35°C．40°D．50° 3．关于?ABCD的叙述，正确的是（） A．若AC＝BD，则?ABCD是菱形 B．若AB＝AD，则?ABCD是矩形 C．若AB⊥BC，则?ABCD是正方形 D．若AC⊥BD，则?ABCD是菱形 4．如图所示，在矩形ABCD中，点E是对角线AC，BD的交点，点F是边AD的中点且AB＝8，BC＝6，则△DEF的周长是（） A．10 B．12 C．14 D．24 5．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED＝α+β，下列结论正确的是（）
A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°6．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF平分∠ADC，交EB 的延长线于点F，BC＝3，CD＝6，则为（） A．B．C．D． 7．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连结BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（） A．B．C．D． 8．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，P是这个菱形内部或边上一点，若以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，D（P，D两点不重合）两点间的最短距离为（） A．2 B．2﹣2 C．D．2﹣1 9．如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连结CE，若OC＝cm，CD＝4cm，则DE的长为（） A．cm B．5cm C．3cm D．2cm
培优专题 特殊图形中的相似问题
专题类型三 特殊图形中的相似问题 重点强化专题8 直角三角形中的相似问题 【方法技巧】注意直角三角形的基本图形及直角相等为证相似创造条件． 重点强化一 利用直角直接寻求相似条件 1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 、F 分别为AC 、BC 上一点，且DE ⊥DF ． 若∠A ＝30°，求DF DE 的值． 解：证△DFC ∽△DEA ，∴DF DE ＝DC DA ＝33． 2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，E 为BC 的中点，EF ⊥AE 交AB 于F ，CM 平分∠ACB 交AE 于M ，求证：AM ＝2EF ． 解：证△ACM ∽△EBF ，AM EF ＝AC BE ＝2即可． 重点强化二 作垂直构造相似 3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 交AB 于E ，求证：AE ＝2BE ． 解：作BF ∥AC 交CE 的延长线于F ，证△BCF ≌△CAD ，BE AE ＝BF AC ＝1 2，∴AE ＝2BE 4．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，E ，F 分别在CA ，CB 上，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 恰好落在AB 上的点M 处，若AM ＝2BM ，求CF CE 的值． 解：连CM ，则EF 垂直平分CM ，过M 作MN ⊥BC 于N ，证△CEF ≌△NCM ， ∴CF CE ＝MN CN ＝BN CN ＝BM AM ＝12． C A D E F B A C E M C B M E F N A C D E F
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似培优测试卷(含解析)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似培优测试卷 一、选择题（共10题；共30分） 1.下列各组线段中，能成比例的是（） A. 1 cm，3 cm，4 cm，6 cm B. 2 cm，1 cm，4 cm，1.5 cm C. 0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm D. 3 cm，4 cm，6 cm，8 cm 2.已知两数x ，y ，且3x＝2y ，则下列结论一定正确的是（） A. x＝2，y＝3 B. x 3＝y 2 C. x+y y ＝5 3 D. x+2 y+3 ＝2 3 3.如图，直线a //b //c，AB＝4 5 BC，若DF＝9，则EF的长度为( ) A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 4.如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( ) A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2 5.如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m, BC=8m,则旗杆的高度是( ) A. 6.4m B. 7m C. 8m. D. 9m 6.已知△ABC∽△DEF ，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 7.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩 形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1 4 ，那么点B′的坐标是（）
相似图形能力训练题(培优)
1 / 3 考点一：线段的比 一．已知 2 7 23=+b b a ，求b a 的值。 二．已知2:73:)3(=+y y x ，则 y y x y y x +-,的值分别是多少？ 三．已知 3 2 = ==f e d c b a ，则=++++f d b e c a 四．已知 ,4 32z y x ==求 z y z y x -++322的值。 五．已知x b c a a c b c b a =+=+=+，求x 的值。 六．已知432c b a ==，则c b a c b a ++--的值是多少？ 七．若8 75c b a ==，且323=+- c b a ，则c b a 342-+的值是多少？ 八．已知 3===f e d c b a ，求 f d b e c a 4242+-+-的值。（042≠+-f d b ） 九．已知c b a ,,是△ABC 的三边， 4 8 2334+=+=+c b a ，且12=++c b a ，试判断△ABC 的形状。 考点二：黄金分割 一．如图，已知点C 和点D 均为线段AB 的黄金分割点，CD = 6，求AB 。 二．已知点M 是线段AB 的黄金分割点，且BM AM >，（1）写出线段AB,AM,BM 之间的比例式。 （2）如果10=AB ，求AM,BM 的长度。 三．已知AB =10，点P 和点Q 是线段AB 的两个黄金分割点，则PQ 的长度是多少？ 四．已知线段1=a ，线段b 是线段c a ,的比例中项，且b 为黄金数 2 1 5-，求线段c 的长度。 五．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF = PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上。 （1）求AM ，DM 的长。 （2）求证：DM AD AM ?=2 （3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 考点三：相似图形性质 一.在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，BC=4，BD=2，则AD 的长度是多少？ 二.如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，若AC =12 ,BC =16，则AD,BD 的长度是多少？ B D C A M F E P B D C A D C B A B C