北京理工大学2017-2018工数上期末试题a及答案讲课稿

北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及答案

课程编号：H0172103 北京理工大学2017-2018学年第一学期

工科数学分析（上）期末试题(A 卷)

座号 _______ 班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________ (试卷共6页,十个大题. 解答题必须有过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)

1．若 e

x x kx x 1

)2(

lim =-∞

→ ，则=k . 2．已知,arctan 2111ln 41x x x y --+=

则=dx

dy . 3. =-+?dx xe x e x x 1

02

)

1()

1( . 4 . =?

xdx x sin 2

.

5. 设x y y cos =+'，则=y .

二、计算题（每小题5分，共20分）

1.求极限 ).2

sin 211(sin lim 3n

n n n -∞→

2. 设x x y x

2sin sin +=，求dy .

3. 计算dx x

x x x ?

-++1

1

2

211cos 2-.

4.求)cos(y x dx

dy

+=的通解.

三、（8分）已知0)-1(lim 2

=-+-+∞

→b ax x x x ，试确定常数a 和b 的值.

四、（6分）已知,...).2,1)((21,0,011=+=

>>+n b b

b b b b n

n n 证明: 数列{}n b 极限存在；并求此极限.

五、（8分）求函数2)

1(42

-+=

x x y 的单调区间和极值，凹凸区间和拐点，渐近线.

六、（8分）设曲线2x y =，x y =围成一平面图形D . (1) 求平面图形D 的面积；

(2) 求平面图形D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.

七、（8分）设一长为l 的均匀细杆，线密度为μ,在杆的一端的延长线上有一质量为

m 的质点，质点与该端的距离为a . （1）求细杆与质点间的引力；

（2）分别求如果将质点由距离杆端a 处移到b 处(b a >)与无穷远处时克服引力所

做的功.

八、（8分）设)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且,0)0(,1)1(,0)1('===-f f f

证明在开区间)1,1(-内至少存在一点ξ，使3)()3(=ξf .

九、（8分）设?-+

=x

x

dt t f t x xe x f 0)()()(, 其中)(x f 连续，求)(x f 的表达式.

十、（6分）已知)(x f 在闭区间[]6,1上连续，在开区间)6,1(内可导，且

，5)1(=f ，1)5(=f

.12)6(=f

证明：存在)6,1(∈ξ，使22)()(=-+'ξξξf f 成立.

北京理工大学2017-2018学年第一学期《工科数学分析》（上）期末试题(A 卷)

标准答案及评分标准 2018年1月12日

一、填空（每小题4分，共20分）

1．21

2．4

2

1x x -

3. )(，不收敛+∞∞

4 . C x x x x x +++-cos 2sin 2cos 2

5. x ce x x y -++=)cos (sin 2

1

二、计算题（每小题5分，共20分）

1. 解：)2

sin 211(sin lim 3x

x x x -∞→

3

12sin 211sin lim x x x x -=∞→ x

t 1=令 30)

2sin(21

sin lim

t t t t -=→ …………. 2分 20cos 1sin lim t t t t t -?=→21= …………. 4分

21

)2sin 211(sin lim 3=-∴∞→n n n n …………. 5分 注：此题也可以用泰勒公式。

2. 解：x x e dx dy

x x cos sin 2)('ln sin +=

…………. 2分 x x x e

x x 2sin )ln (sin '

ln sin +?= x x x x

x x x

2sin )ln (cos sin sin ++?= …………. 4分

因此，dx x x x x dy x

x

x

)2sin )ln (cos (sin sin ++?=. …………. 5分 3.解： 原式??

---++-+=1

1

2

11

2

211cos 112dx x

x x dx x x

dx

x ?

=10

2

2

4…………. 2分

dx x x x ?----=1

0222)

1(1)114（ dx x ?--=1

2144

π

-=4

…………. 5分

4. 解: 令y x u +=，则

1-=dx du

dx dy …………. 2分 代入原方程，得：2cos 2cos 12u u dx du =+= 分离变量法得：

c x u +=2

tan …………. 4分 将y x u +=代入上式，

得通解为：c x y

x +=+2

tan . …………. 5分 三、解: 由条件知：01lim 2=--+-∞→x

b

ax x x x 得

11

1-1lim 1lim 22=+=+-=+∞→+∞→x

x x x x a x x …………. 4分 )1(lim 2

x x x b x -+-=∞

→ …………. 6分

)11

(

lim 2

x

x x x x ++-+-=∞

→

21)1

1

1111-(lim 2-=++-+

=∞→x

x x x …………. 8分

四、解: ,)(211

111b b b b b b b b n n n n n =?≥+=

---- …………. 2分 .1)1(21)1(2121=+≤+=+b

b

b b b b n n n 所以数列{}n b 单调递减有下界， n n b ∞

→lim 存在. …………. 4分

设,lim a b n

n =∞→则有),(21a

b

a a +=得,

b a = .b a -=（舍去） 所以，.lim b b n n =∞

→ …………. 6分

五、解:定义域0≠x

3)24x x y +-='（，2 01-=='x y 得；4

38x

x y ）

（+='' ，3 02-==''x y 得. …………. 2分

2)2(

lim 2

-=-∞→x x , 有水平渐近线：.2 -=y

+∞=-+→)2)

1(4(lim 20x

x x , 有垂直渐近线：.0 =x …………. 8分 六、解：（1）画草图，解交点),0,0()1,1( ?-=1

02)(dx x x A ………….2分

3

1

= ………….4分

（2）??-=1

41

2)(dy y dy y V ππ ………….6分

π10

3

=

………….8分 七、解: 建立坐标系, 使细杆位于区间[0,]l 上, 质点位于l a +处.

(1) 2

()m dx

dF G a l x μ=+- ………….2分

2011().()()

l Gm Gm l

F dx Gm a l x a a l a a l μμμ==-=+-++? ………….4分 (2) 当质点向右移至距杆端()x x a ≥处时，细杆与质点间的引力为

().()

Gm l

F x x x l μ=

+ 将质点由a 处移到b 处与无穷远处时克服引力所做的功分别记作b W 和W ∞.

(),()

Gm ldx

dW F x dx dx x x l μ==

+ ………….6分 积分得 11()

()()ln ,()()

b b b b a a a Gm l b a l W F x dx dx Gm dx Gm x x l x x l a b l μμμ+===-=+++??? ()lim lim ln ln .()b b b b a l a l

W W Gm Gmu a b l a μ∞→+∞→+∞++===+

………….8分

八、解：由麦克劳林公式, ,!3)(!2)0()0()0()(3

)3(2'''

x f x f x f f x f η+++=

…………….2分

其中η在0与x 之间，从而 ,01,!

3)(!2)0()0()1(011)3(''<<--+=-=ξξf f f f ,10,!

3)

(!2)0()0()1(122)3(''<<++==ξξf f f f

两式相减，得 .6)()(2)3(1)3(=+ξξf f …………….5分

)(3x f ）

（在)1,1(],[21-?ξξ上连续，所以)()3(x f 在],[21ξξ上必有最小值m 和最大值,M

从而 ,2

)

()(2)3(1)3(M f f m ≤+≤

ξξ …………….7分 由介值定理，至少存在一点，)1,1(],[21-?∈ξξξ 使得

.32

)

()()(2)3(1)3()

3(=+=ξξξf f f

…………….8分

九、解：???-+=-+

=x x

x x

x

dt t tf dt t f x xe dt t f t x xe x f 0

)()()()()(

上式两端对x 求导，得：?+

+='x

x

dt t f e x x f 0

)()1()( …………….2分

再对x 求导得：)()2()(x f e x x f x

++=''，

则)(x f 满足初值问题：???='=+=-''1

)0(,0)0()2()()(f f e x x f x f x

…………….4分

对应齐次方程的通解为：x x e C e C x Y -+=21)(

设非齐次方程的特解为：x e b ax x y )(*+=, 代入原方程，得：2224+=++x b a ax

解得：.)3(4

1

,

4

3

,412*x e x x y b a +=== …………….6分

通解为：x x

x

e x x e

C e C x y )3(4

1)(2

21+++=- 由初始条件，得：.8

1,8121-==C C

所以 .)3(418181)(2x x x e x x e e x f ++-=- …………….8分 十、证明: 构造辅助函数 )2)(()(x x f e

x F x

-= ……………. 2分

有,03)2)1(()1(>=-=e f e F .09)10)5(()5(5

5

<-=-=e f e F

)(x F 在[]5,1上连续,由零点定理可知,至少存在一点),5,1(∈η 使得 .0)( =ηF ……………. 4分

[]

),(0)126(()6( 6

ηF f e F ==-=）

由罗尔定理可知,存在，)6,1()6,(?∈ηξ 使0)(='ξF ，即

22)()(=-+'ξξξf f ……………. 6分