电磁感应与力学综合

专题十电磁感应与力学综合

【专家概述】

本专题的重点和难点内容

1、能量守恒定律、动量守恒定律、法拉第电磁感应定律、全电路欧姆定律、牛顿运动定律、万有引力定律、胡克定律

2、动量定理、动能定理、运动公式、滑动摩擦力公式、其它物理量的定义及公式（如电场力、安培力、洛仑兹力等）

本专题的解题思路与方法

1、处理单体运动问题时，确定研究对象（如质点、杆等），受力分析（通电导线涉及法拉第电磁感应定律、全电路欧姆定律、安培力公式；带电粒子在电场、磁场中运动涉及电场力公式、洛仑兹力公式），建立直角坐标系，根据能量守恒定律、动量定理、动能定理、牛顿第二定律分别在x轴方向、y轴方向建立方程

2、处理双体运动问题时（如碰撞、爆炸等），确定研究系统（如两质点、两杆等），受力分析，建立直角坐标系，根据动量守恒定律沿运动方向建立方程

3、根据已知条件或几何关系建立方程，联立以上方程组解出结果，判断结果的合理性。

【经典例说】

例1 （2011年湛江调研）如图所示，在磁感应强度B=1.2T的匀强磁场中，让导体PQ υ=10m/s向右匀速滑动，两导轨间距离L=0.5m，则产生的感应电动在U型导轨上以速度

势的大小和PQ中的电流方向分别为（）

A．0.6V，由P向Q

B．0.6V，由Q向P

C．6V，由P向Q

D．6V，由Q向P

答案：D

分析：PQ在外力作用下匀速向右运动，切割磁感线，产生感应电动势、感应电流。

E==6V，根据楞次定律判断出感应电流方向为QPaRd，选项D正确。

解：BLv

小结：求感应电动势用法拉第电磁感应定律，求感应电流方向用楞次定律，本题用“增反减同”要快一些。

变式训练 1．（2011年茂名一模）如图所示，光滑的“U ”形金属框架静止在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中.现使ab 棒突然获得一初速度V 向右运动，下列说法正确的是（ ） A ．ab 做匀减速运动 B ．回路中电流均匀减小 C ．a 点电势比b 点电势低 D ．U 形框向右运动

2．（2011年江苏高考）如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计.匀强磁场与导轨平面垂直.阻值为R 的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触.T=0时，将开关S 由1掷到2.q 、i 、v 和a 分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度.下列图象正确的是（ ）

例2 （2011年东莞上末）如图所示，质量为M 的金属棒P 在离地h 高处从静止开始沿弧形金属平行导轨MN 、M ′N ′下滑.水平轨道所在的空间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B 、水平导轨上原来放有质量为m 的金属杆Q.已知两金属棒的电阻均为r.导轨宽度为L ，且足够长，不计导轨的摩擦及电阻.求： (1)两金属棒的最大速度分别为多少？

(2)P 棒两端的最大感应电动势及所受最大安培力分别是多少？ (3)在两棒运动过程中释放出的热量是多少？

分析：P 棒下落，不切割磁感线，没有电动势产生，重力势能转化为动能。P 棒水平进入磁场时，切割磁感线，有电动势产生，有感应电流，P 、Q 分别受安培力，将P 、Q 做为一个系统，它们的动量守恒，它们动能的损失转化为电路的电能，最终变为热能。

解：(1)P 杆刚滑到水平面时，有最大的速度：2

2

1Mv Mgh = 解得gh v 20=

进入磁场后P 杆减速，Q 杆加速，水平方向动量守恒，当它们速度相等时，Q 杆具有最大的速度v m M Mv )(0+= 解得：gh m

M M

v 2+=

(2)P 杆滑到最低点时，速度最大，其两端的感应电动势取到最大 gh BL BLv E 20==

此时P 杆受到的最大安培力BIL F =

P 杆、Q 杆与导轨所构成的回路，最大电流为r

E I 2=

解得gh r

L B F 222

2=

(3)当P 、Q 速度相等时，回路释放出的热量为：

2)(21

v m M M g h Q +-=

即m

M Mmgh Q +=

小结：处理多物体、多过程的问题时，要逐段分清过程，在单物体运动过程中，注意受力情况和能量转化情况。在双物体相互作用的过程中，注意动量守恒。

变式训练

3．（2011年珠海二模）如图，C 1D 1E 1F 1和C 2D 2E 2F 2是距离为L 的相同光滑导轨，C 1D 1和E 1F 1为两段四分之一圆弧，半径分别为r 1=8r 和r 2=r.在水平矩形D 1E 1E 2D 2内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B 、导体棒P 、Q 的长度均为L ，质量均为m ，电阻均为R ，其余电阻不计，Q 停在图中位置，现将P 从轨道最高点无初速释放，则

(1)求导体棒P 进入磁场瞬间，回路中的电流的大小和方向(顺时针或逆时针)； (2)若P 、Q 不会在轨道上发生碰撞，棒Q 到达E 1E 2瞬间，恰能脱离轨道飞出，求导体棒P 离开轨道瞬间的速度；

(3)若P 、Q 不会在轨道上发生碰撞，且两者到达E 1E 2瞬间，均能脱离轨道飞出，求回路中产生热量的范围.

2

4．两根足够长的光滑金属导轨平行固定在倾角为θ的斜面上，它们的间距为d.磁感应强度为B 的匀强磁场充满整个空间、方向垂直于斜面向上.两根金属杆ab 、cd 的质量分别为m 和2m ，垂直于导轨水平放置在导轨上，如图所示.设杆和导轨形成的回路总电阻为R 而且保持不变，重力加速度为g.

(1)给ab 杆一个方向沿斜面向上的初速度，同时对ab 杆施加一平行于导轨方向的恒定拉力，结果cd 杆恰好保持静止而ab 杆则保持匀速运动.求拉力做功的功率.

(2)若作用在ab 杆的拉力与第(1)问相同，但两根杆都是同时从静止开始运动，求两根杆达到稳定状态时的速度.

例3 如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN 、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L.M 、P 两点间接有阻值为R 的电阻.一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直.整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下.导轨和金属杆的电阻可忽略.让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.

(1)由b 向a 方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图.

(2)在加速下滑过程中，当

ab 杆的速度大小为v 时，求此时ab 杆中的电流及其加速度的大小.

(3)求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度最大值.

分析：开始ab 受重力、支持力，合外力沿斜面向下。运动起来以后，还受安培力，当合外力为零时，ab 棒匀速直线运动。

解：(1)重力mg ，竖直向下，支持力N ，垂直斜面向上，安培力F ，沿斜面向上

(2)当ab 杆速度为v 时，电路中电流 R

Blv R E I ==

ab 杆受到安培力R

v

L B BIL F 22==

根据牛顿运动定律，有ma R v L B mg =-22sin θ，解得：mR v

L B g a 22sin -=θ (3)当θsin 22m g R

v

L B =时，ab 杆达到最大速度=m v 2

2sin L B mgR θ 小结：ab 杆下落运动，将重力势能转化为动能和电能。涉及到加速度时一定要用牛顿

第二定律建立方程。此时不能使用动能定理，或能量守恒，因此这些不含加速度。

变式训练

5．两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道，如图所示放置，间距为d=100cm ，在左端斜轨道部分高h=1.25m 处放置一金属杆a ，斜轨道与平直轨道以光滑圆弧连接，在平直轨道右端放置另一金属杆b.b 电阻R a =2Ω，R b =5Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感强度B=2T.现杆b 以初速度v 0=5m/s 开始向左滑动，同时由静止释放杆a ，以a 下滑到水平轨道时开始计时，A.b 运动图象如图所示(a 运动方向为正)，其中m a =2kg ，m b =1kg ，g=10m/s 2，求

(1)杆a 落到水平轨道瞬间杆a 的速度v ；

(2)杆b速度为零瞬间两杆的加速度；

(3)在整个运动过程中杆b产生的焦耳热.

6．在竖直平面内有一平行光滑导轨ＭＮ、ＰＱ，轨宽0.2ｍ，在导

轨间接电阻Ｒ＝0.2Ω，导轨间有B＝0.5Ｔ的匀强磁场，方向如图所

示，有一导体AB质量ｍ＝0.01kg，能与导轨保持良好接触，AB从

静止开始下滑，它能达到的最大速度是多少？(导轨电阻忽略不计)

例4 如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成θ=37o角，下端连接阻值为R的电阻.匀强磁场方向与导轨平面垂直.质量为0.2kg，电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25.

?求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；

?当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，

求该速度的大小；

?在上问中，若R=2Ω，金属棒中的电流方向由a到b，求磁

感应强度的大小和方向.

(g=10m/s2，sin37o=0.6，cos37o=0.8)

分析：开始金属棒所受合外力沿轨道向下，不能静止，加速下滑。动起来以后，受安培力，当合外力为零时，开始匀速直线运动。

解：(1)金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律：mgsinθ－μmgcosθ＝ma①由①式解得a＝10×(0.6－0.25×0.8)m／s2=4m／s2②

(2)设金属棒运动达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡

mgsinθ一μmgcosθ一F＝0③

此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率：Fv＝P④

由③.④两式解得

8

/10/

0.210(0.60.250.8)

P

v m s m s F

===

??-?⑤

(3)设电路中电流为I ，两导轨间金属棒的长为l ，磁场的磁感应强度为B ，vBl I R =

⑥

P ＝I 2R ⑦

由⑥⑦两式解得

0.4B T vl =

==⑧

磁场方向垂直导轨平面向上。

小结：在运动过程中，金属棒将重力势能转化为动能、电能、摩擦产生的热能。涉及加速度时，一定要使用牛顿第二定律。

变式训练

7．如图所示，ef ，gh 为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距为L=1m ，导轨左端连接一个R=2Ω的电阻，将一根质量为0.2kg 的金属棒cd 垂直地放置导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计，整个装置放在磁感应强度为B=2T 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下.现对金属棒施加一水平向右的拉力F ，使棒从静止开始向右运动.试解答以下问题. (1)若施加的水平外力恒为F=8N ，则金属棒达到的稳定速度v 1是多少？

(2)若施加的水平外力的功率恒为P=18W ，则金属棒达到的稳定速度v 2是多少？ (3)若施加的水平外力的功率恒为P=18W ，则金属棒从开始运动到速度v 3=2m/s 的过程中电阻R 产生的热量为8.6J ，则该过程所需的时间是多少？

8．如图所示，两根光滑的平行金属导轨处于同一水平面内，相距L ＝0.3m ，导轨的左端M 、N 用R ＝0.2Ω的电阻相连，导轨电阻不计，导轨上跨接一电阻r ＝0.1Ω的金属杆，质量m ＝0.1kg ，整个装置放在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B ＝1T ，现对杆施一水平向右的拉力F ＝1.5N ，使它由静止开始运动，求

(1)杆能达到的最大的速度多大?此时拉力的瞬时功率多大

?

(2)当杆的速度为最大速度的一半时，杆的加速度多大?

(3)若杆达到最大速度后撤去拉力，则此后R 上共产生多少热能?

例5 水平面上两根足够长的不光滑金属导轨固定放置，间距为L ，一端通过导线与阻

值为R 的电阻连接，导轨上放一质量为m 的金属杆，金属杆与导轨的电阻不计，磁感应强度方B 的匀强磁场方向竖直向下.用与导轨平行的恒定拉力F 作用在金

属杆上，杆最终将做匀速运动，当改变恒定拉力F 大小时，相对应的匀速运动速度υ大小也会变化，F 与υ的关系如图所示.F 0、υ0为已知量.求： (1)金属杆与导轨间的滑动摩擦力f==?

(2)当恒定外力为2F 0时，杆最终做匀速运动的速度大小?

分析：金属杆匀速运动时，合外力一定为零。拉力F 、摩擦力、安培力三者平衡。 解：(1)当恒定外力为F 0，金属杆最后做匀速运动时，设杆中的感应电动势能为E l ，感应电流为I 1，杆受到的安培力为F 1，则01υBL E =……………………① R E I 1

=……………② L BI F 11=…………③ R L B F 0221υ=……④ 010=--f F F ……⑤ 00220=--f R L B F υ即⑥ R L B F f 0

220υ-=………⑦

(2)当恒定外力为2F 0时，设金属杆最终做匀速运动的速度为υ，由⑥式同理可得 020220=--f R L B F υ……⑧将⑦代入⑧得0

20220220=+--R L B F R L B F υυ

………⑨

2

20υυ+=

L B R F ……………⑩

小结：速度不同时，感应电动势、电流不同，安培力不同，而匀速直线运动，合外力一定为零，所以速度一变，拉力F 跟着就变，牵一发动全身。最后解多个方程组。

变式训练

9．如图所示，倾角为θ=37o 、电阻不计的、间距L=0.3m 且足够长的平行金属导轨处在磁感强度B=1T 、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中.导轨两端各接一个阻值R 0=2Ω的电阻.在平行导轨间跨接一金属棒，金属棒质量m=1kg 电阻r =2Ω，其与导轨间的动摩擦因数μ=0.5.金属棒以平行于导轨向上的初速度υ0=10m/s 上滑直至上升到最高点的过程中，通过上端电阻的电量Δq=0.1C(sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s 2). (1)金属棒的最大加速度；

(2)上端电阻R0中产生的热量.

10．如图，与水平面倾角为α=37°的光滑平行导轨间距离为L=1m，处于竖直向上的匀强磁场中，其下端接有一阻值为R=1Ω的电阻.磁场的磁感应强度为

B=1T.金属杆ab横跨在导轨上，在t=0时，在平行于导轨平面

的外力F作用下，从导轨底端自静止开始，沿杆向上以加速度

a=1m/s2匀加速运动，杆的电阻r=0.2Ω，质量为m=0.1kg，导轨

的电阻忽略不计，且足够长.(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2)

求：

(1)杆在导轨上的最大速度；

(2)杆在导轨上达到最大速度时，电路中电流的总功率；

(3)若杆从开始起动到杆到达最大速度的过程中，安培力所做的功是重力的一半，求这过程中外力F所做的功.