离散数学复习要点
《离散数学》期末复习提要
《离散数学》是中央电大“数学与数学应用专业”（本科）的一门选修课。该课程使用新的教学大纲，在原有离散数学课程的基础上削减了教学内容（主要是群与环、格与布尔代数这两章及图论的后三节内容），使用的教材为中央电大出版的《离散数学》（刘叙华等编）和《离散数学学习指导书》（虞恩蔚等编）。
离散数学主要研究离散量结构及相互关系，使学生得到良好的数学训练，提高学生抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。其先修课程为：高等数学、线性代数；后续课程为：数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。
课程的主要内容
1、集合论部分（集合的基本概念和运算、关系及其性质）；
2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；
3、图论部分（图的基本概念、树及其性质）。
学习建议
离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学（集合论、数理逻辑和图论）有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。
教学要求的层次
各章教学要求的层次为了解、理解和掌握。了解即能正确判别有关概念和方法；理解是能正确表达有关概念和方法的含义；掌握是在理解的基础上加以灵活应用。
一、各章复习要求与重点
第一章集合
[复习知识点]
1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集
2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等），文氏（Venn）图
3、序偶与迪卡尔积
本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明
[复习要求]
1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。 [本章重点习题]
P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。 [疑难解析]
1、集合的概念
因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。
2、集合恒等式的证明
通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~?=-证明中的特殊作用。 [例题分析]
例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。 解 }}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A
}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B
于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ 例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：
(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。
解 (1){}{}{
}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{
}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~???=??? 证明
()()()()()()
()()()()()()
()()()()()()
B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~???=Φ?????Φ=???????=?????=???
第二章 二元关系
[复习知识点]
1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）
4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质（单射、满射、双射）
8、复合函数与反函数
本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]
1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
2、掌握求复合关系与逆关系的方法。
3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。
4、掌握求关系的闭包 （自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。
6、理解函数概念：函数、函数相等、复合函数和反函数。
7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。 [本章重点习题]
P25，1；P32~33，4，8，10； P43，2，3，5； P51~52，5，6； P59，1，2； P64，
3； P74~75，2，4，6，7； P81，5，7； P86，1，2。 [疑难解析] 1、关系的概念
关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。因此，学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。 2、关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若()()()R a a R a a R a a i i ∈∈∈-,,,,,,13221 ，
则()R a a i ∈,1。如若()()R a b R b a ∈∈,,
,，则有()R a a ∈,，且()R b b ∈,。
３、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论：定理2， ()A I R R r ?=；定理3， ()1
-?=R R R s ；定理4，推论 () n
i i
R
R t 1
==
。
４、半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。
５、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。 [例题分析]
例1 设集合{}d c b a A ,,,=，判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的和传递的：
()(){}()()(){}(){}()()(){}
()(){}
d b c a R c c b b a a R d c R a d c b a a R a b a a R ,,,,,,,,,,,,,,,,,,54321=====解：均不是自反的；R 4是对称的；R 1 ,R 2 ,R 3 , R 4 ,R 5是反对称的；R 1 ,R 2 ,R 3 , R 4 ,R 5是传递的。 例2 设集合{}5,4,3,2,1=A ，A 上的二元关系R 为
()()()()()()()(){}5,5,4,5,3,5,4,4,4,3,3,3,2,2,1,1=R （１）写出R 的关系矩阵，画出R 的关系图； （２）证明R 是A 上的半序关系，画出其哈斯图；
（３）若A B ?，且{}5,4,3,2=B ，求B 的最大元，最小元，极大元，极小元，最小上界和最大下界。
解 （1）R 的关系矩阵为
???
??
?
?
?
??=111000100001100
00010
00001
R M R 的关系图略
（2）因为R 是自反的，反对称的和传递的，所以R 是A 上的半序关系。(A,R)为半序集， (A,R)的哈斯图如下
(3) 当{}5,4,3,2=B ，B 的极大元为2，4；极小元为2，5；B 无最大元与最小元；B 也无上界与下界，更无最小上界与最大下界。
第三章 命题逻辑
[复习知识点]
１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题
２、命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价
。4 。1
。3 。2
。5
３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式
４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）
５、公式的蕴涵与逻辑结果
６、形式演绎
本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎
[复习要求]
１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。
３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。
５、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念，掌握基本蕴涵式。
6、掌握形式演绎的证明方法。
[本章重点习题]
P93，1；P98，2，3；P104，2，3；P107，1，3；P112，5；P115，1，2，3。[疑难解析]
1、公式恒真性的判定
判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0，则为可满足的。二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。
这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。
2、范式
求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是
准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幂律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
另外，由已经得到的主析取（合取）范式，根据()G G G G =??=?∨,
1原理，参
阅《离散数学学习指导书》P71例15，可以求得主合取（析取）范式。
3、形式演绎法
掌握形式演绎进行逻辑推理时，一是要理解并掌握14个基本蕴涵式，二是会使用三个规则：规则P 、规则Q 和规则D ，需要进行一定的练习。 [例题分析]
例1 求()()P R Q P G →?∨∧=的主析取范式与主合取范式。 解 （1）求主析取范式， 方法1：利用真值表求解
因此
()()()()()()
R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P G ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?= 方法2：推导法
()()()()()()()()()()()()()()
()()()
()()()()()()()()()()()()()()
R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R R Q Q P P P R Q Q Q R P P R Q R P P R Q P P R Q P P R R Q P G ?∧?∧∨?∧∧∨∧∧∨∧?∧∨∧?∧?∨∧∧?=?∧?∧∨∧?∧∨?∧∧∨∧∧∨∧?∧?∨∧?∧∨∧?∧?∨∧∧?=?∨∧?∨∧∨?∨∧∧?∨∨?∧∧?=∨∧?∨∧?=∨∧?∨?=∨?∨∧?=→?∨∧=
（2）求主合取范式 方法1：利用上面的真值表
()()P R Q P →?∨∧为0的有两行，它们对应的极大项分别为R Q P R Q P ∨?∨∨∨,
因此，()()()()R Q P R Q P P R Q P ∨?∨∧∨∨=→?∨∧ 方法2：利用已求出的主析取范式求主合取范式
已用去6个极小项，尚有2个极小项，即 R Q P ?∧?∧?与R Q P ?∧∧? 于是
()()
()()()()()()
R Q P R Q P R Q P R Q P G G R Q P R Q P G ∨?∨∧∨∨=?∧∧?∨?∧?∧??=??=?∧∧?∨?∧?∧?=? 例2 试证明公式()()()()R P R Q Q P G →→→∧→=为恒真公式。 证法一： 见〈离散数学学习指导书〉P60例6（4）的解答。（真值表法） 证法二 ：
G=?（（?P ∨Q ）∧（?Q ∨R ））∨（?P ∨R ） =（P ∧?Q ）∨（Q ∧?R ）∨?P ∨R
=（（（P ∨Q ）∧（P ∨?R ）∧（?Q ∨Q ）∧（?Q ∨?R ））∨?P ）∨R =（（P ∨Q ∨?P ）∧（P ∨?R ∨?P ）∧（?Q ∨?R ∨?P ））∨R =（1∧（?Q ∨?R ∨?P ））∨R =?Q ∨?R ∨?P ∨R =1
故G 为恒真公式。
例3 利用形式演绎法证明 { P →（Q →R ），?S ∨P ，Q}蕴涵S →R 。
证明：
（1）?S∨P 规则P
（2）S 规则D
（3）P 规则Q，根据（1），（2）
（4）P→（Q→R）规则P
（5）Q→R 规则Q，根据（3），（4）
（6）Q 规则P
（7）R 规则 Q，根据（5），（6）
（8）S→R 规则D，根据（2），（7）
第四章谓词逻辑
[复习知识点]
1、谓词、量词、个体词、个体域、变元（约束变元与自由变元）
2、谓词公式与解释，谓词公式的类型（恒真、恒假、可满足）
3、谓词公式的等价和蕴涵
4、前束范式
本章重点内容：谓词与量词、公式与解释、前束范式
[复习要求]
1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；了解命题符号化。
2、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
3、理解用解释的方法证明等价式和蕴涵式。
4、掌握求公式前束范式的方法。
[本章重点习题]
P120，1，2；P125~126，1，3；P137，1。
[疑难解析]
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引入的意义，概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则。
2、公式与解释
能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除，写成与之等价的公式，然后将解释I 中的数值代入公式，求出真值。
3、前束范式
在充分理解掌握前束范式概念的基础上，利用改名规则、基本等价式与蕴涵式（一阶逻辑中），将给定公式中量词提到母式之前称为首标。 [典型例题]
例1 设I 是如下一个解释：{}3,2=D
F(2) F(3) P(2) P(3) Q(2,2) Q(2,3) Q(3,2) Q(3,3) 3 2 0 1 1 1 0 1 求()()()()y ,x F Q x P y x ∧??的真值。 解
()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
1
10111110003,3F Q 3P 2,3F Q 3P 3,2F Q 2P 2,2F Q 2P 3,x F Q x P 2,x F Q x P x y ,x F Q x P y x =∨=∧∧∧∨∧∧∧=∧∧∧∨∧∧∧=∧∧∧?=∧?? 例2 试将一阶逻辑公式化成前束范式。 解
()()()()()
()()()()()
()()()()()()()()
x R z Q y x P z y x x R z Q z y x yP x x R y Q y y x yP x x R y yQ y x yP x G ∨?∨???=∨??∨??=∨??∨??=∨??∨??=,,,,
第五章 图论
[复习知识点]
1、图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构
2、关联矩阵、相邻矩阵
3、权图、路、最短路径，迪克斯特拉算法（Dijkstra ）
4、树、支撑树、二叉树
5、权图中的最小树，克鲁斯卡尔算法（Kruskal ）
6、有向图、有向树
本章重点内容：权图的最短路、二叉树的遍历、权图中的最优支撑树
[复习要求]
1、理解图的有关概念：图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构。
2、掌握图的矩阵表示（关联矩阵、相邻矩阵）。
3、理解权图、路的概念，掌握用Dijkstra算法求权图中最短路的方法。
4、理解树、二叉树与支撑树的有关概念；掌握二叉树的三种遍历方法，用Kruskal算法求权图中最小树的方法。
5、理解有向图与有向树的概念。
[本章重点习题]
P221，2；P225，1；P231，2，3；P239，5；P242，1，2。
[疑难解析]
1.本章的概念较多，学习时需要认真比较各概念的含义，如：图、子图、有向图、权图；树、支撑树、二叉树、有向树；路、简单路、回路等，这些都是图的基本概念，今后将在数据结构、数据库、计算机网络等课程中用到。
2、权图中的最短路
严格执行迪克斯特拉（Dijkstra）算法步骤，从起点起，到每一点求出最短路，然后进行仔细比较，最后到达终点，算出最小权和。
3、权图中的最优支撑树
权图中的最优支撑树是图中所带权和最小的支撑树，使用克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。[典型例题]
例1在具有n个顶点的完全图K n中删去多少条边才能得到树？
解：n个顶点的完全图K n中共有n?（n-1）/2条边，
n个顶点的树应有n-1条边，
于是，删去的边有：n?（n-1）/2-（n-1）=（n-1）?（n-2）/2
例2求下面有限图中点u到各点间的最短路。（图上数字见教材P231，第3题。）
解u→u1 ，d(u, u1)=1, 路(u, u1)
u→ u2 , d(u, u2)=9, 路(u, u4, u3, u7, u2)
u→ u3 , d(u, u3)=5, 路(u, u4, u3 ,)
u→ u4 , d(u, u4)=3, 路(u, u4 )
u→ u5 , d(u, u5)=11, 路(u, u1, u5)或路(u, u4, u3 , u7 , u2 , u5)
u→ u6 , d(u, u6)=13, 路(u, u1, u5, u6)
u→ u7 , d(u, u7)=8, 路(u, u4 , u3 , u7)
u→ u8 , d(u, u8)=11, 路(u, u4, u8)
u→v, d(u, v)=15, 路(u, u1, u5 , u6 ,v) 或路(u, u4 , u3 , u7 , u6 ,v)
二、考核说明
本课程的考核实行形成性考核和终结性考核的形式。形成性考核占总成绩的20%，以课程作业的形式进行（共三次，由中央电大统一布置）；终结性考核即期末考试，占总成绩的80%。总成绩为100分，60分及格。
期末考试实行全国统一闭卷考核，试卷满分为100。由中央电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间（考试时间为120分钟）。
1、试题类型
试题类型有填空题（分数约占20%）、单项选择题（分数约占14%）、计算题（分数约占50%）和证明题（分数约占16%）。
填空题和单项选择题主要涉及基本概念、基本理论，重要性质和结论、公式及其简单计算。计算题主要考核学生的基本运算技能，要求书写计算、推论过程或理由。证明题主要考查应用概念、性质、定理及主要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分配是：集合论约占40%，数理逻辑约占40%，图论约占20%。
具体课程考核情况见课程考核说明。
附录：试题类型及规范解答举例
[填空题]
1.设R 是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有性、对称性和性，
则称R是等价关系。
2.命题公式G=（P∧Q）→R，则G共有个不同的解释；把G在其所有解释
下所取真值列成一个表，称为G的；解释（?P，Q，?R）或（0，1，0）使G的真值为。
3.设G=（P，L）是图，如果G是连通的，并且，则G是树。如果根树T
的每个点v最多有两棵子树，则称T为。
[单项选择题]（选择一个正确答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列各式正确的有（）。
A．X?X?Y B.X?X?Y C.X?X?Y D.Y?X?Y
2.设R1，R2是集合A={a，b，c，d}上的两个关系，其中R1={（a，a），（b，b），（b，c），
（d，d）}，R2={（a，a），（b，b），（b，c），（c，b），（d，d）}，则R2是R1的（）闭包。
A．自反B．对称C．传递D．以上都不是
3.设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去（）条边可以得到树。
A．4 B．5 C．6 D．10 [计算题]
1.化简下式：
（A-B-C）?（（A-B）?C）?（A?B-C）?（A?B?C）
2.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。
（1）（P∧Q）∨（?P∧Q∧R）；
（2）（P∨（Q∧R））∧（Q∨（?P∧R））；
3.求图中A到其余各顶点的最短路径，并写出它们的权。
B 7 C
A D
4 6
E 1 F
[证明题]
1.利用基本等价式证明下面命题公式为恒真公式。
（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）
2.用形式演绎法证明：{P→Q，R→S，P∨R }蕴涵Q∨S。
试题答案及评分标准
[填空题]
1、自反；传递
2、8；真值表；1
3、无回路；二叉树
[单项选择题]（选择一个正确答案的代号，填入括号中）
1、A
2、B
3、C
[计算题]
1.解：
（A-B-C）?（（A-B）?C）?（A?B-C）?（A?B?C）
=（A?~B?~C）?（A?~B?C）?（A?B?~C）?（A?B?C）
=（（A?~B）?（~C?C））?（（A?B）?（~C?C））
=（（A?~B）?E）?（（A?B）?E）E为全集
=（A?~B）?（A?B）
= A?（~B?B）
= A?E
= A
2.解：
（P∧Q）∨（?P∧Q∧R）
?（P∧Q∧（?R∨R））∨（?P∧Q∧R）
?（P∧Q∧?R）∨（P∧Q∧R）∨（?P∧Q∧R）
?m6∨m7∨m3
?m3∨m6∨m7
（P∨（Q∧R））∧（Q∨（?P∧R））
?（P∧Q）∨（Q∧R）∨（P∧?P∧R）∨（?P∧ Q ∧R）（分配律）
?（P∧Q∧（?R∨R））∨（（?P∨P）∧Q∧R）∨（?P∧ Q ∧R）
?（P∧Q∧?R）∨（P∧Q∧R）∨（?P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（?P∧ Q ∧R）?m6∨m7∨m3∨m7∨m3
?m3∨m6∨m7
由此可见（P∧Q）∨（?P∧Q∧R）?（P∨（Q∧R））∧（Q∨（?P∧R））3.解：
A到B的最短路径为AB，权为1；
A到E的最短路径为ABE，权为3；
A到F的最短路径为ABEF，权为4；
A到C的最短路径为ABEFC，权为7；
A到D的最短路径为ABEFCD，权为9。
[证明题]
1.证明：
（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）
?（（?P∨Q）∧（?Q∨R））→（?P∨R）
??（（?P∨Q）∧（?Q∨R））∨（?P∨R）
?（P∧?Q）∨（Q∧?R）∨?P∨R
?（（P∧?Q）∨?P ）∨（（Q∧?R）∨R）
?（1∧（?Q∨?P ））∨（（Q∨R）∧1）
??Q∨?P∨Q∨R
?（?Q∨Q）∨?P ∨R
? 1 ∨?P ∨R
? 1
2.证明：
（1）P∨R 规则P
（2）?R→P 规则Q ，根据（1）
（3）P→Q 规则P
（4）?R →Q 规则Q，根据（2）（3）
（5）?Q→R 规则Q，根据（4）
（6）R→S 规则P
（7） ?Q →S 规则Q ，根据（5）（6） （8） Q ∨S 规则Q ，根据（7）
三、 综合练习及解答
（一）填空题
1、集合的表示方法有两种： 法和 法。请把“大于3
而小于或等于7的整数集合”用任一种集合的表示方法表示出来A={ }。
2、 A ，B 是两个集合，A={1，2，3，4}，B={2，3，5}，则B-A= ，ρ（B ）
-ρ（A ）= ，ρ（B ）的元素个数为 。 3、 设}2,1{},
,{==B b a A ，则从A 到B 的所有映射是
。 4、 设命题公式)(R Q P G →?→=，则使公式G 为假的解释是 、 和 。
5、设G 是完全二叉树，G 有15个点，其中8个叶结点，则G 的总度数为 ，分枝点数为 。
6、全集E={1，2，3，4，5}，A={1，5}，B={1，2，3，4}，C={2，5}， 求A ?~B= ，ρ（A ）?ρ（C ）= ，
~C= 。
7、设A 和B 是任意两个集合，若序偶的第一个元素是A 的一个元素，第二个元素是B 的一个元素，则所有这样的序偶集合称为集合A 和B 的 ，
记作A ?B ，即A ?B= 。A ?B 的子集R 称为A ，B 上的 。
8、将几个命题联结起来，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有否定、 、 、 和等值。
9、表达式?x ?yL （x ，y ）中谓词的定义域是{a ，b ，c}，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 。
10、一个无向图表示为G=（P ，L ），其中P 是 的集合，L 是
的集合，并且要求 。
（二）单项选择题（选择一个正确答案的代号，填入括号中）
1. 设命题公式))(()(P R Q P P G ∨∧→?∨=，则G 是（ ）。
A.恒真的
B.恒假的
C.可满足的
D.析取范式
2、设集合},,{c b a A =，A 上的关系)},(),,(),,{(c b b a a a R =，则2
R =（ ）。
)}.
,(),,(),,{()()};
,(),,(),,{()()};
,(),,(),,{()()};,(),,(),,{()(c c b a a a D b b c a b a C c b c a b a B c a b a a a A
3、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。
A ．析取范式
B ．合取范式
C ．主析取范式
D ．以上答案都不对 4、设命题公式G=?（P →Q ），H=P →（Q →?P ），则G 与H 的关系是（ ）。
A ．G ?H
B ．H ?G
C ．G=H
D ．以上都不是
5、已知图G 的相邻矩阵为???
??
?
?
?
??011111010111000
10001
11010
，则G 有（ ）。
A.5点，8边
B. 6点，7边
C. 5点，7边
D. 6点，8边 6、下列命题正确的是（ ）。
A ．φ?{φ}=φ
B ．φ?{φ}=φ
C ．{a}∈{a ，b ，c}
D ．φ∈{a ，b ，c} 7、设集合A={a ，b ，c}，A 上的关系R={（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，
b ），（
c ，c ）}，则R 具有关系的（ ）性质。
A ．自反
B ．对称
C ．传递
D ．反对称 8、设R 为实数集，映射σ=R →R ，σ（x ）= -x 2+2x-1，则σ是（ ）。
A ．单射而非满射
B ．满射而非单射
C ．双射
D ．既不是单射，也不是满射 9、下列语句中，（ ）是命题。
A ．下午有会吗？
B ．这朵花多好看呀！
C ．2是常数。
D ．请把门关上。 10、下面给出的一阶逻辑等价式中，（ ）是错的。
A ． ?x （A （x ）∨
B （x ））=?xA （x ）∨?xB （x ） B ． A →?xB （x ）=?x （A →B （x ））
C ． ?x （A （x ）∨B （x ））=?xA （x ）∨?xB （x ）
D ． ??xA （x ）=?x （?A （x ）） （三）计算题
1、设R 和S 是集合}4,3,2,1{=A 上的关系，其中)}
4,4(),4,2(),3,2(),2,1{()}4,3(),3,2(),3,1(),1,1{(==S R ，试求：
（1）写出R 和S 的关系矩阵； （2）计算111,,,
---???R S R S R S R 。
2、 设A={a ，b ，c ，d}，R 1，R 2是A 上的关系，其中R 1={（a ，a ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，
b ），（
c ，c ），（c ，
d ），（d ，c ），（d ，d ）}，R 2={（a ，b ），（b ，a ），（a ，c ），（c ，a ），（b ，c ），（c ，b ），（a ，a ），（b ，b ），（c ，c ）}。 （1）画出R 1和R 2的关系图；
（2）判断它们是否为等价关系，是等价关系的求A 中各元素的等价类。 3、 用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？
（1）（P ∧?P ）?Q （2）?（P →Q ）∧Q
（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ） 4、 设解释I 为：
（1）定义域D={-2，3，6}； （2）F （x ）：x ≤3；
G （x ）：x >5。
在解释I 下求公式?x （F （x ）∨G （x ））的真值。
5、 求下图所示权图中从u 到v 的最短路，画出最短路并计算它们的权值。
6、 化简下式：
（（A ?B ?C ）?（A ?B ））-（（A ?（B -C ））?A ）
7、 已知A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，R 是A 到B 的二元关系，并且R={（x ，y ）
|x ∈A 且y ∈B 且2≤ x+y ≤4}，画出R 的关系图，并写出关系矩阵。
8、 画出下面偏序集（A ，≤）的哈斯图，并指出集合A 的最小元、最大元、极大元和极小
元。其中A={a ，b ，c ，d ，e}，≤={（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，e ），（c ，e ），（d ，e ）}?I A 。
9、 求命题公式?（P ∨Q ）?（P ∧Q ）的析取范式与合取范式。 10、给定解释I 如下：
定义域D={2，3}；
f （2） f （3） F （2，2） F （2，3） F （3，2） F （3，3）
3 2 0 0 1 1 求?x ?y （F （x ，y ）→F （f （x ），f （y ）））。
11、设有5个城市v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，任意两城市之间铁路造价如下：（以百万元为单位）
w （v 1，v 2）=4， w （v 1，v 3）=7， w （v 1，v 4）=16， w （v 1，v 5）=10， w （v 2，v 3）=13， w （v 2，v 4）=8， w （v 2，v 5）=17， w （v 3，v 4）=3， w （v 3，v 5，）=10， w （v 4，v 5）=12
试求出连接5个城市的且造价最低的铁路网。 （四）证明题
1、证明等价式R R P R Q R Q P =∧∨∧∨∧?∧?)()())((。
2、 利用形式演绎法证明：},,,,{T R S T S R P Q P ?→?→?→∨蕴涵Q 。
3、 A ，B ，C 为任意的集合，证明：
V 1 7 V 3
1
2
U 2 5 3 V
4
6
V 2 1 V 4
（A -B ）-C=A -（B ?C ）
4、 利用一阶逻辑的基本等价式，证明：
?x ?y （F （x ）→G （y ））=?xF （x ）→?yG （y ）
练习解答
（一）填空题
1、列举；描述；A={4，5，6，7}或A={x|3 2、{5}；{{5}，{2，5}，{3，5}，{2，3，5}}；8 3、σ1={（a ，1），（b ，1）}；σ2={（a ，2），（b ，2）}；σ3={（a ，1），（b ，2）}；σ4={（a ， 2），（b ，1）} 4、（1，0，1）； （1，1，1）； （1，0，0） 5、 28； 7 6、{5}；{φ，{5}}；{1，3，4} 7、笛卡尔积（或直乘积）；{（x ，y ）|x ∈A 且y ∈B}；二元关系 8、并且（或合取）；或者（或析取）；蕴涵 9、（L （a ，a ）∨L （a ，b ）∨L （a ，c ））∧（L （b ，a ）∨L （b ，b ）∨L （b ，c ））∧（L （c ，a ） ∨L （c ，b ）∨L （c ，c ）） 10、点；连接某些不同点对的边；一对不同点之间最多有一条边 （二）单项选择题（选择一个正确答案的代号，填入括号中） 1、C 2、A 3、C 4、A 5、C 6、A 7、B 8、D 9、C 10、A （三）计算题 1、解：（1） ????? ???? ???=????????? ???=10 00 000011000010,00 00 100001000101 S R M M （2）S R ?={（1，2），（3，4）} S R ?={（1，1），（1，2），（1，3），（2，3），（2，4）， （3，4），（4，4）} 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013-2014学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题，共6页。 ②所有解答必须写在答卷上，写在试卷上不得分。 一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分） 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生，r:他可以在宿舍使用电脑，下列命题“除非他不是新生，否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集，下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x 2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系，它可以既满足对称性，又满足反对称性 B 、存在这样的关系，它可以既不满足对称性，又不满足反对称性 C 、存在这样的关系，它可以既满足自反性，又满足反自反性 D 、存在这样的关系，它可以既不满足自反性，又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是：______。 A 、R 是自反的，则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的，则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的，则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的，则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上，P 是所有人的集合，=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲}，=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲}，则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是：______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列，能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1，2，2，3，4，5 离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，， 离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧()) 下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。 证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪I A＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>， <5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝R i＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 1 离散数学模拟试题Ⅰ 一、单项选择题(本大题共15小题,每题1分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.设 }16{2<=x x x A 是整数且,下面哪个命题为假( A )。 A 、A ?}4,2,1,0{; B 、A ?---}1,2,3{; C 、A ?Φ; D 、A x x x ?<}4{是整数且。 2.设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ,则B －A 就是( C )。 A 、}}{{Φ; B 、}{Φ; C 、}}{,{ΦΦ; D 、Φ。 3.右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为 ( B )。 A 、b,c; B 、a,b; C 、b; D 、a,b,c 。 4.设f 与g 都就是X 上的双射函数,则1)(-g f ο为( C )。 A 、11--g f ο; B 、1)(-f g ο; C 、11--f g ο; D 、1-f g ο。 5.下面集合( B )关于减法运算就是封闭的。 A 、N ; B 、}2{I x x ∈; C 、}12{I x x ∈+; D 、}{是质数x x 。 6.具有如下定义的代数系统>*<,G ,( D )不构成群。 A 、G={1,10},*就是模11乘 ; B 、G={1,3,4,5,9},*就是模11乘 ; C 、G=Q(有理数集),*就是普通加法; D 、G=Q(有理数集),*就是普通乘法。 7.设 },32{I n m G n m ∈?=,*为普通乘法。则代数系统>*<,G 的幺元为( B )。 f 2 A 、不存在 ; B 、0032?=e ; C 、32?=e ; D 、1132--?=e 。 8.下面集合( C )关于整除关系构成格。 A 、{2,3,6,12,24,36} ; B 、{1,2,3,4,6,8,12} ; C 、{1,2,3,5,6,15,30} ; D 、{3,6,9,12}。 9.设},,,,,{f e d c b a V =, },,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ,则有向图 >= 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={ 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
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