高中数学专题-函数的对称性和周期性
高中数学专题-函数的对称性和周期性
一.明确复习目标
1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；
2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
3.掌握常见的函数对称问题
二、建构知识网络
一、两个函数的图象对称性
1、 )(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(,)a b 对称。
6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2b a x +=
对称。 二、单个函数的对称性
性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2
a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时
11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==
故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。
由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x +=
对称。 （注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。）
性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2
c ）对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点 （2
a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-
即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。
由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知
函数()y f x =的图象关于点（
2a b +，2c ）对称。（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。）
性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2
b a x -=对称。 证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2
b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。 由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=
故点（1b a x --，y 1）在函数()y f b x =-上。
由点11(,)x y 是函数()y f a x =+图象上任一点
因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2
b a x -=
对称。 三、周期性
1、一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
说明：周期函数定义域必是无界的。
推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期
2.若T 是周期，则(0,)kT k k Z ≠∈也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数()f x C =；
3、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。
证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--=
∴函数()y f x =的一个周期为2A 。
4、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A)()
f x f x +=，则函数()y f x =的一个周期为2A 。
证明：1(2)()()()
f x A f x A A f x f x A +=++==+。 5、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()f x A f x +=-
，则函数()y f x =的一个周期为2A 。
证明：1(2)()()()
f x A f x A A f x f x A +=++=-=+。 6、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()21()A f x f x f x ++
=-或1()()21()A f x f x f x -+=+则函数()y f x =的一个周期为2A 。
证明：先看第一个关系式
31()32(2)()3221()2A f x A A f x A f x A f x ++
+=++=-+
1()11()1()2()1()1()121()
f x A A f x A f x A f x A A f x A f x A f x A ++++++-+===-+++-++--+ (2)()f x A f x A +=-+
()()f x A f x +=
()(2)f x f x A ∴=+
第二个式子与第一的证明方法相同
7、已知函数()f x 的定义域为N ，且对任意正整数x
都有()()()(0)f x f x a f x a a =++-≠则函数的一个周期为6a
证明：()()()f x f x a f x a =++- （1）
()()(2)f x a f x f x a +=++ （2）
两式相加得：()(2)f x a f x a -=-+
()(3)(6)f x f x a f x a =-+=+
四、对称性和周期性之间的联系
性质1：函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-()a b ≠，求证：函数()y f x =是周期函数。
证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-
()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-
∴(2)(2)f a x f b x -=-
∴()(22)f x f b a x =-+
∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。
性质2：函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=()a b ≠时，函数
()y f x =是周期函数。（函数()y f x =图象有两个对称中心（a ，2c ）、（b ，2
c ）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）
证明：由()()f a x f a x c ++-=?()(2)f x f a x c +-=
()()f b x f b x c ++-=?()(2)f x f b x c +-=
得(2)(2)f a x f b x -=-
得()(22)f x f b a x =-+
∴函数()y f x =是以22b a -为周期的函数。
性质3：函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。
证明：()()2()(2)2f a x f a x c f x f a x c ++-=?+-=
()()()(2)f b x f b x f x f b x +=-?=-
(4())(2(42))f b a x f b a b x -+=---
(42)(2(22))2(22)f a b x f a b a x c f b a x --=--+=--+
2(2(2))2(2)c f b a x c f a x =---=--
2(2())22()()c c f x c c f x f x =--=-+=
推论：若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(4a b -是它的一个周期
证明：由已知()(2),()(2).f x f a x f x f b x =-=--
()(2)[2(2)][2()]
[22()][2(2)]
[22(2)][4()],4().
f x f a x f b a x f b a x f a b a x f a b x f b a b x f b a x b a ∴=-=---=--+=----=---=--+=-+-周期为 举例:sin y x =等.
性质4：若函数()f x 对定义域内的任意x 满足：()()f x a f x a +=-,则2a 为函数()f x 的周期。（若()f x 满足()()f x a f x a +=-则()f x 的图象以x a =为图象的对称轴，应注意二者的区别)
证明：()()f x a f x a -=+Q
()(2)f x f x a ∴=+
性质5：已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以 2a 为周期的函数
证明：()()f a x b f x +=-
(2)(())()(())()f x a f x a a b f x a b b f x f x +=++=-+=--=
五、典型例题
例 1 （2005·福建理）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程
()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解：()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，由(3)()f x f x +=得(3)0f =，(2)0f =(5)0f ?= (2)0f =(1)0(1)0f f ?-=?= ∴(4)0f =
∴x =1，2，3，4，5时，()0f x =
这是答案中的五个解。
但是 (15)(153)(15)f f f -?=-?+=?
又 (15)(15)f f -?=-? 知 (15)0f ?=
而 0(15)(153)(45)f f f =?=?+=? 知 1.5, 4.5,()0x x f x ===也成立，
可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。
例3 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数
所以(0)0f =，又(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数，()f x 的周期为4
所以(6)(2)(0)0f f f ==-=，选B
例4．已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x
则时且=∈-=+的值
为 。
解：())4()2()()2(+=+-=∴-=+x f x f x f x f x f Θ
122222
89(log 18)(log 18)(4log 18)(log )(log )98f f f f f =-=-==- 29log 8299(log )288
f =-=-=-
例5 已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()1f x x =+.
求()f x 在(1,2)上的解析式。
解法1：
从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵(1,2)x ∈ , 则(2,1)x -∈--
∴2(0,1)x -∈, ∵ 2T =，是偶函数
∴ ()()(2)213f x f x f x x x =-=-=-+=-
(1,2)x ∈
解法2：
（从图象入手也可解决，且较直观）()(2)f x f x =+
如图：(0,1)x ∈, ()1f x x =+.∵是偶函数
∴(1,0)x ∈-时()()1f x f x x =-=-+
又周期为2，(1,2)x ∈时2(1,0)x -∈-
∴()(2)(2)13f x f x x x =-=--+=-
例6 ()f x 的定义域是R ，且(2)[1()]1()f x f x f x +-=+,若(0)2008f =
求 f (2008)的值。
解：(4)11(2)11(4)1()(8)(4)1(2)1(4)
1(4)1
f x f x f x f x f x f x f x f x f x +--+--++====++-++++++ 周期为8，(2008)(0)2008f f ∴==
例7 函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=
，若()15,f =-则()()5f f = _______________。
解：由()()12f x f x +=得()()
14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5
f f f f f =-=-==--+ 例8 若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01
，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+. ①求)(x f 的周期；
②证明)(x f 的图象关于点(2,0)k 中心对称;关于直线21x k =+轴对称, ()k Z ∈; ③讨论)(x f 在(1,2)上的单调性；
解: ①由已知()(2)(22)(4)f x f x f x f x =-+=++=+，故周期4T =.
②设(,)P x y 是图象上任意一点,则()y f x =,且P 关于点(2,0)k 对称的点为
1(4,)P k x y --.P 关于直线21x k =+对称的点为2(42,)P k x y +-
∵(4)()()f k x f x f x y -=-=-=-,∴点1P 在图象上,图象关于点(2,0)k 对称. 又()f x 是奇函数,(2)()()f x f x f x +=-=-
∴(42)(2)()f k x f x f x y +-=-==
∴点2P 在图象上,图象关于直线21x k =+对称.
③设1212x x <<<，则2121x x -<-<-<-，210221x x <-<-<
∵()f x 在(1,0)-上递增, ∴12(2)(2)f x f x -<-……(*)
又(2)()()f x f x f x +=-=- ∴11(2)()f x f x -=,22(2)()f x f x -= .
所以：21()()f x f x < ，()f x 在(1,2)上是减函数.
例9 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数.又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-.
（1）证明：(1)(4)0f f +=；
（2）求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；
（3）求()y f x =在[4,9]上的解析式.
解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，且在[1,1]-上是奇函数，∴(1)(1)(51)(4)f f f f =--=--=-，∴(1)(4)0f f +=.
②当[1,4]x ∈时，由题意可设2
()(2) 5 (0)f x a x a =-->，
由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，
∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤.
③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，
又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤
而2
(1)2(12)53f =--=-，
∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，
从而10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-. ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+. 当69x <≤时，154x <-≤，
∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=-- ∴2315,46()2(7)5,69
x x f x x x -+≤≤?=?--<≤?.
高中数学中对称性问题总结.doc
对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。
函数周期性与对称性的函数方程 专题
函数周期性与对称性的函数方程 【问题提出】 问题1：满足下列条件的函数是否为周期函数？为什么？如果是，请写出它的一个正周期. （1）)()(a x f x f += ； （2）)()(a x f x f +-=；（3）)()(a x f b x f +=+ （4）) (1 )(a x f x f +± =.（其中0,0>>b a ） 问题2：满足下列条件的函数是否具有对称性？为什么？如果有，请写出它的对称性质. （1）)()(x a f x a f -= +； （2）)()(x b f x a f -=+ （3）)()(x a f x a f --=+；（4）)()(x b f x a f --=+ 【探究拓展】 探究1：设()b a ,为函数) (x f y =的对称中心，则必有等式 ________________________ 变式：（复旦自主招生）写出函数)3sin()(-+=x x x f 的一个对称中心为____________ 探究2：已知奇函数 )(x f 的图像关于直线2-=x 对称，当[]2,0∈x 时， ,2)(x x f = 则______)9(=-f 变式1：奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且1)1(=f ，则 =+)9()8(f f _____ 1
变式2：已知偶函数)(x f 满足)(1 )2(x f x f - =+，当 32<
高中数学总结归纳 抽象函数的对称性
抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-，。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--，。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。
易知，函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象，由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称。 证明：设点() A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +?? ?? ?2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称 说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2，对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -?? ?? ?2，的对称点为()A b a m c n '---，2
高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题
高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2- 9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数 高中数学中的对称性与周期性 一、函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 7函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 二、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题 若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是( 1212 ,22 x x y y ++)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点' M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得 00, 22 x x y y a b ++= =，解算的' M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。 第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题 附答案解析 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 高一数学必修一 集合与函数的概念单元测试 附答案解析 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( ) A ．{0} B ．{0,2} C ．{－2,0} D ．{－2,0,2} 2．设f ：x →|x |是集合A 到集合B 的映射，若A ＝{－2,0,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{2} C ．{0,2} D ．{－2,0} 3．f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A ．(3，－2) B ．(3,2) C ．(－3，－2) D ．(2，－3) 4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 5．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8 B ．f (x )＝3x ＋2 C ．f (x )＝－3x －4 D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 6．设f (x )＝??? x ＋3 x >10， fx ＋5 x ≤10，则f (5)的值为( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．24 7．设T ＝{(x ，y )|ax ＋y －3＝0}，S ＝{(x ，y )|x －y －b ＝0}，若S ∩T ＝{(2,1)}，则 a ， b 的值为( ) A ．a ＝1，b ＝－1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝1 D ．a ＝－1，b ＝－1 8．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) C ．(－1,0) 9．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－ x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，则当n ∈N *时，有( ) A ．f (－n ) 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性： 设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ?A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数． 如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间． 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的． 对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律． 此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述． 奇偶性： (1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数． 函数的奇偶性有如下重要性质： f (x )奇函数?f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称． 此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点． 周期性： 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 关于函数的周期性，下面结论是成立的． (1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)． (2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则 | |ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0． 对称性： 若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2 b a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点( 2 b a +，0)对称． 函数的图象： 函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用． (1)利用平移变换作图： ( 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ > )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： · 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 高中数学函数的对称性与周期性讲义 一、引例：若)(x f 是定义在R 上的函数，对于满足下例条件中，)(,x f r x ∈?某一个，那么对于每个条件下的)(x f ，各具有哪些特殊性质？ (1),)1()1(x f x f -=+ (4),)1()1(x f x f --=+ (7),)1()1(-=+x f x f (2),)2()(x f x f -= (5),)2()(x f x f --+ (8),)()2(x f x f =+ (3),)3()1(x f x f -=+- (6),)2(4)(x f x f --= (9),)()1(x f x f -=+ 二、 函数的对称性 1、轴对称 )()()() 2()() ()()(] 0[x f x f y x f x a f x f x a f x a f a x x f a =-?-=?-=+?=?=轴对称关于对称关于 2、点对称 0 )()()()()00()(] 0[) ()()2()()0,()(] 0[2)()()2(2)(),()(=-+?--=?=-=+?--=?==-++?--=?x f x f x f x f x f a x a f x a f x a f x f a x f b b x a f x a f x a f b x f b a x f 对称，关于对称关于对称关于 3、本质特征： 【自变量】 为常数） （定义域）且a a x x D x x (2212,1=+∈? 【函数值】 a x x x x x f x f =→+=→→=对称轴对称轴轴对称性2 )()(2121 ),)22,2(2)()(2121b a b x x b x f x f 对称中心（对称中心中心对称 →+→→=+ 模型：对称关于2 )()()(,b a x x f x b f x a f D x +=?-=+∈? 对称关于)0,2 ()()()(,b a x f x b f x a f D x +?--=+∈? 三，函数的周期性 定义：设定义在D 上的函数,),(D x x f ∈?对于都存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+则函数)(x f 为周期函数,T 为)(x f 的一个周期， 【自变量】 D x x ∈?21,（定义域）且T x x =-21（T 为非零常数） 高一数学必修一集合与函数的概念 第一章集合与函数概念 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确 定的：属于或不属于。 (2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示：{…} (1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA (2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：(或BA) 注意：有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2).“包含”关系(2)—真子集 函数的对称性和周期性 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 3.掌握常见的函数对称问题 二、建构知识网络 一、两个函数的图象对称性 1、 )(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对 称。 4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对 称。 5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点 (,)a b 对称。 6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2b a x += 对称。 二、单个函数的对称性 性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2 a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--== 故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。 高中数学函数对称性和周期性小结 一、函数对称性： 1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称 2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称 3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称 4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称 5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称 6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称 7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称 8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称 例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。 【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。 证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)] ∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 . 例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。 证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m)– b] ∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 . 二、函数的周期性 令a , b 均不为零，若： 1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x+a) ==> 函数最小正周期T=|a| 2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a| 3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a| 4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==>函数最小正周期T=|2a| 5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==>函数最小正周期T=|4a| 这里只对第2~5点进行解析。 第2点解析： 令X=x+a ，f[a +(x –a)] = f[b +(x – a)] ∴f(x) = f(x + b – a) ==> T=b – a 第一章 集合与函数 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 A.（M S P ) B.（M S P ) C. （M P ） （S C U ） D.（M P ） （S C U ） 2. 函数 ]5,2[,142 x x x y 的值域是 A. ]61[， B. ]13[， C. ]63[， D. ),3[ 3. 若偶函数)(x f 在]1,( 上是增函数，则 A ．)2()1()5.1(f f f B ．)2()5.1()1(f f f C ．)5.1()1()2( f f f D ．)1()5.1()2( f f f 4. 函数|3| x y 的单调递减区间为 A. ),( B. ),3[ C. ]3,( D. ),0[ 5. 下面的图象可表示函数y=f(x)的只可能是 y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x A. B. C. D. 6. 函数5)(3 x c bx ax x f ，满足2)3( f ，则)3(f 的值为 A. 2 B. 8 C. 7 D. 2 7. 奇函数)(x f 在区间[1，4]上为减函数，且有最小值2，则它在区间]1,4[ 上 A. 是减函数，有最大值2 B. 是增函数，有最大值2 C. 是减函数，有最小值2 D. 是增函数，有最小值2 8．(广东) 客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是 A. B. C. D. 9. 下列四个函数中，在（0，＋∞）上为增函数的是 对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）高中数学中的对称性问题
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