二次函数单元测试卷1答案

2018-2019学年第一章二次函数单元测试卷

一、选择题：（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

1、将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）

A、y=（x-1）2+2

B、y=（x+1）2+2

C、y=（x-1）2-2

D、y=（x+1）2-2

2、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）

A、第一、二、三象限

B、第二、三、四象限

C、第一、二、四象限

D、第一、三、四象限

3、将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（)

A、y=（x+1）2+4

B、y=（x-1）2+4

C、y=（x+1）2+2

D、y=（x-1）2+2

4、设二次函数y=x2+bx+c，当x≤１时，总有y≥０，当1≤x≤３时，总有y≤０，那么c的取值范围是（）

A、c=3

B、c≥３

C、1≤c≤３

D、c≤３

5、已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( )

A、y3＜y2＜y1

B、y1＜y2＜y3

C、y2＜y1＜y3

D、y3＜y1＜y2

6、已知二次函数的图象（0≤x≤３）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，

下列说法正确的是（）

A、有最小值0，有最大值 3

B、有最小值﹣1，有最大值0

C、有最小值﹣1，有最大值 3

D、有最小值﹣1，无最大值

7、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）

A、B、C、D、

8、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C 的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为

A、B、C、D、

二、填空题（共5题；共20分）

9、函数y=（x﹣1）2+3的最小值为 ________．

10、已知二次函数，当时，y有最小值1，则a=________．

11、如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽

取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为________ ．

12、抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是________ .

13、老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：

甲：函数的图象经过第一、二、四象限；

乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．

丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．

已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数________．

三、解答题（共6题；共56分）

14、已知二次函数y=2x2﹣8x．（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．

15、已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．

16、拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为多少米？

17、抛物线y=－与y轴交于（0,3），⑴求m的值；⑵求抛物线与x轴的交点坐标及

顶点坐标；⑶当x取何值时，抛物线在x轴上方？⑷当x取何值时，y随x的增大而增大？

18、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不

得高于90元/千克．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果公司想要在这段时间内获得 2 250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

19、如图，二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

答案解析

一、单选题

1、【答案】A

【考点】二次函数图象与几何变换

【解析】【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．

【解答】将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x-1)2+2，

故选：A．

2、【答案】D

【考点】二次函数的性质，一次函数的性质

【解析】

【分析】二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y=kx+b（k≠0)的一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．

【解答】∵二次函数y=ax2的图象开口向上，

∴a＞0；

又∵直线y=ax-1与y轴交于负半轴上的-1，

∴y=ax-1经过的象限是第一、三、四象限．

故选D．

3、【答案】D

【考点】二次函数的三种形式

【解析】

【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完

全平方式即可．

【解答】y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=（x-1)2+2．

故选：D．

【点评】二次函数的解析式有三种形式：

（1)一般式：y=ax2+bx+c（a≠０，a、b、c为常数)；

（2)顶点式：y=a（x-h)2+k；

（3)交点式（与x轴)：y=a（x-x1)（x-x2)．

4、【答案】B

【考点】二次函数的性质，二次函数与不等式（组），二次函数图象上点的坐标特征

【解析】

【分析】因为当x≤１时，总有y≥０，当1≤x≤３时，总有y≤０，所以函数图象过（1，0)点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤０②，所以①②联立即可求出c的取值范围．

【解答】∵当x≤１时，总有y≥０，当1≤x≤３时，总有y≤０，

∴函数图象过（1，0)点，即1+b+c=0①，

∵当1≤x≤３时，总有y≤０，

∴当x=3时，y=9+3b+c≤０②，

①②联立解得：c≥３，

故选B．

5、【答案】B

【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，

x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案．

【解答】∵二次函数y=a（x-2)2+c（a＞0)，

∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．

∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，

∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，

∴y3＞y2＞y1．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向

上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．

6、【答案】C

【考点】二次函数的性质，二次函数的最值

【解析】【分析】根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值．

【解答】根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3．

故选C．

【点评】此题主要考查了根据函数图象判断函数的最值问题，结合图象得出最值是利用数形结合，此知识

是部分考查的重点．

7、【答案】C

【考点】一次函数的图象，二次函数的图象

【解析】【解答】解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．

B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，

D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．

故选：C．【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断

图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．

8、【答案】B

【考点】二次函数的图象

【解析】【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，应用排它法求解，而不一定要通过求解析式来解决：

∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，

∴AN=1。∴当点M位于点A处时，x=0，y=1。

①当动点M从A点出发到AM=的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；

②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等，故排除A、C。故选B。

二、填空题

9、【答案】 3

【考点】二次函数的最值

【解析】【解答】解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥０，

于是当x=1时，

函数y=（x﹣1）2+3的最小值y等于3．

故答案为：3．

【分析】根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值

是3．

10、【答案】

【考点】二次函数的最值

【解析】【解答】解：∵y = x2-2ax+3 =（x-a）2-a2+3，

∴抛物线对称轴为直线x=a，开口向上，

①当-1a2时，

x≤ 2之间，y的最小值是顶点的纵坐标值，

即对称轴在- 1 ≤　

即-a2+3=1，解得：a1=，a2=（与-1a2矛盾，舍去）.

②当a-1时，

x≤ 2左侧，则当x=-1时，y有最小值，

即对称轴在-1 ≤　

即（-1-a）2-a2+3=1，解得：a=.

③当a2时，

x≤ 2右侧，则当x=2时，y有最小值，

即对称轴在-1 ≤　

即（2-a）2-a2+3=1，解得：a=（与a2矛盾，舍去）.

综上，a=或.

故答案为：或.

【分析】把二次函数解析式整理成顶点式，然后得出对称轴为直线x=a，再分①当-1a2时，②当a-1时，③当a2时三种情况，利用二次函数增减性讨论求解.

11、【答案】

【考点】正比例函数的图象和性质，反比例函数的性质，二次函数的图象，概率公式，一次函数的性质

【解析】【解答】解：∵4张卡片中只有第2个经过第四象限，

∴取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为，

故答案为：．

【分析】用不经过第四象限的个数除以总个数即可确定答案．

12、【答案】y=﹣2x2﹣4x﹣3

【考点】二次函数图象与几何变换

【解析】【解答】解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3

【分析】根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．

13、【答案】y=（x﹣2）2

【考点】二次函数的性质

【解析】【解答】解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．

∴可以写一个对称轴是x=2，开口向上的二次函数就可以．

∵函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象与坐标轴只有两个交点．

∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上，

顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．

如y=（x﹣2）2，答案不唯一．

【分析】当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴可以是x=2，开口向上的二次函数．函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象与坐标轴只有两个交点，则顶点坐标为（2，0）二次函数的顶点在x轴上．顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠０），其中（h，k）为顶点坐标．

三、解答题

14、【答案】解：（1）y=2x2﹣8x=2（x2﹣4x+4﹣4）=2（x﹣2）2﹣8；

（2）在y=2x2﹣8x中令y=0，则2x2﹣8x=0，解得：x1=0，x2=4，

则A的坐标是（0，0），B的坐标是（4，0）；

（3）y=2（x﹣2）2﹣8沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位后的解析式是：y=2x2﹣5．【考点】二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点

【解析】【分析】（1）利用配方法即可直接求解；

（2）在解析式中令y=0，求得x即可求得A和B的横坐标；

（3）根据二次函数的平移法则即可直接写出平移后的解析式．

15、【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，

∴△=4﹣4（k﹣1）≥０．

∴k≤２．

∵k为正整数，

∴k=1，2；

（2）设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则

x1+x2=﹣2，x1?x2=k﹣1，

当k=1时，方程x2+2x+k﹣1=0有一个根为零；

当k=2时，方程x2+2x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1．

k=2符合题意．

二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2，

对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，0）．

【考点】根的判别式，二次函数的性质

【解析】【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，可推△≥０，求出k的取值范围，得出k的数值即可；

（2）分别把k的值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，解得结果根据方程有两个非零的整数根进行分析，确定k的值，进一步利用二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．

16、【答案】解：以桥顶为坐标原点建立直角坐标系，如图示：

水面和y轴的交点坐标是（0，-）

水面和拱桥的交点的纵坐标也是-，

当y=-时，-=-

=25 或

水面的宽度：5-（-5）=10（米）

【考点】二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】根据题意，把y=直接代入求解即可．本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应

用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

17、【答案】（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3．

∴抛物线为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．

列表得：

X-1 0 1 2 3

y0 3 4 3 0

图象如图：

（2）由-x2+2x+3=0，得：x1=-1，x2=3．

∴抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0）．

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4

∴抛物线顶点坐标为（1，4）．

（3）由图象可知：

当-1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．

（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．

【考点】二次函数的性质，二次函数与不等式（组），二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】（1）直接把点（0，3）代入抛物线解析式求m，确定抛物线解析式，根据解析式确定抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方向，与x轴及y轴的交点，画出图象．

（2）、（3）、（4）可以通过（1）的图象及计算得到．

18、【答案】解：（1）y=（x-50）?w=（x-50）?（-2x+240）=-2x2+340x-12000，

因此y与x的关系式为：y=-2x2+340x-12000．

（2）y=-2x2+340x-12000=-2（x-85）2+2450，

∴当x=85时，在50＜x≤90内，y的值最大为2450．

（3）当y=2250时，可得方程-2（x-85）2+2450=2250，

解这个方程，得x1=75，x2=95；

根据题意，x2=95不合题意应舍去．

答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．

【考点】二次函数的最值，二次函数的应用

【解析】【分析】（1）利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式，整理即可解答；（2）利用配方法可求最值；

（3）把函数值代入，解一元二次方程解决问题．

19、【答案】（1）（﹣3，4）；

（2）设PA=t，OE=l

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE

∴

∴l=﹣

∴当t=时，l有最大值

即P为AO中点时，OE的最大值为；

（3）存在．

①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（﹣4，0）

由△PAD∽△OEG得OE=PA=1

∴OP=OA+PA=4

∵△ADG∽△OEG

∴AG：GO=AD：OE=4：1

∴AG=，

∴重叠部分的面积=；

②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），

此时重叠部分的面积为.

【考点】二次函数的最值

【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；

（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．