2017年考研数学三真题与解析

考研数学真题及解析

= = - ?z n =2 2017 年考研数学三真题

一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．

?1- co 1. 若函数 f (x ) = ?

, x > 0

在 x = 0 处连续，则 ? ax ?? b , x ≤ 0 （A ） ab = 1 （B ） ab = - 1

（C ） ab = 0 （D ） ab = 2

【详解】 lim 2 f (x ) = lim

2 1 x = lim 2 =

1 ， lim

f (x ) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0 处连续， x →0+

x →0+ ax x →0+ ax 2a x →0-

1

必须满足 2a = b ? ab = 1 ．所以应该选（A ） 2

2. 二元函数 z = xy (3 - x - y ) 的极值点是（

）

（A ） (0, 0)

（B ） (0, 3)

（C ） (3, 0)

（D ） (1,1)

【详解】

?z

= y (3 - x - y ) - xy = 3y - 2xy - y 2 ， ?z

= 3x - x 2 - 2xy ，

?2

z = - ?x 2

?x 2 y , ?2 z

?y 2 = -2x ,

?2 z ?x ?y

?y ?2 z ?y ?x 3 2x

??z

= 3y - 2xy - y 2 = 0 ??x 解方程组 ?

? = 3x - x 2 - 2xy = 0

???y

，得四个驻点．对每个驻点验证 AC - B 2

，发现只有在点(1,1) 处满足

AC - B 2 = 3 > 0 ，且 A = C = -2 < 0 ，所以(1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D ）

3. 设函数 f (x ) 是可导函数，且满足 f (x ) f '(x ) > 0 ，则

（A ） f (1) > f (-1)

（B ） f (1) < f (-1) （C ） f (1) > f (-1)

（D ） f (1) < f (-1)

【详解】设 g (x ) = ( f (x ))2 ，则 g '(x ) = 2 f (x ) f '(x ) > 0 ，也就是 ( f (x ))2

是单调增加函数．也就得到

( f (1))

2

> ( f (-1))2

? f (1) > f (-1) ，所以应该选（C ）

∞

? 1 1 ? 4.

若级数∑ ??

sin n - k ln(1- n )?? 收敛，则k = （ ）

（A ）1

（B ） 2

（C ） -1

（D ） -2

s x 1- cos x

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ?

1 1 1 ? 1 1 ? 1 ?2

? ? 1 ? 1 k 1 ? 1 ?

【详解】iv n → ∞ 时sin n - k ln(1- n ) = n - k - - ? ? + o n 2 ? = (1+ k ) + 2 o n 2 ? ?

n 2 ? n ? ? ? ? 1

n 2 n ? ? 显然当且仅当(1+ k ) = 0 ，也就是 k = -1 时，级数的一般项是关于 n

（C ）．

5. 设α 为n 单位列向量， E 为n 阶单位矩阵，则

的二阶无穷小，级数收敛，从而选择

（A ） E - αα T

不可逆

（B ） E + αα T

不可逆

（C ） E + 2αα T

不可逆

（D ） E - 2αα T

不可逆

【详解】矩阵αα T

的特征值为1和 n -1个 0 ，从而 E - αα T

, E + αα T

, E - 2αα T

, E + 2αα T

的特征值分

别为0,1,1, 1； 2,1,1, ,1 ； -1,1,1, ,1； 3,1,1, ,1 ．显然只有 E - αα T

存在零特征值，所以不可逆， 应该选（A ）．

6.

已知矩阵 A = ? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ?

，则 0 0 2 ?

（A ） A , C 相似， B , C 相似

（B ） A , C 相似， B , C 不相似

（C ） A , C 不相似， B , C 相似

（D ） A , C 不相似， B , C 不相似

【详解】矩阵 A , B 的特征值都是λ1 = λ2 = 2, λ3 = 1．是否可对解化，只需要关心λ = 2 的情况．

? 0 0 0 ? 对于矩阵 A ， 2E - A =

0 0 -1? ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值λ = 2 存在两个线性无关的

? 0 0 1 ? 特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．

? 0 -1 0 ?

对于矩阵 B ， 2E - B = 0 0 0 ? ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值λ = 2 只有一个线性无关的

0 0 1 ? 特征向量，也就是不可以对角化，当然 B , C 不相似故选择（B ）．

7. 设 A , B ， C 是三个随机事件，且 A , C 相互独立， B , C 相互独立，则 A B 与C 相互独立的充分必

要条件是（ ）

（A ） A , B 相互独立

（B ） A , B 互不相容

（C ） AB , C 相互独立 （D ） AB , C 互不相容

【详解】

? 2 0 0 ? ? 2 1 0 ? ? 1 0 0 ?

0 2 1 ? ， B = 0 2 0 ? ， C =

0 2 0 ? ?

≥ μ = n ∑ n 1 π π

π

t +1 t t +1 t 3

π n

P (( A B )C ) = P ( AC + AB ) = P ( AC ) + P (BC ) - P ( ABC ) = P ( A )P (C ) + P (B )P (C ) - P ( ABC )

P ( A B )P (C ) = (P ( A ) + P (B ) - P ( AB ))P (C ) = P ( A )P (C ) + P (B )P (C ) - P ( AB )P (C )

显然， A B 与C 相互独立的充分必要条件是 P ( ABC ) = P ( AB )P (C ) ，所以选择（C ）．

1 n

8.

设 X 1, X 2 , , X n (n 2) 为来自正态总体 N ( ,1) 的简单随机样本，若 X X i ，则下列结论中不

i =1

正确的是（

）

（A ） ∑

( X i - μ) i =1

服从

χ 2 分布 （B ） 2 ( X - X )

2

服从

χ 2 分布

n

（C ） ∑

( X i i =1

- X )2

服从

χ 2

分布 （D ） n ( X - μ)2

服从 χ 2

分布

解：（1）显然 ( X i - μ) ~ N (0,1) ? ( X i - μ)2

~ χ 2

(1), i = 1, 2, n 且相互独立，所以

∑( X i =1

- μ)2

服从

χ 2 (n ) 分布，也就是（A ）结论是正确的；

n

2

2

(n -1)S 2

2

（2） ∑

( X i - X ) i =1

= (n -1)S =

σ 2

~ χ (n -1) ，所以（C ）结论也是正确的；

（3）注意 X ~ N (μ, 1

) ? n

n ( X - μ) ~ N (0,1) ? n ( X - μ)2 ~ χ 2 (1) ，所以（D ）结论也是正确的；

（4）对于选项（B ）： ( X - X ) ~ N (0, 2) ?

X n - X 1 ~ N (0,1) ? 1

( X - X )2 ~ χ 2 (1) ，所以（B ）结

n

1

论是错误的，应该选择（B ）

2 n 1

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．

?

-π

(sin 3 x + π 2 - x 2 )dx = ?．

解：由对称性知

?-π

(sin x +

)dx = 2?0

3 dx = ．

2

10.

差分方程 y - 2 y = 2t

的通解为

．

【详解】齐次差分方程 y - 2 y = 0 的通解为

y = C 2x

；

设 y t +1 - 2 y t = 2t

的特解为 y = at 2t

，代入方程，得a = 1 ； 2

所以差分方程 y t +1 - 2 y t

= 2t 的通解为 y = C 2t + 1 t 2t . 2

11.

设生产某产品的平均成本C (Q ) = 1+ e

-Q

，其中产量为Q ，则边际成本为

.

n

2

π 2 - x 2

π 2 - x 2

t

2

i

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

lim = 0

? 【详解】答案为1+ (1- Q )e -Q ．

平均成本C (Q ) = 1+ e

-Q

，则总成本为C (Q ) = QC (Q ) = Q + Qe

-Q

，从而边际成本为

C '(Q ) = 1+ (1- Q )e -Q .

12.

设函数 f (x , y ) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df (x , y ) = ye y dx + x (1+ y )e y dy ， f (0, 0) = 0 ，则

f (x , y ) =

【详解】df (x , y ) = ye y

dx + x (1+ y )e y

dy = d (xye y

) ，所以 f (x , y ) = xye y

+ C ，由 f (0, 0) = 0 ，得C = 0 ，

所以 f (x , y ) = xye y ．

? 1 0 1 ? 13 ． 设矩阵 A = 1 1 2 ? ， α ,α ,α 为线性无关的三维列向量， 则向量组 A α , A α

, A α 的秩

? 0 1 1 ?

为

．

1 2 3

? 1 0 1 ? ? 1 0 1? ? 1 0 1 ?

1

2

3

【详解】对矩阵进行初等变换 A = 1 1 2 ? → 0 1 1? → 0 1 1 ? ，知矩阵 A 的秩为 2，由于

0 1 1 ? 0 1 1? 0 0 0 ? α1,α2 ,α3 为线性无关，所以向量组 A α1, A α2 , A α3 的秩为 2．

14．设随机变量 X 的概率分布为 P {X = -2} = 1

， P {X = 1} = a ， P {X = 3} = b ，若 EX = 0 ，则

2

DX = ?．

【详解】显然由概率分布的性质，知a + b + 1

= 1

2

EX = -2 ? 1 +1? a + 3? b = a + 3b -1 = 0 ，解得a = 1 , b = 1

2 4 4

EX 2 = 2 + a + 9b = 9 ， DX = EX 2 - E 2 ( X ) = 9

．

2 2

三、解答题

15．（本题满分 10 分）

求极限 lim

?0

x →0+

x - te t dt x 3

【详解】令 x - t = u ，则t = x - u , dt = -du ，

?

x - te t dt = ? x

ue x -u du lim

?0

x - t e t dt e x = lim

ue -u du = lim ?0 ue -u

du = xe - x 2 x →0+

x →0+

x →0+

x →0+

3 x 3

2

x 3

x 3

x 3

x x

x x x

x ?

?D

∑ n 1 1 1

y 3

计算积分

2

4 2

dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y 与 x 轴为边界的无界区域．

D

【详解】

y 3

+∞

x

y 3

?? (1+ x

2

+ y 4 )

2

dxdy = ?

dx ?0

(1+ x 2

+ y 4 )2

dy

1 +∞

x d (1+ x 2 + y 4

)

4 ?0

dx ?0

(1+ x 2

+ y 4 )2 = 1 +∞ ? 1 -

1 ?

dx = π ?1- 2 ? 4 ?0 1+ x 2 1+ 2x 2 ?

8 2 ?

17．（本题满分 10 分）

? ? ? ?

n

k

? k ?

求 lim n →∞ k =1 n 2 ln 1+ ? ? ?

【详解】由定积分的定义

lim ∑

k ln ?1+ k ? = lim 1 ∑n

k ln ?1+ k ? =

x ln(1+ x )dx

n →∞

n

2

n

? n →∞

n n

n ?

?

k =1

?

?

k =1

?

? = 1 ?1 ln(1+ x )dx 2 = 1

18．（本题满分 10 分）

1

1

2 0 4

已知方程

ln(1+ x ) - = k 在区间(0,1) 内有实根，确定常数k 的取值范围． x

【详解】设 f (x ) =

- , x ∈(0,1) ，则 ln(1+ x ) x

' 1 1

(1+ x ) ln 2 (1+ x ) - x 2

f (x ) = - + (1+ x ) l n 2

(1+ x ) x 2

x 2

(1+ x ) ln 2 (1+ x )

令 g (x ) = (1+ x ) ln 2

(1+ x ) - x 2

，则 g (0) = 0, g (1) = 2 ln 2

2 -1

g '(x ) = ln 2 (1+ x ) - 2 ln(1+ x ) - 2x , g '(0) = 0 g '(x ) =

2(ln(1+ x ) - x )

< 0, x ∈(0,1) ，所以 g '(x ) 在(0,1) 上单调减少，

1+ x

由于 g '(0) = 0 ，所以当 x ∈(0,1) 时，g '(x ) < g '0) = 0 ，也就是 g (x ) g '(x ) 在(0,1) 上单调减少，当 x ∈(0,1)

时， g (x ) < g (0) = 0 ，进一步得到当 x ∈(0,1) 时， f '(x ) < 0 ，也就是 f (x ) 在(0,1) 上单调减少．

lim f (x ) = lim ?

1

- 1 ? = lim x - ln(1+ x ) = 1 ， f (1) =

1 -1 ，也就是得到 1 -1 < k < 1 ．

+

+ ? +

x →0

x →0 ? ln(1+ x ) x ? x →0 x ln(1+ x ) 2

ln 2 ln 2 2 = n

=

∞ （1）证明

∑ a x 的收敛半径不小于1．

n

n

n

n ∞

∞

∞

a = 1, a = 0, a

= 1 (na + a )(n = 1, 2, 3 ), S (x ) ∑ a x n

设 0

1

n +1 n +1

n n -1 ， 为幂级数

n n =0

的和函数

∞

n n n =0

（2）证明(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0(x ∈(-1,1)) ，并求出和函数的表达式．

【详解】（1）由条件a n +1 =

1

(na n +1

n + a n -1 ) ? (n +1)a n +1 = na n + a n -1 也就得到(n +1)(a - a ) = -(a - a ) ，也就得到

a n +1 - a n = - 1

, n = 1, 2, n +1 n n n -1 a - a n +1

a n +1 - a n = a n +1 - a n ?

a n - a n -1 n n -1

? ? a 2 - a 1 = (-1)n 1

a 1 - a 0 a n - a n -1 a n -1 - a n -2 a 1 - a 0

(n +1)!

也就得到a n +1 - a n = (-1)n +1

1 (n +1)!

, n = 1, 2,

n

k +1

1

a n +1 = (a n +1 - a n ) + (a n - a n -1 ) + + (a 2 - a 1 ) + a 1 = ∑(-1)

k =2

ρ = lim n →∞ ≤ lim n →∞ ≤ lim n →∞

= 1 ，所以收敛半径 R ≥ 1

∞

∞

（2）所以对于幂级数

∑ a x

n

， 由和函数的性质，可得 S '(x ) =

∑ n a x

n -1

，所以

n n =0

n

n =1

(1- x )S '(x ) = (1- x )∑ n a x

n -1 = ∑ n a x

n -1 - ∑ n a x n

n =1

n =1 ∞

∞

n =1

= ∑(n +1)a + x n - ∑ n a x n

n =0

∞

n 1

n

n =1

= a 1 + ∑((n +1)a n +1 n =1

- na )x n

= ∑ a x n = ∑ a x n +1 = x ∑ a x n = xS (x )

n =1

n -1

n =0

n

n

n =0

也就是有(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0(x ∈(-1,1)) ．

'

Ce

- x 解微分方程(1- x )S (x ) - xS (x ) = 0 ，得 S (x ) = 1- x

，由于 S (0) = a 0 = 1 ，得C = 1

e - x 所以 S (x ) =

．

1- x

∞

∞

∞ n

a n n

1 + 1 + 2! 3! + 1 n ! n e k !

? -1 1 -1 1 ? ? 设三阶矩阵 A = (α1,α2 ,α3 ) 有三个不同的特征值，且α3 = α1 + 2α2 . （1）证明： r ( A ) = 2 ；

（2）若 β = α1 + α2 ,α3 ，求方程组 Ax = β 的通解．

【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是r ( A ) ≥ 1．

假若 r ( A ) = 1 时， 则 r = 0 是矩阵的二重特征值， 与条件不符合， 所以有 r ( A ) ≥ 2 ， 又因为

α3 - α1 + 2α2 = 0 ，也就是α1 ,α2 ,α3 线性相关， r ( A ) < 3 ，也就只有 r ( A ) = 2 ．

（2）因为r ( A ) = 2 ，所以 Ax = 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于α3 - α1 + 2α2 = 0 ，所

? 1 ?

以基础解系为 x = 2 ?

；

? ? ?

又由 β = α + α ,α ?1

? ，得非齐次方程组 Ax = β 的特解可取为 1? ；

1

2

3

? ? ? ?

? 1 ? ?1?

方程组 Ax = β 的通解为 x = k 2 ? + 1?

，其中k 为任意常数．

? ? ? ? ? ?

21．（本题满分 11 分）

设 二 次 型 f (x , x , x ) = 2x 2

- x 2

+ ax 2

+ 2x x - 8x x + 2x x

在 正 交 变 换 x = Qy

下 的 标 准 形 为

1

2

3

1

2

3

1 2

1 3

2 3

λ y 2 + λ y 2 ，求a 的值及一个正交矩阵Q ．

1 1

2 2

? 2 1

-4 ? 【详解】二次型矩阵 A =

1 -1 1 ?

? -4 1 a ? ? ?

因为二次型的标准形为λ y 2 + λ y 2

．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A = 0 ，故a = 2.

1 1

2 2

λ -1 -1 4

λ E - A = 1 λ +1

1 = λ(λ + 3)(λ - 6)

4

-1

λ - 2

令 λ E - A = 0 得矩阵的特征值为λ1 = -3, λ2 = 6, λ3 = 0 ．

1 ?

1 ? 1 ? ? ?

? =

通过分别解方程组(λ E - A )x = 0 得矩阵的属于特征值λ = -3 的特征向量ξ =

? 1 ? 1 -

1? ，属于特征值特 i

? -1? 1 1

? 1 ?

3 ? ? ? 征值λ = 6 的特征向量ξ = 1 0 ?

， λ = 0 的特征向量ξ =

1 2 ? ，

2 2 2 ? 3

? ? 3

6 ? ? ?

? 1 - 1

1 ? 3

2 6 ? ? 所以Q = (ξ ,ξ ,ξ ) = -

1

0 2 ?

为所求正交矩阵． 1 2 3 3

6 ?

? 1 1 1 ? 3 2 6 ? ?

?

22．（本题满分 11 分）

设随机变量 X ,Y 相互独立， 且 X 的概率分布为 P {X = 0} = P {X = 2} = 1

， Y 的概率密度为

2

f ( y ) = ?2 y , 0 < y < 1．

?

0, 其他

（1） 求概率 P （Y ≤ EY ）；

（2）

求 Z = X + Y 的概率密度． 【详解】（1） EY = +∞

1

2

2 yf ( y )dy

2 y dy = . ?-∞ Y

?0 3 ? 2 ?

2

4 所以 P {Y ≤ EY } = P ?Y ≤ ? = ? 3

2 ydy = .

? 3 ? 0

9 （2） Z = X + Y 的分布函数为

F Z (z ) = P {Z ≤ z } = P {X + Y ≤ z } = P {X + Y ≤ z , X = 0} + P {X + Y ≤ z , X = 2}

= P {X = 0,Y ≤ z } + P {X = 2,Y ≤ z - 2}

= 1 P {Y ≤ z } + 1

P {Y ≤ z - 2} 2 2 = 1

[F (z ) + F (z - 2)]

2 Y

Y

故 Z = X + Y 的概率密度为

f (z ) = F '(z ) = 1

[ f (z ) + f (z - 2)] Z Z

2

?z , 0 ≤ z ≤ 1 = ?z - 2, 2 ≤ z < 3 23．（本题满分 11 分）

?0, 其他 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量 μ 是已知的，设

X i - μ

X i - μ 2π 2π Z n

1 ∑ n z

2 i

i =1 1 2 n

Z

= = n ∑ σ σ = 2σ

2 2σ n

n n

n 次测量结果 X , X , , X 相互独立且均服从正态分布 N (μ,σ 2

). 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误

差 Z i = X i - μ , (i = 1, 2, , n ) ，利用 Z 1 , Z 2 , , Z n 估计参数σ ．

（1） 求 Z i 的概率密度；

（2） 利用一阶矩求σ 的矩估计量； （3） 求参数σ 最大似然估计量．

【详解】（1）先求 Z i 的分布函数为

F (z ) = P {Z ≤ z } = P { X

- μ ≤ z } = P

? ≤

z ?

Z

i

i

?σ

σ ?

当 z < 0 时，显然 F Z (z ) = 0 ；

??

? z ? ? z ?

当 z ≥ 0 时， F Z (z ) = P {Z i ≤ z } = P { X i - μ ≤ z } = P ? σ ≤ σ ? = 2Φ σ

? -1 ； ? ? ? ? ? - z 2 所以 Z 的概率密度为 f (z ) = F ' (z ) = ?

?

+∞

+∞

2σ 2

, z ≥ 0 ． 0, z < 0

2

-

z 2

2σ

（2）数学期望 EZ i = ? z f (z )dz = ? ze 2σ 2

dz = ，

0 0

1 n

令 EZ Z Z i ，解得 的矩估计量 i =1 ∑ Z i ． i =1

（3）设 Z 1, Z 2 , , Z n 的观测值为 z 1 , z 2 , , z n ．当 z i > 0, i = 1, 2, n 时

n

1

2

似然函数为 L (σ ) = ∏ f (z i ,σ ) = i =1 - 2 ∑ z i

i =1 ，

n 1 n 2

取对数得： ln L (σ ) = n ln 2 - ln(2π ) - n ln σ - 2 ∑ z i

i =1

d ln L (σ )

n 1

n

2

令

= - + d σ

σ σ 3 ∑ z i

i =1 = 0 ，得参数σ 最大似然估计量为σ = ．

2πσ 2πσ 2π ( 2πσ )n

2n