第六章 不等式、推理与证明 质量检测
第六章 不等式、推理与证明
(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合A ＝?
?????
???
?x ?
?
x x －1<0，B ＝{}x |0 A.{}x |1 B.{}x |0 C.{}x |0 解析：由x x －1<0?x (x －1)<0?0 答案：C 2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 解析：由1a <1 b <0可知b 0，显然有a ＋b b a ＋a b >2 b a ·a b ＝2. 答案：C 3．根据给出的数塔猜测1 234 567×9＋8＝ ( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A ．11 111 110 B ．11 111 111 C ．11 111 112 D ．11 111 113 解析：数塔的右侧的规律是，逐次加1. 答案：B 4．(2010·诸城模拟)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是 ( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 D.5 2 解析：∵log m n ＝－1， ∴m >0，m ≠1，n >0，mn ＝1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3 即3n ＋m 的最小值为2 3. 答案：B 5．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若“a ＋b ＝1”，则4ab ＝4a (1－a )＝－4(a －1 2)2＋1≤1；若“4ab ≤1”，取a ＝ －4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分不必要条件． 答案：A 6．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{}x |2 A.??????x ?? x >12 B.?????? x ?? x <14 C.? ??? ??x ?? 14 ??? ?? x ?? x >12或x <14 解析：由题意????? a <0 －b a ＝6c a ＝8 ?????? c <0 －b c ＝34 ， a c ＝18 ∴cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－34x ＋18>0，解得??? ? ??x |x >12或x <14. 答案：D 7．(2010·泉州模拟)设x ，y 是关于m 的方程m 2－2am ＋a ＋6＝0的两个实根，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值是 ( ) A ．－1214 B ．18 C ．8 D.3 4 解析：∵x ＋y ＝2a ，xy ＝a ＋6， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2－2(x ＋y )＋2 ＝(x ＋y )2－2(x ＋y )－2xy ＋2 ＝4a 2－4a －2(a ＋6)＋2 ＝4a 2－6a －10 ＝4(a －34)2－49 4 . 又∵x 、y 是方程m 2－2am ＋a ＋6＝0的两根， ∴Δ＝4a 2－4(a ＋6)≥0，即a ≥3或a ≤－2. ∴当a ＝3时，(x －1)2＋(y －1)2的最小值为8. 答案：C 8．若平面区域???? ? |x |≤2|y |≤2 y ≤kx －2 是一个三角形，则k 的取值范围是 ( ) A ．(0,2] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[－2,0)∪(0,2] D ．[－2,2] 解析：如图，只有直线y ＝kx －2与线段AB 相交(不包括点A ) 或与线段CD 相交(不包括点D )，可行域才能构成三角形， 故k ∈[－2,0)∪(0,2]． 答案：C 9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc · b m ＋d n (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为 ( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．不确定 解析：q ＝ ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p . 答案：B 10．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m 、n 均为正数，则1m ＋2 n 的最小值为 ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，令u ＝1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8. 答案：D 11．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 两点的坐标均满足不等式组???? ? 4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0， x －1≥0， 则 tan ∠POQ 的最大值等于 ( ) A.12 B ．1 C.3 2 D ．0 解析：作出可行域，则P 、Q 在图中所示的位置时，∠POQ 最大，即tan ∠POQ 最大， ∠POQ ＝∠POM －∠QOM ， tan ∠POQ ＝tan(∠POM －∠QOM )＝tan ∠POM －tan ∠QOM 1＋tan ∠POM tan ∠QOM ＝ 7－34 1＋7× 34 ＝1，所以最大值为1. 答案：B 12．已知函数f (x )＝? ???? 1，x ≥0 －1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4的解集是( ) A.{}x |－2≤x <1 B.{}x |x ≤1 C.{}x |x <1 D.{}x |x <－2 解析：当x ＋2≥0即x ≥－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×1≤4，即x ≤1，故－2≤x ≤1；当x ＋2<0即x <－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×(－1)≤4，即－2≤4，这显然成立．综上可知，原不等式的解集为{}x |x ≤1. 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋1 15＞2,1 ＋12＋13＋…＋131＞5 2 ，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)． 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2(n ∈N *)． 答案：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2 14．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中， 类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是________． 解析：由类比推理可知． 答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题 15．设x >0，则y ＝3－2x －1 x 的最大值等于________． 解析：∵x >0，则2x ＋1x ≥22，所以－(2x ＋1x )≤－22，2x ＝1x 时，x ＝2 2 时等号成 立，则y ＝3－2x －1 x ≤3－22，即y max ＝3－2 2. 答案：3－2 2 16．(2010·宜昌模拟)若实数x ，y 满足???? ? 2x －y ≥0，y ≥x ， y ≥－x ＋b 且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实 数 b 的值为________． 解析：由约束条件作出可行域(如图)， 当平行直线系y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (b 3，2b 3)时，z 取得最小值，即2×b 3＋ 2b 3＝3，解之得b ＝9 4. 答案：94 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小． 解：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )， ∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 18．(本小题满分12分)解下列问题： (1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)已知x ＞2，求x ＋4 x －2 的最小值； (3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求4x ＋9 y 的最小值． 解：(1)法一：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ， 当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝1 2时，等号成立． ∴ab ≤14，∴ab ≤116.所以ab 的最大值为1 16 . 法二：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴ab ＝144a ·b ≤14(4a ＋b 2)2＝116 ， 当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝1 2时，等号成立． 所以ab 的最大值为1 16. (2)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2 (x －2)·4 x －2 ＋2＝6， 当且仅当x －2＝4 x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4 x －2的最小值为6. (3)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1， ∴4x ＋9y ＝(x ＋y )(4x ＋9y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋2 4y x ·9x y ＝25， 当且仅当4y x ＝9x y 时等号成立，由????? x ＋y ＝1， 4y x ＝9x y ， 得??? x ＝25 ，y ＝3 5， ∴当x ＝25，y ＝3 5时取等号． 所以4x ＋9 y 的最小值为25. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝ ()(0) .() (0) f x x f x x >?? - (1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式； (2)mn <0，m ＋n >0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0? 解：(1)由f (－2)＝0,4a ＋4＝0?a ＝－1， ∴F (x )＝24 (0).24 (0) x x x x -+>?? - ????? m ·n <0m ＋n >0， ∴m ，n 一正一负． 不妨设m >0且n <0，则m >－n >0， F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋4－(an 2＋4) ＝a (m 2－n 2)， 当a >0时，F (m )＋F (n )能大于0， 当a <0时，F (m )＋F (n )不能大于0. 20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式(1－ax )2<1. 解：由(1－ax )2<1得 a 2x 2－2ax ＋1<1，即ax (ax －2)<0. (1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故x 无解． (2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0， 即x (x －2 a )<0. ∵2a <0，∴不等式的解集为??????x |2a ? ??x |0 当a <0时，不等式解集为??????x |2a 当a >0时，不等式解集为? ?? ? ??x |0 21．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于 15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元， 则线性约束条件为????? 9x ＋4y ≤300， 4x ＋5y ≤200， 3x ＋10y ≤300， x ≥15，y ≥15. 目标函数为z ＝7x ＋12y ， 作出可行域如图， 作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ， 当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300的交点A (20,24)时，利润最大． 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24＝428(万元). 22．(文)(本小题满分14分)如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘， 每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道， 其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时 占地面积最少？ 解：设每个鱼塘的宽为x 米， 且x ＞0，且AB ＝3x ＋8，AD ＝10 000 x ＋6， 则总面积y ＝(3x ＋8)(10 000 x ＋6) ＝30 048＋80 000 x ＋18x ≥30 048＋2 80 000 x ·18x ＝32 448， 当且仅当18x ＝80 000x ，即x ＝2003时，等号成立，此时10 000 x ＝150. 即鱼塘的长为150米，宽为200 3 米时，占地面积最少为32448平方米． (理)(本小题满分14分)(2009·安徽高考)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝1 4(a 2n ＋3)， n ∈N ＋. (1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (2)若对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n ，求a 1的取值范围． 解：(1)证明：已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋3 4＝m (m －1)＋1是奇数． 根据数学归纳法，对任何n ≥2，a n 都是奇数． (2)法一：由a n ＋1－a n ＝1 4(a n －1)(a n －3)知，a n ＋1>a n 当且仅当a n <1或a n >3. 另一方面，若0 4＝1； 若a k >3，则a k ＋1>32＋3 4 ＝3. 根据数学归纳法得，03?a n >3，?n ∈N ＋. 综上所述，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n 的充要条件是03. 法二：由a 2＝a 21＋3 4>a 1，得a 21－4a 1＋3>0， 于是03. a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2 n －1＋34＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1) 4 ， 因为a 1>0，a n ＋1＝a 2n ＋3 4，所以所有的a n 均大于0， 因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号． 根据数学归纳法，?n ∈N ＋，a n ＋1－a n 与a 2－a 1同号． 因此，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n 的充要条件是03. 阶段质量检测一 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( ) A ．5 B ．3 C ．6 D ．7 解析：选A 依题意得 m ！(m －5)！＝2×m ！ (m －3)！ ，化简得(m －3)(m －4)＝2，解得m ＝2或 m ＝5，又m ≥5，∴m ＝5，故选A. 2．(1－x )10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120 D ．－120 解析：选D 由T r ＋1＝C r 10(－x )r ＝(－1)r C r 10x r ，因为r ＝3，所以系数为(－1)3C 3 10＝－120. 3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( ) A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．192种 解析：选C 共有C 24·C 34·C 34＝96种不同的选修方案，故选C. 4．高三(一)班学生要安排毕业晚会上4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( ) A ．1 800 B ．3 600 C ．4 320 D ．5 040 解析：选B 不同的排法种数为A 55A 26＝3 600. 5．下列关于(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为1 024 B ．展开式中第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小 解析：选C 由展开式的二项式系数之和为2n 知A 正确；当n 为偶数时，展开式中二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确；C 错误；D 也正确，因为展开式中第6项的系数是负数，且二项式系数最大，所以是系数最小的项． 6．(x 2＋2)????1x 2－15的展开式的常数项是( ) 《一元一次方程》试题 【巩固练习】 一、选择题 1．下列方程中，是一元一次方程的是( )． A ．250x += B ．42x y +=- C ．162x = D ．x ＝0 2. 下列变形错误的是( ) A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7 ; B.由3x －2 =2x + 1得x= 3 C.由4－3x = 4x －3得4+3 = 4x+3x D.由－2x= 3得x= － 32 3. 某书中一道方程题：213 x x ++=W ，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是 2.5x =-，那么□处应该是数字( )． A ．-2.5 B ．2.5 C ．5 D ．7 4. 将(3x ＋2)－2(2x －1)去括号正确的是( ) A 3x ＋2－2x ＋1 B 3x ＋2－4x ＋1 C 3x ＋2－4x －2 D 3x ＋2－4x ＋2 5. 当x=2时，代数式ax －2x 的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（ ） A.－8 B.－4 C.－2 D.8 6．解方程121153 x x +-=-时，去分母正确的是( )． A ．3(x+1)＝1-5(2x -1) B ．3x+3＝15-10x -5 C ．3(x+1)＝15-5(2x -1) D ．3x+1＝15-10x+5 7．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．某超市选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是( )． A ．18元 B ．18.4元 C ．19.6元 D ．20元 二、填空题 9．在0，－1，3中， 是方程3x －9=0的解. 10．如果3x 52a -＝－6是关于x 的一元一次方程，那么a ＝ ，方程的解=x . 11．若x ＝－2是关于x 的方程324=-a x 的解，则a ＝ . 12．由3x ＝2x ＋1变为3x －2x ＝1，是方程两边同时加上 . 13．“代数式9－x 的值比代数式x 3 2－1的值小6”用方程表示为 . 高三数学基础知识专练 不等式 推理与证明 一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分) 1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察 2、一元二次不等式ax +bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx +bx +a ＞0的解集为 __________________. 3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ?平面α，直线a ?平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可). (1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误 4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= . 5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2 )1(1-+=成立.类比上述 性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________. (1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯. 7、设?????≥-<=-2 ),1(log 22)(2 21x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________. 8、若函数13)2(2)(2≥?+++= x a x a x x x f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____. 9、设a ＞b ＞c ＞0，且 c a m c b b a -≥ -+-11恒成立，则m 的最大值为___________. 10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1 )(1(b b a a ++ 的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数” 或“负数). 13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2019项为__________. 14、下面使用类比推理正确的序号是__________. (1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +?=?+?”； (2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”； (3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 试卷绝密★启用前 山东省济宁市2018-2018学年度高三第一阶段质量检测数学（理）试题018.3 本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 第I卷（选择题共60 分） 、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1?复数z满足z（1 7） = 2i，则复数z的实部与虚部之差为 A.0 B. —1 2?为了解一片大约一万株树木的生长情况， 随机测量了其中100株树木的底部周长 （单位：cm）?根据所得数据画出的样本 频率分布直方图如图，那么在这片树木中， 底部周长小于110 cm的株树大约是 A.3000 B.6000 C.7000 D.8000 x —2 3.已知集合S ={x -------- <0} , T ={x x2 x 数a的取值范围是 B. -1 ■■a w 1 C. 0 w a w 1 D. 0 ：： a w 1 4.已知数列{a n}中, 利用如图所示的程序框图计算该数列的 第10项，则判断框中应填的语句是 A. n 10 B. n w 10 C. n ：：9 D. n w 9 ur 5.已知向量a = （sin（）,1）, b =（4, 4cos 6 4兀若a _ b，则sin（ -■ 3 ）等于 A. B. 4 C. .3 结束 1 D. 一 4 6.若（1 -x）n = 1 a1x a2x 3 n -a n n / ■ x （n 输出m N *），且a1: a^ 1:7，则a§等于 开始 C. —3 D.3 不等式单元测试题 一、单选题（共12题；共24分） 1.（2020高二下·北京期中）若，，则（） A. B. C. D. 2.（2020高一下·邯郸期中）已知，且.下列不等式中成立的是（） A. B. C. D. 3.（2020高一下·成都期中）若，则一定有（） A. B. C. D. 4.（2020高一下·嘉兴期中）设、、，，则下列不等式一定成立的是（） A. B. C. D. 5.（2020高一下·吉林期中）下列命题中：① ，；② ，； ③ ；④ ；正确命题的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.（2020高一下·哈尔滨期末）已知，，则的最小值为（） A. 8 B. 6 C. D. 7.（2020高一下·太和期末）设正实数满足，则当取得最大值时， 的最大值为（） A. 1 B. 4 C. D. 8.（2020高一下·丽水期末）已知实数满足，且，则的最小值为（） A. B. C. D. 9.（2020高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最大值为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 10.（2020高一下·南昌期末）已知a，，且满足，则的最小值为（） A. B. C. D. 11.（2020高一下·丽水期末）不等式的解集是（） A. 或 B. 或 C. D. 12.（2020高一下·吉林期末）若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是（） A. x＞5a或x＜－a B. x＞－a或x＜5a C. 5a＜x＜－a D. －a＜x＜5a 二、填空题（共4题；共4分） 13.（2020高二下·西安期中）比较大小：________ ．（用，或填空） 14.（2020高一下·温州期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是________. 15.（2020高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最小值为________. 16.（2020高一下·哈尔滨期末）不等式的解集为________. 三、解答题（共8题；共75分） 17.（2020高一下·六安期末）已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 18.（2020高一下·大庆期末）已知关于x的不等式． （1）当时，解上述不等式． （2）当时，解上述关于x的不等式 19.（2020高一下·太和期末）已知函数. （1）若对任意实数，恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 20.（2020高一下·宜宾期末）已知函数. （1）当时，解不等式； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 21.（2020高一下·萍乡期末） （1）解不等式； （2）解关于x的不等式：. 22.（2020高一下·成都期末）已知定义在上的函数，其中为常数． （1）求解关于的不等式的解集； （2）若是与的等差中项，求a+b的取值范围． 23.（2020高一下·南昌期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（）与速度（）的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从刹车到停车走了．（Ⅰ）当汽车不装货物以的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？． （Ⅱ）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物 以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．参考数据：．） 24.（2020高一下·重庆期末）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围. 全品高考复习方案数学(理科) RJA 第六单元不等式、推理与证明 1.编写意图 (1)重视不等式本身的知识、方法的讲解和练习力度,以基本的选题和细致全面的讲解进行组织,使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法,为不等式的应用打下良好的基础. (2)二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题,是高考重点考查的两个知识点,我们不把探究点设置为简单的线性规划问题,而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划),含有参数的平面区域以及生活中的优化问题,这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题. (3)对于合情推理,主要在于训练学生的归纳能力,重点在一些常见知识点上展开. 2.教学建议 (1)在各讲的复习中首先要注意基础性,这是第一位的复习目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变式题学生都可以独立完成,在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用,教师引导学生独立思考完成这些探究点,并给予适度的指导和点评. (2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题的难点是数学建模,本单元涉及了较多的应用题,在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程. (3)不等式在高考数学各个部分的应用,要循序渐进地解决,在本单元中涉及不等式的综合运用时,我们的选题都很基础,在这样的探究点上不要试图一步到位,不等式的综合运用是整个一轮复习的系统任务,在本单元只涉及基本的应用,不要拔高. (4)推理与证明是培养学生良好思维习惯,学习和运用数学思想方法,形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的梳理和提升.务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识. 3.课时安排 本单元共7讲,一个小题必刷卷(九),建议每讲1个课时完成,小题必刷卷1个课时完成,本单元建议用8个课时完成复习任务. 第33讲不等关系与不等式 考试说明了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 考点考查方向考例考查热度 不等式的性 比较数、式的大小2017全国卷Ⅰ11 ★☆☆质 不等式性质 求参数的值、范围★☆☆的应用 真题再现 ■[2017-2013]课标全国真题再现 [2017·全国卷Ⅰ]设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则() 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.360docs.net/doc/c26769331.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.360docs.net/doc/c26769331.html,) 原文地址： https://www.360docs.net/doc/c26769331.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 高考数学高三模拟试卷试题压轴押题阶段质量检测（二） (A卷学业水平达标) (时间90分钟，满分120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是( ) ①y＝cos x(x∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y＝cos x(x∈R)是周期函数． A．①②③B．②①③ C．②③① D．③②① 解析：选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③. 2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①a·b＝b·a； ②(a·b)·c＝a·(b·c)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c. 则正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选 B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根 解析：选A “至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”． 4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( ) A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 一、选择题 1．现有以下结论： ①函数1 y x x =+ 的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则 2b a a b +≥； ③ y =2； ④函数()4 230y x x x =-->的最小值为2-. 其中，正确的有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）． A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．[]0,4 D ．(](),04,-∞?+∞ 3．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14 a b +的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 4．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41 x 1y ++的最小值为( ) A ． 447 B ． 275 C ． 143 D ． 92 5．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ?? + ??? 的最小值是（ ） A ． 11 2 B ．5 C ．2+ D ．3+ 6．已知2m >，0n >，3m n +=，则11 2m n +-的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7．若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点 (),P x y ，则PA PB ?的最大值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 8．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,0α>,则不等式20cx bx a ++>的解集是( ) A ．11,βα?? ??? B ．11, ,βα????-∞+∞ ? ??? ?? 课时跟踪训练(三十八) [基础巩固] 一、选择题 1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数( ) A.2390 B.9923 C.815 D.730 [解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730. 选D. [答案] D 2．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规 律，则a 99＋a 100的值为( ) A.3724 B.76 C.1115 D.715 [解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列 到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78， 69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A. [答案] A 3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52018的末四位数字为( ) A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125 [解析]∵55＝3125,56＝15625,57＝78125， 58＝390625,59＝1953125，…，∴最后四位应为每四个循环，2018＝4×504＋2，∴52018最后四位应为5625. [答案] B 4．(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形 如以下形式的等式具有“穿墙术”：22 3＝2 2 3，3 3 8＝3 3 8，4 4 15＝4 4 15， 55 24＝5 5 24，…，则按照以上规律，若9 9 n＝9 9 n具有“穿墙术”，则n＝ () A．25 B．48 C．63 D．80 [解析]由22 3＝2 2 3，3 3 8＝3 3 8，4 4 15＝4 4 15，5 5 24＝5 5 24，…， 可得若99 n＝9 9 n具有“穿墙术”，则n＝9 2－1＝80，故选D. [答案] D 5．(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是() A．甲丙B．乙丁 C．丙丁D．乙丙 [解析]如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D. [答案] D 6．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i(i＝1,2,3,4)， 此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a1 1＝ a2 2＝ a3 3＝ a4 4＝k， 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 阶段质量检测（二） 函 数 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数y ＝x 2＋1的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 解析：选B 由题意知，函数y ＝ x 2＋1的定义域为R ，则x 2＋1≥1，∴y ≥1. 2．函数f (x )＝1＋x ＋1 x 的定义域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞) C ．[－1,0)∪(0，＋∞) D ．R 解析：选C 要使函数有意义，需满足? ???? 1＋x ≥0， x ≠0，即x ≥－1且x ≠0.故选C. 3．已知f ????1 2x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－7 4 B.74 C.43 D ．－43 解析：选B 设1 2x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，t ∈R ，∴f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，∴f (x )＝4x －1.由f (a )＝6得4a －1＝6，即a ＝7 4 . 4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 解析：选A 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，所以－1－a ＋2a ＝0，所以a ＝1，所以函数f (x )的定义域为[－2,2]．因为函数图象的对称轴为直线x ＝0，所以b ＝0，故f (x )＝x 2＋1，所以当x ＝±2时函数取得最大值，最大值为5. 5．已知函数f (x )＝????? x ＋1x －2，x >2， f (x ＋3)，x ≤2，则f (2)的值等于( ) A ．4 B ．3 第三章综合检测 一、选择题 4．设M ＝a ＋1a －2 (2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋1 16)(x ∈R)那么M 、N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜N D ．不能确定 [答案] A [解析] M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1 a －2 ＋2＞4， (∵2＜a ＜3) N ＝log 0.5(x 2＋116)＜log 0.51 16 ＝4，∴M ＞N . 5．已知函数f (x )＝? ???? x ＋2 x ≤0 －x ＋2 x >0则不等式f (x )≥x 2的解集为 ( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,1] D ．[－1,2] [答案] A [解析] 本题考查分段函数的概念及一元二次不等式的解法． 解法一：(排除法)当x ＝2时，f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2不成立，排除B 、D 选项；当x ＝－2时f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2 不成立，排除C 选项． 解法二：(直接法)当x ≤0时，原不等式化为x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤2， 又∵x ≤0，∴－1≤x ≤0； 当x >0时，原不等式化为－x ＋2≥x 2， ∴－2≤x ≤1， 又∵x >0，∴0 第六章不等式推理与证明 (时间120分钟，满分150分) 、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1 .不等式(x + 1) x — 1> 0的解集是 A . {x|x > 1} 解析：■/ x — 1> 0, /? x > 1. 同时 x + 1> 0,即卩 x > — 1.二 x > 1. 答案：B 2 .下列命题中的真命题是 答案: x w 0 x 2> 1，从而得 x > 1 或 x W — 1. 答案：D 2x + 1 4 .若集合 A = {x||2x — 1|v 3}, B = {x| v 0}，贝V A Q B 是 3 — x 1 A . {x|— 1 v x v — 2或 2v x v 3} B . {x|2v x v 3} 1 1 C . {x|—v x v 2} D . {x|— 1v x v — ^} 解析：T I2X — 1|v 3, ??? — 3v 2x — 1v 3.A — 1v x v 2. 2x + 1 又v 0, (2x + 1)(x — 3) > 0, 3 — x … 1 1 …x > 3 或 x v — 2* - - A Q B = {x| — 1 v x v — 2). {x|x > 1} C . {x|x > 1 或 x =— 1} {x|x >— 1 或 x = 1} A 门. .右 C .若 a > b , c > d ,贝U ac > bd a > b ,贝U a 2 > b 2 解析: 由 a >|b|,可得 a >|b|>0? 2 2 B .若 |a|> b ,则 a > b D .若 a > |b|,贝U a 2> b 2 a 2> b 2. x 2, x w 0 3 .已知函数 f(x) = 2x — 1, x >0 若f(x)> 1，则x 的取值范围是 A . ( — m,— 1] B . [1 ,+m ) C . ( — m, 0] U [1,+m ) ( — m, — 1] U [1 ,+m ) 解析：将原不等式转化为: x > 0 检测 用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12 112-+<<++k k k k k 3．22k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ （待学） 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> ，n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111123222222 n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1+???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N * ∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T < （二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：111 12112123 123n ++++ 阶段质量检测(一) 解三角形 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求) 1．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A ．9 B ．18 C ．9 3 D ．18 3 解析：选 C 在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝ BC sin A ，∴AC ＝ BC ·si n B sin A ＝ 6×sin 120° sin 30° ＝6 3. 又∵C ＝180°－120°－30°＝30°， ∴S △ABC ＝12×63×6×1 2 ＝9 3. 2．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A. 62 B.63 C.12 D.32 解析：选B A ＝180°－(60°＋45°)＝75°， 故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ， 即b ＝ c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60°＝6 3 ，故选B. 3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＝ 3(1－cos B )，则sin A 的值为( ) A. 24 B.34 C.64 D.32 解析：选C 由sin B ＝3(1－cos B )，得sin ? ????B ＋π3＝32.又0人教A版高中数学选修2-3同步阶段质量检测(一)
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