数码相机的定位数学建模

数码相机的定位

摘要

数码相机的定位问题，实际就是关于对图的处理，射影关系的确定以及多种坐标系之间相互转化的综合考察，该题一共给出四个问题，前三个问题是关于数码相机双目定位原理的解释与求算，在已知原靶标的基础之上，我们能够利用图像之间的关系，

实际点与射影点的相互关系来定位圆心，前三问分别是对该问题的解释，求算以及检验。

对于前三问，我们首先对图形进行处理，对给出的图像进行坐标化的处理可以让我们的计算由几何图形求解变成代数化处理，方便我们利用计算机辅助，而后的引入两个模型对圆心进行定位和计算，并利用共线和交比两个手段进行误差检验，。

模型一：我们利用射影后保持切线不变的性质来求解圆心坐标：对处理后的图像进行椭圆的多次拟合我们能够得到五个类椭圆的系数，随后我们通过切线的性质，找到任意两个椭圆的两组外公切点，通过外公切点的连线，没我们能够定位类椭圆的圆心坐标。

模型二：我们将靶标点成像看作是靶标向像点的映射，那么类椭圆的最上最下最左最右点也将是靶标上圆的四个极位点，他们的连线是靶标中圆的圆心，那么在类椭圆中，最上最下，最左最右四个点由于射影过程中上下左右位置并未改变，他们的连线同样可以确定圆心。同时由于淡出求解映射点的方式误差相对大一些，我们引入对畸变的修正模型，对畸变进行修正，通过交比不变的性质对畸变系数进行求解，得到准确的结果。

在我们得到圆心坐标后，我们分别考察了ABC的共线情况来计算两个模型的误差，同时再利用消影点的只是，考察了ABCM勺交比情况，得到实际理想状态下的交比为10:7 ，与我们的计算情况误差极小，确保了模型的准确性。

在解决了单个相机的定位问题，我们在第四问中解决两个相机的相互位置关系问题，我们首先推导了世界坐标系，相机坐标系以及像点坐标系的转化关系作为基础，再通过两个相机坐标系与世界坐标系的关系，找到单个坐标系向世界坐标系的转化矩阵，分别为旋转变化系数矩阵和平移变化系数矩阵，在定位两个坐标系分别于世界坐标系的转换方式后，我们最后在世界坐标系下找到两个相机坐标系的相对关系，通过高等代数的方法求解出两个相对坐标系的夹角。

关键词：公切线模型映射点模型畸变修正转化矩阵系统标定

一、问题重述

数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现

要求解决下列问题：

（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y 平面平行于像平面；

（2）对图中分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位（1 毫米约为3.78

个像素单位），相机分辨率为1024X 768;

（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

二、问题分析从问题中我们可以看出，本题的要求希望我们设计一套算法建立模型来对数码相机的标定过程进行求解，找到特征点对于固定的一部相机所在坐标系的对应坐标，前三个问题作为一体，从建模，求解，检验的三个环节来对提出的问题进行解答，第（4）问是在我们已经建立的算法体系下进行新的应用来解决两部数码相机相对位置的问题，因为题目中已经给出了需要求解的图片，我们必然要对图片根据要求进行处理和分析，具体的求解过程我们按问题来进行解释。

问题（1）：问题一强强调模型的构建和算法的提出，所以对模型的解释是第一问的重点，由于相机坐标系只有两个维度而真实的世界拥有三个维度，我们队模型的建立需要考虑透视射影的相关定理，并考虑相机所在坐标系和像所在坐标系的相互转化，为了确定靶标上的圆的圆心，我们需要根据特征点与圆心点的位置关系进行处理和判断，找到相关点的坐标从而确定圆心的坐标。

问题（2）：第二问是对第一问的具体求解应用，题目中给出了原图上的五个点及位置以及像图中五个点的变形情况以及相对位置，同时给出了图片的像素

来让我们对图片进行相关的处理，我们对图片进行处理后导入matlab，利用数

学上找特征点作图等手段来求解特征点从而找到圆心。

问题（3）:我们虽然找到了一定的方法来进行对圆心的求解，但是算法的误差水平我们并不知道，需要用一定的公理作为判断依据来对我们的记过进行误差与检验，得到误差及稳定性分析。这里我们利用交比不变的性质作为判断依据来求解第三问。

问题（4）在前几问中，我们已经通过对数码相机照相原理的分析，建立了相应的几种坐标系，现在，我们通过前几问对圆心坐标的求解，在已经建立的坐标系下判断两台相机的相对位置关系，这一问并没有给出具体的数据让我们进行计算，所以我们需要做的是找到具体的算法。

三、模型的假设

1. 相机的各种属性，外界的条件不会发生改变。

2. 物距远大于焦距，相机成像为简单的针孔成像。

3. 认为相机镜头是理想情况，成像时不考虑边缘效应，躁点等因素的影响

四、模型的建立与求解

4.1原理的解释与说明

4.1.1数码相机成像（凸透镜成像）原理

图：凸透镜成像原理

如图，其中u为物距，f为透镜焦距，v为像距，三者满足下列关系：

1 1 1

—r —= ---------------

u v f

当u>>v时可以认为v=f,这也就是我们假设中认为的简单的针孔成像情况。

4.1.2共线点交比的定义

假定X1 , X2 , X3 , X4为直线上的4个点,它们在某种参数化的齐次坐标为：

X i = （ U i , V i ）T , i = 1 ,2 ,3 ,4

4.1.3射影变换保持点的共线及交比不变性质

若A , B , C, D 4个点共线，则经射影变换后，其对应的像点A' , B ' , C' , D' 仍然共线，且交比保持不变，即：

cross ( A , B ; C, D) = cross ( A , B' ; C' , D')

4.1.4射影变换保持直线与圆的相切性质

圆的图像经射影变换后一般为椭圆，设直线AB外切于圆O，在此射影变换作用下，直线A B的像A' B'与圆O的像O '相切关系仍然保持。

4.1.5消影点

直线上的无穷远点在像平面上的投影点成为该直线上的消影点，即消影点只与直线的方向有关而与直线的位置无关。

4.2建模求解

关于靶标圆心在相机像平面内坐标的求解与检验(问题一、二、三)

4.2.1关于对图片的处理

对于题中给出的图像，如果我们需要利用matlab来进行处理和运算求解，

就需要先对图像进行处理，我们首先取出原图读入matlab,对图像进行数值化的处理得到一个1024*768的网格图像如下：

图：数值化处理后的问题图像

于是他们的交比可以定义为cross[x i , X2 , X3 , X4] =

|?1

切

1珂巾

严u2■ ■ ■U1徂4

珂％1

the figure of image

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

这样，我们可以很轻易地在坐标化处理后的图像中确定ABCDE五个类椭

圆上各点的点位坐标，将几何问题代数化来解决。

像素中的坐标转化为实际物理坐标有如下公式：

—512 V-384

X u= ------ Y v= --------------------

378 3J8

422利用模型求解

模型一：基于摄影变换切线不变性质的切线求解模型

我们在模型的原理解释中已经提到，射影变换中，靶标从原来的圆形变成像平面中的椭圆，但是切线仍然保持相切，所以我们的模型一以此作为最根本的依据，禾I」用任意两圆外公切线不变的性质来定位圆心。

一、椭圆方程的数据拟合

首先，经过对图片的处理以及根据像素转化的定位，我们能够确定像图类似椭圆上任意一点的坐标，此时我们认为该图形为椭圆，取椭圆方程的一般式作为基础来进行数据拟合得到五个椭圆的一般式方程。

椭圆的一般方程可以设为：

2 2

F( x , y) = x + ax y + by + ex + d y + e = 0

我们通过matlab自带的多元拟合函数直接对椭圆的系数进行拟合，拟合程序

见附录，我们在像点坐标系下可以得到五个椭圆的相应系数如下表：

二、利用公切线法求圆心

通过最小二乘法的拟合，我们得到了五个椭圆在像坐标内的一般方程，禾I」用公切线仍然相切这一性质，我们可以通过两次定位来找到两条直径，通过直径的交点来定位圆心。具体原理如下：

以求圆心C点的像坐标为例：作两圆B , C的外公切线,，C i , C2分别为圆C的两切点。类似地，作两圆C，D的外公切线，C3，C4为圆C两切点.。由几何关系知，两直线C1C2和C3 C4的交点必过圆心。根据射影变换保持点的共线性及相切关系仍然保持可知：圆心C勺像C'既在直线G' C2' 上,又在直线G' G'上。

具体圆的外公切线向椭圆的外公切线变化的示意图如下图所示，它们分别表示了圆上两条外公切线的位置关系和椭圆上外公切线的变化的位置关系，以及找到外公切点后连线定位坐标的方法，如下图：

利用以上的方法，我们列出找到切点的函数然后利用 matlab 自带的程序从四 点连线中定位圆心坐标最后得到模型一计算出的像的圆心坐标，通过转化公式， 我们得到物理坐标下的圆心坐标如下：

圆心

A B 圆心像坐标

(-50.960,51.247 ) (-24.127,49.220 ) C

D E (33.832,44.849)

(18.825，-31.797) (-61.174，-31.560) 模型二：利用映射关系建立模型求解

我们知道，相机拍照的过程可以看作是一个映射： 把把平面上的点映射到平 面上，在摄影过程中，对应直线对应点的相对关系是不变的， 所以在建立的靶标 上,找到两条相交于圆心的直线，求得交点就是圆心的像，又由于相机对平面图 形的照相保持上下、左右的位置关系，所以找到像上的极位点，最高最低最左最 右四个点相交，就是圆心。 模型建立：

在模型一之前我们已经对图像进行坐标化的处理， 得到1024*768的图像，在 图像中，我们通过逼近法对五个椭圆的四个几点进行逼近求解， 具体做法是：在 边界上纵坐标最大值y max ,然后再边界上找出所有纵坐标是y ma 的点，这样的点是 有限个，最后求这些点横坐标的平均值 x p ，这样我们可以认为（x p ，y max ）为该图 形的最上点，同理找出横坐标上的最大值 X max ，然后再边界上找到所有横坐标是 X ma 的点，这样的点同样是有限个，对这些点的纵坐标取平均值，记为y p ，这样我 们就找到了图形最右点的坐标，同理可以对最下点和最左点进行求解。

在我们得到了每一个类椭圆上四个极位点的坐标后，我们将最高点最低点、 最左点最右点连线，可以求得这两条线的交点，这就是圆心的像。

在matalb 中，我们找到这个模型的原始程序，调用fitellips 程序直接对图 像进行处理找到椭圆的极位点而后连心求解坐标，编写程序见附录及所附程序。 我们得到圆心坐标如下：

像点在像素坐标系下的圆心坐标：

%像素坐标%

A 322.9060 189.4297

B 422.7476 196.9219

图：靶标向像点转化下的外公切线定位圆心示意图

C 639.9191 212.9682

D 582.7035 503.1103

E 284.5989 501.8403

同样我们通过转化公式，得到物理系统下的圆心坐标:

%直角坐标系坐标%

A （ -50.0249，51.4737）

B （ -23.6117, 49.4916）

C （33.8410, 45.2465）

D （ 18.7046，-31.5106）

E （ -60.1590，-31.1747）

畸变修正：

1）畸变:

当离轴远近不同的物点成像时，横向放大率1不一定相同，这就形成了像差，

称为畸变。畸变并不影响成像的清晰程度，只改变像的几何形状。例如物面是垂 直于主轴且具有正方形网眼的平面〔如图（a ）〕，它的像仍是平面的，但成为由 曲线组成的网。当物点与主轴间的距离增大时，如果放大率随之增大，则称为枕 形畸变，此时畸变系数为正数〔如图（c ）〕；如果随之减小，则称为桶形畸变， 此时畸变系数为负数〔如图（c ）〕。

图：关于畸变的几种情况

2）修正模型

通过对畸变的描述，我们已经知道理论值与实际值由于摄影畸变的存在一定 会有一定程度上的误差，这是由于实际的镜头并不是理想的透视成像， 是映射的 同素性和结合型不能达到理想状态，所以我们建立畸变修正模型：

值，厂二门.：■辽，由一条直线上的四个点交比不变性质，我们可以通过求一组 点的像点实际坐标和理想坐标的方式求解畸变系数，最后我们得到优化后的实际 解。 具体做法：

我们虽然不能得到理想状况下的像点坐标，但是我们通过四个点交比不变的 性质，

其中（堺宾）为像点的实际坐标,

為?，覘）为像点在理想状态下的坐标