2020高考真题数学分类汇编—不等式参考答案
2020高考真题数学分类汇编—不等式
一、选择题（共3小题）
1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（）
A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．（2020•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）C．[5，+∞）D．（﹣∞，+∞）二．多选题（共1小题）
4．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）
A．a2+b2≥B．2a﹣b＞
C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤
三．填空题（共7小题）
5．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为．6．（2020•上海）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．7．（2020•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是．8．（2020•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为．
9．（2020•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为．10．（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．11．（2020•上海）不等式＞3的解集为．
2020高考真题数学分类汇编—不等式
参考答案
一、选择题（共3小题）
1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（）
A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；
B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；
C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误；
D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．
故选：B．
2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【解答】解：不等式f（x）＞0，即 2x＞x+1．
由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、
（1，2），如图所示：
不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故选：D．
3．（2020•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）C．[5，+∞）D．（﹣∞，+∞）
【解答】解：画出实数x，y满足约束条件所示的平面区域，如图：
将目标函数变形为﹣x+＝y，
则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大，
当目标函数过点A（2，1）时，截距最小为z＝2+2＝4，随着目标函数向上移动截距越来越大，
故目标函数z＝2x+y的取值范围是[4，+∞）．
故选：B．
二．多选题（共1小题）
4．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）
A．a2+b2≥B．2a﹣b＞
C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤
【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．
②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所
以：a＞0，b﹣1＜0，故B正确．
③，故C错误．
④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共7小题）
5．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为4．
【解答】解：a＞0，b＞0，且ab＝1，则++＝+＝+≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2+，b＝2﹣或a＝2﹣，b＝2+取等号，
故答案为：4
6．（2020•上海）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，
化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，
由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
联立，解得，即A（1，1）．
z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
7．（2020•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝x+2y得y＝﹣x+z，
平移直线y＝﹣x+z由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得A（2，3），
此时z＝2+2×3＝8，
故答案为：8．
8．（2020•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为7．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由解得A（1，2），
如图，当直线z＝3x+2y过点A（1，2）时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此时z取得最大值，即当x＝1，y＝2时，z max＝3×1+2×2＝7．
故答案为：7．
9．（2020•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为1．【解答】解：x，y满足约束条件，
不等式组表示的平面区域如图所示，
由，可得A（1，0）时，目标函数z＝x+7y，可得y＝x+，
当直线y＝x+过点A时，在y轴上截距最大，
此时z取得最大值：1+7×0＝1．
故答案为：1．
10．（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．
【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，
由x2≥0，可得y2∈（0，1]，
则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）
≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，
可得x2+y2的最小值为；
方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，
当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，
可得x2+y2的最小值为．
故答案为：．
11．（2020•上海）不等式＞3的解集为（0，）．【解答】解：由得，
则x（1﹣3x）＞0，即x（3x﹣1）＜0，解得，
所以不等式的解集是（0，），
故答案为：（0，）．
2017—2020年广东省春季高考数学真题分类汇编(含答案)
2017—2020年广东省春季高考数学真题分类汇编（含答案） 一、集合 1、（2020）1.已知集合则M N ⋃=（） A. B. C. D. 2、（2019）1．已知集合A＝{0，2，4}，B＝{－2，0，2}，则A∪B＝() A．{0，2} B．{－2，4} C．[0，2] D．{－2，0，2，4} 3、（2018）1．已知集合M＝{－1，0，1，2}，N＝{x|－1≤x＜2}，则M∩N＝（） A．{0，1，2} B．{－1，0，1} C．M D．N 4、（2017）1．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{1，2，3}，P＝{0，3}，则(M∪N)∩P等于() A．{0，1，2，3，4} B．{0，3} C．{0，4} D．{0} 二、复数 1.（2020） 2.设是虚数单位，则复数（） A. B. C. D. 2、（2019）2．设i为虚数单位，则复数i(3＋i)＝() A．1＋3i B．－1＋3i C．1－3i D．－1－3i 3、（2018）4．设i是虚数单位，x是实数，若复数x 1＋i的虚部是2，则x＝() A．4 B．2 C．－2 D．－4
4、（2017）3．设i 为虚数单位，则复数1－i i =( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 三、向量 1.（2020）16.设向量，若，则_____ 2、（2019）4．已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2，－1)，则|a ＋b |＝( ) A ．1 B. 5 C ．5 D ．25 3、（2019）13．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，用a ，b 表示AD →，正确的是 A.AD →＝14a ＋34 b B.AD →＝54a ＋14b C.AD →＝34a ＋14b D.AD →＝54a －14b 4、（2018）6．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(0，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．(2a －b )⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ·b ＝3 5、（2018）10.如图，O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是 ( ) A.DA →－DC →＝AC → B.DA →＋DC →＝DO → C.OA →－OB →＋AD →＝DB → D.AO →＋OB →＋BC →＝AC → 6、（2017）7．已知三点A (－3，3), B (0, 1)，C (1，0)，则|AB →＋BC →|等于( )
2020年中考数学《不等式与不等式组》真题汇编(带答案)
2020年中考数学《不等式与不等式组》 专题复习 (名师精选全国真题，值得下载练习) 一．选择题 1．（2019?上海）如果m＞n，那么下列结论错误的是（） A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n 2．（2019?永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2019?日照）把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（） A．B． C．D． 4．（2019?恩施州）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a 的取值范围为（） A．1＜a≤2B．1＜a＜2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2 5．（2019?云南）若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（） A．a＜2 B．a≤2C．a＞2 D．a≥2 6．（2019?绥化）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每
件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（） A．5种B．4种C．3种D．2种7．（2019?常德）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14 8．（2019?呼和浩特）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（） A．m＞﹣B．m＜﹣C．m＜﹣D．m＞﹣ 9．（2019?广元）不等式组的非负整数解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2019?无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（） A．10 B．9 C．8 D．7 11．（2019?聊城）若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤2B．m＜2 C．m≥2D．m＞2 12．（2019?怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每
天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-解答题(含解析)
天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-解答题 （含解析） 一、解答题 1．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知 16,2,cos 4 a b c A ===-. (1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中， 112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点． (1)求证：//EF 平面ABC ； (2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值； (3)求平面1A CD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值． 3．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=． (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式； (2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-； (3)求211(1)n k k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑． 4．（2022·天津·统考高考真题）椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，
上顶点为B ，且满足 32 BF AB = ． (1)求椭圆的离心率e ； (2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若 =OM ON ，且OMN 的面积为3，求椭圆的标准方程． 5．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x b x =-= (1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>． 6．（2021·天津·统考高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:2A B C =，2b =． （I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值； （III ）求sin 26C π⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭的值． 7．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点． （I ）求证：1//D F 平面11A EC ； （II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值． （III ）求二面角11A AC E --的正弦值． 8．（2021·天津·统考高考真题）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为 B 25 5BF = （1）求椭圆的方程；
2020高考真题数学分类汇编—不等式参考答案
2020高考真题数学分类汇编—不等式 一、选择题（共3小题） 1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．（2020•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）C．[5，+∞）D．（﹣∞，+∞）二．多选题（共1小题） 4．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（） A．a2+b2≥B．2a﹣b＞ C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤ 三．填空题（共7小题） 5．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为．6．（2020•上海）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．7．（2020•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是．8．（2020•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为．
9．（2020•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为．10．（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．11．（2020•上海）不等式＞3的解集为．
2020高考真题数学分类汇编—不等式 参考答案 一、选择题（共3小题） 1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误； B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确； C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误； D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误． 故选：B． 2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 【解答】解：不等式f（x）＞0，即 2x＞x+1． 由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、 （1，2），如图所示： 不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 故选：D．
高考数学专题《基本不等式及其应用》习题含答案解析
专题2.2 基本不等式及其应用 1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（ ） A B C D ．最小值是 3 【答案】B 【解析】 由题意得32 a c b +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】 因为320a b c -+=，所以32 a c b += ， =≤3a c =. 故选：B. 2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2ab a b ≤+”是“16ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，然后可选出答案. 【详解】 取100,2a b ==，则 2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b ≤+推不出16ab ≤， 练基础
反过来，若16ab ≤，则 2 ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号， 所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b ≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件， 故选：C 3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()22 14 S b c = + ，则ABC 的三个内角大小为（ ） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C === 【答案】B 【解析】 由ABC 的面积是()22 14 S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】 因为222b c bc +≥，所以()2211 42 S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1 sin 2 S bc A =, 所以11 sin 22 S bc A bc = ≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ， 因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B 4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足22 44x y +=，则xy 的最小值是（ ） A ．2- B ． C ． D ．1- 【答案】D 【解析】 运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》真题汇编及答案解析
新高中数学《不等式》专题解析 一、选择题 1．已知函数()2 f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值 为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪ +≤⎨⎪-≤⎩ ，作出不等式组所表示的平面区域，又 ()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值． 【详解】 由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪ +≤⎨⎪-≤⎩ ，可得(),P a b 的表示的平面区域如图： 可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为1 22 b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，
并将目标函数()242z f a b ==+变形为1 22 b a z =-+ 进行平移，找到截距的最大值． 2．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x =+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+ << ⎪⎝⎭ C ．( )2f x =D ．()4 2x x f x e e =+ - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1 f x x x =+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫ =+<< ⎪⎝⎭ ，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ( )2f x = = ，故( )3 f x ≥ ，C 错误； D. ( )4222x x f x e e =+-≥=，当4x x e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】 本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3．若,x y 满足约束条件360601 x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ ，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( ) A ． 116 B ． 18 C ．1 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】
北京三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-解答题(含解析)
北京三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-解答题 （含解析） 一、解答题 1．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，sin 23sin C C =． (1)求C ∠； (2)若6b =，且ABC 的面积为63，求ABC 的周长． 2．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点． (1)求证：MN ∥平面11BCC B ； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 3．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ． 以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E
（X ）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 4．（2022·北京·统考高考真题）已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b +=>>的一个顶点为(0,1)A ， 焦距为23． (1)求椭圆E 的方程； (2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值． 5．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+． 6．（2022·北京·统考高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若 对任意的{1,2,,}n m ∈，在Q 中存在12,,, ,(0)i i i i j a a a a j +++≥，使得 12i i i i j a a a a n ++++++ +=，则称Q 为m -连续可表数列． (1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4； (3)若12:,, ,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a ++ +<，求证：7k ≥． 7．（2020·北京·统考高考真题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为1BB 的中点． （Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；
不等式——2021年高考数学复习必备之2015-2020年浙江省高考试题分项解析
专题七 不等式 一、选择题 1．（2020·浙江高考真题）若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨ +-≥⎩，则z =2x +y 的取值范围是（ ） A ．(,4]-∞ B ．[4,)+∞ C ．[5,)+∞ D ．(,)-∞+∞ 2．（2020·浙江高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ） A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0 3.（2019年浙江卷）若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩ ，则32z x y =+的最大值是（ ） A. 1- B. 1 C. 10 D. 12 4.（2019年浙江卷）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.（2017年浙江卷）若x,y 满足约束条件x 0 {x+y-30 z 2x-2y 0 x y ≥≥=+≤，则的取值范围是（ ） A ．[0,6] B ．[0,4] C ．[6, +∞） D ．[4, +∞） 6.（2016年浙江文）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩ 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） A B C ．2 D 7.（2016年浙江理）已知实数a ，b ，c. （ ） A ．若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100 B ．若|a 2+b+c|+|a 2+b –c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100
2022版新高考数学总复习真题专题--不等式及其解法(解析版)
2022版新高考数学总复习--第七章 不等式 §7.1 不等式及其解法 — 五年高考 — 考点1 不等式的概念和性质 1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a >0,b >0,且a +b =1,则 ( ) A.a 2 +b 2 ≥1 2 B.2a -b >1 2 C.log 2a +log 2b ≥-2 D.√a +√b ≤√2 答案 ABD 2.(2018天津文,5,5分)已知a =log 372,b =(14)1 3,c =lo g 13 1 5,则 a , b , c 的大小关系为 ( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 答案 D 3.(2017山东理,7,5分)若a >b >0,且ab =1,则下列不等式成立的是 ( ) A .a +1b 全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲(含答案及解析)
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编： 20 不等式选讲 1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3； (2)若b=2c，则1 a +1 c ≥3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】 【分析】 （1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得0 (1) 证明：因为a >0，b >0，c >0，则a 3 2>0，b 3 2>0，c 3 2>0， 所以a 3 2+b 3 2+c 3 23 ≥√a 3 2⋅b 3 2⋅c 3 23 ， 即(abc )12≤13，所以abc ≤19，当且仅当a 32=b 32=c 3 2，即a =b =c =√1 9 3 时取等号． (2) 证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b +c ≥2√bc ，a +c ≥2√ac ，a +b ≥2√ab ， 所以 a b+c ≤ 2√bc = a 3 22√abc ， b a+c ≤ 2√ac = b 3 22√abc ， c a+b ≤ 2√ab = 3 22√abc a b +c +b a +c +c a + b ≤a 322√ab c +b 32 2√abc c 3 2 2√abc =a 32 + b 32 + c 32 2√abc = 12√abc 当且仅当a =b =c 时取等号． 3．【2021年甲卷文科】已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--． （1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112 a ≥ 【解析】 【分析】 （1）分段去绝对值即可画出图像； （2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 时a 的值可求. 专题06 不等式 多项选择题 1．（2019秋•崂山区校级期末）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB 为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（） A．a+b 2 ≥√ab（a＞0，b＞0） B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C．√ab≥21 a +1 b （a＞0，b＞0） D．a2+b2 2≥a+b 2 （a≥0，b＞0） 【分析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD， 所以：a+b 2 ≥√ab（a＞0，b＞0）． 由于CD2＝AC•CB＝ab， 所以DE=CD 2 OD =ab a+b 2 所以由于CD≥DE， 整理得：√ab≥2ab a+b =21 a +1 b （a＞0，b＞0）． 故选：AC． 2．（2019秋•胶州市期末）已知0＜α＜β＜π 2 ，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（） A．tanα+tanβ＝﹣k B．tan（α+β）＝﹣k C．k＞2√2D．k+tanα≥4 【分析】由题意利用韦达定理，基本不等式，得出结论． 【解答】解：∵已知0＜α＜β＜π 2 ，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，∴tanα+tanβ＝k＞0，tanα•tanβ＝2， ∴k＞2√tanα⋅tanβ=2√2， 故选：BC． 3．（2019秋•海南期末）下列说法中正确的有（） A．.不等式a+b≥2√ab恒成立 B．存在a，使得不等式a+1 a ≤2成立 C．.若a，b∈（0，+∞），则b a +a b ≥2 D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则2 x +1 y ≥8 【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断．【解答】解：不等式a+b≥2√ab恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确； 当a为负数时，不等式a+1 a ≤2成立．故B正确； 由基本不等式可知C正确； 对于2 x +1 y =(2 x +1 y )(x+2y)=4+4y x +x y ≥4+2√4y x ⋅x y =8， 当且仅当4y x =x y ，即x=1 2 ，y=1 4 时取等号，故D正确． 故选：BCD． 4．（2019秋•济南期末）下列函数中，最小值为2的是（）A．y＝x2+2x+3 B．y＝e x+e﹣x C．y=sinx+1 sinx ，x∈(0，π 2 ) D．y＝3x+2 考点10 基本不等式 一、考纲要求 1、掌握基本不等式2 ab ≤ 。 2、能用基本不等式证明简单不等式。 3、能用基本不等式求最值问题。 二、近五年江苏高考 基本不等式是江苏数学考纲要求的c 级要求，是江苏高考试卷重点考查的模块之一，基本不等式是求函数最值得一种重要的方式，纵观近五年江苏高考不难发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。在高考中属于中档题或者难题·因此在复习中要引起学生的重视。 三、考点总结 在学习中，要掌握运用基本不等式求函数的最值，要注意以下几点： ①掌握基本不等式满足的条件：一正、二定、三相等。 ②掌握基本不等式的一些常见变形，最终都要化成 d bx c ax ++ 的形式。 ③掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧，如三元变二元，二元变一元。以及双换元等。在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。 四、近五年高考题 1、（2019年江苏卷）平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4 (0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】设P(4 ,x x x + ),(x>0),则点P 到直线x +y =0的距离为 D= 2)4x x ==+≥ 当且仅当2 ,x x x = = 2、（2018年江苏卷）. 在中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点D ，且 ，则 的最小值为________． 【答案】9 【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知， , 由角平分线性质和三角形面积公式得 ，化简得 ，因此 当且仅当 时取等号，则 的最小值为. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 3、（2017年江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 【答案】 30 【解析】一年的运输次数为 600x ，总运费为3 600 x 万元． 一年的总运费与总存储费用之和为3 600 x ＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫x ＋900x .由基本不等式，当x ＝30时，上式取最小值，此时运输次数为20次，符合次数为整数的常识． 【小结】严格来讲，一年的运输次数为⎣⎡⎦⎤ 600x ，函数[x ]称为天花板函数，表示不小于x 的最小整数，即整数[x ]满足x ≤[x ]≤x ＋1. 4、(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 【答案】8. 【解析】解法1 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos B cos C ≠0，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又由tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ，从而得tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以 tan A ，tan B ，tan C >0，所以tan A tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，即tan A tan B tan C ≥22，即tan A tan B tan C ≥8，当 高考数学真题分类汇编不等式 一、单选题 1．（2021·全国（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．2 24y x x =++ B ．4 sin sin y x x =+ C ．222x x y -=+ D ．4ln ln y x x =+ 4．（2021·浙江）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于1 2 的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．（2020·浙江）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0 7．（2020·全国（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 9．（2019·浙江）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则 A ．当101,102b a = > B ．当101 ,104 b a =>C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =-> 12．（2018·全国（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+ 16．（2017·山东（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2 a b a a b b + <<+ B ． 21log ()2a b a b a b <+<+ C ． 21log ()2 a b a a b b + <+< D ． 21log ()2a b a b a b +<+ < 二、多选题 18．（2020·海南）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） 新单元《不等式》专题解析 一、选择题 1．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点， M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ） A ．⎫ +∞⎪⎪⎣⎭ B ．[ )1,+∞ C ．) +∞ D ．[)2,+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】 假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】 由抛物线方程知：()0,1F ， 设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=， M Q 为线段AB 的中点，12 022 x x x k +∴= =， M Q 在直线l 上，2 00121y kx k ∴=+=+， 20021122OM y k k k x k k +∴===+≥= 2 k =时取等号）， 即直线OM 斜率的取值范围为) +∞. 故选：C . 【点睛】 本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值. 2．已知,x y 满足约束条件230 23400x y x y y -+≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≥⎩ ，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1 （其中0,0m n >>），则11 2m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ． 32 【答案】D 【解析】 2020年高考精选真题重组卷03(新课标卷) 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x ＜1}，B ={x |3x ＜1}，则（ ） A.A ∩B ={x |x ＜0} B.A ∪B =R C.A ∪B ={x |x ＞1} D.A ∩B =∅ 【答案】A 【解析】∵集合A ={x |x ＜1}，B ={x |3x ＜1}={x |x ＜0}，∴A ∩B ={x |x ＜0}，故A 正确，D 错误； A ∪B ={x |x ＜1}，故B 和C 都错误．故选A ． 2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A.－5 B.5 C.－4＋i D.－4－i 【答案】A 【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A. 3．由不等式组⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ≤0，y ≥0， y －x －2≤0 确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1， x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2， 在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.18 B.14 C.34 D.7 8 【答案】D 【解析】由题意作图，图略，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝7 4，则所 求的概率P ＝7 42＝7 8 .选D. 4．等比数列{a n }中,a 4＝2,a 5＝5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】C 【解析】lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C. 5．设f (x )＝2(),01 ,0x a x x a x x ⎧-≤⎪ ⎨++>⎪ ⎩，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A.[－1,2] B.[－1,0] C.[1,2] D.[0,2] 2020年高考数学压轴必刷题 专题07不等式(文理合卷) 1．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是（） A．①B．②C．①②D．①②③ 【解答】解：将x换成﹣x方程不变，所以图形关于y轴对称， 当x＝0时，代入得y2＝1，∴y＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）； 当x＞0时，方程变为y2﹣xy+x2﹣1＝0，所以△＝x2﹣4（x2﹣1）≥0，解得x∈（0，]， 所以x只能取整数1，当x＝1时，y2﹣y＝0，解得y＝0或y＝1，即曲线经过（1，0），（1，1）， 根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1）， 故曲线一共经过6个整点，故①正确． 当x＞0时，由x2+y2＝1+xy得x2+y2﹣1＝xy，（当x＝y时取等）， ∴x2+y2≤2，∴，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；故②正确． 在x轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误． 故选：C． 2．【2016年浙江理科08】已知实数a，b，c．（） A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100 B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100 C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100 D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100 【解答】解：A．设a＝b＝10，c＝﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100； B．设a＝10，b＝﹣100，c＝0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100； C．设a＝100，b＝﹣100，c＝0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|＝0≤1，a2+b2+c2＞100； 故选：D． 3．【2014年浙江理科10】设函数f1（x）＝x2，f2（x）＝2（x﹣x2），，，i＝0，1，2，…，99．记I k＝|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k＝1，2，3，则（） A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1 【解答】解：由，故1，由，故1， ， 故I2＜I1＜I3， 故选：B． 4．【2013年北京理科08】设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）， 新数学高考《不等式》专题解析 一、选择题 1．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则 tan 6 tan tan tan A B C A +⋅的最小值为（ ） A B C D ． 32 【答案】B 【解析】 【分析】 根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故 tan 3tan A B =， 3t 53tan 4an 6 ta 3ta tan tan n n B A B C A B ⎛⎫= + ⎪⎝+⎭ ⋅，计算得到答案. 【详解】 由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=， 即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+. 2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =. 由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =. 易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >. πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=- -⋅24tan 3tan 1 B B =-， tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝ ⎭34≥⨯ 当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】 本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2．变量,x y 满足约束条件1 {2 314 y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则 实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}- C ．{0,1} D ．{3,0,1}- 【答案】B 【解析】2020年高考新题型专题06 不等式(解析版)
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