2007-2016年安徽省高中数学竞赛初赛试题及标准答案详解

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题

一.选择题

1.如果集合.A B 同时满足{}1.

2.

3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对

(),A B 为“好集对”

。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ )个。

64862A B C D

2.设函数()()lg 101x f x -=+，()()

122x x f f --=方程的解为（ ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101

A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从１０0到500的全体三位数按顺序排列而成那么Ａ除以126的余数是( ）

4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D

为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.

设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则（ )

2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007

.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==

5．在正整数构成的数列1.3.５.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ，易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597

6.

设A B ==1+cos871-cos87 则():A B =

.. .A B C D 22

７.边长均为整数且成等差数列，周长为60的钝角三角形一共有＿＿＿___＿＿＿_____种.

8.设2007n ≥,且n

为使得n

n a +=

取实数值的最小正整数，则对应此n 的n a 为 783660A B C D

9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,1０都是奇异数．那么在2７,42,６9，１1１,1２５,13７，３4３,８９９,３５9９,７999这10个数中奇异数有_______＿______＿______个.

10．平行六面体1111ABCD A B C D -中，顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序）分别为__＿＿___＿______＿____

11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x == ()()()()()()()()()()()()()()()()()

1121,,,

n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n ＝2，3,4… 设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ?=??=??=??

的解为＿____＿_＿_＿＿

___＿_＿

１2.设平行四边形ABCD 中

,4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为________＿_____＿

三．解答题

1３.已知椭圆22

412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合). 1）若AOB ∠为钝角或平角（O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.

2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.

3)问题２)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.

1４． 数列{}n x 由下式确定: 112,1,2,3,,121n n n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)

15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足

,ayz bzx cxy p x y z ++=其中p 为给定的正实数，试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当