高等数学习题详细讲解_第4章_微分中值定理与导数的应用

高等数学习题详细讲解_第4章_微分中值定理与导数的应用
高等数学习题详细讲解_第4章_微分中值定理与导数的应用

习题4-1

1.验证下列各题的正确性,并求满足结论的ξ的值: (1) 验证函数()cos 2f x x =在区间[,]44

ππ

-上满足罗尔定理;

(2) 验证函数()f x =

[4,9]上满足拉格朗日中值定理;

(3) 验证函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理. 解:(1) 显然()cos 2f x x =在[,]44ππ

-

上连续,在(,)44

ππ

-可导,且()()044

f f ππ

-==,

又 ()2sin 2f x x '=-,可见在(,)44ππ

-

,存在一点0ξ=使

()0

0(2sin 2)0.f x ξ='==-=

(2) ()f x =[4,9]上连续,()

f x '=,即知()f x =

(4,9)可导,

(9)(4)1

945f f -==-25

4

x =,

即在(4,9)存在25

4

ξ=使拉格朗日中值公式成立.

(3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续,在开区间)2,1(可导,且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于 ,371

2)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f ,23

)()(x x g x f =''

令,3723=x 得.914=x 取),2,1(9

14

∈=ξ则等式 )

()

()1()2()1()2(x g x f g g f f ''=

-- 成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.

2.不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根,并指出这些根的围.

解 因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件,从而,在(2,1)--至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点;

又在(1,0)-至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点.

又因为)(x f '为二次多项式,最多只能有两个零点,故)(x f '恰好有两个零点,分别在区间(2,1)--和(1,0)-.

3.设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数,试证对任意正数a ,存在

(,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=.

证 因()f x (,)-∞∞处处可导,则()f x 在[]a a -,上应用拉格朗日中值定理:存在

()a a ξ∈-,,使

()()()(())f a f a f a a ξ'--=?--.

由)(x f 是奇函数,则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有

()()f a af ξ'=.

4.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:

(1) 当0b a >>时,

ln b a b b a

a a

b -->>

; (2) 若1x ≠, 则x

e xe >.

证(1) 当0b a >>时,设()ln ,f x x =则)(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日定理的条件.故

()()()()f b f a f b a ξ'-=- (),a b ξ<< 由1

(),f x x

'=且111,a b ξ>>得:

ln b a b b a b a

a a b

ξ--->=>. (2) 若1x ≠,不妨设>1x ,令(),x

f x e =则)(x f 在[1,]x 上满足拉格朗日定理的条件.故

()(1)()(1)f x f f x ξ'-=- (1),x ξ<<

从而1x e xe e xe xe ξξ

=+->>.

5.应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式: (1) arcsin arccos (11)2x x x π

+=-≤≤;

(2) arctan 2x π

+=

.

证(1) 设()arcsin arccos f x x x =+,],1,1[-∈x

,01111)

(22=???

?

??--+-'x x x f ∴,)(C x f ≡].1,1[-∈x 又 ,2

2

0arccos 0arcsin )0(π

π

=

+=+=x f 即.2

π

=

C

∴.2

arccos arcsin π

=

+x x

(2)

设()arctan f x x =+,

因为2

1()01+f x x '==,

所以 ()f x C ≡,C 是常数. 又

(1)arctan1442

f πππ=+=+=, 即.2π=C

arctan 2

x π

+=

.

6.设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使

2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-

证 作辅助函数3

(),g x x =则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件,故在)

1,0(至少存在一点,ξ使

2

(1)(0)()

.103f f f ξξ'-=-

即 2

()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-

习题4-2

1.写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式. 解 x x x f ln )(3=, ,0)1(=f

22()3ln ,f x x x x '=+ ,1)1(='f ()6ln 5,f x x x x ''=+ (1)5,f ''= ()6ln 11,f x x '''=+ (1)11,f '''=

(4)6

(),f x x

= ,6)1()4(=f

,

6)(2

)5(x x f -= .6)(2)

5(ξξ-=f 于是所求泰勒公式为

x x ln 3)1(-=x 2)1(!25-+

x 3)1(!311-+x 4)1(!46

-+x ,)1(!5652

--x ξ

其中ξ在1与x 之间.

2. 写出函数1

()f x x

=在01x =-处的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式. 解 1

()f x x =

, (1)0,f -= 21

(),f x x '=-

(1)1,f '-=- 32

(),f x x ''= (1)2,f ''-=-

46

(),f x x

'''=-

(1)6,f '''-=- ()1!

()(1),n n n n f x x

+=- ()(1)!n f n -=-

于是所求的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式为

()0

(1)

()(1)((1))!k n

k n k f f x x o x k =-=+++∑

0(1)((1)).n

k n k x o x ==-+++∑

3.求下列函数的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式: (1)

x xe x f -=)(;

(2) 1()1x f x x

-=+. 解 (1)因为

),()!

1()(!2)()(111

2---+--++-+-+=n n x

x o n x x x e

所以

3

12(1)()2!

(1)!

n n x

n x x xe

x x o x n ---=-+-

++-

11(1)()(1)!

k n

k

n k x o x k -=-=+-∑. (2) 由 )(111

2n n x o x x x x

+++++=- 知

21

1(1)()1n n n x x x o x x

=-+-+-++ 故 1()1x f x x -=+212

111x x x

--==-++

22[1(1)()]1n n n x x x o x =-+-+-+-

01(1)2()n

k k n k x o x ==-+-?+∑.

4. 用泰勒公式计算下列极限: (1) 2

2

30cos lim

sin x x x e x x

-

→-;

(2) 2

(cos )sin x x x e x

→-?

解 (1) x cos ),(!4!214

42x o x x ++-=2

2x e -2

442

11(),222!

x x o x =-++? ∴2

2

cos x x e

-

-44211

(

)(),4!22!

x o x =-+? 又3sin x x 4~,x

从而

2

2

30cos lim sin x x x e x x -→-44

4

01()12lim x x o x x →-

+=1.12=-

(2)

24661131()242!83!

x x x o x =+-++??

∴2

2x -46611()44

x x o x =-++

x cos ),(!4!21442x o x x ++-=2x e ),(!

21

1442x o x x +++=

∴2

cos x x e -24

43(),224

x x o x =-

-+ 又2sin x 2

~,x

从而

2

2

202lim (cos )sin x x x x e x →--?46646611()443()

224

x x o x x x o x -++=--+114362-

==-. 5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值,并估计误差: (1) 6

ln

5

(2) e .

解 (1) 23111(1)ln(1)(1)23(1)(1)

n

n n n n x x x x x x n n x θ+-+-+=-+-+-+++ 上式中,取3n =得

234

4

ln(1)234(1)

x x x x x x θ+=-+-+).10(<<θ 以1

5

x =代入得

6ln 52

5111110.182752535

≈-+=,(取小数点后四位) 其误差 4R 444

4111

()=4105454(1)5

θ-=

e 12)!

1(!!21+++++++=n x

n x n e n x x x θ (01)θ<<. 取,1=x 5n =得 e 1111

11 2.7083,2!3!4!5!

≈+++++=(取小数点后四位) 其误差 6R 6!e <

3

0.0042.6!

<= 习题4-3

1.计算下列极限:

(1) 0lim sin x x

x e e x

-→-;

(2) 2

ln cos 2lim ()x x

x ππ→-;

(3) 02lim sin x x x e e x

x x

-→---;

(4) 1ln(1)

lim

arctan 2x x x π

→+∞+-; (5) cot lim

cot 3x x

x

π→;

(6) 0ln lim ln cot x x

x

+→;

(7) 20tan lim tan x x x

x x

→-;

(8) 2

2301

lim sin 2x x e x x x

-→+-; (9) 0ln sin 3lim ln sin 2x x

x

+→;

(10) 2lim x

x x e

-→+∞

;

(11) 2

lim cot ln()2

x x x π

π

+→

?-

;

(12) 20

11

lim(

)sin x x x x →-; (13) 1

1lim 1ln x x x x →??-

?-??

; (14) 0

11lim 1x

x e x →??-

?-??

; (15) 2

1

lim(cos 2)x x x →;

(16) 1

1

lim (ln )

x x x -→+∞

;

(17) lim x x x x x e e e e --→+∞-+; (18) sin lim sin x x x

x x

→∞-+;

解 (1) 00lim lim 2sin cos x x x x

x x e e e e x x

--→→-+==;

(2) 2ln cos 2lim ()x x x ππ→-2tan 2lim 2()x x

x ππ→-=-24sec 2lim 2

x x π→-==-2; (3) 02lim

sin x x x e e x x x -→---0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x

x x x e e e e e e x x x

---→→→+--+====-; (4) 1ln(1)lim arctan 2x x x π→+∞+-2111lim 11x x x x →+∞-+=-+2

2

1lim

1

1x x x x →+∞-+=-+221lim x x x x →+∞+=+=1; (5) cot lim cot 3x x x π→22csc lim 3csc 3x x x π→-=-22sin 3lim 3sin x x x π→=2sin 3cos33lim 32sin cos x x x x x

π→?=?;

sin 3cos3lim lim sin cos x x x x x x ππ→→=?3cos3lim 1cos x x x

π→=?=3

(6) 0ln lim ln cot x x x +→201lim csc cot x x x x +→=-2

01

lim csc cot x x x x

+→=-0sin cos lim x x x x

+→=-=-1; (7) 20tan lim tan x x x x x →-30lim tan x x x x →=-2203lim sec 1x x x →=-2

203lim 3tan x x x

→==;

(8) 22301lim sin 2x x e x x x -→+-22301

lim (2)x x e x x x -→+-=23022lim 84x x xe x x -→-+=?2201lim 16x x e x -→-= 2

021

lim

3216

x x xe x -→==;

(9) 0ln sin 3lim ln sin 2x x x +→03cot 3lim 2cot 2x x x +→=03tan 2lim 2tan 3x x x +→=032lim 123x x

x

+

→==;

(10) 2lim x

x x e -→+∞2lim x x x e →+∞=22lim lim 0x x x x x e e

→+∞→+∞===;

(11) 2

lim cot ln()2x x x ππ+→?-2ln()2lim tan x x x ππ+→-=2

2

12lim sec x x x ππ

+

-= 2

2cos lim 2x x x π

π

+

=-

2

2cos sin lim 01

x x x

π

+

-==;

(12) 2011lim()sin x x x x →-20sin lim sin x x x x x →-=30sin lim x x x

x →-=

20cos 1lim 3x x x →-=0sin lim 6x x x →-=1

6

=-; (13) 11lim 1ln x x x x →??- ?-??1

ln 1lim (1)ln x x x x x x →-+=-1ln lim 1ln x x x x x

→=-+

第3章 微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ,这是极限值与函数值(貌似是邻域)之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ,这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理: 条件:闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论:在开区间(a,b)上存在ζ ,使得()0f ζ= 4、介值定理: 条件:闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论:对于任意min(,)max(,)A B C A B <<,一定在开区间(a,b)上存在ζ,使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论: 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件:闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导,f(a)=f(b) 结论:在开区间(a,b)上存在ζ ,使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件:闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导 结论:在开区间(a,b)上存在ζ ,使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件:闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导,()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论:在开区间(a,b)上存在ζ ,使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况,当g(x)=x 时,柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理,拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值,一般命题人出题证明存在0值,一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制,那就是,零点定理两端点相乘小于0,则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同,则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等,那么还是别用罗尔定理了,两端相等,证明0值是采用罗尔定理的明显特征。 拉格朗日定理是两个端点相减,所以一般用它来证明一个函数的不等式: 122()()-()1()m x f x f x m x <<; 一般中间都是两个相同函数的减法,因为这样便 于直接应用拉格朗日,而且根据拉格朗日的定义,一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意 正常求极限是不允许使用洛必达法则的,洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种: 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。 如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

微分中值定理例题

理工大学 微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤121212 121212122111211121 1221设证明对任何的x 0,x0,有(x+x)(x)+f(x). 解:不妨设xx,(x)=f (x+x)-f(x)-f(x) =f(x+x)-f(x)-f(x)-f(0) =f()x-f()x=xf()-f()=xf-.因为,0xx()ξζ?''<<<<2112x+x,又f0,所以(x)0,所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f ()在(a ,)内二阶可导,且()0,,(a ,),0,,,且则,试证明(()+()++(). 解:设同理可证:()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注:x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在,上连续,在(,)内可导,且f (0)=0,求证:至少存在(0,),使得2f ( 证明:构造辅助函数:(x)=f(x)tan 则(x)在,上连续, 在(,)内可导, 且))所以(x)在,上满足罗尔定理的条件,故由罗尔定理知:至少存在(0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=,),使得,而f(x)f()又(0,),所以,上式变形即得:2f (,证毕。

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导 数和微分【字体:大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义 设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,当自变量x在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量;如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点处可导,并称这个极限为函数 y=f(x)在点处的导数,记为 即 其它形式 关于导数的说明: 在点处的导数是因变量在点处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导。 对于任一,都对应着f(x)的一个确定的导数值,这个函数叫做原来函数f(x)

的导函数,记作 注意: 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题: 例1、115页8 设函数f(x)在点x=a可导,求: (1) 【答疑编号11030101:针对该题提问】 (2) 【答疑编号11030102:针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数: 2.右导数: 函数f(x)在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f(x)=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103:针对该题提问】 解

闭区间上可导的定义:如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且及都存在,就说f(x)在闭区间[a,b]上可导. 由定义求导数 步骤: 例3、求函数f(x)=C(C为常数)的导数。 【答疑编号11030104:针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105:针对该题提问】 解

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式 微分中值定理主要有下面几种: 1、费马定理:设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理:若函数()f x 满足如下条件: (1)()f x 在闭区间[,]a b 上连续; (2)()f x 在开区间(,)a b 内可导; (3)()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理:若函数()f x 满足如下条件: (1)()f x 在闭区间[,]a b 上连续; (2)()f x 在开区间(,)a b 内可导; 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理:若函数()f x ,()g x 满足如下条件: (1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导; (3)()f x ',()g x '不同时为零; (4)()()g a g b ≠; 则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续; ⑵()f x ''在(,)a b 内存在; ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式:211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章 微分中值定理及其应用 上册P 178—180 习题解答 1. 设0)(0>'+x f ,0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ,?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f , 此时00<-x x ,?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f , 即)()(0x f x f >; 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ,?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f , 此时00>-x x ,?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f , 即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在 点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都 不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

最新微分中值定理习题五

微分中值定理习题五

微分中值定理习题五 1、?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 2、?Skip Record If...? 3、?Skip Record If...? 4、?Skip Record If...? 5、?Skip Record If...? 6、?Skip Record If...? 7、?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 8、?Skip Record If...? 9、?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 10、?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 11、?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 12、?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 13、?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 14、?Skip Record If...? 15、?Skip Record If...? 16、?Skip Record If...?

17、?Skip Record If...? 18、?Skip Record If...? 19、?Skip Record If...? 20、?Skip Record If...? 21、?Skip Record If...? 22、?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 23、?Skip Record If...? 24、?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 25、?Skip Record If...? ?Skip Record If...?,?Skip Record If...? 26、?Skip Record If...? 27、?Skip Record If...? 28、?Skip Record If...? 29、?Skip Record If...? 30、?Skip Record If...? 31、?Skip Record If...? 32、?Skip Record If...? 33、?Skip Record If...? 34、?Skip Record If...? 35?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?. 36、 ?Skip Record If...?

一元微分中值定理练习题

一元微分中值定理练习题 一、证明ff (nn )(ξξ)=00成立 1.若函数f(x)在(a,b)内有二阶导数,且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中 a 0, 证明存在ξ∈(a,b),使得f ′′(ξ)=0。 4.设曲线y=f(x)在[a,b]上二阶可导,连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线交曲线于点C(c,f(c))(a

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则,且存在,,设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>( ) 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值,在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==( ) 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=( ) ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值,F (x)=f (x)g (x),则F(x)在x=a 处( ) (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=( ) (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是( ) (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+, (D) ) 1(∞+-, 8、函数)x (f 在0x x = 处连续,若0x 为)x (f 的极值点,则必有( ) . (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时,处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=( ) ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、(),则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线,若 )x (f y )x (f x 00=( ) 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 , 必为曲线的拐点, )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=. 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=.

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”,虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解,但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1.教学目的与要求:掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究,熟练应用L'Hospital法则求不定式极限,熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2.教学重点与难点: 重点是中值定理与函数的Taylor公式,利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题,函数的凸性. 3.教学内容: §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理,并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

高等数学导数与微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。 (1)223)1(-=x x y ; (2)x x y sin = ; (3)bx e y ax sin =; (4))ln(22a x x y ++=;(5)11arctan -+=x x y ;(6)x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 (1)0)cos(sin =+-y x x y ;(2)已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 (1),αx y =求)(n y ; (2),2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 (1))0(,>=x x y x ; (2)2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ,在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f ',其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案: 1、(1)解:])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 (2)解:2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 (3)解:bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目:微分中值定理及其应用 论文作者:XXX 指导教师:XXX 学科专业:数学与应用数学 提交论文日期:2010年4月20日 论文答辩日期:2010年4月28日 学位授予单位:四川文理学院 中国 达州 2010年4月

目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,()()0f a f b ==,证明:R λ?∈, (,)a b ξ?∈使得:()()0f f ξλξ'+=。 。 2. 设,0a b >,证明:(,)a b ξ?∈,使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数,且(1)0f =,有2()()F x x f x =证明:在(0,1) 内至少存在一点ξ,使得:()0F ξ''=。 证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,0)0(=f ,1)1(=f .证明: (1)在(0,1)内存在ξ,使得ξξ-=1)(f . (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ,1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0,2a]上连续,)2()0(a f f =,证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导,且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续,在(0 ,1)内可导,b a <<0,证明存在),(,b a ∈ηξ, 使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略) 11. 设)(x f 在a x ≥时连续,0)(时,0)(/>>k x f ,则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根 根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得: 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即:1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<,故当0x →时,0ξ→,由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得:0lim x +→1cos 0ξ=,即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明:02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。

数学分析之微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 教学目的: 1.掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础; 2.熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限; 3.掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题; 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象; 5.会求函数的最大值、最小值,了解牛顿切线法。 教学重点、难点: 本章的重点是中值定理和泰勒公式,利用导数研究函数单调性、极值与凸性;难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数:14学时 § 1 中值定理(4学时) 教学目的:掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求:深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系。 教学重点:中值定理。 教学难点:定理的证明。 教学难点:系统讲解法。 一、引入新课:

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系,引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下,自然提出另外一个基本问题:导数有什么用?俗话说得好:工欲善其事,必先利其器。因此,我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问:若函数可导,则它应该有什么特性?由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性(板书课题) 二、讲授新课: (一)极值概念: 1.极值:图解,定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. (二)微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.360docs.net/doc/cf10323335.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且

微分中值定理习题课

第三 微分中值定理习题课 教学目的 通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解,使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识. 教学重点 对知识的归纳总结. 教学难点 典型题的剖析. 教学过程 一、知识要点回顾 1.费马引理. 2.微分中值定理:罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理. 3.微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,则这段弧上至少有一点C ,使曲线在点C 处的切线平行于弦AB . 4.罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的,但不是必要的.即当条件满足时,结论一定成立;而当条件不满足时,结论有可能成立,有可能不成立. 如,函数 (){ 2 ,01,0 , 1 x x f x x ≤<== 在[]1,0上不满足罗尔定理的第一个条件,并且定理的结论对其也是不成立的.而函数 (){ 2 1,11,1, 1 x x f x x --≤<= = 在[]1,1-上不满足罗尔定理的第一和第三个条件,但是定理的结论对其却是成立的. 5.泰勒中值定理和麦克劳林公式. 6.常用函数x e 、x sin 、x cos 、)1ln(x +、α )1(x +的麦克劳林公式. 7.罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系. 8.00、∞∞ 、∞?0、∞-∞、00、∞1、0 ∞型未定式. 9.洛必达法则. 10.∞?0、00、∞1、0 ∞型未定式向00或∞∞ 型未定式的转化. 二、练习 1. 下面的柯西中值定理的证明方法对吗?错在什么地方?

由于()x f 、()x F 在[]b a ,上都满足拉格朗日中值定理的条件,故存在点()b a ,∈ξ,使得 ()()()()a b f a f b f -=-ξ', ()1 ()()()()a b F a F b F -'=-ξ. ()2 又对任一 (),,()0 x a b F x '∈≠,所以上述两式相除即得 ()()()()()()ξξF f a F b F a f b f ''= --. 答 上述证明方法是错误的.因为对于两个不同的函数()x f 和()x F ,拉格朗日中值定理公式中的ξ未必相同.也就是说在()b a ,内不一定存在同一个ξ,使得()1式和()2式同时成立. 例如,对于()2 x x f =,在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的 21 = ξ;对()3 x x F =, 在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的 33 = ξ,两者不等. 2. 设函数()x f y =在区间[]1,0上存在二阶导数,且 ()()()()x f x x F f f 2 ,010===.试证明在()1,0内至少存在一点ξ,使()0='ξF .还至少存在一点η,使()0F η''= 分析 单纯从所要证明的结果来看,首先应想到用罗尔定理.由题设知, ()()010==F F ,且()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的前两个条件,故在()1,0内至少存在一 点ξ,使()0='ξF .至于后一问,首先得求出()x F ',然后再考虑问题. ()()()x f x x xf x F '+='22,且()00='F .这样根据题设,我们只要在[]ξ,0上对函数 ()x F '再应用一次罗尔定理,即可得到所要的结论. 证 由于()y f x =在[]1,0上存在二阶导数,且()()10F F =,()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的条件,故在()1,0内至少存在一点ξ,使()0='ξF . 由于 ()()()x f x x xf x F '+='2 2, 且()00='F ,()x F '在[]ξ,0上满足罗尔定理的条件,故在 ()ξ,0内至少存在一点η,使

高等数学考研大总结之四导数与微分知识讲解

第四章 导数与微分 第一讲 导数 一,导数的定义: 1函数在某一点0x 处的导数:设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析:⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即:函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即:①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量(差分)y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同,我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在,而导数则不同,因其具有实在的几何意义,故当在某点处左,右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数:设函数()x f 在某个(]00,x x δ-(或[)δ+00,x x )有定义,并且极限

微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根(零点)的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一,它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础,是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续; (ⅱ)f 在开区间(a,b )内可导; (ⅲ))()(b f a f =, 则在(a,b )内至少存在一点ξ,使得 0)(='ξf . 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件: (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续; (ⅱ)f 在开区间(a,b )上可导; 则在(a,b )内至少存在一点ξ,使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ.

高等数学微分中值定理应用举例

微分中值定理应用举例 单调性与极值 1.函数)(x f 在[]0,1上//()0f x >,比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解:)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件,存在()0,1ξ∈,使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0f x >,所以/()f x 单调增加,而01ξ<<,所以///(0)()(1)f f f ξ<<, 即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<. 2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=,比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解:由于///()0f x >,所以//()f x 单调增加,而//(0)0f =,所以在[]0,1上//()0f x >,同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-< 3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号. 解:()()f x f x =--,所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数,/()f x 为偶函数,//()f x 为奇函数,在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增, /(1)(1)1f f ==,则:A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <;B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >;C. 在()1,1δ-内均有()f x x <,在()1,1δ+内均有()f x x >; D. 在()1,1δ-内均有()f x x >,在()1,1δ+内均有()f x x <. 解:令()()F x f x x =-,则(1)(1)10F f =-=,//()()1F x f x =- 选择B.

高等数学第三章微分中值定理及导数的应用题库(附带答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则,且存在,,设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>( ) 2、处必有在则处连续且取得极大值,在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==( ) 3、的凸区间是 x e y x -=( ) 4、在区间 [-1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值,F (x)=f (x)g (x),则F(x)在x=a 处( ) (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=( ) (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是( ) (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+, (D) ) 1(∞+-, 8、函数)x (f 在0x x = 处连续,若0x 为)x (f 的极值点,则必有( ) . (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时,处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=( ) 11、(),则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线,若 )x (f y )x (f x 00=( ) 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=. 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=. 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ . 4、函数f (x )=x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ= .

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