计算方法复习题与答案

复习题与答案

复习题一

复习题一答案

复习题二

复习题二答案

复习题三

复习题三答案

复习题四

复习题四答案

自测题

复习题（一）

一、填空题：

1、求方程011015.02

=--x x 的根，要求结果至少具有6位有效数字。已知

0099.10110203≈，则两个根为=1x ，

=2x .（要有计算过程和结果）

2、?????

?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为

A ???

?????????=?

??????????

?。

3、

??????=5321A ，则=)(A ρ ，=∞A . 4、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用抛物线（辛卜生）公式计算求

得?≈3

_________

)(dx x f ，用三点式求得≈')1(f .

5、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2

x 的系数

为，拉格朗日插值多项式为 . 二、单项选择题：

1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（）. A ．A 的各阶顺序主子式不为零 B. 1)(

2、设753)(99-+-=x x x f ，均差

?????--=700150322A ，则)(A ρ为( ). A. 2 B. 5 C. 7 D. 3 4、三点的高斯求积公式的代数精度为( ). A. 2 B.5 C. 3 D. 4

5、幂法的收敛速度与特征值的分布（）。 A. 有关 B. 不一定 C. 无关

三、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ???

??=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T

)0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算).

2、求A 、B 使求积公式

?-+-++-≈1

1)]21

()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求?

x I (保留四位小数)。

3、已知

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）.

4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题

?=+='1)0(32y y x y )10(≤≤x

5、已知

求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。

6、证明方程24)(3

+-=x x x f =0在区间（0,1）内只有一个根，并用迭代法

（要求收敛）求根的近似值，五位小数稳定。

复习题（一）参考答案

一、一、1、010.204104061021≈+=x ，00980345.0)10406102(22≈+=x

2、

????????--??????????--=1556141501

4115401411A 3、103+，8 4、2.367 0.25 5、-1，

)2)(1(21

)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=

x x x x x x x L

二、A B C B C 5,4,3,2,1 三、1、迭代格式

???

???--=--=--=++++++)222(51)

218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)

(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x

2、2

,,1)(x x x f =是精确成立，即

???

??=+=+32212222B A B A 得98,91==B A

求积公式为)]21()21([98)]1()1([91)(1

f f f f dx x f +-++-=?- 当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4

)(x x f =时，左=52，右=31。

所以代数精度为3。

69286.014097

]

1132/11[98]311311[9131111322

≈=

+++-++++-≈+=??--=dt t dx x x t

3、

)53)(43)(13()

5)(4)(1(6

)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3------+------=x x x x x x x L

)45)(35)(15()

4)(3)(1(4

)54)(34)(14()5)(3)(1(5

------+------+x x x x x x

差商表为

)

4)(3)(1(41

)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P

5.5)2()2(3=≈P f

4、解：

?????+++?+=+?+=++++)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y

即 04.078.152.01++=+n n n y x y 5、解：

正规方程组为 ???

?=+==+41

34103101510520120a a a a a

1411,103,710210===

a a a

221411103710)(x x x p ++= x x p 711

1、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( )位有效数字；

2、*x 的相对误差的( )倍；

3、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；

4、对1)(3

++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( ),=]4,3,2,1,0[f ( )；

5、计算方法主要研究( )误差和( )误差；

6、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( )；

7、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )；

8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )；

9、两点式高斯型求积公式?1

d )(x

x f ≈( )，代数精度为( )；

10、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为( )。二、单项选择题：

1、求解线性方程组A x =b 的LL T 分解法中，A 须满足的条件是( )。

A. 对称阵

B. 正定矩阵

C. 任意阵

D. 各阶顺序主子式均不为零 2、舍入误差是( )产生的误差。

A. A. 只取有限位数

B.模型准确值与用数值方法求得的准确值

C. 观察与测量

D.数学模型准确值与实际值 3、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7

4、幂法是用来求矩阵( )特征值及特征向量的迭代法。

A. 按模最大

B. 按模最小

C. 所有的

D. 任意一个 5、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。

6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。

7、解线性方程组A x =b 的迭代格式x (k +1)=M x (k )+f 收敛的充要条件是( )。

1、为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？

2、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表

如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

3、构造求解方程0210=-+x e x

的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ?，讨论

其收敛性，并将根求出来，4

110||-+<-n n x x 。

4﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组 ???

??=++=++=++20

53182521432321321321x x x x x x x x x 。 5﹑对方程组 ???

??=-+=--=++8

4102541015

1023321321321x x x x x x x x x

（1）试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由；（2）取初值T )0,0,0()

0(=x

，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求

3)()1(10||||-∞+<-k k x x 。

6﹑用复合梯形求积公式计算x

d e 10

?，则至少应将[0,1]分为多少等份才能保证所

n n x f x f x x x '---=+； 4、0]4,3,2,1,0[,1]3,2,1,0[==f f ； 5、截断，舍入；

6、1

2+-n a b ； 7、)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h

3()3213([21d )(f f x x f ；

10、A 的各阶顺序主子式均不为零。

二、1、B 2、A 3、B 4、A 、 5、C 6、A 7、D

取 4=n , %1.010125.0)20(3

故 472.420≈ 1、1、解：应选三个节点，使误差

|)(|!3|)(|33

2x M x R ω≤

尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果

596274.063891.0sin ≈，

且

1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!

596274

.063891.0sin -?≤----≤

3、解：令 010)1(,

02)0(,

210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x

且010e )(>+='x

x f )(∞+-∞∈?，

对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为

收敛。取5.00=x ，计算结果列表如下：

且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .

4、解：

????????--??????????-==244132

11531

21LU A 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ，y x =U 得T

)3,2,1(=x .

5、解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

???

??=++=-+=--15

1023841025410321321321x x x x x x x x x

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

???

???+--=++-=++=++++++)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)

(3)1(1)1(2

)

(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x

取T )0,0,0()

0(=x

,经7步迭代可得：

T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x .

6、解：当0

，则 e )(≤''x f ，且x x d e 1

(1ξf n a b f R n ''-≤，只要

所以 68=n ，因此至少需将 [0,1] 68等份。

=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将

该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式

19992001-改写为。

2、用二分法求方程01)(3

=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所

在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 .

3、设

??????-=1223A ,?

?????-=32x ,则_________||||=∞A ,_________||||2=A , ________||||1=x ,___________||||1=x A . 4、计算积分?1

.0d x

x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，

用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为，辛卜