高二数学上学期半期考试试题 理

重庆十一中高2018级高二（上）半期考试数学

（理科）试题

考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分

一、选择题（12*5=60）

1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ） A ．3

B ．1或2

C ．1或3

D ．2或3

2. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线

D ．一定垂直

3．若直线l 的倾斜角为

120,则直线l 的斜率是（ ）

A.

33 B. 3

3- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0

D ．x －2y ＋5＝0

5.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）

A ．球

B ．三棱锥

C ．正方体

D ．圆柱 6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，

E 是AC 的中点，则

下列结论正确的是( )

A ．平面ABC ⊥平面ABD

B ．平面ABD ⊥平面BDC

C ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE

D ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BD

E 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是

( )

A ．两条相交直线

B ．两条平行直线

C ．两个点

D ．一条直线和直线外一点

8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4)

B ．(0，2)

C ．(－2，4)

D ．(4，－2)

9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个

① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ； ③ 平面α⊥平面β，且l α

β=，点A α∈，A l ?，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；

④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 3

10．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( ) A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上 D ．△ABC 内部

11．已知M ＝

?

?????

（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝

?，则a ＝( ) A ．－6或－2

B ．－6

C ．2或－6

D ．－2

12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（ ） A.31,???

??? B.61,??

????

C.622,??????

D.221,??

???? 二、填空题（4*5=20）

13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________.

14若直线1:260l ax y ++=和直线()()

22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。 15.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为________ 16．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是 等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________.

C

1

1

C A

D

A 1

B 1

三、解答题：（12*5+10=70）

17、（本题满分12分）已知直线022:=++y x l .

（Ⅰ）若直线024=-+y ax 与l 垂直，求它们的交点坐标； （Ⅱ）求平行于l 且与它距离为5的直线方程.

18、（本题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，

BC ＝4，AB=5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，

（Ⅰ）求证：AC 1//平面CDB 1；

（Ⅱ）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．

19、（本题满分12分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，连接11C A 、D A 1、B A 1、BD 、

1BC 、D C 1．

(Ⅰ)求三棱锥D BC A 11-的表面积与正方体表面积的比值；

(Ⅱ)求三棱锥D BC A 11-的体积．

20、（本题满分12分） 如图，已知点P 是矩形ABCD 所在

平面外一点，M 、N 分

别是AB 、PC 的中点．AB 垂直于面PAD,PA=PD=AD=2，AB=4.

（Ⅰ）在PB 上确定一个点Q ，使平面MNQ ∥平面PAD.并证明你的结论 （Ⅱ）求PB 与面ABCD 所成角的正弦值。

21、（本题满分12分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. （Ⅰ）求证:平面PAC⊥平面PBC;

（Ⅱ）若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A 的余弦值.

22、（本题满分10分）如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥B A 1平面ABC ，AB⊥AC. （Ⅰ）求证：1BB AC ⊥；

（Ⅱ）若P 是棱11C B 的中点，求平面PAB 将三棱柱111C B A ABC -分成两部分体积之比.

2016-2017学年（上）半期考试

重庆十一中高2018级数学（理科）试题

考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分 3.试卷页数 4页

一、选择题（12*5=60）

1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ C ） A ．3

B ．1或2

C ．1或3

D ．2或3

2. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( D ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线

D ．一定垂直

3．若直线l 的倾斜角为

120,则直线l 的斜率是（ D ）

A.

33 B. 3

3- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( A ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0

D ．x －2y ＋5＝0

5.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ D ）

A ．球

B ．三棱锥

C ．正方体

D ．圆柱

6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( C )

A ．平面ABC ⊥平面ABD

B ．平面ABD ⊥平面BDC

C ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE

D ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BD

E 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是

( C )

A ．两条相交直线

B ．两条平行直线

C ．两个点

D ．一条直线和直线外一点

8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( B ) A ．(0，4)

B ．(0，2)

C ．(－2，4)

D ．(4，－2)

9.下列四个命题中，正确命题的个数是( B )个

① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ； ③ 平面α⊥平面β，且l α

β=，点A α∈，A l ?，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；

④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 3

10．如图，在斜三棱柱ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，BC1⊥AC ，则C1在底面ABC 上的射影H 必在( A )

A ．直线A

B 上 B ．直线B

C 上 C ．直线AC 上

D ．△ABC 内部 11．已知M ＝???

?

??

（x ，y ）|

y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝?，则a ＝( A ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6

D ．－2

12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（ B ） A.31,???

??? B.61,??

????

C.622,??????

D.221,??

???? 二、填空题（4*5=20）

13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是__230x y +-=______.

14若直线1:260l ax y ++=和直线()()

22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 2或

-1 。

15.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为_____6

3

___ 16．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是

等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为__43π. ______.

三、解答题：（12*5+10=70）

17、（本题满分12分）已知直线022:=++y x l . (1)若直线024=-+y ax 与l 垂直，求它们的交点坐标； （2）求平行于l 且与它距离为5的直线方程.

17.解：（1）∵2:1-=k l ，而直线4

,0242a

k y ax -

==-+ ........2分 由题意，两直线垂直，∴1)2(4

-=-?-

a

，即2-=a 所求直线为,0242=-+-y x 即,012=+-y x ........5分

120

22=+-=++??

?y x y x ，交点为(-1,0) ........6分 （2）因为所求直线平行于l ，所以直线方程设

为02=++m y x （2≠m ） .......7分

51

222

2

=+-m .......9分

∴7=m 或3-=m

所求直线方程为072=++y x 或032=-+y x .....12分

18、（本题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，

BC ＝4，AB=5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，

（1）求证：AC 1//平面CDB 1；

（2）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．

解析 （1）记CB 1∩BC 1=M ，连接DM ，显然M 为BC 中点，所以DM 为△ABC 1的中位线，所以AC 1∥DM

又∵AC 1?平面CDB 1 DM ?平面CDB 1

∴AC 1//平面CDB 1 ........6分

（2）∵AC 1∥DM ，由等角定理，∠CMD 即为直线异面直线 AC 1与 B 1C 所成角或其补角，下面计算其余弦值。

经过计算，CD=MD=2.5，CM=22

C 1

D 1

C

A

D

A 1

B 1

∴cos ∠CMD=5

2

2即为所求。 .....12分

19、（本题满分12分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，连接11C A 、D A 1、B A 1、BD 、

1BC 、D C 1．

(Ⅰ)求三棱锥D BC A 11-的表面积与正方体表面积的比值； (Ⅱ)求三棱锥D BC A 11-的体积．

19.解:(Ⅰ)∵1111D C B A ABCD -是正方体，

∴a D C BD BC D A C A B A 2111111======……1分

∴三棱锥D BC A 11-的表面积为：

23222

3

2214a a a =????

………4分 而正方体的表面积为2

6a ，故三棱锥D BC A 11-的表面积与正方体表面积的

比值为3

3

63222=a a ………6分 (Ⅱ) 326

1

213111111111a a a V V V V C B A B C D A D BCD C A ABD =??====----锥锥锥锥．……9分 故3

6144-3

33

111a a a V V V ABD

A D BC A =?-==--锥正方体锥……12分

20、（本题满分12分） 如图，已知点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．AB 垂直于面PAD,PA=PD=AD=2，AB=4.

（Ⅰ）在PB 上确定一个点Q ，使平面MNQ ∥平面PAD.并证明你的结论 （Ⅱ）求PB 与面ABCD 所成角的正弦值。

解析 （1）找到PB 的中点，记为Q ，连接MQ 、NQ ，下证平面MNQ ∥平面PAD.

在△PAB 中，∵MQ 为中位线 ∴MQ ∥PA

又∵MQ ?平面PAD ，PA ?平面PAD ∴MQ ∥平面PAD 同理，NQ ∥平面PAD

又∵MQ ∩NQ=Q ∴平面MNQ ∥平面PAD .....6分 （2）过P 点作PH ⊥AD 于H,连接BH

∵AB ⊥平面PAD ，AH ?PAD ∴AB ⊥PH 又∵AD ∩AB=A ∴PH ⊥平面ABCD ∴∠PBH 即为PB 与面ABCD 所成角 又∵PA=PD=AD=2 ∴H 为AD 中点 ∴AH=1，BH=17，PH=3,PB=52

∴sin 10

15

=

∠PBH 即为所求 .....12分 21、（本题满分12分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC;

(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A 的余弦值.

解析 (1)证明:由AB 是圆的直径,得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC ?平面ABC,得PA⊥BC.

又PA∩AC=A,PA ?平面PAC,AC ?平面PAC,所以BC⊥平面PAC. 因为BC ?平面PBC,

所以平面PBC⊥平面PAC.(6分) 解法二:过C 作CM⊥AB 于M,

因为PA⊥平面ABC,CM ?平面ABC,所以PA⊥CM, 故CM⊥平面PAB.

（2）过M 作MN⊥PB 于N,连结NC,

由三垂线定理得CN⊥PB.

所以∠CNM 为二面角C-PB-A 的平面角. 在Rt△ABC 中,由AB=2,AC=1,得BC=3,CM=

23,BM=2

3

. 在Rt△PAB 中,由AB=2,PA=1,得PB=5.

因为Rt△BNM∽Rt△BAP, 所以=,故MN=

10

5

3. 又在Rt△CNM 中,CN=

530,故cos∠CNM=4

6. 所以二面角C-PB-A 的余弦值为

4

6

. 22、（本题满分10分）如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥B A 1平面ABC ，AB⊥AC.

（1）求证：1BB AC ⊥；

（2）若P 是棱11C B 的中点，求平面PAB 将三棱柱111C B A ABC -分成的两部分体积之比.

所以V V V V PQ

B A AB 125

12711=-=-.所以

5

7111=--PQ B A AB ABC PQC V V .