历年考研数学高等数学基础讲义
考研数学高等数学基础讲义
目录
第一讲极限 (1)
第二讲高等数学的基本概念串讲 (9)
第三讲高等数学的基本计算串讲 (13)
第四讲高等数学的基本定理串讲 (24)
第五讲微分方程 (27)
第六讲多元函数微积分初步 (29)
1 第一讲 极限
核心考点概述
1.极限的定义
2.极限的性质
3.极限的计算
4.连续与间断内容展开 一、极限的定义
1. lim 是什么？ lim 是什么？
x →?
n →∞
（1）lim 的情况：
x →?
①“ x → ? ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x -
, x → ∞, x → +∞, x → -∞
②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。比如下面这个例子：
sin
x sin 1 x
【例】计算lim x →0
. x sin 1
x
事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数），
k π
sin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim
不存在. x sin 1 x x →0
x sin 1
x
（2）lim 是什么？
n →∞
2.极限的定义
（1）函数极限的定义：
lim f (x ) = A ? ?ε > 0, ?δ > 0, 当0 < x →x 0
x - x 0
< δ 时，恒有
f (x ) - A < ε
1
n n
1
2
注：趋向方式六种
（2）数列极限定义：
lim x = a ? ?ε > 0, ?N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞
注：趋向方式只有一种
【例】以下三个说法，
（1）“ ?ε > 0 ，?X > 0 ，当 x > X 时，恒有件；
ε
f (x ) - A < e 10
”是“ lim x →+∞
f (x ) = A ”的充要条
（ 2 ）“ ? 正整数 N ， ? 正整数 K ，当 0 <
“ lim f (x ) = A ”的充要条件；
x →x 0
x - x 0 ≤ K
时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N
（3）“ ?ε ∈ (0,1) ， ? 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件；
正确的个数为（
）
（A ）0 （B ）1
（C ）2
（D ）3
二、极限的性质
1.唯一性
（1） lim e x
= ∞, lim e x
= 0 ，（2）lim
sin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ]
x →+∞
x →-∞
x →0
x
x →∞
x →0
不存在
1
- π e x 1
【例】设k 为常数，且 I = lim x →0
+k ? arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。 x e x +1
2
2.局部有界性
【例】函数f (x) =| x | sin(x - 2)
在下列哪个区间内有界（）x(x -1)(x - 2)2
(A) (-1,0) . (B) (0,1) . (C) (1,2) . (D) (2,3) .
【注】函数有界性判别法总结如下：
（1）理论型判别—f (x) 在闭区间[a, b] 上连续，则 f (x)在闭区间[a , b]上有界；
（2）计算型判别—f (x) 在开区间(a, b) 内连续，且极限lim
x→a + f ( x) 与lim
x→b -
f (x) 存在，则函
数f (x) 在开区间(a, b) 内有界.
（3）若极限不存在，则转向“四则运算规则”——有限个有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数.
（4）若存在x
0 ，使得lim
x→x0
f ( x) =∞，则无界。
3.局部保号性
若lim f (x) =A > 0 ，则当 x →?时， f (x) > 0 .
x→?
【例】设lim f (x) =f (0) ，且lim f (x) = 2 ，则x = 0 是
x→0 x→0 1- cos x
（A）极大值点（B）极小值点（C）不是极值点（D）无法判断
三、极限的计算
1.函数极限的计算
（1）化简先行
【例1】求极限lim 2 + sin x (sin x -x)
3
x→0 tan x
3
2
-
【例 2】求极限lim
x →0 1+ 3x - 3 1+ 5x
x
（2）基本的七种未定型 0 第一组：
∞ 0 ?∞
∞
e x - e 2-2cos x 【例 1】求极限lim x →0 x 4
【例 2】求极限lim ln x ? ln(1- x )
x →1-
第二组： ∞ - ∞
①有分母，则通分
【例】求极限lim( x →0 1
cos 2 x
sin 2 x x 2 )
4
②没有分母，创造分母，再通分
1 【例】求极限 lim [x 2
(e x
-1) - x ]
x →+∞
第三组： ∞
00 1∞
【例 1】求极限 lim (x + x →+∞
1 1+ x
2 )
x
1
【例 2】求极限lim(tan x )
cos x -sin x
x →π
4
（3）核心工具——泰勒公式 ①牢记 8 个公式
sin x = x - 1
x 3 + o (x 3 )
6 arcsin x = x + 1
x 3 + o (x 3 )
6 tan x = x + 1
x 3 + o (x 3 )
3 arctan x = x - 1
x 3 + o (x 3 )
3 cos x = 1- 1 x 2 + 2 1
x 4 + o (x 4 )
24 ln(1+ x ) = x - 1 x 2 + 1 x 3
+ o (x 3 )
2 3 e x = 1+ x + 1 x 2 + 1
x 3 + o (x 3 )
2 6
(1+ x )α = 1+ αx + α (α -1) x 2
+ o (x 2 )
2
5
②掌握两个展开原则
i.A
型——上下同阶原则B
【例】lim
x→0 1+x +
x
1-x - 2
2
ii.A -B 型——幂次最低原则
【例】已知 x → 0 时，cos x -e
x2
2 与cx k 为等价无穷小，求c, k .
【练习】设p(x) =a +bx +cx2 +dx3 ，当x → 0 时，若p(x) - tan x 与x3 为同阶无穷小，求a, b, c, d .
2.数列极限的计算
（1）将x n 连续化，转化为函数的极限
【例】lim(n ?
n→∞
tan 1))n2
n
6
x a n
n 0 0 （2）当数列通项为具体已知时，通常的解法为：
1)夹逼准则， 2)定积分定义， 3)利用幂级数求和（仅数学一要求），
【例】lim 1 + 2 + ... + n
n →∞
n 2 + n +1 n 2 + n + 2 n 2 + n + n
（3）当数列通项由递推关系式a n = f (a n -1 )给出时，通常使用单调有界准则
【例】设a > 0, x 1 > 0, x n +1 =
(2x n + 2 n
n = 1,2,…，证明{x }收敛并求lim x . n →∞
四、连续与间断
1.由于“一切初等函数在其定义区间内必连续”，则只需考虑两类特殊的点：函数的无定义点和分段函数的分段点.
2.所谓连续
lim x → x 0
f (x ) = f (x 0 ) ? f (x ) 在 x = x 0 处连续
3.所谓间断
（1）跳跃间断点： lim x →x +
f (x ) ≠ lim x → x -
f (x )
7
) 1 3
0 0 0 0 0 0
（2）可去间断点： lim x → x +
f (x ) = lim x → x -
f (x ) ≠ f (x 0 )
（3）无穷间断点： lim x → x +
f (x ) = ∞ 或 lim x → x -
f (x ) = ∞
（4）振荡间断点： lim x → x +
f (x ) 或 lim x → x -
f (x ) 振荡
?
ln(1+ ax 3 ) ??, x < 0 ? x - arcsin x ??
【例】设 f (x ) = ?6 , x = 0 ，问a 为何值时，
?e ax + x 2 - ax
-1
? ? x sin x
?
4
, x > 0
（I ） f (x ) 在 x = 0 连续；
（II ） x = 0 是 f (x ) 的可去间断点.
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第二讲高等数学的基本概念串讲
核心考点概述
内容展开
一、一元函数微分需的概念及使用
1.考查导数定义的基本形式
ln(1 - 2x) + 2xf (x) 【例】设δ > 0 ，f (x) 在[-δ,δ] 上有定义，f (0) = 1,且满足lim
x→0 x 2
= 0 , 证明 f '(0) 存在，并求 f '(0) .
2.考查导数定义中增量的广义化
【例】设f (0) = 0 ，下列命题能确定f '(0) 存在的是( )
（A）lim
h→0 f (1- cosh)
h2
存在（B）lim
h→0
f (1-e h )
存在
h
（C）lim
h→0 f (h -s inh)
h2
存在（D）lim
h→0
f (2h) -f (h)
存在
h
9
x
二、一元函数积分学的概念及其使用
1.不定积分、变限积分和定积分 （1）不定积分
原函数与不定积分 设函数 f ( x ) 定义在某区间 I 上， 若存在可导函数 F ( x ) ，对于该．区．间．上
．任．一．点．都有 F '( x ) = f ( x ) 成立，则称 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间 I 上的一个原函数. 称 ? f (x )dx =F (x ) + C
为 f ( x ) 在区间 I 上的不定积分，其中C 为任意常数.
【注】谈到函数 f ( x ) 的原函数与不定积分，必须指明 f (x ) 所定义的区间. 【例 1】试证明：如果函数 f ( x ) 在[a , b ] 上连续，则函数 F (x ) = ?a f (t )d t 在[a , b ] 上可导，
且 F '( x ) = f ( x ) （本题即为变限积分函数求导的知识点）.
【例 2】试证明：含有第一类间断点、无穷间断点的函数 f ( x ) 在包含该间断点的区间内必没有原函数 F ( x ) .
【注】第二类振荡间断点是否有原函数呢？举例说来，对于
f (x ) = ??2x s i n ? ??
1 - cos 1 , x x
0, x ≠ 0, ， x = 0,
其在(-∞,+∞) 上不连续，它有一个第二类振荡间断点 x = 0 ，但是它在(-∞,+∞) 上存
10
? a
? ? ② f (x ) = ?
? ? ? 在原函数 F (x ) = ? x 2 sin 1
, x ≠ 0,
x
即，对于(-∞,+∞) 上任一点都有 F '( x ) = f ( x ) 成立. ?
? 0, x = 0. 综合以上几点，可以得出重要结论：可导函数 F ( x ) 求导后的函数 F '( x ) = f ( x ) 不一定是连续函数，但是如果有间断点，一定是第二类间断点（在考研的范畴内，只能是振荡间断点）. （2）定积分
定积分存在定理 定积分的存在性，也称之为一元函数的（常义）可积性. 这里的“常义”是指“区间有限，函数有界”，也有人称为“黎曼”可积性，与后面要谈到的“区间无穷，函数无界”的“反常”积分有所区别. 在本讲中所谈到的可积性都是指的常义可积性. 【注】事实上，还有一个使得定积分存在的充分条件：若 f (x ) 在[a , b ] 上单调，则?
b
f (x )dx
存在，不过考试大纲对此没有做要求，考生知道即可. 【例】在区间[-1, 2]上，以下四个结论，
? 2, ① f (x ) = ? 1, x > 0 x = 0 ，有原函数，但其定积分不存在； ?-1, x < 0
?2x sin 1 ?
x 2 2
cos 1 x x 2
, x ≠ 0
，有原函数，其定积分也存在
??0
?1
, x ≠ 0 ③ f (x ) = ? x
??0, x = 0 , x = 0
，没有原函数，其定积分也不存在
?
2x c os 1 + sin 1 , x ≠ 0 ④ f (x ) = ? x ??0
x
, x = 0 ，有原函数，其定积分也存在
正确结论的个数为（
）
（A ）1
（B ）2 （C ）3
（D ）4
11
? ?
= ?
a
?
b
?-∞ = ?a b
b
?a
? +
?a +ε
? +
2.反常积分
（1）无穷区间上反常积分的概念与敛散性
+∞
①
a
f (x )dx 的定义
+∞
b f (x )dx lim
a
x →+∞
f (x )dx
+∞
若上述极限存在，则称反常积分 a
f (x )dx 收敛，否则称为发散.
②
?
-∞
f (x )dx 的定义
b
b
f (x )dx lim a →-∞
f (x )dx
若上述极限存在，则称反常积分
?
-∞
f (x )dx 收敛，否则称为发散.
+∞
+∞
+∞
c
③
?
-∞
f (x )dx 的定义
?
-∞
f (x )dx = ?c f (x )dx +?-∞ f (x )dx
+∞
若右边两个反常积分都收敛，则称反常积分?
-∞
（2）无界函数的反常积分的概念与敛散性
f (x )dx 收敛，否则称为发散
① 若 b 是
f ( x ) 的唯一奇点， 则无界函数
f ( x ) 的反常积分 ?a
f (x )dx 定义为
b
b -ε
f (x )dx = lim a
ε
→0
f (x )dx
b
若上述极限存在，则称反常积分
?
a
f (x )dx 收敛，否则称为发散.
b
② 若 a 是 f ( x ) 的唯一奇点， 则无界函数 f ( x ) 的反常积分
?
a
f (x )dx 定义为
b b
f (x )dx = lim f (x )dx
a
ε
→0
b
若上述极限存在，则称反常积分
?
a
f (x )dx 收敛，否则称为发散.
b
③ 若c ∈ (a , b ) 是 f ( x ) 的唯一奇点，则无界函数 f (x ) 的反常积分
?
a
f (x )dx 定义为
b
c
b
?
a
f (x )dx = ?a f (x )dx + ?c f (x )dx
b
若上述右边两个反常积分都收敛，则称反常积分
?
a
f (x )dx 收敛，否则称为发散.
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第三讲 高等数学的基本计算串讲
核心考点概述
1.微分学的计算
2.积分学的计算
3.微积分在几何上的应用内容展开
一、一元函数微分学的基本计算 1.四则运算
[ f (x )± g (x )]'
= [ f (x )? g (x )]' = f '(x ) ± g '(x )
f '(x )
g (x ) + f (x )g '(x )
? f (x )/' ' g
(x )∞ f '(x )g (x ) - f (x )g '(x )
= g 2 (x )
(g (x ) ≠ 0)
≤
?
d [ f (x ) ± g (x )] = d f (x ) ± dg (x ) d [ f (x )? g (x )] = g (x )df (x ) + f (x )dg (x )
d ? f (x )/ = g (x )df (x ) - f (x )dg (x ) (g (x ) ≠ 0)
' g (x )∞ g 2 (x ) ≤ ?
2.复合函数求导 sin 2 1
【例】 y = 2
x
，求 y '
13
? ?
3.反函数求导
设函数 y = f (x ), f '(x ) ≠ 0 ，其反函数为 x = ?( y ) ，则?'( y ) =
dx
= 1
= dy dy dx
4.参数方程求导
1 f '(x )
?x = ?(t )
dy dy dt ψ '(t )
设函数 y = y (x ) 由?
y =ψ (t ) 确定， t 为参数，则 dx = dx dt = ?'(t )
?x = θ cos θ 【例】设函数由 ? y = θ sin θ
确定，求 dy dx θ =π
2
5.隐函数求导
方程两边分别对 x 求导即可，把方程中的 y 看成 f (x )
? 1 /
【例】设 y = f (x ) 是由方程 y - x = e
x (1- y )
所确定的，求lim n ' f -1∞ .
n →∞ ≤ n ?
6.对数求导法
【例】 y = 5
(x - 3)2 (x + 5)
3 (x -1)3
，求 y ' .
14
（2） (uv )
= ∑C u
v
7.幂指函数求导
【例】 y = x
sin x
，求 y ' .
8.高阶导数
（1） (u ± v )
( n )
= u ( n ) ± v ( n )
n
(n )
k (n -k ) (k )
n k =0
（3）泰勒展开式
①设 y = f (x ) 无穷阶可导，
∞ f ( n )
(x )
n
y = f (x ) = ∑ ?0
(x - x 0
)
n =0
y = f (x ) = ∑ n =0
n !
f (n )
(0) x
n
n !
②根据题目所给的具体函数 y = f (x ) ，将其展开
③由展开式的唯一性? 比较①②展开式的多项式同幂次项前面的系数
? f (n )(0), f ( n )(x ) 【例】 y = x 3
sin x ，求 y (6)
(0) .
15
∞
? ?
d d ?
9.参数方程确定的函数的二阶导数
?x = ?(t )
设函数 y = y (x ) 由参数方程?
y =ψ (t )
确定，其中t 是参数，则
? dy = dy dt = ψ '(t ) ? dx ? ? d 2 y dx dt dy dx ?'(t ) dy dx d t ψ ' (t )?'(t ) -ψ '(t )?' (t ) ? = =
= ?? dx
2 dx dx dt [?'(t )]
3 10.反函数的二阶导数
在 y = f (x ) 二阶可导的情况下，记 f '(x ) = y 'x ,?'( y ) = x 'y (x 'y ≠ 0) ，则
? y ' = dy = 1 = 1 ? x dx ? ? dx x 2y dy dy 1 1
? d d d ? ' d 2 y dx
x '
x ' d y
x 'y 'y 1
? y xx = 2 = = ? = - ' 2 ' ?
? dx dx dx dy dx (x y ) x y
11.变限积分求导公式
F '( x ) =
d (?
?2 ( x )
( )
) = f [? ( x )]?'( x ) - f [? ( x )]? '( x )
f t dt
dx
?1 ( x )
2
2
1
1
12.基本初等函数的导数公式
(c )' = 0
d (c ) = 0
(x α )
'
= α x α -1
(sin x )' = cos x
（ 实常数）
d (x α ) = α x α -1dx d sin x = cos xdx
（ 实常数） (cos x )
'
= -sin x
(tan x )' = sec 2 x (cot x )
'
= - csc 2 x
(sec x )
'
= sec x tan x
(csc x )' = - c sc x cot x
d cos x = -sin xdx
d tan x = sec 2 xdx
d cot x = -csc 2 xdx
d sec x = sec x tan xdx
d csc x = - csc x cot xdx
16
? y y =
(log
a x)'= 1
x l n a
(a > 0, a≠ 1)
d log
a
x =
dx
x l n a
(a > 0, a ≠ 1)
(ln x)'=1
x
(a x )'=a x ln a (a > 0, a≠1) (e x )'=e x
d ln x =
1
dx
x
da x =a x ln adx (a > 0, a ≠ 1) de x =e x dx
(arcsin x)'= 1
1 -x 2d arcsin x =
1
dx
1 -x 2
(arccos x)'=-
(arctan x)'=
1
1 -x 2
1
d arccos x =-
d arctan x =
1
dx
1 -x 2
1
dx
1 +x
2 1 +x 2
(arc cot x)'=- 1
1 +x 2darc cot x =-
1
dx
1 +x 2
[l n(x + [l n(x + x 2 +a 2 )]'= 1
x 2 +a 2
x 2 -a 2 )]'= 1
x 2 -a 2
d ln(x +
d ln(x +
x 2 +a 2 )= 1 dx
x 2 +a 2
x 2 -a 2 )= 1 dx
x 2 -a 2
二、一元函数积分学的基本计算
1.凑微分法
（1）基本思想?f [g(x)]g'(x)dx =?f [g(x)]d[g(x)] =?f (u)du
当被积函数比较复杂时，拿出一部分放到 d 后面去，若能凑成?f (u)du 的形式，则凑微分成功.
（2）归纳总结凑微分的思维结构
①熟练掌握教材中的基本积分公式及常用的凑微分公式.
f (x)
②当被积函数可分为f (x)g(x) 或
g(x)
时，其中f (x) 较复杂时，对f (x) 求导数（或其主要部分）求导，一般得到g(x) 的倍数，既可以是常数倍，也可以是函数倍，从而凑微分进行计算.
③当对f (x) 求导得不到g(x) 的倍数时，考虑“被积函数的分子分母”，同乘以或同除以一个适当的因子，恒等变形以达到凑微分的目的.一般而言，因子应根据题设函数给出，常用
的有eα x ，xβ，sin x ，cos x 等.
17
? ? 1
n ? ? ?
cos 2 x - sin x
【例】求
cos x (1+ cos xe
sin x
)dx
2.换元法
（1）基本思想
? f (x )dxx = g (u ) ? f [g (u )]d [g (u )]
u = g -1
= f [g (u )]g '(u )du ( x )
u = g -1
( x )
当被积函数不容易积分（比如含有根式，含有反三角函数）时，可以通过换元的方法从 d 后面拿出一部分放到前面来，就成为?
f [
g (u )]g '(u )du 的形式，若 f [g (u )]g '(u ) 容易积分， 则换元成功.
（2）归纳总结换元的思维结构
①三角函数代换——当被积函数含有如下根式时，可作三角代换.
? a 2 - x 2 → x = a sin t , t
< π , 2 ? ??π ? a 2 + x 2
→ x = a tan t , t < ,
?
2 ? x 2 - a 2
→ x = a sec t , 0 < t < π (x > a ) ?
2
②恒等变形后作三角函数代换——当被积函数含有根式形式
ax 2 + bx + c 时，可化为以下三种
? 2 (x ) + k 2 ， ? 2 (x ) - k 2 ， k 2 - ? 2 (x ) ，再做三角代换.
③根式代换——当被积函数含有根式 n ax + b ，
ax + b ， cx + d
ae bx + c 等时，一般令根式
* = t .对既含有 n ax + b ，也含 m ax + b ，一般取m , n 的最小公倍数，令 l ax + b = t .
④倒代换——当被积函数分母的幂次比分子高两次及以上时，作倒代换，令 x = . t
⑤复杂函数的直接代换——当被积函数中含有a x
， e x
， ln x ， arcsin x ， arctan x 等时， 可考虑直接令复杂函数= t ，值得指出的是，当ln x ， arcsin x ， arctan x 与 P (x ) 或e ax
作 乘除时，优先考虑分部积分法. dx
【例】求
2
(2x +1) 3 + 4x - 4x
18
?
1
3.分部积分法
基本思想
? udv = uv -? vdu ，一目了然，这个方法主要适用于“求? udv 比较困难”，而 ? vdu 比较容易积分的情形.
【例】计算?
x arcsin xdx
4.有理函数积分
（1）定义 形如
? P n
(x )
dx (n < m ) 的积分称为有理函数的积分. Q
m (x )
（2）方法 先将Q (x ) 因式分解，再把 P n (x )
拆成若干最简有理分式之和.
m
（3）分解的基本原则
Q m (x ) A
① Q m (x ) 的一次因式(ax + b ) 产生一项
ax + b
；
② Q m (x ) 的k 重因式(ax + b )k 产生k 项，分别为
2
A 1 + ax + b
Ax + B
A 2
(ax + b )2
+…
+ A k ； (ax + b )k ③ Q m (x ) 的二次单因式 px + qx + r 产生一项
；
px 2
+ qx + r
④ Q m (x ) 的k 重二次因式( px + qx + r ) 产生k 项 2 k
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非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所
示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2
高等数学讲义(一)
高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f
}9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f
高等数学基础期末复习资料全
《高等数学基础》课程期末考试复习资料册 一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D).
6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B). 9.函数在区间(2,4)满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 12.当，变量(C)是无穷小量.
13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量.
18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升 C. 先单调上升再单调下降 D.单调下降
考研高等数学全面复习资料电子版
高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 ········································································错误!未指定书签。 1、集合的概念····································································错误!未指定书签。 2、常量与变量····································································错误!未指定书签。 2、函数·············································································错误!未指定书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未指定书签。 4、反函数··········································································错误!未指定书签。 5、复合函数·······································································错误!未指定书签。 6、初等函数·······································································错误!未指定书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未指定书签。 8、数列的极限····································································错误!未指定书签。 9、函数的极限····································································错误!未指定书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未指定书签。
考研高数讲义 新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料
第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理
极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)
则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。
驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ，
使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）
2021考研数学高等数学基础讲义01 函数部分
高等数学全考点精讲 考点：函数及其表达式的求解 1.函数的概念 (),, ,,,x y D x D y f y y x y f x x y D ∈=设和是两个变量是一个给定的数集,如果对于每个数变量在对应法则作用下总有唯一确定的一个数值和它对应,则称是的函数记为,常称为自变量为因变量为函数的定义域. 定义1()(){}()(){}[ ][][],0,00,0.,0,0max ,min ,.1,03sgn 0,0.1,04,5____;____;1____; 3.5__7x x x x y x x x x x x U f x g x V f x g x x y x x x y x x ???? ==???? ?? =???? ??==?=?=???? 例1（绝对值函数）例2（最值函数），例（符号函数）例（取整函数）；表示不超过的最大整数如()()()()()()() ()()()()()0002002__.,,,.,,1,.0,,0, 1.1821,.119,.10C v x x Q D x x Q y u x u x u x f x f x f x x f x x f x x x xo f x x x f x x x y y a x x g x x x g x x y x ∈?=?????∈?=>≠???????? ?????>?? 例5（分段函数）或例6（狄利克雷函数）例7（幂指函数）且例设求例设求例设平面上()():01,01:0,,.D x y l x y t t S t D l S t t ≤≤≤≤+=≥有正方形及直线（ ）若表示正方形位于直线左下方部分的面积求与之间的函数关系
考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤
第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；
高等数学基础班讲义[研究生入学考试]
----高等数学---- 第一章函数、极限、连续 函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。 第一节数列极限与函数极限 【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；洛必达法则；两个重要极限： 。 【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。 一、数列的极限 1.数列的极限 无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般 项或通项。设有数列和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或 。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。 2.极限存在准则 （1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有 ，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论. （2）定理：单调有界数列必有极限. 3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。 （2）。（3）。 【考点一】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞. 【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需
历年考研数学概率论零基础讲义
2016考研数学概率论零基础入门讲 目录 第一讲随机事件与概率 (1) 第二讲一维随机变量及其概率分布 (7) 第三讲随机变量的数字特征 (12)
【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。 （2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记. 第一讲随机事件与概率 一、从古典概型讲起 1.随机试验与随机事件 称一个试验为随机试验，如果满足： （1）同条件下可重复 （2）所有试验结果明确可知且不止一个 （3）试验前不知哪个结果会发生 【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ． ②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi . 2.古典概率 称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足: (1)只有有限个基本事件(样本点)； (2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样． 【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样. ②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为 P( A) =k = 事件A所含基本事件的个数n 由上式计算的概率称为A 的古典概率． 3.计数方法 基本事件总数 1
经济类、管理类考研数学基础班课程讲义
《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义 导论 一、管理类联考数学考试大纲 管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、 合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等 式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的
距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型 二、数学基础两种考查题型 数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分； 第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明 联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明： 【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在 【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明
考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤
考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率：
高等数学考研讲义第八节
第八章 无穷级数（数学一和数学三） 引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1 )1(1111 则[]S =+-+--Λ11111 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数 （甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称 为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不
高等数学讲义(基础班
第一章 求极限 极限的定义： A x f x =→)(lim [] （唯一性、局部保号性、局部有界性） 若0>A ，则([])0 U x →有f(x)>0。 极限存在的充要条件：)()()(lim lim lim 0 x f x f A x f x x x x x x -+→→→=?= 求极限的方法 1. 四则运算 若A x f x =→)(lim [] ，B x g x =→)(lim [] ，则 (1).B A x g x f x g x f x x +=±=±→→→)]()([)()(lim lim lim [] [] x [] (2).B A x g x f x g x f x x x ?=?=?→→→)()()()(lim lim lim [] [] [] (3).若0≠B ，则B A x g x f x g x f x x x ==→→→)()()()(lim lim lim [] [] [] 若A x f x =→)(lim [] ，)(lim [] x g x →不存在，则)()(lim [] x g x f x ±→一定不存在，)()(lim [] x g x f x ?→不一 定存在。 例：01sin lim 0 =?→x x x 若]()([lim [] ） x g x f x ±→存在，则)(lim [] x f x →，)(lim [] x g x →都存在或者都不存在。 若C x g x f x =±→)]()([lim [] ，A x f x =→)(lim [] ，则)(lim [] x g x →一定存在。 2. 函数的连续性
?= →)()(0lim 0 x f x f x x f(x)在0x 是处连续的。 初等函数在其定义域内都是连续的。 两个重要的极限：1sin lim 0 =→x x x ，e x x x =+→)11lim(0 （证明过程） 3. 洛必达、泰勒公式 （求未定式 型，，，，，，∞?∞∞∞∞ ∞ ∞001-0000） 以上指数形式用对数转化，即)([] )(lim x g x x f →=A e x g x f x e =→) ()(ln lim [] 若' ' [])()(lim x g x f x →不存在，也不是∞，则' ' []) ()(lim x g x f x →一定不存在。 设f(x)在)(0x U 有定义且在0x 出有n 阶导数，则)(0x U x ∈?，有 )((! )()x (!2)()()(()(0n 0)(020''00' 00x x O x x n x f x x f x x x f x f x f n -+-+??+-+-+=）） n 阶具有皮亚 诺余项的泰勒公式 特别是x=0时，f(x)为n 阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式。 ），（n m x o x o x o m m n <<=±0)()()( 此时f(x)多为x x x e x cos ,sin ),1ln(,+ n 阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式至多展开至3阶。 4. 用等价无穷小替换 等价无穷小概念：若0)(lim [] =→x f x ，则f(x)为无穷小。 无穷小的比较：高阶、低阶、等阶、同阶 x x sin lim [] x →不存在且不是无穷大也不是无穷小，因为x sin x ?、x 不能比较 无穷小的性质：
高等数学基础复习资料
高等数学基础复习资料 一.选择题 1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( ) A. (0，5) B. (1,5] C. (1，5) D. (1，+∞) 2.函数f(x)= 2 1x x -的定义域是（ ） A.（-∞，+∞） B.（0，1） C.（-1，0） D.（-1，1） 3.函数45)(2+-= x x x f 的定义域为 （ ） A. (]1,∞- B. [)+∞,4 C. (][)+∞?∞-,41, D. ()()+∞?∞-,41, 4.下列函数中为奇函数的是（ ） A.y=cos 3x B.y=x 2+sinx C.y=ln(x 2+x 4 ) D.y=1 e 1e x x +- 5.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.有界函数 D.非奇非偶函数 6.=+ ∞ →x x x )21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 7.=→2x tan3x lim x （ ） A.∞ B. 2 3 C.0 D.1 8.设??? ??=≠=0 0sin )(x a x x x x f 在x=0处连续，则常数a=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 9.设?????=≠--+=0 011)(x k x x x x x f ， ， 在0=x 点处连续，则k 等于 A.0； B.1； C. 2 1 ； D. 2； 10.设函数?????=≠-+=0 024)(x k x x x x f ， ，在点0=x 处连续，则k 等于 ( )
A. 0 B. 4 1 C. 2 1 D. 2 11.设y=sin 2x ，则y ′=（ ） A.sin2x B.2sinx C.cos2x D.cos 2x 12.y=e x (sinx-cosx)，则='y ( ) A.e x (-sinx+cosx) B.2e x sinx C.2e x cosx D.e x sinx 13.设y=2x +e 2,则y ′=（ ） Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 14.设y=sin(7x+2),则 =dx dy ( ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2) 15.已知曲线x x y -=2上的点M 处的切线平行于直线x+y=1，则M 点的坐标为（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（1，1） D.（0，0） 16.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ ） A.x-y=0 B.x-y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y+2=0 17.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ ） A.)0,(-∞ B. ),(+∞-∞ C.),0(+∞ D.（－1，1） 18.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ ） A.),1(+∞ B.)1,(-∞ C.),(+∞-∞ D.),2(+∞ 19.函数x e y x arctan +=在区间[]1,1-上 ( ) A.单调减少 B.单调增加 C.无最小值 D.无最大值 20.函数5x 5e 的一个原函数为（ ） A. e 5x B. 5e 5x C. x 5e 5 1 D. –e 5x 21. 1 x 31 +的一个原函数是（ ） A. ln(3x+1) B.2 )1x 3(1+- C. 2)1x 3(2 1 + D.)1x 3ln(3 1 + 22.设 ? += C x x dx x f ln )(，则=)(x f （ ）
考研数学之高等数学讲义第一章(考点知识点+概念定理总结)
高等数学讲义 目录 第一章函数、极限、连续 (1) 第二章一元函数微分学 (24) 第三章一元函数积分学 (49) 第四章常微分方程 (70) 第五章向量代数与空间解析几何 (82) 第六章多元函数微分学 (92) 第七章多元函数积分学 (107) 第八章无穷级数（数一和数三） (129)
第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 (甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 (1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y x t →= 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) ?= x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ?= )()(21)(x x dt t f y ?? 其中)(),(21x x ??可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dx ????''=- 五、函数的几种性质 1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。 2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。 若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。 3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f < )]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增] （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）
考研数学基础串讲讲义
考研数学的命题特点 1. 基础性 【例一】极限定义 1、lim x →? 是什么？（lim n →∞ 是什么？） ①lim x →? 1）“x →?”存在六种情形 （1）0x x → 00,0,x x εδ?><-< （2）0 x x +→ 00,0,x x εδ?><-< （3）0x x -→
00,0,x x εδ?><-< (4) x →∞ 0,,X x X ?>> (5) x →+∞ 0,,X x X ?>> (6) x →-∞ 0,,X x X ?><- 2极限趋向的“过程性” ——若lim x →? f(x)?，则f(x)在x →?时处处有定义 （命题A ?B ，则B ?A ）
故有：若f(x)在x →?时至少一点无定义， ?lim x →? f(x)不存在。 （2016）求0lim x →1sin sin()1 sin() x x x x ? ? ? ?? 【分析】x →?，xsin(1 x )→0 x ~0, sinx ~x. 狗~0，sin 狗~狗 xsin(1x )→0, xsin(1x )~sin(xsin(1x )) 故原式=1 知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧! 【正解】当x=π 1k ，|k|充分大，xsin(1 x )=0。还记 得极限的定义吗？0x →时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的 点，例如取x=π1k ，此时xsin(1 x )的极限=0。所以 xsin(1 x )在时0x →不能叫0→，而叫做无穷小量。
故f(x)= 1 sin(sin()) 1sin()x x x x 在x=π1k 处无定义，?原极 限不? ②lim n →∞ n →∞只有一种情形，专指n →+∞ ?N>0, n>N （注意n 是自然数，没有负的，而且都是整数，所以是离散的） 2、极限定义 ①函数极限的定义 若0 lim x x →f(x)=A ? ?ε>0, ?δ>0,当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε ②数列极限的定义。{x n } lim n →∞ x n =a ε?>0, ?N>0,当n>N 时，|x n -a|<ε 【例一】 以下三种说法
注册工程师公共基础高等数学讲义
第一节空间解析几何 一、向量代数 （一）向量及其线性运算 既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。 向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。 向量a与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。 向量的加法符合下列运算规律： ①交换律 a + b = b + a ②结合律(a + b)+c＝ a +(b+c） 向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量b 与 a 的负向量-a 的和，即 b - a = b + (-a) 由向量加法的三角形法则可知： 向量 a 与实数λ的积记作λa，它是一个向量，它的模 它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。 向量与数的乘积符合下列运算规律： 由向量与数的乘积的定义，可得以下定理： 定理设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使b =λa。
（二）向量的坐标 设有空间直角坐标系 O - xyz ， i 、 j 、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12 a M M = 是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为 其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。 利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下： 非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间关系： 其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。 利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下： （三）数量积 向量积 设向量a 和向量 b 的夹角为θ θπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ? ，其大小为||||cos a b θ，即 向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角?的余弦，即 利用向量在轴上的投影，可将数量积表为
高等数学考研讲义第三章
第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分 （甲） 内容要点 一、 基本概念与性质 1、 原函数与不定积分的概念 设函数f(x)和F(x)在区间I 上有定义，若()F x '= f(x)在区间I 上成立。则称F(x)为f(x)在区间I 的原函数，f(x)在区间I 中的全体原函数成为f(x)在区间I 的不定积分，记为? f(x)dx 。 其中 ? 称为积分号，x 称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx 称为被积 表达式。 2、 不定积分的性质 设? f(x)dx ＝F(x)＋C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C 为任意常数。 则 (1)()?'dx x F ＝F(x)＋C 或? )x (d F ＝F(x)＋C (2)[ ]' ?f(x )dx = f(x) 或 d []?f(x)dx ＝f(x)dx (3)?dx )x (kf ＝k ? dx )x (f (4) []dx )x (g )x (f ?±=??±dx )x (g dx )x (f 3、原函数的存在性 设f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如dx )sin(x 2 ? ，dx )x (cos 2 ? ， dx x sinx ?，dx x cosx ?，?lnx dx ， dx e 2 x ?－等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出 来。 二、 基本积分表（略） 三、 换元积分法和分部积分法 1、 第一换元积分法（凑微分法） 设 ()f (u)du F(u)+C, x ?=?又可导， ()()()() f x x dx f x d x ????'??????????则＝()x u ?＝令?du u )(f =F(u)+C=F[()x ?]+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如 流” ，也就是非常熟练地凑出微分。
考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤
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考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E 。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A 与事件B 同时发生的事件，称为事件A, B 的积，记为AB 。 2、事件的和—事件A 或者事件B 发生,称为事件A, B 的和事件，记为A B 。 3、事件的差—事件A 发生而事件B 不发生,称事件A, B 的差事件，记为A B 。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A 发生则事件B 一定发生，称A 包含于B ，记为A B 。若A B 且B A ，称两事件相等，记A B 。 2、互斥（不相容）事件—若A 与B 不能同时发生，即AB ，称事件A, B 不相容或互斥。 3、对立事件—若AB 且A B 称事件A, B 为对立事件。 【注解】（1）A ( A B) AB ，且A B 与AB 互斥。 （2）A B ( A B) (B A) AB ，且A B, B A, AB 两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB A(或B) A B ；（2）AB BA, A B B A ； 2、（1）A A A, A A A ； （2）A (B C) ( A B) ( A C), A (B C) ( A B) ( A C) ； 3、（1）A ( A B) A ；（2）( A B) A A B ； （3）A B ( A B) AB (B A) 。 4、（1）A A ；（2）A A 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为，满足如下条件的随机事件的函数P() 称为所对应事件的概率：