北京四中数学高考总复习之排列与组合

一、排列与组合

一、教材分析:

1．基本概念:排列与排列数、组合与组合数

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，

用符号表示。

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号

表示。

2．基本公式:

=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=

(规定0!=1)。

=(规定

=1)

。

3．排列组合的解题原则:

（1）深入弄清问题的情景

要深入弄清问题的情景，切实把握各因素之间的相互关系，不可分析不透，就用

或乱套一气。具体地

说:首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用，如果

无“顺序”要求，就用；其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，

还是分类完成的，前者用分步计数原理，后者用分类计数原理。事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用分步计数原理，哪一步用分类计数原理。

（2）两个方向的解题途径

对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是正面直接解，一个是反面排除法。前者是指按要求，一点一点选出符合要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉。

这两个途径的优劣因题而异。一般地，一道题目“正面解”很繁琐时，“反面排除”往往简单，反之亦然。

（3）分析问题的两个方向

分析问题时，我们往往从元素和位置两个方向插手，一般情况，从算理上说，从特殊元素和特殊位置两个方向都能解决问题。但具体问题从特元与特位上作对比，则可能大相径庭，差距很大。因此平常做题时，这两种训练都要进行。

（4）特别强调一题多解

一题多解，可以从不同角度分析同一问题，加深对分类计数原理、分步计数原理及排列组合的深刻认识与体会，同时，一题多解也是解排列组合问题最有效，最主要的检验方法。

4．对常见问题分类总结

关于数字问题，要注意“0”这个特元，关于人或物的排列问题，要注意元素相邻，往往采取“捆绑法”看成一个整体，元素不相邻，则往往采取“插空”的方法。

二、例题分析

例1．（1）用0，1，2，3，4组合多少无重复数字的四位数？（2）这四位数中能被3整除的数有多少个？

解:（1）直接分类法:

①特元法:

②特位法:先考虑首位，可以从1，2，3，4四个数字中任取一个，共

种方法，再考虑其它三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个。即

种方法，则共有=96种方法，即96个无重复数字的四位数。

间接排除法:先从五个数字中任取四个排成四位数:，再排除不符合要求的四位数即0在首位的四位数:。则共有

=96个。

（2）能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数。

分析:因为不含0时，1+2+3+4=10。10不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0，即0，1，2，3或0，2，3，

4，共有2()=36个。

例2．用0，1，2，3，4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列。（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？

解:（1）首位是1，2，3，4组成的五位数各24个。所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数，即30124。

（2）首位为1组成=24个数；

首位为2，第二位为0，1共组成=12个数。

首位为2，第二位为3，第三位为0的数共=2个；首位为2，第

二位为3，第三位为1，第四位为0的数有1个，为23104。

由分类计数原理:

+1=39。

按照从小到大的顺序排列23104后面的五位数就是23140，所以23140是第40个数。

例3．5男6女排成一列，问

（1）5男排在一起有多少种不同排法？

（2）5男都不排在一起有多少种排法？

（3）5男每两个不排在一起有多少种排法？

（4）男女相互间隔有多少种不同的排法？

解:（1）先把5男看成一个整体，得，5男之间排列有顺序问题，得，共

种。

（2）全排列除去5男排在一起即为所求，得。（3）因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得

。

（4）分析利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得

。

例4．3名医生和6名护士被分配到3个单位为职工体检，每单位分配1名医生和2名护士，不同的分配方案有多少种？

解:3名医生分到3个单位有种方案，6名护士分到3个单位，每个单位2名有种，根据分步计数原理，共有

=540种方案。

例5．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？

解:组成三棱锥，只需4个点不共面，考虑到直接法有困难，故采用间接排除法。

从10个点中任取4个点有中，其中4个点共面有三类情况:

①4个点位于四面体的同一面中，有4种；

②取任一条棱上的3个点，及该棱对棱的中点，这四点共面共有6种；

③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面有3种，所以不同的取法共有

-4-6-3=141种。例6．求证（1）；（2）

证明:

（1）

另一种解释:对于含某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的排列可分为两类，一类是不含元素a的，有

个；另一类是含元素a的，有

m个，因此共有

(+m)个，即

+m=

。

（2）

∴。

另一种解释:对于含有某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的组合可分为两类，一类是不含元素a的，有

个；另一类是含元素a的有

个，因此共有

(+)个，即

。

三、课外练习:

1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A、24个

B、30个

C、40个

D、60个

2．5男2女排成一排，若女生不能排在两端，且又要相邻，不同的排法有（）

A、480种

B、960种

C、720种

D、1440种

3．某天课表中6节课需从4门文科，4门理科中选出6门课程排出，其中文科交叉排，且一、二节必须排语文、数学，则不同的排法共有_________种。

4．在50件产品中有4件是次品，其余均合格，从中任意取出5种，至少3件是次品的取法共有________种。

5. 正方体的8个顶点可确定不同的平面个数为________，以这些顶点为顶点的四面体共有__________个。

参考答案:

1．A

2. B

3. 72先选出另两门文科，理科有种，又因为文科交叉且一、

二节必须排语文，数学有种，所以有

=72种。

4．=4186

排列组合问题的解法第三计

每周一计第三计——排列组合问题的解法解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。（一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。例1 ： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有种，0在十位有种；第二类，不含0：有1 223A A 种。故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有种。故共有练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m 接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单）（二）．排除法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去. 例２：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有543543 2A A A -+=78种．（三）.相邻问题“捆绑法” 对于某些元素要求相邻．．排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有6365A A 种。（四）。不相邻问题“插空法” 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有种。注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素； ②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。例5：马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有3 5 C 种。（五）。定序问题选位不排对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有种，再排列其它3人有，由乘法原理得共有 =60种。 1345240A A =5354A A 25C 3 3 A 25C 3 3A 24 A 1123A A 111233 A A A 2111423330 A A A A +=24A

高考数学专题之排列组合小题汇总

温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 12 4．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A ． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（） A． 240种 B． 188种 C． 156种 D． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a如下：* t N ?∈，满足 1 t t a a + <，且* s N ?∈，满足 1 S S a a + >.已知“有增有减”数列{}n a共4项，若{}() ,,1,2,3,4 i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a共有（）序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2020年北京高考数学专项复习排列组合与二项式

2017年11月02日金博高数20的高中数学组卷一．选择题（共16小题） 1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A．1440种B．960种C．720种D．480种 2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（） A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个 3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（） A．C1214C412C48B．C1412A124A84 C．D．C1412A124C84A33 4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（） A．6 B．12 C．15 D．30 5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） A．C124C84C44种 B．3C124C84C44种 C．C124C84A33种 D．种 6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（） A．480 B．240 C．120 D．96 7．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）

A．120个B．480个C．720个D．840个 8．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（） A．36个B．24个C．18个D．6个 9．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（） A．C41C44种B．C41A44种C．C44种D．A44种 10．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（） A．24种B．18种C．12种D．6种 11．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（） A．24 B．18 C．12 D．6 12．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．648 13．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120 14．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（） A．C61C942B．C61C992C．C1003﹣C943D．P1003﹣P943 15．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72 16．若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（） A．45 B．55 C．70 D．80 二．填空题（共10小题） 17．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是． 18．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不

【智博教育原创专题】排列组合的常见题型及其解法大全(包含高中所有的题型)

★绝密备战2014专题主编：冷世平

排列组合的常见题型及其解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。 ◆处理排列组合应用题的一般步骤为： ①明确要完成的是一件什么事（审题）；②有序还是无序；③分步还是分类。 ◆处理排列组合应用题的规律 ⑴两种思路：直接法，间接法；⑵两种途径：元素分析法，位置分析法。排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: ⑴使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 ⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。 ⑶复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 ⑷按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。 ⑸处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 ⑹在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等；其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。【策略1】特殊元素（位置）用优先考虑把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。【例1】6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有种不同站法。【分析】解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。【法一】（优先考虑特殊元素）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有120种站法，故站法共有480种； A种方法；剩下四【法二】（优先考虑特殊位置）先从除甲外的五个元素中任取两个站在两端，有2 5 A种方法，共计有480种。个人作全排列有4 4 用0,2,3,4,5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。30 【策略2】相邻问题用捆绑法将相邻的元素内部进行全排列，绑成一捆，看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列。

2020年高考理科数学易错题《排列组合》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练【题型归纳】题型一计数原理的基本应用例1 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A ．3种 B ．6种 C ．9种 D ．18种【答案】 C . 【解析】可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有 62312=?C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有31322=?C C 种不同的选法．所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C 【易错点】注意先分类再分步【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1门，B 类选修课选2门；A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 题型二特殊元素以及特殊位置例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法有（）种.（用数字作答）【答案】 480 【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排F E D ,,三个字母，有12036 =A 种排法；再考虑C B A ,,的情况：C 在最左端有2种排法，最右端也是2种排法，所以答案是4804120=?种. 【易错点】注意特殊元素的考虑【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到“不重复不遗漏”；如果情况过于复杂，可以考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多越细微，每种情况越简单，准确度就越高. 题型三捆绑型问题以及不相邻问题例1 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）个.

北京2019年高考数学(理)一轮特训：排列组合、二项式定理(含答案)

北京市2019年高考数学（理）一轮专题复习特训排列组合、二项式定理一选择题 1【2018北京（理）真题6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】B 2（2018海淀一模）2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0) 3.（2018西城一模）9．设复数1i i 2i x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．25- 4.（2018东城一模）（2）复数i 1i =- （A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22 -- 5.（2018朝阳一模）（1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 6.（2018大兴一模）（2）复数1i 1i +=- A. i - B. i C. 2i - D. 2i 7.（2018海淀一模）6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种 8.（2018丰台一模）（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2018的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（A ）24个（B ）21个（C ）19个（D ）18个 9.（2018石景山一模）3．在251 ()x x -的展开式中，x 的系数为（） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 二填空题 1【2018北京（理）真题13】. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法

北京四中高考数学总复习对数与对数函数知识梳理教案

【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；【知识网络】【考点梳理】考点一、对数概念及其运算我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x =3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果()01b a N a a =>≠，且，那么数 b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数恒等式：log log a b N a a N a N N b ?=?=?=? 3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =. (二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 对数与对数函数图象与性质对数运算性质对数函数的图像与对数的概念指对互化运算

以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作. (三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1)()log log log a a a MN M N =+；推广：()()12 1212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、 (2)log log log a a a M M N N =-； (3)log log a a M M αα=. (五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n a a n ∈= 令 log a M=b ，则有a b =M ， (a b )n =M n ，即n b n M a =)(，即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>= c c a M M c c a ，令log a M=b ，则有a b =M ，则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =?，即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a

高中数学-排列组合解法大全

排列组合解法大全复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得1 1 3434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5 2 2 522480A A A =种不同的排法 C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

高考数学专题之排列组合综合练习

高考数学专题之排列组合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法

(完整版)高考数学专题之排列组合小题汇总

5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A ． 300种 B ． 150种 C ． 120种 D ． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A ． 105 B ． 95 C ． 85 D ． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A ． 120种 B ． 156种 C ． 188种 D ． 240种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A ． 168种 B ． 156种 C ． 172种 D ． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A ． 14400 B ． 28800 C ． 38880 D ． 43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（） A ． 240种 B ． 188种 C ． 156种 D ． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ?∈，满足1t t a a +<，且*s N ?∈，满足1S S a a +>.已知“有增有

北京四中高考数学总复习三角函数的图象和性质(基础)知识梳理教案

【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】【考点梳理】考点一、“五点法”作图在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)， (,1)2π，(,0)π，3(,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象奇偶奇函数偶函数奇函数应用三角函数的图象与性质正弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质正切函数的图象与性质

要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）.

高考数学排列组合常见题型

选修2-3：排列组合常见题型可重复的排列（求幂法）重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）4 3（2）34 （3）3 4 相邻问题（捆绑法）相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【解析】：C 相离问题（插空法）元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是 52563600A A = 【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法【解析】： 111789A A A =504 【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C = 10 种方法。

北京高考数学分项版解析专题11 排列组合、二项式定理文

专题11 排列组合、二项式定理文 1. 【2009高考北京文第3题】若4(1,a a b =+为有理数），则a b += （） A ．33 B ． 29 C ．23 D ．19 【答案】B 2. 【2009高考北京文第5题】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120 【答案】C 3. 【2006高考北京文第4题】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有 A.36 B.24 C.18 D.6 【答案】A 【解析】若各位数字之和为偶数,则需2个奇数字1个偶数字, 奇数字的选取为C 23,偶数字的选取为C 12, ∴所求为C 23·C 12·A 33=36. 4. 【2007高考北京文第5题】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）Ａ．()2 14 2610C A 个Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2 142610C 个Ｄ．24 2610A 个

5. 【2005高考北京文第8题】五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( ) （A ）1444C C 种（B ）1444C A 种（C ）44C 种（D ）44A 种【答案】B 【解析】根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，有A 44种情况，根据乘法原理，分析可得有C 41A 44种情况；故选B ． 6. 【2005高考北京文第10题】6 1()x x -的展开式中的常数项是（用数字作答）【答案】20- 7. 【2006高考北京文第10题】在(x - x 2)7的展开式中,x 3的系数是 .(用数字作答) 【答案】84 【解析】T r+1=C r 7x 7-r ·(- x 2)r =(-2)r ·C r 7·x 7-2r , 令7-2r =3,∴r =2. 代回系数(-2)r ·C r 7=(-2)2·C 27=84. 8. 【2008高考北京文第12题】5 231x x ??+ ?? ?的展开式中常数项为；各项系数之和为．（用数字作答）【答案】10 32

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案知识网络：目标认知考试大纲要求： 1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用； 2.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题. 4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 重点： 1.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题难点：

用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 知识要点梳理知识点一：通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n≥2时的，（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式. 知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，则，，…， 2.迭乘累乘法：

，则，，…，知识点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2.建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如

排列组合解法大全

排列组合解法大全一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三个位

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6 7种不同的排法练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi + m2 j + m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi江m2汇川X m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的xx，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？解：把1，5，2，4当作一个小集团与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法. 1524