上海地区2018版高考数学总复习专题分项练习含解析

第一章 集合与常用逻辑用语

一．基础题组

1. 【2017高考上海】已知集合{}{}1,2,3,4,3,4,5A B == ，则A B =

【答案】{}3,4A

B =

【解析】由交集的定义可得：{}3,4A

B =

2. 【2016高考上海文数】设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）. （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A

【解析】试题分析：

2211,111a a a a a >?>>?><-或，所以“1>a ”是“12>a ”的充分非必要条件，选A.

【考点】充要条件

【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、逻辑推理能力等.

3. 【2015高考上海文数】设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则

=)(B C A U .

【答案】}4,1{

【考点定位】集合的运算.

【名师点睛】先求B C U ，再求)(B C A U .集合的运算是容易题，应注意用描述法表示集合应注意端点值是否取号.

4.【2015高考上海文数】 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）.

A. 充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件 【答案】A

【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.

【名师点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

5. 【2014上海,理15】设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】B

【解析】若2,2a b >>，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题就选B ． 【考点】充分必要条件．

6. 【2013上海,理15】设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞)

D ．2，＋∞)

【答案】B

【解析】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥??-≤?

或11a a a ≤??-≤?，解答选项为B.

7. 【2013上海,理16】钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充分必要条件

D ．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】 根据等价命题，便宜?没好货，等价于，好货?不便宜，故选B.

8. 【2012上海,理2】若集合A ＝{x |2x ＋1＞0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则A ∩B ＝__________. 【答案】{x |1

2

-

＜x ＜3}

【解析】A ＝{x |2x ＋1＞0}＝{x |x ＞1

2

-}，B ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |1

2

-

＜x ＜3}． 9. 【2012上海,文2】若集合A ＝{x |2x －1＞0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩B ＝__________. 【答案】{x |

1

2

＜x ＜1} 【解析】由A ＝{x |x ＞1

2

}，B ＝{x |－1＜x ＜1}， 则A ∩B ＝{x |

1

2

＜x ＜1}． 10. 【2012上海,文16】对于常数m ，n ，“mn ＞0”是“方程mx 2

＋ny 2

＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B

11. 【2011上海,理2】若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则?U A ＝______. 【答案】{x |0＜x ＜1} 【解析】

12. 【2011上海,文1】若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则?U A ＝________. 【答案】{x |x ＜1} 【解析】

13. 【2011上海,文17】若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( ) A ．E

F B ．E F C ．E ＝F D ．E ∩F ＝

【答案】A 【解析】

14. 【2010上海,理15】“24

x k π

π=+

（k Z ∈）”是“tan 1x =”成立的 （ ）

（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 【答案】A

【解析】当24

x k π

π=+（k Z ∈）时，tan tan(2)tan

14

4

x k π

π

π=+

==，反之，当tan 1

x =时，4

x k π

π=+

（k Z ∈），所以“24

x k π

π=+

（k Z ∈）”是“tan 1x =”成立的充分不

必要条件，选A.

【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式、特殊角的三角函数以及终边相同的角等基础知识，考查简易逻辑中充要条件的判断.记错诱导公式以及特殊角的三角函数，混淆条件的充分性和必要性，是这类问题出错的重要原因．

15. 【2010上海,文1】已知集合A ＝{1, 3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}则m ＝________. 【答案】4

【解析】由题意知m ∈A ∪B ，且m ≠1,3，∴m ＝4.

16. (2009上海,理2)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是_____________. 【答案】(-∞,1］

【解析】∵A ∪B=R,如图所示.

当a≤1时满足题意.即a 的取值范围是(-∞,1］.

17. .(2009上海,理15)“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x 2

+ax+1=0有虚根”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A

故选A.

18. 【2008上海,理2】若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ .

19. 【2008上海,理13】 给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面

内无数条直线

都垂直”是“直线l

与平面垂直”的（ ）条件

A ．充要

B ．充分非必要

C ．必要非充分

D ．既非充分又非必要

20. 【2008上海,理15】如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于

点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P(x ,y )、P’(x ’,y ’)满足x ≤x ’ 且

y ≥y ’，则称P 优于P’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样

的点Q 组成的集 合是劣弧（ ）

A ． A

B ︵ B ． B

C ︵ C ． C

D ︵ D ． DA ︵

21. 【2007上海,文10】对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01

≠+

a

a ； ② 2222)(

b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2

，则b a =.

那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 . 【答案】② ④ 【解析】

22. 【2006上海,理1】已知集合A ＝－1，3，2m －1，集合B ＝3，2m ．若B ?A ，则实数m ＝ ． 【答案】1

【解析】已知集合A ＝－1，3，2m －1，集合B ＝3，2m ．若B ?A ，

则221211

m m m ?=-?-≠-?，所以实数m ＝1． 23. 【2006上海,理14】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 答]（ ）

（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． 【答案】A

24. 【2006上海,文1】已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ?,则实数___m =. 【答案】4

【解析】已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ?, 则实数4m =.

25. 【2006上海,文15】若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】A

【解析】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A. 26. 【2005上海,理14】已知集合

{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，?

?????∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ）

A ．{}Z x x x ∈≤<,30|

B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|

C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|

D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 【答案】B

【解析】{}R x x x M ∈≤≤-=,31|

{}Z x x x P ∈≤≤=,40|

P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|，选B.

27. 【2011上海,理2】若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则?U A ＝______. 【答案】{x |0＜x ＜1} 【解析】

由补集的定义可得{}|01U C A x x =<< .

28. 【2005上海,文15】条件甲：“1a >”是条件乙：“a >

）

A ．既不充分也不必要条件

B ．充要条件

C ．充分不必要条件

D ．必要不充分条件 【答案】B

【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利

用A B ?与B A ???，B A ?与A B ??

?的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一

般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若A B ?则A 是B 的充分条件或B 是A 必要条件；若A B =则A 是B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.

二．能力题组

29. 【2017高考上海】已知,,a b c 为实常数，数列{}n x 的通项2*,n x an bn c n N =++? ，则“存在*

k N ∈ 使得100200300,,k k k x x x +++ 成等差数列”的一个必要条件是( )

A.0a ≥

B.0b ≤

C.0c =

D.20a b c -+=

【答案】A

【解析】试题分析：

由等差中项的定义可得：2001003002k k k x x x +++=+ ，即：

()()()()()()2

22

2200200100100300300,a k b k c a k b k c a k b k c ???++?++??

????=?++?+++?++?++????

整理可得：()()()222

2200100300a k a k k ??+=+++??

当0a ≠ 时上式明显不成立，据此可得：

“存在*k N ∈ 使得100200300,,k k k x x x +++ 成等差数列”的一个必要条件是0a ≥. 本题选择A 选项.

30.【2016高考上海理数】设a ∈R ，则“1>a ”是 “12

>a ”的（ ）.

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】

A

【考点】充要条件

【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力等.

31. 【2015高考上海理数】设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}

23x x B =≤≤，则

U A B =e ．

【答案】{}1,4

【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算

【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或不属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥

32.【2015高考上海理数】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件 【答案】

B

【考点定位】复数概念，充要关系

【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.

33. 【2014上海,理11】. 已知互异的复数a,b 满足ab≠0，集合{a,b}={2

a ,2

b },则

a b += .

【答案】1-

【解析】由题意22a a b b ?=??=??或22

a b b a ?=??=??，因为a b ≠，0ab ≠

，1212

2a b ?=-+????=--

?

?1

2

12

2

b a ?=-????=--??或，因此1a b +=-．

【考点】集合的相等，解复数方程．

34. 【2011上海,理23】已知平面上的线段l 及点P .任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作d (P ，l )．

(1)求点P (1,1)到线段l ：x －y －3＝0(3≤x ≤5)的距离d (P ，l )；

(2)设l 是长为2的线段，求点的集合D ＝{P |d (P ，l )≤1}所表示的图形面积；

(3)写出到两条线段l 1，l 2距离相等的点的集合Ω＝{P |d (P ，l 1)＝d (P ，l 2)}，其中l 1＝AB ，l 2＝CD ，A ，B ，C ，D 是下列三组点中的一组．

对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分． ①A (1,3)，B (1,0)，C (－1,3)，D (－1,0) ②A (1,3)，B (1,0)，C (－1,3)，D (－1，－2) ③A (0,1)，B (0,0)，C (0,0)，D (2,0) 【答案】(1)

(2) 4＋π;(3)参考解析

【解析】(1)设Q (x ，x －3)是l 上任一点(3≤x ≤5)，则

PQ =，3≤x ≤5.

当x ＝3时，min PQ =()d P l =，

(2)不妨设A (－1,0)、B (1,0)为l 的两个端点，

则D 为线段l 1：y ＝1(|x |≤1)、线段l 2：y ＝－1(|x |≤1)、半圆C 1：(x ＋1)2

＋y 2

＝1(x ≤－1)、半圆C 2：(x －1)2

＋y 2

＝1(x ≥1)所围成的区域．

这是因为对P (x ，y )，|x |≤1，

则d (P ，l )＝|y |；而对P (x ，y )，x ＜－1，则

()d P l =，P (x ，y )，x ＞1，

则()d P l =

，

于是D 所表示的图形面积为4＋π. (3)①Ω＝{(x ，y )|x ＝0}．

②Ω＝{(x ，y )|x ＝0，y ≥0}∪{(x ，y )|y 2

＝4x ，－2≤y ＜0}∪{(x ，y )|x ＋y ＋1＝0，x ＞1}．

③Ω＝{(x ，y )|x ≤0，y ≤0}∪{(x ，y )|y ＝x,0＜x ≤1}∪{(x ，y )|2

1(1)2

y x =+，1＜x ≤2}∪{(x ，y )|4x －2y －3＝0，x ＞2}．

35. 【2010上海,理14】以集合{}d c b a U ,,,= 的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：

（1）?，U 都要选出；

（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ?或A B ?.那么共有________种不同的选法. 【答案】36

【点评】本题考查子集的有关概念，两个计数原理的灵活应用.注意到条件“对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ?或A B ?”，所以分类时A 中元素个数最多2个，这是解题的突破口.