与三角形有关的存在性问题

中考数学专题: 存在性问题考点（1）

与三角形有关的存在性问题

一、考点扫描：

存在性问题是近年来全国各地中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，对考生分析问题和解决问题的能力要求较高，其特点是在一定条件下探究发现某些数学结论和规律是否存在，由于结论有存在和不存在两种可能，所以具有开放性。求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系和结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理、找出最后的答案。 二、典型例题：

（2008年山东临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条

件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;

⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形

是直角梯形，试求出点M 的坐标。

友情提示： 问题（1）易求，在问题（2）中，假设存在点P 、使得⊿PDC 是等腰三角形，由于没有说明哪两条边相等，所以应分成CD 为一腰和CD 为以边两种情况进行讨论，而解决问题（3）时应抓住B 、C 、D 三点为固定点，分别考虑以BC 、CD 、BD 分别为梯形一底时的情况，注意要按照顺序依次讨论，以做到不重复和不遗漏。

26．⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），

∴设抛物线解析式为)0(32

≠++=a bx ax y ………………………………1分

根据题意，得???=++=+-,

0339,03b a b a ，解得??

?=-=.

2,1b a

∴抛物线的解析式为322++-=x x y ………………………………………2分 ⑵存在。…………………………………………………………………………3分 由322

++-=x x y 得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。…………4分 ①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得2

222)4()1()3(y x y x -+-=-+，即y ＝4－x 。…………………………5分 又P 点(x,y)在抛物线上，∴3242

++-=-x x x ，即0132

=+-x x …………6分

解得25

3±=x ，125

3<-，应舍去。∴25

3+=x 。……………………7分

∴2

5

54-=

-=x y ，即点P 坐标为???

?

??-+255,

253。……………………8分 ②若以CD 为一腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 与点C

关于直线x ＝1对称，此时点P 坐标为（2，3）。

∴符合条件的点P 坐标为???

?

??-+255,

253或（2，3）。……………………9分 ⑶由B （3，0），C （0，3），D （1，4），根据勾股定理,

得CB ＝23,CD ＝2,BD ＝52,………………………………………………10分 ∴202

2

2

==+BD

CD

CB

,

∴∠BCD ＝90°,………………………………………………………………………11分

设对称轴交x 轴于点E ，过C 作CM ⊥DE ，交抛物线于点M ，垂足为F ，在Rt △DCF 中， ∵CF ＝DF ＝1, ∴∠CDF ＝45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM ＝2×45°＝90°,点坐标M 为（2，3）， ∴DM ∥BC,

∴四边形BCDM 为直角梯形, ………………………………………………………12分 由∠BCD ＝90°及题意可知，

以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;

以CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在。 综上所述，符合条件的点M 的坐标为（2，3）。…………………………………13分

温馨小贴士：

存在性问题探究的结果有两种：一种是存在，一种是不存在。在解决这类题目时的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。即首先猜想或者假设问题的某种关系和结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理，如果得出的结论和关系与已知条件和某个定理，公理等相符，则表明原来猜想或者假设问题的某种关系存在或结论存在，如果得出的结论和关系与已知条件和某个定理，公理等相矛盾，则表明原来猜想或者假设问题的某种关系存在或结论不存在，

三、名题精练：

1、（2007福建龙岩）（14分）如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴5522

a x a

-=-

=

（2）(30)A -，

(54)B ， (04)C ， 把点A 坐标代入2

54y ax ax =-+中，解得16

a =-

2

15466

y x x ∴=-

+

+

（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与C B 交于M ．

过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4B Q =，8A Q =， 5.5AN =，52

B M =

① 以A B 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．

2

2

2

2

2

8480AB AQ BQ ∴=+=+=

在1R t ANP △

中，12

P N =

===

1522P ?∴-

?

?

， ②以A B 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．

在2R t BM P △

中，22

M P =

===

25822P ??

-∴ ? ???

，

③以A B 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．

画A B 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ． 过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt P CK BAQ △∽△．

312

P K BQ C K

AQ

∴==．

3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = 3(2.51)P ∴-，

注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分．

2、（2008年海南）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,

它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .

（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；

（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P

解.（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，

∴ m =-2×(-2)-1=3. ∴ B (-2,3)

∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .

设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 4

1=a .

∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(4

1-=

x x y ，即x x

y -=2

41. （6分）

（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2

过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x 则BG ⊥直线x =2，BG =4.

在Rt △BGC 中，BC =52

2=+BG CG .

∵ CE =5，

∴ CB =CE =5.

②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，

则点H 的坐标为H (0,-5). 又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)，

∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD = ∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），

∴ BD =DE .

即D 是BE 的中点.

（3） 存在. 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，

∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.

设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将D (0,-1) C (2,0)代入，得??

?=+-=0

21b k b . 解得 1,2

1-==b k .

∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =

2

1

x -1.

∵ 动点P 的坐标为(x ，x x -2

4

1)，

∴

2

1x -1=

x x -2

4

1.

解得 531+=x ，532-=x . ∴ 2

5

11+=y ，2

5

11-=

y .

∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，

2

5

1+)或(53-，

2

5

1-)。

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

3、（2010年福建龙岩）在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（10，0），（2，4）. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式； （2）若P 为抛物线上异于C 的点，且△OAP 是直角三角形，请直接写出点P 的坐标； （3）若抛物线顶点为D ，对称轴交x 轴于点M ,探究：抛物线对称轴上是否存在异于D 的 点Q ，使△AQD 是等腰三角形，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由

结合图形，可求得满足条件的Q 点坐标为(5,

254

-)，(5,254

+-

)

记

为

Q 2(54

,Q 3(5,4

-)； …………11分

若QD QA =

则设Q （5,y ），由254

y +=

解得y=2528

-

,

所以满足条件的Q 点坐标为（5，2528

-），记为Q 4(5,2528

-

)…12分

所以，满足条件的点Q 有 Q 1(5,

254

),